北京市育才学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

2025-2026学年度第一学期北京市育才学校九年级数学学科期中考试试卷 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 在平面直角坐标系中，与关于原点O成中心对称的是（　　） A. B. C. D. 2. 如果将抛物线向上平移3个单位长度，向左平移1各单位，得到新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径为4，如果的长为3，则点P在（ ） A. 内 B. 上 C. 外 D. 不确定 4. 若抛物线与x轴只有一个交点，则m的值为（ ） A. 3 B. C. D. 5. 已知是半径为2圆的一条弦，则的长不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ） A 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点（1，0），对称轴是直线x＝－1，下列结论错误的是（ ） A. abc＞0 B. b2－4ac＞0 C. 2a－b＝0 D. 3a＋2c＜0 8. 如图，以 为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与 轴交于两点，点为上一动点，于，当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为（ ） A B. C. D. 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 下列各数：－2，－1，0，2，3，是一元二次方程x²＋3x＋2＝0的根的是_________． 10. 已知圆心角的度数为，点C在的圆周上，则圆周角的度数是_______________． 11. 用配方法将二次函数化为的形式为__________． 12. 将绕点A逆时针旋转，得到，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则的度数为____________． 13. 已知点在抛物线上，则，，的大小关系是___________． 14. 如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于，两点，若的直径为，则弦的长为______． 15. 在平面直角坐标系中，已知二次函数． （1）该二次函数的顶点坐标 （用含 的代数式表示）_____； （2）若对于点 总有 ，则满足条件的最大整数的值为_____． 16. 对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：若在图形上存在点 ，使得，为正数，则称点为图形的倍等距点． 已知点， ． （1）在点 中，线段的倍等距点是_____； （2）线段的所有倍等距点形成图形的面积是_____． 三、解答题 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 下面是小石设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：及外一点P． 求作：直线和直线，使得切于点A，切于点B． 作法：如图， ① 连接，作线段的垂直平分线，交于点Q ； ② 以点Q为圆心，的长为半径作圆，交于点A和点B； ③ 作直线和直线． 所以直线和就是所求作的直线． 根据小石设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． ∵是的直径， ∴ （ ）（填推理的依据）． ∴． ∵为的半径， ∴是的切线（ ）（填推理的依据）． 19. 已知关于的一元二次方程有两个实数根且． （1）求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 20. 已知二次函数． （1）求此二次函数图象的顶点坐标； （2）求此二次函数图象与x轴的交点坐标； （3）当时，直接写出x的取值范围． 21. 如图，是的直径，弦于点E，，．求的半径． 22. 如图，将绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在上． （1）若，，求线段的长． （2）连接，若，，求的度数． 23. 阅读下面的材料 一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在他的代表作《代数学》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法，我国三国时期的数学家赵爽在其所著《勾股圆方图注》中也给出了类似的解法． 以为例，花拉子米的几何解法步骤如下： ① 如图1，在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形； ② 一方面大正方形的面积为(x+ )2，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为，可得方程 ，则方程的正数解是 ． 根据上述材料，解答下列问题． （1）补全花拉子米的解法步骤②； （2）根据花拉子米的解法，在图2的两个构图①②中，能够得到方程的正数解的正确构图是 (填序号)． 24. 已知：如图，是的直径，是的弦，过O作于点G，过点C作的切线交的延长线于点P，连接PD． （1）求证：是的切线； （2）连接、．若，，，求的长． 25. 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 某运动员进行了两次训练． （1）第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 5 8 11 14 竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； （2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）． 26. 在平面直角坐标系中，为抛物线上两点，其中，记抛物线在M，N两点之间的部分为图象G． （1）求抛物线对称轴和顶点坐标； （2）记图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为m． ①当，若图象G为轴对称图形，求m的值； ②若存在某个的值，使得成立，直接写出t的取值范围． 27. 如图，在三角形中，，，点P为内一点，连接，，，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，． （1）用等式表示与的数量关系，并证明； （2）当时， ①直接写出的度数为________； ②若M为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明． 28. 对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点． （1）在点中，点______是线段关于原点O的“伴随点”； （2）如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围； （3）已知抛物线的顶点坐标为，其关于原点对称的抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值． 2025-2026学年度第一学期北京市育才学校九年级数学学科期中考试试卷 一、选择题（每小题2分，共16分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、填空题（每题2分，共16分） 【9题答案】 【答案】-1和-2 【10题答案】 【答案】或 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 ① ； ②. ． 【16题答案】 【答案】 ①. 点和点； ②. 见解析． 三、解答题 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）见解析 （2）；直径所对的圆周角是直角； 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【19题答案】 【答案】（1） （2）无解 【20题答案】 【答案】（1）顶点坐标 （2）与x轴的交点坐标为、 （3）或 【21题答案】 【答案】的半径是5． 【22题答案】 【答案】（1） （2） 【23题答案】 【答案】（1）5，5，25，3 （2）① 【24题答案】 【答案】（1）证明见详解 （2） 【25题答案】 【答案】（1）23.20 m； （2） 【26题答案】 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为 （2）①，② 【27题答案】 【答案】（1）'，证明见解析 （2）①；②，理由见解析 【28题答案】 【答案】（1）和 （2） （3）最大值，最小值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $