精品解析：北京市育才学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

2025-2026学年度第一学期北京市育才学校九年级数学学科期中考试试卷 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 在平面直角坐标系中，与关于原点O成中心对称的是（　　） A. B. C. D. 2. 如果将抛物线向上平移3个单位长度，向左平移1各单位，得到新的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径为4，如果的长为3，则点P在（ ） A. 内 B. 上 C. 外 D. 不确定 4. 若抛物线与x轴只有一个交点，则m的值为（ ） A. 3 B. C. D. 5. 已知是半径为2的圆的一条弦，则的长不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点（1，0），对称轴是直线x＝－1，下列结论错误的是（ ） A. abc＞0 B. b2－4ac＞0 C. 2a－b＝0 D. 3a＋2c＜0 8. 如图，以 为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与 轴交于两点，点为上一动点，于，当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 下列各数：－2，－1，0，2，3，是一元二次方程x²＋3x＋2＝0的根的是_________． 10. 已知圆心角的度数为，点C在的圆周上，则圆周角的度数是_______________． 11. 用配方法将二次函数化为的形式为__________． 12. 将绕点A逆时针旋转，得到，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则的度数为____________． 13. 已知点在抛物线上，则，，的大小关系是___________． 14. 如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于，两点，若的直径为，则弦的长为______． 15. 在平面直角坐标系中，已知二次函数． （1）该二次函数的顶点坐标 （用含 的代数式表示）_____； （2）若对于点 总有 ，则满足条件的最大整数的值为_____． 16. 对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：若在图形上存在点 ，使得，为正数，则称点为图形的倍等距点． 已知点， ． （1）在点 中，线段的倍等距点是_____； （2）线段的所有倍等距点形成图形的面积是_____． 三、解答题 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 下面是小石设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：及外一点P． 求作：直线和直线，使得切于点A，切于点B． 作法：如图， ① 连接，作线段的垂直平分线，交于点Q ； ② 以点Q为圆心，的长为半径作圆，交于点A和点B； ③ 作直线和直线． 所以直线和就是所求作的直线． 根据小石设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． ∵是的直径， ∴ （ ）（填推理的依据）． ∴． ∵为的半径， ∴是的切线（ ）（填推理的依据）． 19. 已知关于的一元二次方程有两个实数根且． （1）求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 20. 已知二次函数． （1）求此二次函数图象的顶点坐标； （2）求此二次函数图象与x轴的交点坐标； （3）当时，直接写出x的取值范围． 21. 如图，是的直径，弦于点E，，．求的半径． 22. 如图，将绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在上． （1）若，，求线段的长． （2）连接，若，，求的度数． 23. 阅读下面的材料 一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在他的代表作《代数学》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法，我国三国时期的数学家赵爽在其所著《勾股圆方图注》中也给出了类似的解法． 以为例，花拉子米的几何解法步骤如下： ① 如图1，在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形； ② 一方面大正方形的面积为(x+ )2，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为，可得方程 ，则方程的正数解是 ． 根据上述材料，解答下列问题． （1）补全花拉子米的解法步骤②； （2）根据花拉子米的解法，在图2的两个构图①②中，能够得到方程的正数解的正确构图是 (填序号)． 24. 已知：如图，是的直径，是的弦，过O作于点G，过点C作的切线交的延长线于点P，连接PD． （1）求证：是的切线； （2）连接、．若，，，求的长． 25. 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 某运动员进行了两次训练． （1）第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 5 8 11 14 竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； （2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）． 26. 在平面直角坐标系中，为抛物线上两点，其中，记抛物线在M，N两点之间的部分为图象G． （1）求抛物线对称轴和顶点坐标； （2）记图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为m． ①当，若图象G为轴对称图形，求m的值； ②若存在某个的值，使得成立，直接写出t的取值范围． 27. 如图，在三角形中，，，点P为内一点，连接，，，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，． （1）用等式表示与的数量关系，并证明； （2）当时， ①直接写出的度数为________； ②若M为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明． 28. 对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点． （1）在点中，点______是线段关于原点O的“伴随点”； （2）如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围； （3）已知抛物线的顶点坐标为，其关于原点对称的抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期北京市育才学校九年级数学学科期中考试试卷 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 在平面直角坐标系中，与关于原点O成中心对称的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征对A进行判断；根据关于x轴对称的点的坐标特征对B进行判断；根据关于原点对称的点的坐标特征对C、D进行判断． 【详解】解：A、与关于y轴对称，所以A选项不符合题意； B、与关于x轴对称，所以B选项不符合题意； C、与关于对称，所以C选项不符合题意； D、与关于原点对称，所以D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．中心对称的性质：关于中心对称的两个图形能够完全重合；关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 2. 如果将抛物线向上平移3个单位长度，向左平移1各单位，得到新的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规则：上加下减，左加右减，即可得出结论． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，向左平移1各单位，得到新的抛物线的表达式是， 故选：B． 3. 已知的半径为4，如果的长为3，则点P在（ ） A. 内 B. 上 C. 外 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点到圆心的距离小于半径，则该点在圆内，若点到圆心的距离等于半径，则该点在圆上，若点到圆心的距离大于半径，则该点在圆外，据此可得答案． 【详解】解：∵的半径为4，如果的长为3，且， ∴点P在内， 故选A． 4. 若抛物线与x轴只有一个交点，则m的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题．二次函数与轴有两个交点，则；与轴有一个交点，则；与轴没有交点，则．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：． 解得：， 故选：D 5. 已知是半径为2的圆的一条弦，则的长不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可． 【详解】解：∵圆的半径为2， ∴直径为4， ∵AB是一条弦， ∴AB的长应该小于等于4，不可能为5， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径． 6. 在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题关键．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点． 故选：A． 7. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点（1，0），对称轴是直线x＝－1，下列结论错误的是（ ） A. abc＞0 B. b2－4ac＞0 C. 2a－b＝0 D. 3a＋2c＜0 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质即可依次判断各项． 【详解】由二次函数图象开口向下，a＜0， 函数与y轴交于正半轴，c＞0 对称轴x=-1＜0，故a，b同号，b＜0 故abc＞0，A正确； ∵二次函数与x轴有两个交点，故b2－4ac＞0，B正确； 对称轴x= ∴b=2a 故2a－b＝0，C正确； ∵3a＋2c=a+2a+2c=a+b+c+c ∵当x=1时，y=a+b+c=0 ∴a+b+c+c＞0 故3a＋2c＞0，D错误； 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质及点的坐标特征． 8. 如图，以 为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与 轴交于两点，点为上一动点，于，当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、直角三角形30度角的判定和性质、勾股定理等知识连接， 作 ，连接，可知点在以为直径的圆上移动，当点在的延长线上时，的长最小，根据含的直角三角形的性质和勾股定理求出，即可求解，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【详解】连接， 作 ，连接， ， ∴， ∵为圆心，半径为， ∴，， 在中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴点在以为直径的圆上移动， 当点在的延长线上时，的长最小，最小值为， 故选：． 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 下列各数：－2，－1，0，2，3，是一元二次方程x²＋3x＋2＝0的根的是_________． 【答案】-1和-2 【解析】 【分析】直接用因式分解的方法求出一元二次方程的根即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∴-2，-1，0，2，3，中是方程的根的是-2，-1， 故答案为：-1和-2． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程和一元二次方程根的定义，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 10. 已知圆心角的度数为，点C在的圆周上，则圆周角的度数是_______________． 【答案】或 【解析】 【分析】应根据点C在劣弧上和优弧上两种情况进行讨论，然后分别利用圆周角定理进行解答． 【详解】解：∵点C在的圆周上， ∴点C可能在优弧上或者劣弧上． 当点C在优弧上时，如图所示， ∵的度数为， ∴． 当点C在劣弧上时，如图所示， ∵， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，分情况讨论是解题的关键． 11. 用配方法将二次函数化为的形式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一般式化顶点式，熟练掌握配方法是解答本题的关键．根据配方法求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 将绕点A逆时针旋转，得到，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则的度数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理．熟练掌握旋转的性质，等边对等角求角度是解题的关键． 由旋转的性质可知，，，则，计算求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， ∵点B，C，D恰好在同一直线上， ∴， 故答案为：． 13. 已知点在抛物线上，则，，的大小关系是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数图象和性质． 通过代入各点的横坐标到抛物线解析式中，计算纵坐标值，并比较大小． 【详解】解：将点的横坐标分别代入 得， ， ， ， 因此，，， 故答案为：． 14. 如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于，两点，若的直径为，则弦的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长交于点，连接，根据同弧所对的圆周角相等得出，，再由含度角的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：连接并延长交于点，连接， ， ． 是的直径，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是同弧所对的圆周角相等，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 15. 在平面直角坐标系中，已知二次函数． （1）该二次函数的顶点坐标 （用含 的代数式表示）_____； （2）若对于点 总有 ，则满足条件的最大整数的值为_____． 【答案】 ①. ； ②. ． 【解析】 【分析】（）把配成顶点式即可； （）利用二次函数性质求最值即可； 此题考查了二次函数的图象及其性质，解题的关键是熟练掌握图象及其性质的应用． 【详解】解：（）由二次函数得， ， ∴顶点坐标为：， 故答案为：； （）由（）得：顶点坐标为， ∴，即， 则满足条件的最大整数的值为， 故答案为：． 16. 对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：若在图形上存在点 ，使得，为正数，则称点为图形的倍等距点． 已知点， ． （1）在点 中，线段的倍等距点是_____； （2）线段的所有倍等距点形成图形的面积是_____． 【答案】 ①. 点和点； ②. ． 【解析】 【分析】（）先设为线段上一点，再根据图可知的取值范围，由题意得，可求出的取值范围，即可求出满足条件的点； （）由（）知，线段的所有倍等距点形成图形，再根据图形求得面积， 此题考查了新定义，解题的关键是读懂“等距点”的定义，根据概念解决问题． 【详解】（）设为线段上一点， 则由图可知， 的取值范围是， ∵ ，，， ∴，，， 设线段的倍等距点为， 则， ∴， ∴点，为线段的倍等距点， 故答案为：点和点； （）由（）可知， ∴线段的所有倍等距点形成图形，如图， 由图可知，该图形是环形， ∴等距点形成图形的面积为， 故答案为：． 三、解答题 17. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法． （1）利用因式分解法进行求解即可； （2）利用因式分解法进行求解即可． 【小问1详解】 解： ∴或 ∴； 【小问2详解】 解： ∴或， ∴． 18. 下面是小石设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：及外一点P． 求作：直线和直线，使得切于点A，切于点B． 作法：如图， ① 连接，作线段的垂直平分线，交于点Q ； ② 以点Q为圆心，的长为半径作圆，交于点A和点B； ③ 作直线和直线． 所以直线和就是所求作的直线． 根据小石设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． ∵是的直径， ∴ （ ）（填推理的依据）． ∴． ∵为的半径， ∴是的切线（ ）（填推理的依据）． 【答案】（1）如下图即为所求； （2）；直径所对的圆周角是直角； 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，线段的垂直平分线的性质、圆周角定理、切线的判定定理，解本题的关键在理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意，画出图形即可； （2）根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据垂线的定义，得出，，再根据切线的判定定理，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵是的直径， ∴（直径所对的圆周角为直角）． ∴，． ∵，是的半径， ∴，是的切线（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． 19. 已知关于的一元二次方程有两个实数根且． （1）求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元一次不等式，解题的关键是掌握以上公式和求解步骤． （1）利用根的判别式列出不等式，然后进行求解即可； （2）根据根与系数的关系列出两个之积与两个之和，然后列出不等式求解，并进行验证即可． 【小问1详解】 解：∵方程两个实数根且， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，， 解得， 由（1）得， ∴无解． 20. 已知二次函数． （1）求此二次函数图象的顶点坐标； （2）求此二次函数图象与x轴的交点坐标； （3）当时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）顶点坐标 （2）与x轴的交点坐标为、 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． （1）把一般式配成顶点式可得到抛物线的顶点坐标； （2）解方程可得到抛物线与x轴的交点坐标； （3）画出二次函数图象，利用函数图象写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【小问1详解】 解：， ∴抛物线的顶点坐标； 【小问2详解】 解：当时，， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为； 【小问3详解】 解：二次函数的函数图象如图所示： 结合函数图象得或时，． 21. 如图，是的直径，弦于点E，，．求的半径． 【答案】的半径是5． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接， 设半径为，由垂径定理可得，由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：设圆的半径是r， 连接，如图： ∵弦于点E， ∴ ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的半径是5． 22. 如图，将绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在上． （1）若，，求线段的长． （2）连接，若，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定及性质； （1）由旋转的性质得，，再由，即可求解； （2）由三角形内角和定理可求，再由“等边对等角”和三角形内角和定理得＝，即可求解； 掌握相关的性质，并能熟练利用等腰三角形的性质进行角度求解是解题的关键． 【小问1详解】 解：将绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上， ，， ； 【小问2详解】 解：如图，连接， ，， ， ， ， ＝ ． 23. 阅读下面的材料 一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在他的代表作《代数学》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法，我国三国时期的数学家赵爽在其所著《勾股圆方图注》中也给出了类似的解法． 以为例，花拉子米的几何解法步骤如下： ① 如图1，在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形； ② 一方面大正方形的面积为(x+ )2，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为，可得方程 ，则方程的正数解是 ． 根据上述材料，解答下列问题． （1）补全花拉子米的解法步骤②； （2）根据花拉子米的解法，在图2的两个构图①②中，能够得到方程的正数解的正确构图是 (填序号)． 【答案】（1）5，5，25，3 （2）① 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程−配方法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据已知算式和图形可得答案． （2）根据“在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形”，可得答案． 【小问1详解】 解：一方面大正方形的面积为，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为，可得方程，则方程的正数解是． 故答案为：5；5；25；3． 【小问2详解】 解：由题意可得，能够得到方程的正数解的正确构图： 在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为和3的矩形，再补上一个边长为3的小正方形，最终把图形补成一个大正方形 ∴①符合． 故答案为：①． 24. 已知：如图，是的直径，是的弦，过O作于点G，过点C作的切线交的延长线于点P，连接PD． （1）求证：是的切线； （2）连接、．若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：是的切线， ，即， ， ， 在与中： ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定定理，全等三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理．熟练掌握切线的判定定理，全等三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键． （1）先利用切线性质得到，再由垂径定理，推出，然后通过证，根据全等三角形对应角相等，得，即，从而证明是切线． （2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和求出，，进而求出，再由可知，然后根据所对直角边等于斜边一半得出，设为，根据勾股定理列出 方程，最后求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ，， ， ， ，， ， ， ， 由（1）可知， ， 设为， 在中， ，即 解得，（不合题意，舍去） 即， ． 25. 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 某运动员进行了两次训练． （1）第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 5 8 11 14 竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； （2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）． 【答案】（1）23.20 m； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值，得出函数解析式； （2）着陆点的纵坐标为，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出和，然后进行比较即可． 【小问1详解】 解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：， ∴，， 即该运动员竖直高度的最大值为23.20 m， 根据表格中的数据可知，当时，，代入得： ，解得：， ∴函数关系关系式为：． 【小问2详解】 设着陆点的纵坐标为，则第一次训练时，， 解得：或， ∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离， 第二次训练时，， 解得：或， ∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为，用t表示出和是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，为抛物线上两点，其中，记抛物线在M，N两点之间的部分为图象G． （1）求抛物线对称轴和顶点坐标； （2）记图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为m． ①当，若图象G为轴对称图形，求m的值； ②若存在某个的值，使得成立，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为 （2）①，② 【解析】 【分析】（1）利用对称轴公式和顶点公式求解即可； （2）①根据轴对称的性质以及对称轴求出点的横坐标，然后求出两个点的纵坐标，根据二次函数性质及顶点坐标即可求出m的值； ②根据抛物线对称轴的性质，结合m的定义，分情况讨论t的取值范围即可． 【小问1详解】 解：对称轴为直线， 当时，， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：①当，若图象G为轴对称图形， ∴，关于对称轴直线对称， ∴，， ∴当时有最高点，纵坐标为4；当时有最低点，纵坐标为3， ∴． ②由题意知，抛物线的对称轴为，开口向下，顶点坐标为，即当时，y取得最大值4， （i）当M、N两点都在对称轴左侧时：，即， ∵抛物线开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大， ∴， ， ∵，， ∴，则， 要使，则，结合， ∴t的取值范围是； （ii）当M、N两点都在对称轴右侧时：此时， ∵抛物线开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小， ∴， ∴ ， ∵，， ∴，则， 要使，则，结合， ∴t的取值范围是； （iii）当M在对称轴左侧，N在对称轴右侧时：此时，图象G上最高点为顶点， ∴，，， 当M，N关于对称轴对称时，， 此时，， 要使，即， ∵， ∴t的取值范围是． 综上所述，t的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求对称轴和顶点坐标． 27. 如图，在三角形中，，，点P为内一点，连接，，，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，． （1）用等式表示与的数量关系，并证明； （2）当时， ①直接写出的度数为________； ②若M为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1） 解：， 证明：∵，， ∴， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； （2）①； ②，理由如下： 延长到N，使，连接、， ∵M为的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴且， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵'为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的性质． （1）由得到，由旋转可得，，从而，又，证得，得证； （2）①当时，，又，因此，再根据， 得到，从而． ②延长到N，使，连接、，易证四边形为平行四边形，因此且，从而，，因此，从而证得，故，在等腰直角中，，因此． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①当时， 则， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： ②略 28. 对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点． （1）在点中，点______是线段关于原点O的“伴随点”； （2）如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围； （3）已知抛物线的顶点坐标为，其关于原点对称的抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值． 【答案】（1）和 （2） （3）最大值，最小值 【解析】 【分析】（1）根据“伴随点”的定义，画出每个点绕点旋转后的对应点，进行判断即可； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，求出的坐标，再求出点在线段上和在线段上时，的值，即可得出结论； （3）根据顶点坐标，写出抛物线的顶点式，进而得到其关于原点对称的抛物线的解析式，将绕点O逆时针旋转得到，根据抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，得到当抛物线过点时有最大值，当抛物线过点时有最小值，即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴轴， 如图所示，点绕点顺时旋转得到的对应点分别为：， 其中点，在线段上， ∴和是线段关于原点O的“伴随点”； 故答案为：和． 【小问2详解】 ∵， ∴在第一象限， ∵点是关于原点O的“伴随点”； ∴点在第二象限， 过点作轴于点，过点作轴于点， 则：， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在第一象限， ∴， 设直线的解析式为：，则： ，解得：， ∴， 当在上时，，解得：； 当在上时，，解得：； ∴当时，点是关于原点O的“伴随点”； 【小问3详解】 ∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∴其关于原点对称的抛物线解析式为． 如图：绕点O逆时针旋转得到，其中． ∵抛物线上存在关于原点O的“伴随点”， ∴当过，得到n的最大值． 当过，得到n的最小值． 【点睛】本题考查坐标与图形，旋转的性质，一次函数和二次函数的综合应用，解题的关键是理解并掌握“伴随点”的定义，利用数形结合的思想进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $