精品解析：广东省深圳市红岭教育集团2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷

红岭教育集团2025—2026学年度第一学期期中考试 八年级数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. 0.3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）．据此逐项分析即可． 【详解】解：A． 0.3是有理数； B．是无理数； C．是有理数； D．是有理数． 故选B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除混合运算法则判断即可． 【详解】A.，选项错误，不符合题意； B.，选项错误，不符合题意； C.，选项错误，不符合题意； D.，选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除混合运算，熟练运算是本题的关键． 3. 下列条件中，不能判断为直角三角形的是（ ）． A. ，， B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，三角形的内角和定理，熟练掌握判定直角三角形的方法是解题的关键．利用勾股定理逆定理和三角形的内角和定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：A中，∵， ∴为直角三角形， 选项A不符合题意； B中，∵， ∴设，，， ∵， ∴为直角三角形， 故选项B不符合题意； C中，∵，， ∴， ∴为直角三角形， 故选项C不符合题意； D中，∵， ∴设，则，， 故， 解得， ∴，，， ∴是锐角三角形， 故选项D符合题意． 故选：D． 4. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：由题意得，x－1≥0， 解得x≥1． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数． 5. 在平面直角坐标系中，点到x轴的距离是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点到x轴的距离的计算，解题的关键是掌握“点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值”这一基本规律． 【详解】平面直角坐标系中，点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值．点 A 的坐标为，其纵坐标为，绝对值是，因此点A 到 x 轴的距离是 4． 故选：B． 6. 如图，数轴上点表示的数是-1，点表示的数是1，，，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出AC长，再根据圆的半径相等可知AP=AC，即可得出答案． 【详解】解：∵BC⊥AB， ∴∠ABC=90°， ∴AC=， ∵以A为圆心，AC为半径作弧交数轴于点P， ∴AP=AC=， ∴点P表示的数是， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，以及数轴与实数，关键是求出AC的长． 7. 如图，中，，，，将折叠，使点与重合，得折痕，则的周长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等．根据勾股定理，可得的长，根据翻折的性质，可得，根据三角形的周长公式，可得答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理，得：， ∵将折叠，使点与重合，得折痕， ∴， ∴的周长． 故选：C． 8. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 乙用11分钟追上甲 B. 乙追上甲后，再走1440米才到达终点 C. 甲乙两人之间的最远距离是300米 D. 甲到终点时，乙已经在终点处休息了7分钟 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查函数的图象，能从函数的图象中获取相关信息解决问题是解答的关键． 根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：（分）， 乙用12分钟追上甲，故A选项错误，不符合题意； 甲的速度为（米/分）， 乙追上甲时，二人离起点的距离为（米）， 乙追上甲后，再走1440米才到达终点，故B选项正确，符合题意； 乙的速度为（米/分）， 乙到达终点所用的时间为（分）， 当乙到达终点时甲走的路程为（米）， 当乙到达终点时，甲、乙二人的距离最远，为（米），故C选项错误，不符合题意； 当乙到达终点时甲走的路程为2040米， 甲还需要（分）到达终点， 甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟，故D选项错误，不符合题意； 故选：B 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的意义． 根据算术平方根的意义化简即可． 【详解】． 故答案为：． 10. 比较大小：_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，由得，进而可得结论． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 11. 已知函数是一次函数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数是一次函数，可得且，从而可得答案． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得：， 故答案： 【点睛】本题考查的是一次函数的定义，熟记一次函数的定义是解本题的关键． 12. 荡秋千是深受大家喜爱的一项活动，某秋千垂直地面时踏板离地面的距离为米，将踏板水平推动3米（米），此时踏板与地面的距离为米，若推动过程中拉绳始终拉得很直，则秋千的拉绳的长度为_____米． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 假设未知数，利用勾股定理即可解答此题． 【详解】解：由图可知，四边形是矩形， ， ， 假设的长度为，则，， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得，， 故答案为：5． 13. 在中，，，，点在线段上从点向点移动，同时，点在线段上由点向点移动，当点与点重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连接，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，全等三角形的判定及性质，直角三角形两锐角互余等知识，先证为直角三角形，则，作交于，作，并使得，过点作交延长线于点，连接，然后证明，所以，，根据等面积法求得，由勾股定理得，则有，所以，证明，所以，故有，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，则， 作交于，作，并使得，过点作交延长线于点，连接，， 则，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵点，点运动速度相同， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，当点在上时，取等号， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共7小题，其中14题8分，15题8分，16题8分，17题8分，18题8分，19题11分，20题10分，共61分） 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘法公式的计算，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：原式； 小问2详解】 原式． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出关于轴对称的图形． （2）若点与点关于轴对称，则点的坐标为______； （3）已知为轴上一点，且的面积为1，求点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查网格中作三角形、网格中求三角形面积、轴对称、由网格中三角形面积求点的坐标等知识，熟练掌握网格中三角形面积的求法是解决问题的关键． （1）作出A、B、C关于x轴的对称点，然后顺次连接即可； （2）根据关于y轴对称的点的坐标特征即可得到答案； （3）根据网格中三角形面积的求法，列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的三角形. 【小问2详解】 解：∵点D与点C关于y轴对称，， ∴点D的坐标为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵为轴上一点，的面积为1， ∴ ， 设，则， 即或， 解得：或， 或． 16. 如图，在中，，，在中，是边上的高，，的面积为35．求： （1）的长； （2）四边形的面积； 【答案】（1） （2）59 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，三角形的面积，熟记勾股定理的逆定理是解本题的关键； （1）利用三角形的面积求解即可； （2）先证明，再利用割补法求解四边形的面积即可． 【小问1详解】 解：，的面积为35，是边上的高， ∴， ； 【小问2详解】 在三角形中 ，， ， ∴四边形的面积． 17. 某雪糕生产厂家有一批雪糕需要装入某种规格的包装盒投入市场．这种包装盒可以通过两种方案获得．方案一：从包装盒厂直接购买，每个包装盒元；方案二：从机械厂租赁机器自己加工制作，但需要一次性投入机器安装等费用10000元，每加工一个包装盒还需支付一定的成本费（总费用包括投入机器安装等费用和成本费）．设需要该种规格的包装盒个，方案一、二的总费用分别为元，元，且，关于的函数图象分别对应直线，，如图所示． （1）求a的值及关于x的函数解析式； （2）求关于x的函数解析式； （3）假设你是该雪糕生产厂家的决策者，你认为如何选择方案更省钱？并说明理由． 【答案】（1）4， （2） （3）当时，，选择方案一更省钱；当时，，方案一，方案二的总费用一样多；当时，，选择方案二更省钱 【解析】 【分析】（1）根据图象得：a＝8000÷2000＝4；关于x的函数解析式为＝4x； （2）用待定系数法可得＝2x+10000； （3）分3种情况：4x＝2x+10000，4x＜2x+10000，4x＞2x+10000，可解得当0≤x＜5000时，＜，选择方案一更省钱；当x＝5000时，＝，方案一，方案二的总费用一样多；当x＞5000时，＞，选择方案二更省钱． 【小问1详解】 解：根据图象得：a＝8000÷2000＝4； ∴关于x的函数解析式为＝4x； 【小问2详解】 根据题意，设关于x的函数解析式为＝kx+10000， 将点（2000，14000）代入得： 2000k+10000＝14000， 解得k＝2， ∴＝2x+10000； 【小问3详解】 令4x＝2x+10000， 解得x＝5000， ∴当x＝5000时，＝，方案一，方案二的总费用一样多； 令4x＜2x+10000， 解得x＜5000， ∴当0≤x＜5000时，＜，选择方案一更省钱； 令4x＞2x+10000， 解得x＞5000， ∴当x＞5000时，＞，选择方案二更省钱； 综上所述，当0≤x＜5000时，＜，选择方案一更省钱；当x＝5000时，＝，方案一，方案二的总费用一样多；当x＞5000时，＞，选择方案二更省钱． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，列出函数关系式． 18. 爱思考的小明在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ， ，即， ， ． 请你根据小明的思维方法，解决如下问题： （1）计算：； （2）已知：，求的值； （3）计算：___________． 【答案】（1） （2）1 （3）9 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的化简求值，熟知分母有理化的方法是解题的关键． （1）仿照题意进行分母有理化即可； （2）根据（1）所求可得，则，进而可得到，再根据代值计算即可； （3）易得，再把所求式子的每一项按照这种形式分母有理化后计算求解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：， ∴ ． 19. 综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度 素材1 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）． 素材2 对于该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是，单层部分的长度是，得到如下数据： 双层部分长度 2 6 10 14 单层部分长度 116 108 100 92 70 素材3 单肩包的最佳背带总长度与身高比例为 任务1 在平面直角坐标系中，以所测得数据中的为横坐标，以为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接，根据图象思考变量、是否满足一次函数关系．如果是，求出该函数的表达式并确定的取值范围． 任务2 设人身高为，当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高与这款背包的背带双层部分的长度之间的函数表达式． 任务3 若小明身高，当背这款背包效果最佳时，求此背带单层部分的长度． 【答案】任务1：图见解析，、满足一次函数关系，，；任务2：（）；任务3：单层长度为 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、利用待定系数法求函数关系式、求出小明的身高是本题的关键． 任务1：直接描点并作图，利用待定系数法求出函数关系式，并求出的最大值和最小值；任务2：根据“背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和”和与之间的函数关系式，用含的代数式将背带的总长度表示出来，再由背带总长度与身高的比例关系列出等式，将表示为的函数的形式即可； 任务3：将代入任务2中关系式求出对应的值，代入即可． 【详解】解：任务1：描点并作图如图所示： 根据图象可知，变量、满足一次函数关系． 设（、常数，且）， 将，和，代入， 得，解得， ． 将和代入， 得，解得； 当背带都单层部分时，； 当背带都为双层部分时，，即，解得， 的取值范围是； 任务2：背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和， 总长度为， 当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得， （）； 任务3：将代入任务2中关系式得： 解得 代入得：单层长度为 20. 【模型建立】 美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：．我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们利用这个模型来解决以下问题： 【模型运用】 （1）如图1，在上述模型中，若，，则的面积为______； 【模型拓展】 （2）在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点、点， ①如图2，过点作，且，连接．求点的坐标； ②如图3，点的坐标为，点在线段上，点为轴上一动点，当为等腰直角三角形时，试求出点的坐标． 【答案】（1）50；（2）①点的坐标为；②的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据得到，，再利用计算即可； （2）①由题意可知，是等腰直角三角形，且，过点B作轴于．先求出点A、点C的坐标，再证明，得到，，即可求出点B的坐标； ②由题意设点P的坐标为，设点Q的坐标为．再根据为等腰直角三角形分情况讨论，构造“K形图”求解即可． 【详解】解：（1），，， ，， ， ， 故答案为：50； （2）①由题意可知，是等腰直角三角形，且； 如图，过点作轴于． 当时，则， 点的坐标为，即： 当时，则， 解得， 点的坐标为，即， ， ，， ， 在和中， ， ，， ， 点的坐标为； ②由题意设点坐标为，设点的坐标为． 分以下三种情况讨论： 情况1．如图，当，时， 过点作轴，过点作轴交于，过点作轴交于，则， 则点的坐标为，点的坐标为， ， ， ，， ， 解得，， 此时点的坐标为； 情况2．如图，当，时，过点作轴于点，过点作轴于点，则， 则点的坐标为，点的坐标为， 由“K形图”可得 ，， ，， 解得， 此时点的坐标为， 情况3．如图5，当，时，过点作轴于点，过点作于点，则， 则点的坐标为，点的坐标为， 由“K形图”可得 ，， ，， 解得，， 此时点的坐标为． 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，结合坐标与图形性质解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红岭教育集团2025—2026学年度第一学期期中考试 八年级数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. 0.3 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 3. 下列条件中，不能判断为直角三角形的是（ ）． A. ，， B. C. D. 4. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1 5. 在平面直角坐标系中，点到x轴的距离是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 6. 如图，数轴上点表示的数是-1，点表示的数是1，，，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，，，将折叠，使点与重合，得折痕，则的周长等于（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 乙用11分钟追上甲 B. 乙追上甲后，再走1440米才到达终点 C. 甲乙两人之间的最远距离是300米 D. 甲到终点时，乙已经在终点处休息了7分钟 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 计算的结果是______． 10. 比较大小：_______． 11. 已知函数是一次函数，则___________． 12. 荡秋千是深受大家喜爱的一项活动，某秋千垂直地面时踏板离地面的距离为米，将踏板水平推动3米（米），此时踏板与地面的距离为米，若推动过程中拉绳始终拉得很直，则秋千的拉绳的长度为_____米． 13. 在中，，，，点在线段上从点向点移动，同时，点在线段上由点向点移动，当点与点重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连接，，则的最小值为______． 三、解答题（共7小题，其中14题8分，15题8分，16题8分，17题8分，18题8分，19题11分，20题10分，共61分） 14. 计算： （1）； （2）． 15. 如图，平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出关于轴对称的图形． （2）若点与点关于轴对称，则点的坐标为______； （3）已知为轴上一点，且的面积为1，求点的坐标． 16. 如图，在中，，，在中，是边上的高，，的面积为35．求： （1）的长； （2）四边形面积； 17. 某雪糕生产厂家有一批雪糕需要装入某种规格的包装盒投入市场．这种包装盒可以通过两种方案获得．方案一：从包装盒厂直接购买，每个包装盒元；方案二：从机械厂租赁机器自己加工制作，但需要一次性投入机器安装等费用10000元，每加工一个包装盒还需支付一定的成本费（总费用包括投入机器安装等费用和成本费）．设需要该种规格的包装盒个，方案一、二的总费用分别为元，元，且，关于的函数图象分别对应直线，，如图所示． （1）求a值及关于x的函数解析式； （2）求关于x的函数解析式； （3）假设你是该雪糕生产厂家的决策者，你认为如何选择方案更省钱？并说明理由． 18. 爱思考的小明在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ， ，即， ， ． 请你根据小明的思维方法，解决如下问题： （1）计算：； （2）已知：，求的值； （3）计算：___________． 19. 综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度 素材1 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）． 素材2 对于该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是，单层部分的长度是，得到如下数据： 双层部分长度 2 6 10 14 单层部分长度 116 108 100 92 70 素材3 单肩包的最佳背带总长度与身高比例为 任务1 在平面直角坐标系中，以所测得数据中的为横坐标，以为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接，根据图象思考变量、是否满足一次函数关系．如果是，求出该函数的表达式并确定的取值范围． 任务2 设人身高为，当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高与这款背包的背带双层部分的长度之间的函数表达式． 任务3 若小明身高，当背这款背包效果最佳时，求此背带单层部分的长度． 20. 【模型建立】 美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：．我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们利用这个模型来解决以下问题： 【模型运用】 （1）如图1，在上述模型中，若，，则的面积为______； 【模型拓展】 （2）在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点、点， ①如图2，过点作，且，连接．求点坐标； ②如图3，点的坐标为，点在线段上，点为轴上一动点，当为等腰直角三角形时，试求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $