第三章 2.2 第1课时 空间向量的加减法与数乘运算-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019)

§1阶段综合 黑题 阶段强化 1.C解析：由题图可知，A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2.0),由中点坐标 公式可得BC的中点坐标为(1,1,0)，根据空间两点间距离公式得 BC边上的中线的长为√+12+(-1)产=√3.故选C 2.B解析：由题意，点A(4,-2,8)到平面0x的距离与其到平面0： 的距离的比值等于 3.ACD解析：因为在长方体ABCD-A1B1C,D,中，AB=5,AD=4,AA,= 3,所以点B1的坐标为(4,5,3)，故A正确.C1(0,5,3),B(4,5,0),设 点G关于直对称的点为方测宁455警-0， 解得0=8，y0=5,0=-3,则点C1关于点B对称的点为(8,5，-3)， 故B错误由立体儿何的特征知，点A关于直线BD,对称的点为 C1(0,5,3),故C正确.由立体几何的特征知，点C关于平面ABB1A1 对称的点为(8,5,0)，故D正确.故选ACD 4B解析：点B是平而xO内的直线x+y=1上的动点，∴，可设点 B(m,1一m,0),由空间两点之间的距离公式，得|AB|= √/(-1-m)2+[-1-(1-m)]2+(2-0)2=√/2m2-2m+9,令t=2m2-2m+ 92(号）广当m=宁时：的最小值为号当号 时，山的最小值为，√受用么B同点同的最距离是。 21 故选B. 5.ABD解析：设空间一点的坐标为(x,y,),方程：■0，说明点在坐标平 面0y,故A正确：x2+y2+:2=1可化为√（x-0)2+(y-0)2+(x-0)2=1, 表示以坐标原点为球心，1为半径的球面，故B正确：方程x2+y2=1可 化为√(x0)+(y-0)了=1，表示以x轴为轴，1为半径的圆柱面，故C 不正确：由方程x2+y2=0可得x=y=0,所以表示z轴，故D正确故 选ABD. 6.(1,-3,2)解析：由题意知，在空间直角坐标系0-x中，点P(a b,2a)关于平面0x的对称点为Q(a,-b,2a),又Q(2-a,-b.b+5)， 2-a=a, 所以6=-6，解得aL,所以点P的坐标为(1，-3,2.被答案为 6=-3. b+5=2a, (1,-3,2) 1V而解折：由题意，点4(，受，2与点82,0，-1)的空间直角坐标分别 为0,1,2)，(2ms0,2n0,-1),所以1AB1=√4cs0+(2sin0-1)+9= √14-4sn0≥√/0，当且仅当im8=1时等号成立故答案为√10. 8.解：(1)由题意，知4(1,0,1)，B(1,1,0),C(0,1,0),D(1,1,1).由 IPB1=21PA1可知，点P为线段AB的三等分点（靠近点A),放P1, 号子），所以M(1,行，子）所以1Pw= (兮)（号号T2 3 (2)因为点P是面对角线A的中点，所以P(1,子，子），面点Q 在面对角线DC上运动，故设点Q(a,1,a),a∈[0,1]，则1PQ1= a-+()+a√2w-3w+ 2(a子)令ae[0,1,所以当a=2时，101取得最小 选择性必修第一册·BS §2空间向量与向量运算 2.1从平面向量到空间向量 白盟 基础过关 1,D解析：对于A,有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二 者完全等同起来，故A错误：对于B,不相等的两个空何向量的模也 可以相等，只要它们的方向不相同即可，故B错误：对于C,零向量的 相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故C错误：对于 D,B与A仅是方向相反，它们的长度是相等的，故D正确，故选D. 2.BC解析：对于A选项，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅 模要相等，而且还要方向相同.而A中向量a与b的方向不一定相 同，故A为假命题对于B选项，AC与AC的方向相同，模也相等，故 A花=A1C,故B为真命题对于C选项，向量的相等满足传递性，放C 为真命题.对于D选项，平行向量不一定具有传递性，当b=0时，@ 与c不一定平行，故D为假命题故选BC 3.A解析：对于①，向量作为矢量不能比较大小，故①错误：对于②，将 空间中所有的单位向量平移到同一个起点，则它们的终点构成一个 球面，所以②错误：对于③，零向量与任意向量共线，所以③正确：对 于④，若向量A,Ci共线，则A,B,C,D四点不一定共线，但一定共 面，故④)错误故选A. 4.C解析：由向量的模的定义，根据平行六面体的性质可知，与向量 A模相等的向量分别为，丽，B言C心，c元，D而，D市，共7个故 选C. 5.BD解析：对于A,如图所示，在正方体中 A,A店，B丽三个向量共面，故A错误；对于 B,通过平移，两个向量的起点总可以在同一 点，故任意两个向量都共面，故B正确：对于 C,如图所示，A1B,A店，D元三个向量共面，但 它们所在的直线不共面，故C错误：对于D, 如图所示，在正方体中，AB,店，D心三个向 量两两共面，且这三个向量共面：在正方体中，A,A店，市三个向量 两两共面，但这三个向量不共面，故D正确 6.(1)A,AABB.B点，cG,Ct.DD,Di(2)AA.B.Ct D:D (3)A B.BA.CD:,D:C (4)AD:.DA,A D.DA.BC:.C.B, B,乙，CB 解析：(1)因为1AM1=1,所以单位向量有d,A,BB,B,点，CC, C,t,DD,D,i.(2)A的相反向量为A,B,点，C,t,D,i(3)E求的 共线向量为A,言，B,CD,D,.(4)由于长方体左、右两侧的面的对 角线长均为5，故模为5的向量有D,D,A市，M,BC,C,, B.C.CB. 7.解：(1)与配平行且方向相同的向量有：B,C,A币A,D,正，E克. (2)与AD相等的向量有：BC, 2.2空间向量的运算 第1课时空间向量的加减与数乘运算 白题 基础过关 1.B解析：在四棱柱ABCD-A,B,C,D1中，BD=Bi+B心+B成，=-应+ +=-a+b+e故选B. 2.C解析：在空间四边形ABCD中，对于A,A心+C=A市≠A成，A错误： 对于B,A花+B成≠店，B错误：对于C,D式+C-D成=D-D=店，C正 确：对于D,AC+B而-B武=AC+Ci=Ai≠AB,D错误故选C 3.D解析：点M,N分别为线段AB,OC的中点，则M不=M+Ad+O示 }威-i+2成o可i-)-耐+}成耐-}诚+ 元子ca-b),放选D 4.A解析：因为在平行六面体ABCD-AB,C,D,中，M为AC和BD的 交点，又=a,市=b,=c,所以M瓜=+B丽=成+ 黑白题048 +风访市之e散选 四方法总结 用已知向量表示指定向量的方法： (1)结合已知向量和所求向量观察图形 (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中 (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知向量表云 出来 5.ABC解析：A.在平面内共线的向量在空间一定共线，故错误：B.在 空间共线的向量，平移到同一平面内一定共线，故错误：C在平面内 共线的向量在空间一定共线，枚错误：D.在空间共线的向量，平移到 同一平面内一定共线，故正确.故选ABC 6.D解析：对A:若非零向量a,b平行，则a,b所在直线可能平行，也 可能重合，若其中一个向量为零向量，期a,b所在直线位置关系不确 定，故错误：对B:若向量a,b所在直线是异面直线，则a,b可以通过 平移从而共面，故错误：对C:若A,B,C,D四点不共面，则AB,C可 以通过平移从而共面，故错误：对D:若A,B,C,D四点不共面，则AB A花，A可以两两共面，但是三个向量无法共面，故正确故选D 7.C解析：对于A,由于O=O-O成-O元不满足右边式子的系数和为 1,所以四点不-定共面，故A错误；对于B,由于O=}+成 号成，不满足右边式子的系数和为1，所以四点不一定共面，放B错 误：对于C,由+M+M心=0可得=-M市-M心，根据向量共面定 理，结合三向量有公共点，可知四点一定共面，故C正确：对于D,由 0M+Oi+0成+0元=0可得0i=-Oi-0成-0，不满足右边式子的系数 和为1，所以四点不一定共面，故D错误故选C 8.B解析：由Oi=2xBd+3yCi+4zDi,得0i=-2x0i-3y0元-4：0 而O是空间任意一点，A,B,C,D四点满足任意三点均不共线，但四 点共面，因此-2x+(-3y）+(-4)■1，即2x+3y+4:■-1，所以4x+6y+ 8z=-2.故选B. g.子解析：=2，-4，成=3+36，动=6+e花=+ B成=5e1+2e2又A,C,D三点共线，A花∥C成.：e,e2不共线， 衣-5d市2-5=0k=号做答案为子 第2课时空间向量的数量积 白题 基础过关 1,D解析：根据空间向量数量积的运算律可知a·b=b·a,(a+ b)·c=a·c+b·c,(Aa)·b=A(a·b)均成立，即A,B,C正确： (a·b)e为与c共线的向量，a(b·c)为与a共线的向量，所以(a· b)c与a(b·c)不一定相等，故D错误故选D. 2.AC解析：由题意易知在空间四边形ABCD中，A店，A夹角为60°，所 以2店.Ad=2×1A1×1A心1cs60°=a2,枚A正确：A市，D成夹角为 120°，所以2d.D成=2×1Ad1×1D1cs120°=-a2,故B错误；因为 点P,G分别是AD,DC的中点，所以FG∥AC且F府=子衣，所以 A花，F元陕角为0°，所以2F花.At=2x1F成1×A花1cos0°=a2,故C正 确：因为点E,F分别是AB,AD的中点，所以EF∥BD且IE乎1= 之励1，所以床，夹角为120，所以2亦.店=2x11× dcm120:之2放D错误放选AC 3言解折ab宁放ma)=8治行故答案为行 4.yO解折：由于PH1底面ABCD,AD,ABC平面ACD,所以 10 PA⊥AB,PA1D,面底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD,Pi=市-市 励√v625,成（耐4成 2 应动，所以=而=子4+46=6，市 参考答案 成：宁-内·动：宁×(16-4)=6所以励破的 夹角余弦值为6。√30 25x后10故答案为0 5.D解析：因为a-b与a垂直，所以(a-b)·a=0,即a2-a·b= ai-lal1boma,b=1-ioma,b-0,所以om(a.b=2又 0°≤(a,b》≤180°，所以(a,b〉=45.故选D. 6.A解析：由题意可知C市=0成-0元，面CB⊥0A,故C店1Oi,C. 0=0,即(0i-0).0=0,所以0丽.0i-0元.0i=0,则1×2× os子-210d·m号-0，解得10元1=1，即0C=1,故选人 7.D解析：因为花，=店+戒+C配=店+市+，所以AC2= (+币+d)2=应+市+东+2店.市+2市.+2市 ,=11+9+2x0+2x1x3x2+2×1×3x7=17,即1G1=万，放 选D. 8.5解析：la+b-2cl=√(a+b-2c)产= √a+b2+4c2+2a·b-4a·c-4b·e= √1a+lb+4lc+2lal·lb1cs60-41al·lelcos60°-4Ib1·lelcos60 -,√14+2x1x11x141x1=5答案5 9万解桥：成=+亦成+(+)=成+t(成- ai+(oC-a1=ii+o成o ,2x(号）.x(）k.成*2 成，元-2南=反，即E,F间的距离为2 10.C解析：取P,Q分别为AC,AB的中点，连接FP,EQ,PQ,因 为AE=BE=AF=CF,所以Q⊥AB,FP⊥AC.因为平面ABE⊥平 面ABC,平面ABEn平面ABC=AB,EQC平面ABE,所以EQ⊥平 面ABC,同理可得FP⊥平面ABC,所以向量E在平面ABC上的投 影向最为币.且币=】元放选C 11.-1解析：由图可知，向量A心在店方向上的投影数量为1A心1· c0 sLBAC=A=2,向量AC在i方向上的投影数量为1AC1· cs(-LA'AC')=-1A1=-3,所以向量Ad在A店方向上的投影数 量与向量4C在A方向上的投影数量之和为2-3=-1故答案为-1. B B 题 应用提优 1.D解析：由题意可知Q,A,B,C四点共面，且P=-2P+4P店 黑白题0492.2空间向量的运算 第1课时 空间向量的加减与数乘运算 白题 基础过浅 限时：30min 题组1空间向量的加减运算 题组3向量共线与共面问题 1. 人教B版教材习题)已知四棱柱ABCD- 5.(多选)下列说法中错误的是 A,B,C,D,的底面ABCD为平行四边形，且 A.在平面内共线的向量在空间不一定共线 AB=a,AD=b,AA;=c,BD,= ( B.在空间共线的向量在平面内不一定共线 A.a+b+c B.-a+b+c C.在平面内共线的向量在空间一定不共线 C.a-b+c D.-a+b-c D.在空间共线的向量在平面内一定共线 2.(2025·广东深圳高二期中)在空间四边 6.下面关于空间向量的说法正确的是( 形ABCD中，下列表达式化简结果与AB相等 A.若向量a,b平行，则a,b所在直线平行 的是 ( B.若向量a,b所在直线是异面直线，则a,b A.AC+C⑦ B.AC+BC 不共面 C.D元+C8-Di D.A元+BD-BC C.若A,B,C,D四点不共面，则A正，CD不共面 题组2空间向量的数乘运算 D.若A,B,C,D四点不共面，则AB,AC,AD不共面 3.如图，已知三棱锥O-ABC,点M,N分别为线 7.(2025·陕西西安西工大附中高二月考)在下 段AB,0C的中点，且0=a,0=b,0元=c,用 列条件中，使M与A,B,C一定共面的是 a,b,c表示M,则M等于 ( ( A.2(c+a+b) B.2(b-a-c) A.0M=0A-0B-0元 2(a-c-b) 1 D.2(c-a-b) a0m-go+0i+0元 D C.M+M店+M元=0 D.0i+04+0i+0元=0 8.(2025·河南许昌高二期中)已知0是空间任 (第3题) (第4题) 意一点，A,B,C,D四点满足任意三点均不共 4.人教A版教材变式(2025·福建厦门高二期 线，但四点共面，且0A=2xB0+3yC⑦+4zD6, 中)如图，在平行六面体ABCD-A,B,C,D 则4x+6y+8z= () 中，M为AC和BD的交点，若AB=a,Ad=b, A.2 B.-2 C.1 D.-1 AM,=c,则下列式子中与MB相等的是( 9.(2025·安微毫州一中高二月考)设e1,e2是 A.j 1 1 B.2a+2b-e 两个不共线的空间向量，若AB=2e,-e2,BC= 2 3e,+3e2,C⑦=e,+ke2,且A,C,D三点共线，则 1.1 11 C.-2a+2b-te D.- 2 2a-2btc 实数k的值为 选择性必修第一册·BS黑白题074 第2课时空间向量的数量积 白题 基础过送 限时：30mim 题组1空间向量数量积的概念及运算 题组4空间向量的模 1.(2025·河北唐山高二期中)关于空间向量a,7.(2025·广东湛江高二期中)如图，在平行六 b,c,下列运算错误的是 ( 面体ABCD-A,B,C,D1中，底面是边长为1 A.a·b=b·a 的正方形，若∠A,AB=∠A1AD=60°，且A41= B.(a+b)·c=a·c+b·c 3,则AC1的长为 ( C.(Aa)·b=λ(a·b) A.3 B.√13 D.(a·b)c=a(b·c) 2.（多选)(2025·陕西西安高二月考)已知空间 C.4 D.√17 四边形ABCD每条边和对角线长都为a,点E, F,G分别是AB,AD,DC的中点，则下列向量 的数量积等于a2的是 ( A.2AB.AC B.2AD.DB :0 C.2FG.AC D.2E示.CB (第7题) (第10题) 题组2空间向量的夹角 8.(2025·安徽蚌埠高二月考)已知空间向量a, 3.(2025·山西大同高二期中)已知a,b是空间 b,c两两夹角均为60°，其模均为1，则Ia+ 两个向量，若1a1=2,1b1=2,a·6= 2则 b-2cl= cos(a,b〉= 9.在空间四边形OABC中，OA,OB,OC两两成 4.（2025·广东深圳高二月考)在四棱锥 60°角，且OA=OB=0C=2,E为OA的中点，F P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底 为BC的中点，则E,F间的距离为 面ABCD,PA=AB=2,AD=4,E为PC的中点， 题组5空间向量的投影向量与投影数量 则PD与BE的夹角余弦值为 10.(2025·江西上饶高二月考)如图，在八面 题组3空间向量垂直的应用 体ABCDEF中，平面ABE,ACF均垂直于底 5.(2025·山东临沂高二期中)已知空间向量a, 面ABC,且AE=BE=AF=CF,则下列向量中 b,1al=1,1b1=√2，且a-b与a垂直，则a与 与向量EF在平面ABC上的投影向量相等的是 b的夹角为 ( ( A.60 B.30 C.135° D.45° 6.如图，三棱锥0-ABC中， 1.2 ∠A0B=∠BOC=∠A0C= T 30< c D.-B元-AC OA=20B=2,若CB⊥OA,则 11.在长方体ABCD-A'B'CD'中，AB=2,AA'=3, 0C= () 则向量AC在AB方向上的投影数量与向量AC A.1 B.2 C.2 D.5 在A'A方向上的投影数量之和为 第三章黑白题075