第18讲 带电粒子在磁场中运动模型（模型与方法）（全国通用）2026年高考物理一轮复习讲练测

第18讲 带电粒子在磁场中运动模型 【模型一 带电粒子在有界磁场中的运动模型】 类型1 平行边界的磁场模型 类型2 圆形边界磁场模型 类型3三角形边界的磁场模型 类型4圆形边界的磁场模型 【模型二 磁场中的动态圆模型】 类型1带电粒子在磁场中平移圆模型 类型2带电粒子在磁场中放缩圆模型 类型3带电粒子在磁场中旋转圆模型 类型4.带电粒子在磁场中磁聚焦模型 【模型三 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题】 类型1带电粒子电性不确定形成多解 类型2.运动轨迹不确定形成多解 类型3 运动具有周期性形成多解 带电粒子在磁场中运动在高考中是重点考查模型，既对基本概念洛伦兹力方向的判断考查，重点对洛伦兹力公式与圆周运动公式的考查是高频考点，题目常通过粒子速度方向与磁场方向的夹角变化（平行、垂直、斜交）设计问题。‌ 是有界磁场命题的重中之重，常以“轨迹与边界相切”为临界条件，轨迹往往是‌圆弧或圆弧的组合‌。题目核心难点在于‌确定圆心、半径、圆心角、运动时间‌；多解问题是高频难点和区分点 深刻理解该模型的规律：洛伦兹力特点、圆周运动两公式的推导、适用条件和各物理量关系。熟练进行方向判断和基本计算，熟记典型模型（圆界、直界、矩界、角域）的轨迹特点和常用处理方法. 1.解答带电粒子运动问题的“三个关键”——“轨迹圆心、半径及运动时间”的确定方法 圆心的确定 半径的确定 时间的确定 基本 思路 （1）与速度方向垂直的直线过圆心。 （2）弦的垂直平分线过圆心。 （3）轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心。 利用平面几何知识求半径。 利用轨迹长度L或对应圆心角θ求时间。 t＝＝·T。 图例 说明 P、M点速度垂线的交点。 P点速度垂线与弦的垂直平分线的交点。 S点的速度垂线与切点法线的交点。 常用解三角形法，（如图）R＝或由R2＝L2＋（R－d）2求得R＝。 （1）速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ。 （2）偏转角φ与弦切角α的关系：若φ＜180°，φ＝2α；若φ＞180°，φ＝360°－2α。 2.无论带电粒子在哪类边界磁场中做匀速圆周运动，解题时要抓住三个步骤： 3.作带电粒子运动轨迹时需注意的问题 (1)四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点。 (2)六条线：圆弧两端点所在的轨道半径，入射速度所在直线和出射速度所在直线，入射点与出射点的连线，圆心与两条速度所在直线交点的连线。前面四条线构成一个四边形，后面两条线为这个四边形的对角线。 (3)三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的两倍。 【模型一 带电粒子在有界磁场中的运动模型】 类型1直线边界磁场 　　 【模型】直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示) 直线边界磁场又分单边直线边界和双边平行直线边界。单边直线边界如图abc所示，粒子进出磁场具有对称性；。 解决这类问题的“三部曲”：画轨迹、找圆心、定半径。 如果粒子从同一直线边界射入和射出，那么粒子进入磁场时速度与边界的夹角和射出磁场时速度与边界的夹角相等。 【典例1】在如图所示的xOy平面的第一象限内，存在着垂直纸面向里、磁感应强度分别为B1、B2的两个匀强磁场(图中未画出)．Oa是两磁场的边界，且与x轴的夹角为45°.一不计重力、带正电的粒子从坐标原点O沿x轴正向射入磁场．之后粒子在磁场中的运动轨迹恰与y轴相切但未离开磁场．则两磁场磁感应强度的比值为(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 【答案】　C 【解析】　设带电粒子在B1中运动的半径为R1，在B2中运动的半径为R2，根据条件作出粒子的运动轨迹如图所示， 由图中几何关系可知R1＝2R2，根据qvB＝m可得＝＝，故C正确，A、B、D错误． 【变式1-1】如图所示，直线AD为磁感应强度大小为B的匀强磁场的边界线，AD与水平线成θ=30°角，M、N为竖直放置的两个带有狭缝的金属板，板间电压为U。一带正电的粒子（初速度为零）经电场加速后从C点水平射入磁场，从CD间的E点离开磁场，C、E间距离为L，不计粒子重力，以下说法正确的是（　　） A．粒子的比荷为 B．粒子在磁场中的运动时间为 C．仅将加速电压变为原来的2倍，粒子从CD间某位置射出时出射点与入射点之间的距离为L D．仅加速电压变为原来的2倍，粒子从CD间某位置射出时粒子在磁场中运动时间为原来的倍 【答案】BC 【解析】A．在C点做水平速度的垂线，在E点做速度的垂线，由对称性可知在E点速度与边界成30°，所以粒子运动的半径为由质谱仪的公式得，A错误； Ｂ．粒子在磁场中速度改变了60°，运动时间，B正确； C．若加速电压变为原来的2倍，由公式得半径变为原来的倍，C正确； D．若加速电压变为原来的2倍，粒子转过的角度仍然是60°，时间不变，D错误。故选BC。 【变式1-2】（多选）如图，虚线上方空间分布着垂直纸面向里的匀强磁场，在纸面内沿不同的方向从粒子源O先后发射速率均为v的质子和α粒子，质子和α粒子同时到达P点。已知OP＝l，α粒子沿与PO成30°角的方向入射，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是（　　） A.质子在磁场中运动的半径为 B.α粒子在磁场中运动的半径为l C.质子在磁场中运动的时间为 D.质子和α粒子发射的时间间隔为 【答案】ACD 【解析】根据题意作出α粒子运动轨迹如图所示； 由几何知识可知，α粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径 r＝l，因为α粒子做圆周运动的半径为r＝，质子与α粒子的比荷之比为2∶1，所以运动的半径之比为1∶2，质子运动的半径为，故A正确，B错误；α粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝＝，由几何知识可知，α粒子在磁场中转过的圆心角θ1＝300°，α粒子在磁场中的运动时间t1＝T＝，质子从O射入P点射出，又质子运动的半径为，可知质子从O点射入的速度方向必与OP边界垂直，质子在磁场中转过的圆心角θ2＝180°，故t2＝。所以质子和α粒子发射的时间间隔为t1－t2＝，故C、D正确。 【变式1-3】如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场。之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则为（　　） A.3 B.2 C. D. 【答案】A 【解析】电子1、2在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意画出两电子的运动轨迹，如图所示， 电子1垂直边界射进磁场，从b点离开，则运动了半个圆周，ab即为直径，c点为圆心，电子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，根据半径r＝可知，电子1和2的半径相等，根据几何关系可知，△aOc为等边三角形，则电子2转过的圆心角为60°，所以电子1运动的时间t1＝＝，电子2运动的时间t2＝＝，所以＝3，故A正确，B、C、D错误。 类型2 平行边界磁场 【模型】 双边平行直线边界如图所示，粒子进出磁场存在临界条件 解决这类问题的“三部曲”：画轨迹、找圆心、定半径。 如果粒子从同一直线边界射入和射出，那么粒子进入磁场时速度与边界的夹角和射出磁场时速度与边界的夹角相等。 图a中粒子在磁场中运动的时间t1＝，t2＝＝ 图b中粒子在磁场中运动的时间t＝ 图c中粒子在磁场中运动的时间t＝(1－)T＝(1－)＝ 图d中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝ 【典例2】如图所示，一束电子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ＝30°，求： (1)电子运动的轨迹半径r； (2)电子的比荷； (3)电子穿越磁场的时间t。 【答案】(1)2d (2) (3) 【解析】（1）作入射、出射速度的垂线确定轨迹圆心，由几何关系，可得r = 2d （2）设电子质量为m、电量为e，由洛伦兹力提供向心力得，解得 （3）由洛伦兹力提供向心力，运动的周期，得 由，代入周期得 【变式2-1】（多选）两个带等量异种电荷的粒子分别以速度va和vb射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为60°和30°，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，如图所示，则（　　） A.a粒子带正电，b粒子带负电 B.两粒子的轨道半径之比Ra∶Rb＝∶1 C.两粒子的质量之比ma∶mb＝1∶2 D.两粒子的质量之比ma∶mb＝2∶1 【答案】BD 【解析】由左手定则可得a粒子带负电，b粒子带正电，故A错误；粒子做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示，则Ra＝＝d，Rb＝＝d，所以Ra∶Rb＝∶1，故B正确；由几何关系可得，从A运动到B，a粒子转过的圆心角为60°，b粒子转过的圆心角为120°，ta＝＝tb＝，则Ta∶Tb＝2∶1，再根据洛伦兹力提供向心力可得Bvq＝，所以运动周期T＝＝，根据a、b两粒子电荷量相等可得ma∶mb＝Ta∶Tb＝2∶1，故C错误，D正确。 【变式2-2】如图所示，一个理想边界为PQ、MN的匀强磁场区域，磁场宽度为d，方向垂直纸面向里．一电子从O点沿纸面垂直PQ以速度v0进入磁场．若电子在磁场中运动的轨道半径为2d.O′在MN上，且OO′与MN垂直．下列判断正确的是 (　　) A．电子将向右偏转 B．电子打在MN上的点与O′点的距离为d C．电子打在MN上的点与O′点的距离为d D．电子在磁场中运动的时间为 【答案】：D 【解析】：电子带负电，进入磁场后，根据左手定则判断可知，所受的洛伦兹力方向向左，电子将向左偏转，如图所示 A错误；设电子打在MN上的点与O′点的距离为x，则由几何知识得：x＝r－＝2d－＝(2－)d，故B、C错误；设轨迹对应的圆心角为θ，由几何知识得：sin θ＝＝0.5，得θ＝，则电子在磁场中运动的时间为t＝＝，故D正确． 【变式2-3】（多选）在一正方形区域里有垂直纸面向里的匀强磁场，现有a、b、c三个比荷（）相同的带电粒子（不计重力）依次从P点沿PQ方向射入磁场，其运动轨迹分别如图所示，带电粒子a从PM边中点O射出，b从M点射出，c从N点射出。则a、b、c三个粒子在磁场中运动的（　　） A．速率之比为1：2：4 B．周期之比为1：1：2 C．时间之比为2：2：1 D．动量大小之比为1：2：4 【答案】AC 【解析】AD．设正方形的边长为L，根据几何关系可知粒子运动的半径分别为，， 由洛伦兹力提供向心力得解得 则有 根据动量表达式，因为粒子的质量关系不确定，所以动量的大小关系也不能确定，故A正确，D错误； BC．根据周期可知a、b、c三个粒子在磁场中运动的周期相等；又有， 所以时间之比为,故B错误，C正确。 故选AC。 类型3三角形或四边形边界磁场 1.三角形边界磁场是指分布在三角形区域内的有界磁场，粒子的轨迹也是一段圆弧，由于三角形有等边三角形、等腰三角形、直角三角形等不同类型，所以会有不同的临界情境，如图甲、乙所示。 解答该类问题主要把握以下两点： (1)射入磁场的方式 ①从某顶点射入。 ②从某条边上某点(如中点)垂直(或成某一角度)射入。 (2)射出点的判断 其临界条件是判断轨迹可能与哪条边相切，进而判定出射点的可能位置。 2.矩形边界 矩形边界磁场是指分布在矩形范围内的有界磁场，带电粒子的轨迹只是一部分圆弧。垂直于某边射入，从某一顶点射出是常见的临界情况。 解决该类问题的关键是把握临界情况，如图所示。常见的有如下几种情况：(设粒子从ad边中点e垂直射入) (1)两个临界半径 ①从d点射出：r1＝。 ②从c点射出：r＝＋ab2。 (2)三种情况 ①r≤r1，粒子从ed段射出。 ②r1<r≤r2，粒子从cd段射出。 ③r>r2，粒子从cf段射出(不会到达f点)。 【典例3】（2025·全国卷·高考真题）如图，正方形abcd内有方向垂直于纸面的匀强磁场，电子在纸面内从顶点a以速度v0射入磁场，速度方向垂直于ab。磁感应强度的大小不同时，电子可分别从ab边的中点、b点和c点射出，在磁场中运动的时间分别为t1、t2和t3，则（   ） A．t1 < t2 = t3 B．t1 < t2 < t3 C．t1 = t2 > t3 D．t1 > t2 > t3 【答案】A 【解析】由于带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，则电子在磁场中运动的时间为 设正方形abcd的边长为l，则，， 则有t1 < t2 = t3 故选A。 【变式3-1】如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面（abcd所在平面）向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为（　　） A.kBl，kBl B.kBl，kBl C.kBl，kBl D.kBl，kBl 【答案】B 【解析】若电子从a点射出，运动轨迹如图线①所示， 有qvaB＝m Ra＝ 解得va＝＝ 若电子从d点射出，运动轨迹如图线②所示，有qvdB＝m ＝＋l2，解得vd＝＝ 选项B正确。 【变式3-2】（多选）如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC边界分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子（质子重力不计），所有质子均能通过C点，质子比荷＝，则质子的速度可能为（　　） A.　　B. C.　　D. 【答案】ABD 【解析】质子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示。 所有圆弧所对圆心角均为60° 【变式3-3】（多选）如图所示的虚线框为一正方形区域，该区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，一带电粒子从a点沿与ab边成30°角方向射入磁场，恰好从b点飞出磁场；另一带电粒子以相同的速率从a点沿ad方向射入磁场后，从c点飞出磁场，不计重力，则两带电粒子的比荷之比及在磁场中的运动时间之比分别为（　　） A.∶＝1∶1 B.∶＝2∶1 C.t1∶t2＝2∶3 D.t1∶t2＝1∶3 【答案】AC 【解析】两粒子的运动轨迹如图所示；设正方形区域边长为L，则从b点飞出的粒子的运动轨迹半径为r1＝L；从c点飞出的粒子的运动轨迹半径为r2＝L；根据qv0B＝m，可得＝，则∶＝1∶1，选项A正确，B错误；根据T＝可知，两粒子在磁场中做圆周运动的周期相同，两粒子在磁场中转过的角度分别为60°和90°，根据t＝T，可得t1∶t2＝60°∶90°＝2∶3，选项C正确，D错误。 【变式3-4】（多选）如图所示，边长为a的正三角形区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场．一电子束从A点以不同的速度（在纸面内）沿角平分线射入磁场．已知磁场的磁感应强度大小为B，电子质量为m，电荷量为e，不计电子重力及电子间的相互作用．关于电子的运动情况，下列说法正确的是（    ） A．从边射出的电子，在磁场中轨迹越长，在磁场中运动时间越长 B．从边射出的电子速度越大，则在磁场中轨迹越长 C．从边射出的电子的最大速度为 D．从边射出的电子轨迹不同，但电子的动量变化量相同 【答案】BC 【解析】A．因为电子束从A点以不同的速度沿角平分线射入磁场，电子从AC边射出时速度与边界的夹角均为，电子在磁场中运动的轨迹所对的圆心角均为，电子在磁场中运动周期是相同的，由 可知，从AC边射出的电子在磁场中的运动时间与轨迹长度无关，故A错误； B．由于从AC边射出的电子在磁场中运动轨迹所对的圆心角相等，所以轨迹半径越大轨迹越长，根据洛伦兹力提供向心力，有，可得电子在磁场中运动轨迹半径 即轨迹半径越大，说明电子速度越大，故B正确； C．电子从AC边的C点射出时，电子轨迹半径最大且为a，由洛伦兹力提供向心力 解得，故C正确； D．从AC边射出的电子轨迹不同，但所经历的时间相同，从AC边射出的电子偏转角均为60°，动量变化量大小为，因速度不同，动量变化量不同，故D错误。故选BC。 【变式3-5】边长为L的等边三角形OAB区域内有垂直纸面向里的匀强磁场。在纸面内从O点向磁场区域AOB各个方向瞬时射入质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，所有粒子的速率均为v 。如图所示，沿OB方向射入的粒子从AB边的中点C射出，不计粒子之间的相互作用和重力的影响，已知sin 35°≈0.577。求： （1）匀强磁场的磁感应强度的大小； （2）带电粒子在磁场中运动的最长时间； （3）沿OB方向射入的粒子从AB边的中点C射出时，还在磁场中运动的粒子占所有粒子的比例。 【答案】（1）　（2）　（3） 【解析】（1）OC＝Lcos 30°＝L，沿OB方向射入的粒子从AB边的中点C射出，由几何知识得粒子做圆周运动的圆弧对的圆心角为60°。 半径r＝OC＝L 由qvB＝ 得B＝＝。 （2）从A点射出的粒子在磁场中运动时间最长，设弦OA对的圆心角为α，由几何关系得 sin＝＝≈0.577，α≈70°，最长时间tm≈·＝。 （3）从OA上D点射出的粒子做圆周运动的弦长OD＝OC，粒子做圆周运动的圆弧所对的圆心角也为60°，如图所示，由几何知识得入射速度与OD的夹角应为30°，即沿OC方向射入的粒子在磁场中运动的时间与沿OB方向射入的粒子从AB边的中点C射出的时间相等，从OB方向到OC方向30°范围内的粒子此时都还在磁场中，而入射的范围为60°，故还在磁场中运动的粒子占所有粒子的比例是。 类型4 圆形边界磁场 【模型】沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性(如图所示) 粒子做圆周运动的半径r＝ 粒子在磁场中运动的时间t＝T＝，θ＋α＝90° 圆形有界磁场问题（1） 正对圆心射入圆形磁场区域 正对圆心射出，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，有→磁偏转半径，根据半径公式求解；时间。速度v越大→磁偏转半径r越大→圆心角α越小→时间t越短。若r=R，构成正方形。 2． 圆形有界磁场问题（2） 不对圆心射入圆形磁场区域 两个等腰三角形，一个共同的底边 若r=R，构成菱形 【典例4】如图所示，在一个圆形区域内有垂直于圆平面的匀强磁场，现有两个质量相等、所带电荷量大小也相等的带电粒子a和b，先后以不同的速率从圆边沿的A点对准圆形区域的圆心O射入圆形磁场区域，它们穿过磁场区域的运动轨迹如图所示。粒子之间的相互作用力及所受重力和空气阻力均可忽略不计，下列说法中正确的是（　　） A．b粒子在磁场中做圆周运动的周期较大 B．穿过磁场区域的过程a粒子运动的时间较长 C．穿过磁场区域的过程洛伦兹力对a做功较多 D．射入圆形磁场区域时a粒子的速率较大 【答案】B 【解析】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有， 解得， 由于带电粒子a和b质量相等、所带电荷量大小也相等，则两粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，故A错误； B．令粒子在磁场中运动轨迹对应圆心角为，则粒子在磁场中运动时间 根据图示可知，a粒子圆周运动轨迹对应圆心角大于b粒子圆周运动轨迹对应圆心角。则穿过磁场区域的过程a粒子运动的时间较长，故B正确； C．洛伦兹力方向始终垂直于粒子运动速度的方向，可知，洛伦兹力始终不做功，故C错误； D．根据图示可知，a粒子圆周运动的半径小于b粒子圆周运动的半径，结合上述可知，射入圆形磁场区域时a粒子的速率较小，故D错误。 故选B。 【变式4-1】7.如图所示，圆形虚线框内有一垂直纸面向里的匀强磁场，Oa、Ob、Oc、Od是以不同速率对准圆心入射的正电子或负电子的运动径迹，a、b、d三个出射点和圆心的连线分别与竖直方向成90°、60°、45°的夹角，则下列判断正确的是（　　） A.沿径迹Oc运动的粒子在磁场中运动时间最短 B.沿径迹Oc、Od运动的粒子均为正电子 C.沿径迹Oa、Ob运动的粒子速率之比为 D.沿径迹Ob、Od运动的时间之比为9∶8 【答案】C 【解析】由于正电子和负电子的电荷量q和质量m均相等，粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有qvB＝m，T＝，解得T＝，可知四种粒子在磁场中运动的周期相等，而沿径迹Oc运动的粒子偏转角最大，圆心角也最大，设偏转角为θ，由t＝T，可知沿径迹Oc运动的粒子在磁场中运动时间最长，A项错误；由左手定则可判断沿径迹Oc、Od运动的粒子均带负电，B项错误；设圆形磁场半径为r，根据几何关系可得沿径迹Oa、Ob运动的粒子轨道半径分别为ra＝r，rb＝r，根据qBv＝m，可得＝＝，C项正确；由上述分析可知，粒子在磁场中的运动时间之比等于偏转角之比，所以＝＝＝，D项错误。 【变式4-2】（多选）（2022·辽宁高考）粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示。内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从P点沿径向射入磁场，粒子1沿直线通过磁场区域后打在探测器上的M点。粒子2经磁场偏转后打在探测器上的N点。装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（　　） A.粒子1可能为中子 B.粒子2可能为电子 C.若增大磁感应强度，粒子1可能打在探测器上的Q点 D.若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探测器上的Q点 【答案】AD 【解析】由题图可看出粒子1没有偏转，说明粒子1不带电，则粒子1可能为中子；粒子2向上偏转，根据左手定则可知粒子2应该带正电，A正确、B错误；由以上分析可知粒子1为中子，则无论如何增大磁感应强度，粒子1都不会偏转，C错误；粒子2在磁场中根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得r＝，可知若增大粒子入射速度，则粒子2的半径增大，粒子2可能打在探测器上的Q点，D正确。 答案　AD 【变式4-2】（多选）如图为地球赤道剖面图，地球半径为R。把地面上高度为区域内的地磁场视为方向垂直于剖面的匀强磁场（磁场方向垂直纸面向里，图中未画出），一带电粒子以一定速度正对地心射入该磁场区域，轨迹恰好与地面相切。不计粒子重力，则（　　） A．粒子带负电荷 B．轨迹半径为 C．轨迹半径为 D．轨迹半径为 【答案】AC 【解析】A．粒子向下偏转，根据左手定则可知粒子带负电荷，故A正确； BCD．如图所示 设轨迹半径为r，根据几何关系可得 解得，故C正确，BD错误。 故选AC。 【变式4-4】如图所示，匀强磁场限定在一个圆形区域内，磁感应强度大小为B，一个质量为m，电荷量为q，初速度大小为v的带电粒子沿磁场区域的直径方向从P 点射入磁场，从Q 点沿半径方向射出磁场，粒子射出磁场时的速度方向与射入磁场时相比偏转了θ角，忽略重力及粒子间的相互作用力，下列说法错误的是（　　） A.粒子带正电 B.粒子在磁场中运动的轨迹长度为 C.粒子在磁场中运动的时间为 D.圆形磁场区域的半径为tan θ 【答案】D 【解析】根据粒子的偏转方向，由左手定则可以判断出粒子带正电，A不符合题意；由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，解得粒子在磁场中运动时，其轨迹的半径为r＝，由几何关系可知其对应的圆心角为θ，则粒子在磁场中运动的轨迹长度为s＝θr＝，B不符合题意；粒子做匀速运动的周期为T＝＝，则粒子在磁场中运动的时间为t＝·T＝，C不符合题意；设圆形磁场区域的半径为R，由tan ＝，解得R＝rtan ＝·tan ，D符合题意。 【模型二 磁场中的动态圆模型】 类型1带电粒子在磁场中平移圆模型 平移圆模型 适用条件 速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的带电粒子，它们进入匀强磁场时，做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则运动半径r＝，如图所示 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线 界定方法 将半径为r＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法 【典例5】如图所示，直角三角形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），边长为，为，一群比荷为的带负电粒子以相同速度从点开始一定范围垂直边射入，射入的粒子恰好不从边射出，已知从边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为，不计粒子的重力，以及粒子之间的相互作用力，则（　　） A．磁感应强度大小为 B．粒子运动的轨道半径为 C．粒子射入磁场的速度大小为 D．粒子在磁场中扫过的面积为 【答案】ACD 【解析】A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直边射出的粒子在磁场中运动的时间是，由可得解得故A正确； B．设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为，则有可得画出该粒子的运动轨迹如图所示 设轨道半径为，由几何知识得可得故B错误； C．根据洛伦兹力提供向心力可得则粒子射入磁场的速度大小为故C正确； D．射入的粒子恰好不从边射出，粒子在磁场中扫过的面积为 故D正确。故选ACD。 【变式5-1】如图所示，有一等腰直角三角形AOC，直角边长为，AOC区域范围内（包含边界）存在磁感应强度为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场，质量为m、电荷量为的粒子可在直角边AO上的不同位置垂直边界、垂直磁场射入，入射速度大小为，D、E是AO边界上的两点（图中未画出），，不计粒子重力，则（　　） A．粒子在磁场做圆周运动的半径为 B．粒子距A点处射入，恰好不从AC边界出射 C．从D点射入的粒子，在磁场中运动的时间为 D．从E点射入的粒子，在磁场中运动的时间为 【答案】BD 【解析】A．由洛伦兹力提供向心力，可得解得，A错误； BC．粒子刚好不出磁场区域的运动轨迹如图所示，恰好与AC相切，根据几何关系可得，此时入射点到A的距离为，即入射点到A点距离大于的粒子都不能出磁场，运动轨迹为半圆，则时间为 ，B正确，C错误； D．从D点处入射的粒子在磁场中的运动轨迹为一个半圆，在磁场中运动的时间为，在E点入射的粒子运动轨迹的圆心角为，在磁场中运动的时间为，D正确。故选BD。 【变式5-2】（多选）如图所示，在等腰直角三角形BAC内充满着磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出）。一群质量为m、电荷量为＋q、速度为v的带正电粒子垂直AB边射入磁场，已知从AC边射出且在磁场中运动时间最长的粒子，离开磁场时速度垂直于AC边。不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列判断中正确的是（　　） A.等腰三角形BAC中AB边的长度为 B.粒子在磁场中运动的最长时间为 C.从AB中点射入的粒子离开磁场时的位置与A点的距离为 D.若仅将磁场反向，则粒子在磁场中运动的最长时间不变 【答案】AB 【解析】依题意可知当粒子在磁场中运动时间最长时，轨迹圆的圆心在A点。且其轨迹与BC边相切。根据几何关系可知sin 45°＝r，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有qvB＝m，联立可得＝，故A正确；粒子在磁场中匀速圆周运动的周期为T＝，根据A选项分析，粒子轨迹所对应的圆心角度为90°，则有t＝T＝，故B正确；从AB中点射入的粒子，其轨迹为上面所分析的粒子轨迹向下平移r－r，得到此轨迹圆的圆心在A点的正下方，由几何关系可知，离开磁场时的位置与A点的距离必然小于轨迹半径r，即，故C错误；若仅将磁场反向，则粒子在磁场中将向上偏转，不会出现圆心角为90°的轨迹，故最长时间将变小，故D错误。 答案　AB 【变式5-3】如图所示，在直角三角形ABC内存在垂直纸面向外的匀强磁场，AB边长度为d，，现垂直AB边以相同的速度射入一群质量均为m、电荷量均为q的带正电粒子（不考虑电荷间的相互作用），已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为，运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为，则下列判断中正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的轨道半径一定是 B．粒子在磁场中运动的速度一定是 C．该匀强磁场的磁感应强度大小一定是 D．如果粒子带的是负电，不可能有粒子垂直BC边射出磁场 【答案】C 【解析】C．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，画出粒子垂直边离开磁场的轨迹如图所示： 由几何关系可知圆弧对应的圆心角为，则垂直边射出的粒子在磁场中运动的时间是，即，则得周期由得故C正确； AB．设当粒子的速度为时，有一个粒子的轨迹刚好与边相切从点离开磁场，设此时粒子的轨迹半径为，画出轨迹如图中所示黑色轨迹： 则可知此时粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角为，运动时间最长，为，由几何关系可得 可得根据圆周运动规律有可得但若粒子的速度小于，在磁场中运动的轨道半径也可以在磁场运动半圈而从边离开，在磁场中的运动最长时间也为，如图中的红色轨迹所示，则可知粒子在磁场运动的轨道半径不一定等于 粒子在磁场运动的速度大小不一定等于故AB错误； D．如果粒子带的是负电，以B点为圆心，转过的圆心角为的粒子能垂直BC边射出磁场，故D错误。 故选C。 类型2带电粒子在磁场中放缩圆模型 “放缩圆”模型的应用 适用条件 速度方向一定，大小不同 粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上 界定 方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法 根据初速度方向确定粒子轨迹圆心所在的直线是解题的关键；由轨迹圆与边界相切找出临界状态求解。 【典例6】一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，其边界如图中虚线所示，ab为半径为R的半圆，ac、bd与直径ab共线，a、c间的距离等于半圆的半径R。一束质量为m、电荷量均为-q（q＞0）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac以不同速度射入磁场，不计粒子所受重,力及粒子间的相互作用。则在磁场中运动时间最短的粒子运动时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据分析可知当运动轨迹所对应的弦与所给圆相切时对应的圆心角 最小，如图所示 根据几何关系可知粒子在磁场中运动的时间为其中解得，ACD错误，B正确。故选B。 【变式6-1】（多选）如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以不同的速率射入正方形内，下列说法中正确的是（　　） A.所有从cd边射出磁场的该带电粒子在磁场中经历的时间都是t0 B.若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ad边射出磁场 C.若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从bc边射出磁场 D.若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0＜t＜t0，则它一定从ab边射出磁场 【答案】ACD 【解析】如图所示，作出带电粒子以与Od成30°角的方向的速度射入正方形内时，刚好从ab边射出的轨迹①、刚好从bc边射出的轨迹②、从cd边射出的轨迹③和刚好从ad边射出的轨迹④。由从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t0。由图中几何关系可知，从ad射出磁场经历的时间一定小于t0；从ab边射出磁场经历的时间一定大于t0，小于t0；从bc边射出磁场经历的时间一定大于t0，小于t0；从cd边射出磁场经历的时间一定是t0。故选A、C、D。 【变式6-2】如图所示，直角三角形区域中存在一匀强磁场，磁感应强度为B，已知边长为L，，相同带正电粒子（不计重力）以不同的速率从A点沿方向射入磁场，则（　　） A．粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短 B．粒子在磁场中运动的时间最长时，是从C点射出的 C．粒子速度越大，在磁场中运动的路程越长 D．粒子在磁场中运动的最长路程为 【答案】D 【解析】AB．当粒子能够从AC边射出时，在磁场中运动如图所示 由几何关系可知，粒子在磁场中的圆心角都为，因此运动时间为当粒子不能从AC边射出，圆心角变小，时间变短，故AB错误； C．粒子速度越大，粒子在磁场中运动的轨道半径越大，当粒子运动轨迹与BC边相切时运动轨迹最长，粒子速度再增大，粒子运动轨迹变短，并不是速度越大，粒子运动轨迹越长，故C错误； D．当粒子和BC边相切时路程最大，此时有由A中分析知运动的路程为故D正确。故选D。 【变式6-3】一有界匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，其中射线bc足够长，，其他地方磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率，不计粒子重力和粒子之间的相互作用，以下说法正确的是（　　） A．从ab边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等 B．从a点入射的粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长 C．粒子在磁场中的最长运动时间不大于 D．粒子在磁场中的最长运动时间不大于 【答案】AD 【解析】ABC．画出带电粒子在磁场中运动的动态分析图，如下图所示 当粒子都从ab边射出，则运动轨迹都是半圆周，运动时间都相等，为，当粒子都从bc边射出，则速度越大，轨道半径越大，对应的圆心角越大，运动时间越长，运动时间大于，故A正确，BC错误； D．当粒子的速度足够大，半径足够大时，l远小于r，这时圆心角大小趋近于270°，因此粒子在磁场中最长运动时间小于，故D正确。故选AD。 类型3 带电粒子在磁场中旋转圆模型 定圆旋转法 适用条件 速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度大小为v0，则圆周运动半径为r＝，如图所示 轨迹圆圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点O为圆心、半径r＝的圆上 界定方法 将半径为r＝的轨迹圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法 【典例7】如图所示，半径为R的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内沿各个方向以相同速率v从P点射入磁场。这些粒子射出磁场时的位置均位于PQ圆弧上，PQ圆弧长等于磁场边界周长的。不计粒子重力和粒子间的相互作用，则该匀强磁场的磁感应强度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】从P点射入的粒子与磁场边界的最远交点为Q，最远的点是轨迹上直径与磁场边界圆的交点，相应的弧长变为圆周长的，如图所示 所以结合几何关系，有洛伦兹力充当向心力，根据牛顿第二定律，有 联立解得故选D。 【变式7-1】　如图所示为圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，边界跟y轴相切于坐标原点O。O点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为v的某种带电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍。已知该带电粒子的质量为m、电荷量为q，不考虑带电粒子的重力。 （1）推导带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨迹半径； （2）求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角。 【答案】（1）见解析　（2）60° 【解析】（1）带电粒子进入磁场后，受洛伦兹力作用，由牛顿第二定律得Bqv＝m，解得r＝。 （2）粒子的速率均相同，因此粒子轨迹圆的半径均相同，但粒子射入磁场的速度方向不确定，故可以保持圆的大小不变，只改变圆的位置，画出“动态圆”，通过“动态圆”可以观察到粒子运动轨迹均为劣弧，对于劣弧而言，弧越长，弧所对应的圆心角越 大，偏转角越大则运动时间越长，当粒子的轨迹圆的弦长等于圆形磁场的直径时，粒子在磁场空间的偏转角最大，则sin＝＝，解得φmax＝60°。 【变式7-2】（多选）如图所示，挡板MN位于水平面x轴上，在第一、二象限y≤L区域存在磁感应强度为B的矩形匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。在MN上O点放置了粒子发射源，能向第二象限各个方向发射速度大小为v0＝的带正电同种粒子，已知粒子质量为m、电荷量为q，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收，以下说法正确的是（　　） A.所有粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径均为 B.粒子在磁场中运动的最长时间为 C.所有粒子运动的区域面积为πL2 D.所有粒子运动的区域面积为 【答案】AC 【解析】由洛伦兹力提供向心力有qBv0＝m，代入数据解得r＝，所以A正确；粒子在磁场中运动的最长时间为t＝T＝，所以B错误；所有粒子运动的区域面积为图中阴影部分面积，由几何关系有S＝πr2＋π（2r）2＝πL2，所以C正确，D错误。 【变式7-3】如图所示，在一个正三角形区域有方向垂直纸面向里的匀强磁场，速度大小均为v的带电粒子从BC边的中点O处沿各个方向射入磁场，若已知粒子的质量为m，电荷量为q（q>0），正三角形边长为L，粒子运动的轨道半径为，不计粒子的重力及带电粒子之间的相互作用，则（　　） A．该磁场的磁感应强度为 B．该磁场的磁感应强度为 C．在磁场中运动的最长时间的粒子将从OB之间离开磁场 D．粒子在磁场中运动的最长时间小于 【答案】BD 【解析】AB．根据牛顿第二定律解得故A错误，B正确； C．粒子轨迹如图所示 由图可知，粒子在磁场中运动时间最长时，轨迹与边相切，在磁场中运动的最长时间的粒子将从AD之间离开磁场，C错误； D．粒子在磁场中做圆周运动的周期为若粒子能过A点，设轨迹对应的圆心角为，则有即此时在磁场中运动时间为但是由粒子轨迹图可知，粒子不能过A点，当轨迹与AC相切时，圆心角小于，故粒子在磁场中运动的最长时间小于，D正确。故选BD。 类型4.带电粒子在磁场中磁聚焦模型 圆形边界磁场是指分布在圆形区域内的有界磁场，带电粒子在圆形边界的匀强磁场中的轨迹也是一段不完整的圆弧。由于此类问题涉及两个圆：粒子运动轨迹的圆与磁场区域的圆，能很好地考查学生的综合分析能力，所以是近年来高考的热点。 磁发散 磁聚焦 带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子出射方向与入射点的切线方向平行 带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线与入射方向平行 带电粒子在圆形边界磁场中运动的四个结论： (1)径向进出：当粒子运动方向与磁场方向垂直时，沿圆形磁场半径方向射入的带电粒子，必沿径向射出圆形磁场区域，即粒子出射速度的反向延长线必过磁场圆的圆心，如图1所示。 (2)等角进出：入射速度方向与过入射点的磁场圆半径的夹角等于出射速度方向与过出射点的磁场圆半径的延长线的夹角，如图2所示。径向进出是等角进出的一种特殊情况(θ＝0°)。 (3)点入平出：若带电粒子从圆形匀强磁场区域圆周上一点沿垂直于磁场方向进入磁场，当带电粒子做圆周运动的半径与圆形磁场区域的半径相同时，所有带电粒子都以平行于磁场区域圆周上入射点处的切线方向射出磁场，如图3所示。 (4)平入点出：若带电粒子以相互平行的速度射入磁场，且带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和圆形磁场区域半径相同，则这些带电粒子将会从磁场区域圆周上同一点射出，且磁场区域圆周上该点的切线与带电粒子射入磁场时的速度方向平行，如图4所示。 【典例8】利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯片技术得到飞速发展。如图，宽度为的带正电粒子流水平向右射入半径为的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为，这些带电粒子都将从磁场圆上O点进入正方形区域，正方形过O点的一边与半径为的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使汇聚到O点的粒子经过该磁场区域后宽度变为，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里 B．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里 C．正方形区域中匀强磁场的最小面积为 D．正方形区域中匀强磁场的最小面积为 【答案】BC 【解析】AB． 根据磁聚焦原理，粒子在半径为的圆形磁场区域中运动，粒子运动的轨迹半径为，有解得要使汇聚到O点的粒子经正方形区域内的磁场偏转后宽度变为，且粒子仍沿水平向右射出，作出轨迹如图所示，由几何关系可知粒子的轨迹半径，正方形中磁场区域内应该为圆形磁场的一部分，有解得比较可得由左手定则可知，方向垂直纸面向里，A错误，B正确； CD． 如图，磁场区域的最小面积为，C正确，D错误。 故选BC。 【变式8-1】（2021·湖南高考）带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一。带电粒子流（每个粒子的质量为m、电荷量为＋q）以初速度v垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在xOy平面内的粒子，求解以下问题。 （1）如图（a），宽度为2r1的带电粒子流沿x轴正方向射入圆心为A（0，r1）、半径为r1的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O，求该磁场磁感应强度B1的大小； （2）如图（a），虚线框为边长等于2r2的正方形，其几何中心位于C（0，－r2）。在虚线框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到O点的带电粒子流经过该区域后宽度变为2r2，并沿x轴正方向射出。求该磁场磁感应强度B2的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）； （3）如图（b），虛线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于r3的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于r4的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为2r3的带电粒子流沿x轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点O，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为2r4，并沿x轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）。 【答案】（1）　（2），垂直与纸面向里　π （3）　　　 【解析】（1）粒子沿x轴正方向垂直进入圆形磁场，在坐标原点O汇聚，满足磁聚焦的条件，即粒子在磁场中运动的半径等于圆形磁场的半径r1，粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB1＝m 解得B1＝。 （2）粒子从O点进入下方虚线区域，若要从聚焦的O点飞入，然后平行x轴飞出，为磁发散的过程，即粒子在下方圆形磁场运动的轨迹半径等于磁场半径，粒子轨迹最大的边界如图所示，图中圆形磁场即为最小的匀强磁场区域，磁场半径为r2，根据qvB＝m可知 磁感应强度为B2＝，根据左手定则可知磁场的方向为垂直纸面向里，圆形磁场的面积为S2＝π。 （3）粒子在磁场中运动，3和4为粒子运动的轨迹圆，1和2为粒子运动的磁场的圆周，如图所示。 根据qvB＝m可知Ⅰ和Ⅲ中的磁感应强度为BⅠ＝，BⅢ＝ 图中箭头部分的实线为粒子运动的轨迹，可知磁场的最小面积为叶子形状。 以Ⅰ区域为研究对象。图中阴影部分面积的一半为四分之一圆周扇形SAOB与三角形SAOB之差，所以阴影部分的面积为SⅠ＝2（S扇形AOB－SΔAOB）＝2×＝ 类似地可知Ⅳ区域的阴影部分面积为SⅣ＝2×＝ 根据对称性可知Ⅱ中的匀强磁场面积为SⅡ＝。 【变式8-2】（多选）如图所示，半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强磁场，MN是一竖直放置的足够长的感光板。大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P以速率v沿不同方向垂直磁场方向射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子。粒子质量为m，电荷量为q，不考虑粒子间的相互作用和粒子的重力。关于这些粒子的运动，以下说法正确的是（　　） A.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越短 B.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越长 C.若粒子速度大小均为v＝，出射后均可垂直打在MN上 D.若粒子速度大小均为v＝，则粒子在磁场中的运动时间一定小于 【答案】ACD 【解析】对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中做圆周运动的轨迹半径越大，弧长越长，轨迹对应的圆心角越小，由t＝T＝可知，运动时间越短，故选项A正确，B错误。粒子速度大小均为v＝时，根据洛伦兹力提供向心力可得粒子的轨迹半径为r＝＝R，根据几何关系可知，入射点P、O、出射点与轨迹圆的圆心的连线构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与PO平行，故粒子射出磁场时的速度方向与MN垂直，出射后均可垂直打在MN上；根据几何关系可知，轨迹对应的圆心角小于180°，粒子在磁场中的运动时间t＜T＝，故选项C、D正确。 【变式8-3】如图所示，长方形abcd中，长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆心、eb为半径的圆弧和以O为圆心、Od为半径的圆弧组成的区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场（eb边界上无磁场），磁感应强度B=0.25T。一群不计重力、质量m=3×10-7kg、电荷量q=2×10-3C的带正电粒子以速度v=5×102m/s沿垂直于ad且垂直于磁场方向射入磁场区域，则下列判断正确的是（　　） A．从Od边射入的粒子其出射点全部分布在Oa边 B．从aO边射入的粒子其出射点全部分布在ab边 C．从Od边射入的粒子其出射点全部分布在ab边 D．从ad边射入的粒子其出射点均为b点 【答案】D 【解析】AC．粒子进入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，可 因ab=0.3m，故从Od边射入的所有粒子运动的轨迹形成以r为半径的平移圆弧，从点O射入的粒子从b点射出，从d点射入的粒子运动到e点，因边界eb上无磁场，故这些粒子到达be段后应沿eb方向做直线运动，即全部通过b点，故AC错误； BD．从aO边（不含O点）射入的粒子先做一段时间的直线运动，设某个粒子从M点进入磁场，轨迹圆心为O'，如图所示，根据几何关系可得，四边形O'Meb为菱形，则粒子一定从b点射出。再结合选项A的分析可知，从ad边射入的粒子全部从b点射出，故B错误，D正确。故选D。 【模型三 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题】 类型1带电粒子电性不确定形成多解 　受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解，如图所示。带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场：若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b。 【典例7】如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM'和NN'是它的两条边界。现有质量为m，电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界NN'射出，则粒子入射速度v的最大值可能是多少？ 【答案】（q为正电荷）或（q为负电荷） 【解析】题目中只给出粒子“电荷量为q”，未说明是带哪种电荷。 （1） 若q为正电荷，入射速度最大时的运动轨迹是图中上方与NN'相切的圆弧， 轨迹半径R＝，又d＝R－Rcos 45° 解得v＝。 （2）若q为负电荷，入射速度最大时的运动轨迹是图中下方与NN'相切的圆弧，则有 R'＝，d＝R'＋R'cos 45°， 解得v'＝。 【变式7-1】（多选）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为    A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由于带电粒子的电性不确定，其轨迹可能是如图所示的两种情况    带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，可得 根据线速度和周期的关系，可得 联立解得 由图可知，若为正电荷，轨迹对应的圆心角为θ1＝300°，若为负电荷，轨迹对应的圆心角为θ2＝60°，则对应时间分别为， 故选AD。 【变式7-2】(多选)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，其边界如图中虚线abcde所示，虚线上部空间有垂直于半圆平面的匀强磁场(未画出)，bcd是半径为R的半圆，ab、de与直径bd共线，a、b间的距离等于半圆的半径R.一个比荷为k的带电粒子在纸面内从a点垂直于ab以某一速度v(未知)射入磁场，在磁场力的作用下向右偏转，且恰好以最短时间通过磁场，不计粒子重力．则下列说法正确的是(　　) A．磁场方向垂直半圆平面向里 B．带电粒子在磁场中运动的最短时间为 C．带电粒子的速度大小为kBR D．若带电粒子从直线bd上任意一点仍以相同大小的速度v垂直于bd射向圆弧边界，则带电粒子进入磁场偏转一次后都能经过直径上的d点 【答案】BCD 【解析】电荷正负未知，所以无法确定磁场方向，A项错误；带电粒子在磁场中运动的时间最短时，过a作圆弧切线，α最大，从切点射出磁场时，在磁场中转过的圆心角最小，最短时间为，B项正确；因带电粒子恰好以最短时间通过磁场，则粒子做圆周运动的半径为R，故其速度大小为kBR，C项正确； 因任意四边形OABd是菱形，所以从A点进入磁场后经磁场偏转后一定过d点，D项正确．故选B、C、D三项． 类型2.速度不确定形成多解 有些题目只指明了带电粒子的电性，但未具体指出速度的大小或方向，此时必须要考虑由于速度的不确定而形成的多解。常有两种情形：(1)入射速度方向一定，大小不同；(2)入射速率一定，方向不同。 如图所示，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子速度大小不确定，因此，它可能穿过下边界，也可能转过180°反向飞出，于是形成了多解。 【典例8】（多选）（2022·湖北高考）在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从Р点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为（　　） A.kBL，0° B.kBL，0° C.kBL，60° D.2kBL，60° 【答案】BC 【解析】若粒子通过下部分磁场直接到达P点，如图所示，则 根据几何关系，有R＝L，qvB＝m，可得v＝＝kBL，根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°。当粒子上下均经历一次时，如图所示。 因为上下磁感应强度均为B，则根据对称性有R＝L，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得v＝＝kBL，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°。通过以上分析可知当粒子从下部分磁场射出时，需满足v＝＝kBL（n＝1，2，3，…），此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°；当粒子从上部分磁场射出时，需满足v＝＝kBL（n＝1，2，3，…），此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°，故可知B、C正确，A、D错误。 【变式8-1】如图所示，在水平荧光屏MN上方分布了水平方向的匀强磁场，方向垂直纸面向里。距离荧光屏处有一粒子源，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射同种带正电的粒子，不计粒子的重力，已知水平向左射出的粒子经过时间刚好垂直打在荧光屏上，则（　　） A．所有粒子均会打到荧光屏上 B．粒子从射出到打到荧光屏上的最长时间为 C．粒子从射出到打到荧光屏上的最短时间为 D．粒子能打到荧光屏上的区域长度为 【答案】BCD 【解析】A．由左手定则可知，带正电粒子在磁场中逆时针方向做匀速圆周运动，已知水平向左射出的粒子经过时间刚好垂直打在荧光屏上，如图所示 由图可知，粒子在磁场中的轨迹半径为周期为若粒子以水平向右方向射出，由图可知粒子不会打到荧光屏上，故A错误； B．当粒子打到荧光屏左侧位置的速度方向刚好与荧光屏相切时，粒子从射出到打到荧光屏上的时间最长，如图所示 由几何关系可知，轨迹对应的圆心角为，则有故B正确； C．当粒子打到荧光屏位置处于正下方时，粒子从射出到打到荧光屏上的时间最短，如图所示 由几何关系可知，轨迹对应的圆心角为，则有故C正确； D．当粒子打到荧光屏左侧位置对应的弦为直径时，该位置为打到荧光屏的最左端；当粒子打到荧光屏右侧位置的速度方向刚好与荧光屏相切时，该位置为打到荧光屏的最右端；如图所示 由图中几何关系，粒子能打到荧光屏上的区域长度为故D正确。故选BCD。 【变式8-2】(多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示。磁感应强度为B，板间距离为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　) A．使粒子的速度v< B．使粒子的速度v> C．使粒子的速度v> D．使粒子的速度<v< 【答案】AB 【解析】如图所示，若带电粒子刚好打在极板右边缘，有r＝＋l2，又因为qv1B＝m，解得v1＝；若粒子刚好打在极板左边缘，有r2＝，又qv2B＝m，解得v2＝。欲使粒子不打在极板上，应使v<或v>，故A、B正确，C、D错误。 类型3 运动具有周期性形成多解 　带电粒子在磁场中运动时，若因为磁场周期性变化、粒子与挡板反复碰撞或与电场组合等原因而导致运动具有周期性或往复性，而形成多解。如图丁所示。 带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解，如图所示。 【典例9】如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O'正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求： （1）磁感应强度B0的大小。 （2）要使正离子从O'垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。 【答案】（1）　（2）（n＝1，2，3，…） 【解析】设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向。 （1）正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力，则B0qv0＝ 正离子做匀速圆周运动的周期T0＝ 由以上两式得磁感应强度B0＝。 （2）要使正离子从O'孔垂直于N板射出磁场，正离子的运动轨迹如图所示，两板之间正离子只运动一个周期T0时，有R＝；当两板之间正离子运动n个周期nT0时，有R＝（n＝1，2，3，…）。 联立解得正离子的速度的可能值为 v0＝＝（n＝1，2，3，…）。 【变式9-1】如图所示，在平面直角坐标系xOy内有一直角三角形，其顶点坐标分别为（0，0），（0，d），（d，0），三角形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，x轴下方有沿着y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E。一质量为m、电荷量为-q的粒子从y轴上的某点M由静止释放，粒子第一次进入磁场后恰好不能从直角三角形的斜边射出，不计粒子重力。 （1）求M点到O点的距离； （2）改变粒子在y轴上的释放点，使粒子由N点静止释放后能沿垂直于直角三角形斜边的方向射出磁场，求N点到O点的距离； （3）在（2）过程中，求粒子从N点由静止释放到射出磁场的运动时间。 【答案】（1）；（2）（n=0，1，2…）；（3）（n=0，1，2，…） 【解析】（1）设粒子在磁场中运动的轨迹半径为R0，由几何关系可知解得 由牛顿第二定律得设M点到O点的距离为y0，由动能定理得 解得 （2）要使粒子由N点静止释放后能沿垂直于斜边的方向射出磁场，则粒子在磁场中运动轨迹的半径R满足：由牛顿第二定律得设N点到O点的距离为y，由动能定理有 解得（n=0，1，2…） （3）设粒子在电场中的加速度为a，则qE=ma设粒子在电场中每单程的运动时间为t0，则 粒子在电场中总的运动时间t1=(2n+1）t0（n=0，1，2，…）解得粒子在磁场中做圆周运动的周期 粒子在磁场中总的运动时间（n=0，1，2，……）解得（n=0，1，2，…） 粒子从N点由静止释放到射出磁场运动的总时间（n=0，1，2，……） 【变式9-2】（多选）如图所示，匀强磁场垂直于xOy平面（纸面）向外，磁场的右边界与x轴垂直，交x轴于P（L，0）点。其中第Ⅰ象限内的磁感应强度为B₁，第Ⅳ象限内的磁感应强度为B₂，且B₂=2B₁（大小均未知）。一质量为m、电荷量为+q的粒子从原点O以速度v进入第Ⅰ象限的磁场，方向与x轴成30°角，粒子从P点离开磁场区域，不计粒子重力，则第Ⅰ象限的磁感应强度B₁的大小可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】根据洛伦兹力提供向心力 可得 则在第Ⅰ象限内运动的半径为 在第Ⅳ象限内运动的半径为 设粒子最后从P点离开时在第Ⅰ象限运动n次，在第Ⅳ象限次，根据几何关系有 解得， A，当时，n不为整数，故A错误； B，当时，n=0，不符合取值范围，故B错误； C，当时，，故C正确； D，当时，，故D正确。 故选CD。 总结：巧解带电粒子在磁场中运动的多解问题 （1）分析题目特点，确定题目多解的形成原因。 （2）作出粒子的运动轨迹示意图（全面考虑多种可能性）。 （3）若为周期性重复的多解问题，寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 带电粒子在磁场中运动模型 【模型一 带电粒子在有界磁场中的运动模型】 类型1 平行边界的磁场模型 类型2 圆形边界磁场模型 类型3三角形边界的磁场模型 类型4圆形边界的磁场模型 【模型二 磁场中的动态圆模型】 类型1带电粒子在磁场中平移圆模型 类型2带电粒子在磁场中放缩圆模型 类型3带电粒子在磁场中旋转圆模型 类型4.带电粒子在磁场中磁聚焦模型 【模型三 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题】 类型1带电粒子电性不确定形成多解 类型2.运动轨迹不确定形成多解 类型3 运动具有周期性形成多解 带电粒子在磁场中运动在高考中是重点考查模型，既对基本概念洛伦兹力方向的判断考查，重点对洛伦兹力公式与圆周运动公式的考查是高频考点，题目常通过粒子速度方向与磁场方向的夹角变化（平行、垂直、斜交）设计问题。‌ 是有界磁场命题的重中之重，常以“轨迹与边界相切”为临界条件，轨迹往往是‌圆弧或圆弧的组合‌。题目核心难点在于‌确定圆心、半径、圆心角、运动时间‌；多解问题是高频难点和区分点 深刻理解该模型的规律：洛伦兹力特点、圆周运动两公式的推导、适用条件和各物理量关系。熟练进行方向判断和基本计算，熟记典型模型（圆界、直界、矩界、角域）的轨迹特点和常用处理方法. 1.解答带电粒子运动问题的“三个关键”——“轨迹圆心、半径及运动时间”的确定方法 圆心的确定 半径的确定 时间的确定 基本 思路 （1）与速度方向垂直的直线过圆心。 （2）弦的垂直平分线过圆心。 （3）轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心。 利用平面几何知识求半径。 利用轨迹长度L或对应圆心角θ求时间。 t＝＝·T。 图例 说明 P、M点速度垂线的交点。 P点速度垂线与弦的垂直平分线的交点。 S点的速度垂线与切点法线的交点。 常用解三角形法，（如图）R＝或由R2＝L2＋（R－d）2求得R＝。 （1）速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ。 （2）偏转角φ与弦切角α的关系：若φ＜180°，φ＝2α；若φ＞180°，φ＝360°－2α。 2.无论带电粒子在哪类边界磁场中做匀速圆周运动，解题时要抓住三个步骤： 3.作带电粒子运动轨迹时需注意的问题 (1)四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点。 (2)六条线：圆弧两端点所在的轨道半径，入射速度所在直线和出射速度所在直线，入射点与出射点的连线，圆心与两条速度所在直线交点的连线。前面四条线构成一个四边形，后面两条线为这个四边形的对角线。 (3)三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的两倍。 【模型一 带电粒子在有界磁场中的运动模型】 类型1直线边界磁场 　　 【模型】直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示) 直线边界磁场又分单边直线边界和双边平行直线边界。单边直线边界如图abc所示，粒子进出磁场具有对称性；。 解决这类问题的“三部曲”：画轨迹、找圆心、定半径。 如果粒子从同一直线边界射入和射出，那么粒子进入磁场时速度与边界的夹角和射出磁场时速度与边界的夹角相等。 【典例1】在如图所示的xOy平面的第一象限内，存在着垂直纸面向里、磁感应强度分别为B1、B2的两个匀强磁场(图中未画出)．Oa是两磁场的边界，且与x轴的夹角为45°.一不计重力、带正电的粒子从坐标原点O沿x轴正向射入磁场．之后粒子在磁场中的运动轨迹恰与y轴相切但未离开磁场．则两磁场磁感应强度的比值为(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 【变式1-1】如图所示，直线AD为磁感应强度大小为B的匀强磁场的边界线，AD与水平线成θ=30°角，M、N为竖直放置的两个带有狭缝的金属板，板间电压为U。一带正电的粒子（初速度为零）经电场加速后从C点水平射入磁场，从CD间的E点离开磁场，C、E间距离为L，不计粒子重力，以下说法正确的是（　　） A．粒子的比荷为 B．粒子在磁场中的运动时间为 C．仅将加速电压变为原来的2倍，粒子从CD间某位置射出时出射点与入射点之间的距离为L D．仅加速电压变为原来的2倍，粒子从CD间某位置射出时粒子在磁场中运动时间为原来的倍 【变式1-2】（多选）如图，虚线上方空间分布着垂直纸面向里的匀强磁场，在纸面内沿不同的方向从粒子源O先后发射速率均为v的质子和α粒子，质子和α粒子同时到达P点。已知OP＝l，α粒子沿与PO成30°角的方向入射，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是（　　） A.质子在磁场中运动的半径为 B.α粒子在磁场中运动的半径为l C.质子在磁场中运动的时间为 D.质子和α粒子发射的时间间隔为 【变式1-3】如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场。之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则为（　　） A.3 B.2 C. D. 类型2 平行边界磁场 【模型】 双边平行直线边界如图所示，粒子进出磁场存在临界条件 解决这类问题的“三部曲”：画轨迹、找圆心、定半径。 如果粒子从同一直线边界射入和射出，那么粒子进入磁场时速度与边界的夹角和射出磁场时速度与边界的夹角相等。 图a中粒子在磁场中运动的时间t1＝，t2＝＝ 图b中粒子在磁场中运动的时间t＝ 图c中粒子在磁场中运动的时间t＝(1－)T＝(1－)＝ 图d中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝ 【典例2】如图所示，一束电子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ＝30°，求： (1)电子运动的轨迹半径r； (2)电子的比荷； (3)电子穿越磁场的时间t。 【变式2-1】（多选）两个带等量异种电荷的粒子分别以速度va和vb射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为60°和30°，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，如图所示，则（　　） A.a粒子带正电，b粒子带负电 B.两粒子的轨道半径之比Ra∶Rb＝∶1 C.两粒子的质量之比ma∶mb＝1∶2 D.两粒子的质量之比ma∶mb＝2∶1 【变式2-2】如图所示，一个理想边界为PQ、MN的匀强磁场区域，磁场宽度为d，方向垂直纸面向里．一电子从O点沿纸面垂直PQ以速度v0进入磁场．若电子在磁场中运动的轨道半径为2d.O′在MN上，且OO′与MN垂直．下列判断正确的是 (　　) A．电子将向右偏转 B．电子打在MN上的点与O′点的距离为d C．电子打在MN上的点与O′点的距离为d D．电子在磁场中运动的时间为 【变式2-3】（多选）在一正方形区域里有垂直纸面向里的匀强磁场，现有a、b、c三个比荷（）相同的带电粒子（不计重力）依次从P点沿PQ方向射入磁场，其运动轨迹分别如图所示，带电粒子a从PM边中点O射出，b从M点射出，c从N点射出。则a、b、c三个粒子在磁场中运动的（　　） A．速率之比为1：2：4 B．周期之比为1：1：2 C．时间之比为2：2：1 D．动量大小之比为1：2：4 类型3三角形或四边形边界磁场 1.三角形边界磁场是指分布在三角形区域内的有界磁场，粒子的轨迹也是一段圆弧，由于三角形有等边三角形、等腰三角形、直角三角形等不同类型，所以会有不同的临界情境，如图甲、乙所示。 解答该类问题主要把握以下两点： (1)射入磁场的方式 ①从某顶点射入。 ②从某条边上某点(如中点)垂直(或成某一角度)射入。 (2)射出点的判断 其临界条件是判断轨迹可能与哪条边相切，进而判定出射点的可能位置。 2.矩形边界 矩形边界磁场是指分布在矩形范围内的有界磁场，带电粒子的轨迹只是一部分圆弧。垂直于某边射入，从某一顶点射出是常见的临界情况。 解决该类问题的关键是把握临界情况，如图所示。常见的有如下几种情况：(设粒子从ad边中点e垂直射入) (1)两个临界半径 ①从d点射出：r1＝。 ②从c点射出：r＝＋ab2。 (2)三种情况 ①r≤r1，粒子从ed段射出。 ②r1<r≤r2，粒子从cd段射出。 ③r>r2，粒子从cf段射出(不会到达f点)。 【典例3】（2025·全国卷·高考真题）如图，正方形abcd内有方向垂直于纸面的匀强磁场，电子在纸面内从顶点a以速度v0射入磁场，速度方向垂直于ab。磁感应强度的大小不同时，电子可分别从ab边的中点、b点和c点射出，在磁场中运动的时间分别为t1、t2和t3，则（   ） A．t1 < t2 = t3 B．t1 < t2 < t3 C．t1 = t2 > t3 D．t1 > t2 > t3 【变式3-1】如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面（abcd所在平面）向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为（　　） A.kBl，kBl B.kBl，kBl C.kBl，kBl D.kBl，kBl 【变式3-2】（多选）如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC边界分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子（质子重力不计），所有质子均能通过C点，质子比荷＝，则质子的速度可能为（　　） A.　　B. C.　　D. 【变式3-3】（多选）如图所示的虚线框为一正方形区域，该区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，一带电粒子从a点沿与ab边成30°角方向射入磁场，恰好从b点飞出磁场；另一带电粒子以相同的速率从a点沿ad方向射入磁场后，从c点飞出磁场，不计重力，则两带电粒子的比荷之比及在磁场中的运动时间之比分别为（　　） A.∶＝1∶1 B.∶＝2∶1 C.t1∶t2＝2∶3 D.t1∶t2＝1∶3 【变式3-4】（多选）如图所示，边长为a的正三角形区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场．一电子束从A点以不同的速度（在纸面内）沿角平分线射入磁场．已知磁场的磁感应强度大小为B，电子质量为m，电荷量为e，不计电子重力及电子间的相互作用．关于电子的运动情况，下列说法正确的是（    ） A．从边射出的电子，在磁场中轨迹越长，在磁场中运动时间越长 B．从边射出的电子速度越大，则在磁场中轨迹越长 C．从边射出的电子的最大速度为 D．从边射出的电子轨迹不同，但电子的动量变化量相同 【变式3-5】边长为L的等边三角形OAB区域内有垂直纸面向里的匀强磁场。在纸面内从O点向磁场区域AOB各个方向瞬时射入质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，所有粒子的速率均为v 。如图所示，沿OB方向射入的粒子从AB边的中点C射出，不计粒子之间的相互作用和重力的影响，已知sin 35°≈0.577。求： （1）匀强磁场的磁感应强度的大小； （2）带电粒子在磁场中运动的最长时间； （3）沿OB方向射入的粒子从AB边的中点C射出时，还在磁场中运动的粒子占所有粒子的比例。 类型4 圆形边界磁场 【模型】沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性(如图所示) 粒子做圆周运动的半径r＝ 粒子在磁场中运动的时间t＝T＝，θ＋α＝90° 圆形有界磁场问题（1） 正对圆心射入圆形磁场区域 正对圆心射出，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，有→磁偏转半径，根据半径公式求解；时间。速度v越大→磁偏转半径r越大→圆心角α越小→时间t越短。若r=R，构成正方形。 2． 圆形有界磁场问题（2） 不对圆心射入圆形磁场区域 两个等腰三角形，一个共同的底边 若r=R，构成菱形 【典例4】如图所示，在一个圆形区域内有垂直于圆平面的匀强磁场，现有两个质量相等、所带电荷量大小也相等的带电粒子a和b，先后以不同的速率从圆边沿的A点对准圆形区域的圆心O射入圆形磁场区域，它们穿过磁场区域的运动轨迹如图所示。粒子之间的相互作用力及所受重力和空气阻力均可忽略不计，下列说法中正确的是（　　） A．b粒子在磁场中做圆周运动的周期较大 B．穿过磁场区域的过程a粒子运动的时间较长 C．穿过磁场区域的过程洛伦兹力对a做功较多 D．射入圆形磁场区域时a粒子的速率较大 【变式4-1】7.如图所示，圆形虚线框内有一垂直纸面向里的匀强磁场，Oa、Ob、Oc、Od是以不同速率对准圆心入射的正电子或负电子的运动径迹，a、b、d三个出射点和圆心的连线分别与竖直方向成90°、60°、45°的夹角，则下列判断正确的是（　　） A.沿径迹Oc运动的粒子在磁场中运动时间最短 B.沿径迹Oc、Od运动的粒子均为正电子 C.沿径迹Oa、Ob运动的粒子速率之比为 D.沿径迹Ob、Od运动的时间之比为9∶8 【变式4-2】（多选）（2022·辽宁高考）粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示。内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从P点沿径向射入磁场，粒子1沿直线通过磁场区域后打在探测器上的M点。粒子2经磁场偏转后打在探测器上的N点。装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（　　） A.粒子1可能为中子 B.粒子2可能为电子 C.若增大磁感应强度，粒子1可能打在探测器上的Q点 D.若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探测器上的Q点 【变式4-2】（多选）如图为地球赤道剖面图，地球半径为R。把地面上高度为区域内的地磁场视为方向垂直于剖面的匀强磁场（磁场方向垂直纸面向里，图中未画出），一带电粒子以一定速度正对地心射入该磁场区域，轨迹恰好与地面相切。不计粒子重力，则（　　） A．粒子带负电荷 B．轨迹半径为 C．轨迹半径为 D．轨迹半径为 【变式4-4】如图所示，匀强磁场限定在一个圆形区域内，磁感应强度大小为B，一个质量为m，电荷量为q，初速度大小为v的带电粒子沿磁场区域的直径方向从P 点射入磁场，从Q 点沿半径方向射出磁场，粒子射出磁场时的速度方向与射入磁场时相比偏转了θ角，忽略重力及粒子间的相互作用力，下列说法错误的是（　　） A.粒子带正电 B.粒子在磁场中运动的轨迹长度为 C.粒子在磁场中运动的时间为 D.圆形磁场区域的半径为tan θ 【模型二 磁场中的动态圆模型】 类型1带电粒子在磁场中平移圆模型 平移圆模型 适用条件 速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的带电粒子，它们进入匀强磁场时，做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则运动半径r＝，如图所示 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线 界定方法 将半径为r＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法 【典例5】如图所示，直角三角形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），边长为，为，一群比荷为的带负电粒子以相同速度从点开始一定范围垂直边射入，射入的粒子恰好不从边射出，已知从边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为，不计粒子的重力，以及粒子之间的相互作用力，则（　　） A．磁感应强度大小为 B．粒子运动的轨道半径为 C．粒子射入磁场的速度大小为 D．粒子在磁场中扫过的面积为 【变式5-1】如图所示，有一等腰直角三角形AOC，直角边长为，AOC区域范围内（包含边界）存在磁感应强度为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场，质量为m、电荷量为的粒子可在直角边AO上的不同位置垂直边界、垂直磁场射入，入射速度大小为，D、E是AO边界上的两点（图中未画出），，不计粒子重力，则（　　） A．粒子在磁场做圆周运动的半径为 B．粒子距A点处射入，恰好不从AC边界出射 C．从D点射入的粒子，在磁场中运动的时间为 D．从E点射入的粒子，在磁场中运动的时间为 【变式5-2】（多选）如图所示，在等腰直角三角形BAC内充满着磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出）。一群质量为m、电荷量为＋q、速度为v的带正电粒子垂直AB边射入磁场，已知从AC边射出且在磁场中运动时间最长的粒子，离开磁场时速度垂直于AC边。不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列判断中正确的是（　　） A.等腰三角形BAC中AB边的长度为 B.粒子在磁场中运动的最长时间为 C.从AB中点射入的粒子离开磁场时的位置与A点的距离为 D.若仅将磁场反向，则粒子在磁场中运动的最长时间不变 【变式5-3】如图所示，在直角三角形ABC内存在垂直纸面向外的匀强磁场，AB边长度为d，，现垂直AB边以相同的速度射入一群质量均为m、电荷量均为q的带正电粒子（不考虑电荷间的相互作用），已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为，运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为，则下列判断中正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的轨道半径一定是 B．粒子在磁场中运动的速度一定是 C．该匀强磁场的磁感应强度大小一定是 D．如果粒子带的是负电，不可能有粒子垂直BC边射出磁场 类型2带电粒子在磁场中放缩圆模型 “放缩圆”模型的应用 适用条件 速度方向一定，大小不同 粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上 界定 方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法 根据初速度方向确定粒子轨迹圆心所在的直线是解题的关键；由轨迹圆与边界相切找出临界状态求解。 【典例6】一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，其边界如图中虚线所示，ab为半径为R的半圆，ac、bd与直径ab共线，a、c间的距离等于半圆的半径R。一束质量为m、电荷量均为-q（q＞0）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac以不同速度射入磁场，不计粒子所受重,力及粒子间的相互作用。则在磁场中运动时间最短的粒子运动时间为（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】（多选）如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以不同的速率射入正方形内，下列说法中正确的是（　　） A.所有从cd边射出磁场的该带电粒子在磁场中经历的时间都是t0 B.若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ad边射出磁场 C.若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从bc边射出磁场 D.若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0＜t＜t0，则它一定从ab边射出磁场 【变式6-2】如图所示，直角三角形区域中存在一匀强磁场，磁感应强度为B，已知边长为L，，相同带正电粒子（不计重力）以不同的速率从A点沿方向射入磁场，则（　　） A．粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短 B．粒子在磁场中运动的时间最长时，是从C点射出的 C．粒子速度越大，在磁场中运动的路程越长 D．粒子在磁场中运动的最长路程为 【变式6-3】一有界匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，其中射线bc足够长，，其他地方磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率，不计粒子重力和粒子之间的相互作用，以下说法正确的是（　　） A．从ab边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等 B．从a点入射的粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长 C．粒子在磁场中的最长运动时间不大于 D．粒子在磁场中的最长运动时间不大于 类型3 带电粒子在磁场中旋转圆模型 定圆旋转法 适用条件 速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度大小为v0，则圆周运动半径为r＝，如图所示 轨迹圆圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点O为圆心、半径r＝的圆上 界定方法 将半径为r＝的轨迹圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法 【典例7】如图所示，半径为R的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内沿各个方向以相同速率v从P点射入磁场。这些粒子射出磁场时的位置均位于PQ圆弧上，PQ圆弧长等于磁场边界周长的。不计粒子重力和粒子间的相互作用，则该匀强磁场的磁感应强度大小为（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】　如图所示为圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，边界跟y轴相切于坐标原点O。O点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为v的某种带电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍。已知该带电粒子的质量为m、电荷量为q，不考虑带电粒子的重力。 （1）推导带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨迹半径； （2）求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角。 【变式7-2】（多选）如图所示，挡板MN位于水平面x轴上，在第一、二象限y≤L区域存在磁感应强度为B的矩形匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。在MN上O点放置了粒子发射源，能向第二象限各个方向发射速度大小为v0＝的带正电同种粒子，已知粒子质量为m、电荷量为q，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收，以下说法正确的是（　　） A.所有粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径均为 B.粒子在磁场中运动的最长时间为 C.所有粒子运动的区域面积为πL2 D.所有粒子运动的区域面积为 【变式7-3】如图所示，在一个正三角形区域有方向垂直纸面向里的匀强磁场，速度大小均为v的带电粒子从BC边的中点O处沿各个方向射入磁场，若已知粒子的质量为m，电荷量为q（q>0），正三角形边长为L，粒子运动的轨道半径为，不计粒子的重力及带电粒子之间的相互作用，则（　　） A．该磁场的磁感应强度为 B．该磁场的磁感应强度为 C．在磁场中运动的最长时间的粒子将从OB之间离开磁场 D．粒子在磁场中运动的最长时间小于 类型4.带电粒子在磁场中磁聚焦模型 圆形边界磁场是指分布在圆形区域内的有界磁场，带电粒子在圆形边界的匀强磁场中的轨迹也是一段不完整的圆弧。由于此类问题涉及两个圆：粒子运动轨迹的圆与磁场区域的圆，能很好地考查学生的综合分析能力，所以是近年来高考的热点。 磁发散 磁聚焦 带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子出射方向与入射点的切线方向平行 带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线与入射方向平行 带电粒子在圆形边界磁场中运动的四个结论： (1)径向进出：当粒子运动方向与磁场方向垂直时，沿圆形磁场半径方向射入的带电粒子，必沿径向射出圆形磁场区域，即粒子出射速度的反向延长线必过磁场圆的圆心，如图1所示。 (2)等角进出：入射速度方向与过入射点的磁场圆半径的夹角等于出射速度方向与过出射点的磁场圆半径的延长线的夹角，如图2所示。径向进出是等角进出的一种特殊情况(θ＝0°)。 (3)点入平出：若带电粒子从圆形匀强磁场区域圆周上一点沿垂直于磁场方向进入磁场，当带电粒子做圆周运动的半径与圆形磁场区域的半径相同时，所有带电粒子都以平行于磁场区域圆周上入射点处的切线方向射出磁场，如图3所示。 (4)平入点出：若带电粒子以相互平行的速度射入磁场，且带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和圆形磁场区域半径相同，则这些带电粒子将会从磁场区域圆周上同一点射出，且磁场区域圆周上该点的切线与带电粒子射入磁场时的速度方向平行，如图4所示。 【典例8】利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯片技术得到飞速发展。如图，宽度为的带正电粒子流水平向右射入半径为的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为，这些带电粒子都将从磁场圆上O点进入正方形区域，正方形过O点的一边与半径为的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使汇聚到O点的粒子经过该磁场区域后宽度变为，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里 B．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里 C．正方形区域中匀强磁场的最小面积为 D．正方形区域中匀强磁场的最小面积为 【变式8-1】（2021·湖南高考）带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一。带电粒子流（每个粒子的质量为m、电荷量为＋q）以初速度v垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在xOy平面内的粒子，求解以下问题。 （1）如图（a），宽度为2r1的带电粒子流沿x轴正方向射入圆心为A（0，r1）、半径为r1的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O，求该磁场磁感应强度B1的大小； （2）如图（a），虚线框为边长等于2r2的正方形，其几何中心位于C（0，－r2）。在虚线框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到O点的带电粒子流经过该区域后宽度变为2r2，并沿x轴正方向射出。求该磁场磁感应强度B2的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）； （3）如图（b），虛线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于r3的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于r4的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为2r3的带电粒子流沿x轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点O，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为2r4，并沿x轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）。 【变式8-2】（多选）如图所示，半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强磁场，MN是一竖直放置的足够长的感光板。大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P以速率v沿不同方向垂直磁场方向射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子。粒子质量为m，电荷量为q，不考虑粒子间的相互作用和粒子的重力。关于这些粒子的运动，以下说法正确的是（　　） A.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越短 B.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越长 C.若粒子速度大小均为v＝，出射后均可垂直打在MN上 D.若粒子速度大小均为v＝，则粒子在磁场中的运动时间一定小于 【变式8-3】如图所示，长方形abcd中，长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆心、eb为半径的圆弧和以O为圆心、Od为半径的圆弧组成的区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场（eb边界上无磁场），磁感应强度B=0.25T。一群不计重力、质量m=3×10-7kg、电荷量q=2×10-3C的带正电粒子以速度v=5×102m/s沿垂直于ad且垂直于磁场方向射入磁场区域，则下列判断正确的是（　　） A．从Od边射入的粒子其出射点全部分布在Oa边 B．从aO边射入的粒子其出射点全部分布在ab边 C．从Od边射入的粒子其出射点全部分布在ab边 D．从ad边射入的粒子其出射点均为b点 【模型三 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题】 类型1带电粒子电性不确定形成多解 　受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解，如图所示。带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场：若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b。 【典例7】如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM'和NN'是它的两条边界。现有质量为m，电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界NN'射出，则粒子入射速度v的最大值可能是多少？ 【变式7-1】（多选）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为    A． B． C． D． 【变式7-2】(多选)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，其边界如图中虚线abcde所示，虚线上部空间有垂直于半圆平面的匀强磁场(未画出)，bcd是半径为R的半圆，ab、de与直径bd共线，a、b间的距离等于半圆的半径R.一个比荷为k的带电粒子在纸面内从a点垂直于ab以某一速度v(未知)射入磁场，在磁场力的作用下向右偏转，且恰好以最短时间通过磁场，不计粒子重力．则下列说法正确的是(　　) A．磁场方向垂直半圆平面向里 B．带电粒子在磁场中运动的最短时间为 C．带电粒子的速度大小为kBR D．若带电粒子从直线bd上任意一点仍以相同大小的速度v垂直于bd射向圆弧边界，则带电粒子进入磁场偏转一次后都能经过直径上的d点 类型2.速度不确定形成多解 有些题目只指明了带电粒子的电性，但未具体指出速度的大小或方向，此时必须要考虑由于速度的不确定而形成的多解。常有两种情形：(1)入射速度方向一定，大小不同；(2)入射速率一定，方向不同。 如图所示，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子速度大小不确定，因此，它可能穿过下边界，也可能转过180°反向飞出，于是形成了多解。 【典例8】（多选）（2022·湖北高考）在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从Р点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为（　　） A.kBL，0° B.kBL，0° C.kBL，60° D.2kBL，60° 【变式8-1】如图所示，在水平荧光屏MN上方分布了水平方向的匀强磁场，方向垂直纸面向里。距离荧光屏处有一粒子源，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射同种带正电的粒子，不计粒子的重力，已知水平向左射出的粒子经过时间刚好垂直打在荧光屏上，则（　　） A．所有粒子均会打到荧光屏上 B．粒子从射出到打到荧光屏上的最长时间为 C．粒子从射出到打到荧光屏上的最短时间为 D．粒子能打到荧光屏上的区域长度为 【变式8-2】(多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示。磁感应强度为B，板间距离为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　) A．使粒子的速度v< B．使粒子的速度v> C．使粒子的速度v> D．使粒子的速度<v< 类型3 运动具有周期性形成多解 　带电粒子在磁场中运动时，若因为磁场周期性变化、粒子与挡板反复碰撞或与电场组合等原因而导致运动具有周期性或往复性，而形成多解。如图丁所示。 带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解，如图所示。 【典例9】如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O'正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求： （1）磁感应强度B0的大小。 （2）要使正离子从O'垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。 【变式9-1】如图所示，在平面直角坐标系xOy内有一直角三角形，其顶点坐标分别为（0，0），（0，d），（d，0），三角形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，x轴下方有沿着y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E。一质量为m、电荷量为-q的粒子从y轴上的某点M由静止释放，粒子第一次进入磁场后恰好不能从直角三角形的斜边射出，不计粒子重力。 （1）求M点到O点的距离； （2）改变粒子在y轴上的释放点，使粒子由N点静止释放后能沿垂直于直角三角形斜边的方向射出磁场，求N点到O点的距离； （3）在（2）过程中，求粒子从N点由静止释放到射出磁场的运动时间。 【变式9-2】（多选）如图所示，匀强磁场垂直于xOy平面（纸面）向外，磁场的右边界与x轴垂直，交x轴于P（L，0）点。其中第Ⅰ象限内的磁感应强度为B₁，第Ⅳ象限内的磁感应强度为B₂，且B₂=2B₁（大小均未知）。一质量为m、电荷量为+q的粒子从原点O以速度v进入第Ⅰ象限的磁场，方向与x轴成30°角，粒子从P点离开磁场区域，不计粒子重力，则第Ⅰ象限的磁感应强度B₁的大小可能是（　　） A． B． C． D． 总结：巧解带电粒子在磁场中运动的多解问题 （1）分析题目特点，确定题目多解的形成原因。 （2）作出粒子的运动轨迹示意图（全面考虑多种可能性）。 （3）若为周期性重复的多解问题，寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $