精品解析：福建省福州市马尾区福州至一华伦高中2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

福州至一华伦高中2025—2026学年度上学期期中诊断试题 数学 卷面分值：150 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号． 3．作答非选择题时，将答案书写再答题卡上，书写本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一．选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由交集的运算可得，即可得到其子集的个数. 【详解】因为，所以， 所以的子集个数为. 故选：B. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题判断即可. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：C. 3. 下列四组函数中，与表示同一函数是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC而言，说明两函数的定义域不同即可排除，对于D而言由绝对值的定义可以得到两函数的定义域、对应法则一样，由此即可得解. 【详解】对于A，，的定义域分别为，故A不符题意； 对于B；，的定义域分别为，故B不符题意； 对于C，，的定义域分别为，故C不符题意； 对于D，因为，其定义域、对应法则都是一样的，故D符合题意. 故选：D. 4. 对于实数a､b，是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据定义分别判断充分性和必要性即可. 【详解】若，则，故充分性成立， 反之，若，当时，则，故必要性不成立， 故选：A. 5. 已知且,则的最小值为 A. 8 B. 5 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】，又因为，故，也就是，所以，当且仅当时等号成立，故选A. 6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的定义域，再结合，从而可求解. 【详解】由函数的定义域为， 有意义，则得，解得， 有意义，需满足且，即且， 所以函数的定义域为. 故选：B. 7. 在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出函数的定义域、奇偶性和单调性，结合性质辨别图象即可. 【详解】因为的定义域是，排除A，B； 定义域关于原点对称， ， 所以为偶函数，排除C； 又时，为增函数，所以图象如D. 故选：D. 8. 已知是奇函数，对于任意（），均有成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，可得在上单调递增，再结合奇函数的性质求解不等式. 【详解】由任意（），均有成立， 得函数在上单调递增，而是奇函数，则在上单调递增， 不等式中，令，则，又， 于是或，当时，，无解； 当时，或，解得，则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的．若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分．） 9. 若非零实数，，满足，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】取特殊值法可判断AD错误，利用不等式性质可得BC正确. 【详解】根据题意，不妨取满足，此时不成立，即A错误； 易知，可知，即，可得B正确； 同理可得，即，所以C正确； 若，满足，此时，即D错误. 故选：BC 10. 设正实数x，y满足，则（    ） A. xy的最大值是 B. 的最小值是9 C. 的最小值为 D. 的最大值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式依次分析各选项即可得答案. 【详解】因为正实数x，y满足， A中，可得，可得，当且仅当，即，时取等号， 所以xy的最大值为，所以A不正确； B中，， 当且仅当，即时取等号，即的最小值为9，所以B正确； C中，因为，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为，所以C正确； D中，因为，所以， 当且仅当，即，时取等号，D错误． 故选：BC 11. 定义 ，若函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若直线与的图象有2个交点，则 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上的值域为，则的最大值为，最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题可得，代入求值判断A；结合图象可直观判断C，数形结合法判断BD. 【详解】注意到或，. 则，即. A选项，，故A正确. B选项，画出函数的图象，如图： 由图可知：若直线与的图象有2个交点，则或，故B错误； C选项，由图可知，函数在和上单调递增，在上单调递减，故C正确； D选项，令，解得；令，解得， 由图象可知：当时，取到最大值为， 当时，取到最小值为，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知函数，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，先求出值，再代入求出即可. 【详解】根据题意知， 则. 故答案为：5. 13. 已知函数，且，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】由已知可得,从而可求,然后代入即可求解. 【详解】解：, , ,由, 则. 故答案:1. 【点睛】本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数值,解题的关键是整体思想的应用. 14. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】考虑各段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系，由此可求结果. 【详解】因为是上的减函数，所以， 解得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在①，②“”是“”的充分条件，③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并求解． 已知集合， （1）当时，求； （2）若_________，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）选①和选②，答案为；选③，答案为或 【解析】 【分析】（1）得到，利用交集概念求出答案； （2）选①或选②，得到，得到不等式，求出实数的取值范围；选③，得到或，求出答案. 【小问1详解】 时，， 故； 【小问2详解】 若选①，，故， 显然，要想满足， 则，解得， 故实数的取值范围是； 若选②，“”是“”的充分条件，则， 显然，要想满足， 则，解得， 故实数的取值范围是； 若选③，， 需满足或， 解得或， 故实数的取值范围是或. 16. 已知是定义在上的奇函数. （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用定义法证明； （3）解不等式：. 【答案】（1） （2）函数在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可； （2）结合定义法证明即可； （3）结合奇函数的性质转化不等式为，进而结合函数的单调性和定义域求解即可. 【小问1详解】 由题意，，即， 此时，则， 所以函数为奇函数，所以. 【小问2详解】 函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以函数在上单调递增. 小问3详解】 由， 即， 由（2）知，函数在上单调递增， 则，解得， 所以不等式的解集为. 17. 已知函数． （1）求，； （2）若在上的最大值为4，求实数a的值； （3）若，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由解析式可得答案； （2）考虑与大小关系，可得相应情况下实数a的值； （3）令，可将转化为， 恒成立， 然后由单调性可得答案. 【小问1详解】 因为， 所以，； 【小问2详解】 因为是开口向上的抛物线，对称轴为， 则自变量离对称轴越远，函数值越大. 因，则区间中点对应数字为. ①当，即时， ，解得：，满足要求： ②当，即时， ，解得：，满足要求； 综上：或． 【小问3详解】 ，令，当且仅当时取等号. 题意即为，恒成立， 又在上单调递减，所以当时，， 所以，即． 18. 由于我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台．每生产台该产品，需另投入成本万元，且，当年产量为10台时，需另投入成本500万元．由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）求出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润销售收入成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）50台，900万元 【解析】 【分析】（1）利用利润销售收入成本公式列式求解即可； （2）利用二次函数性质和基本不等式计算求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，当时，，故, 故当时，； 当时，． 故年利润关于年产量的函数关系式为 【小问2详解】 由（1）得当时，； 当时，； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，． 而，故当时，年利润最大，最大年利润是900万元． 综上所述，当年产量为50台时，该公司所获年利润最大，最大年利润是900万元． 19. 经过函数性质的学习，我们知道：“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“是奇函数”． （1）若为定义在上的奇函数，且当时，，求的解析式； （2）某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件是“为奇函数”．若定义域为的函数的图象关于点成中心对称图形，且当时，． （i）求的解析式； （ii）若函数满足：当定义域为时值域也是，则称区间为函数的“保值”区间，若函数在上存在保值区间，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由奇偶性的定义求解即可； （2）（i）由题意可知为奇函数，进而，由此可求出时的解析式，即可求解； （ii）由的单调性结合“保值”区间的定义，分类讨论即可求解 【小问1详解】 为定义在上的奇函数， 当时，， 所以， 又， 所以； 【小问2详解】 （i）因为定义域为的函数的图象关于点成中心对称图形， 所以为奇函数， 所以，即， 时，， 所以． 所以； （ii）， 当时，在单调递增， 当时，则 即方程在有两个不相等的根， 即有两个不相等的根， 令，则 又， 所以有不可能有两个不相等的根； 当时，单调递增， 当时，则， 即方程在有两个不相等的根， 即在有两个不相等的根， 令，则 又，解得， 当时，易知在上单调递增， 所以在单调递增， 此时， 即， 令，则易知在单调递减， 所以即， 又时，， 当且仅当，即时取等， 所以，此时无解； 综上可知：的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州至一华伦高中2025—2026学年度上学期期中诊断试题 数学 卷面分值：150 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号． 3．作答非选择题时，将答案书写再答题卡上，书写本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一．选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列四组函数中，与表示同一函数是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 对于实数a､b，是（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知且,则的最小值为 A. 8 B. 5 C. 4 D. 6 6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是奇函数，对于任意（），均有成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的．若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分．） 9. 若非零实数，，满足，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 设正实数x，y满足，则（    ） A. xy的最大值是 B. 的最小值是9 C. 的最小值为 D. 的最大值为2 11. 定义 ，若函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若直线与的图象有2个交点，则 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上的值域为，则的最大值为，最小值为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知函数，则______. 13. 已知函数，且，则______． 14. 已知函数在上单调递减，则实数取值范围为________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在①，②“”是“”的充分条件，③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并求解． 已知集合， （1）当时，求； （2）若_________，求实数的取值范围． 16. 已知是定义在上的奇函数. （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用定义法证明； （3）解不等式：. 17. 已知函数． （1）求，； （2）若在上的最大值为4，求实数a的值； （3）若，恒成立，求实数a的取值范围． 18. 由于我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台．每生产台该产品，需另投入成本万元，且，当年产量为10台时，需另投入成本500万元．由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）求出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润销售收入成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 19. 经过函数性质的学习，我们知道：“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“是奇函数”． （1）若为定义在上的奇函数，且当时，，求的解析式； （2）某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数图象关于点成中心对称图形”的充要条件是“为奇函数”．若定义域为的函数的图象关于点成中心对称图形，且当时，． （i）求的解析式； （ii）若函数满足：当定义域为时值域也是，则称区间为函数的“保值”区间，若函数在上存在保值区间，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $