精品解析：河北省衡水中学2025-2026学年高二上学期期中综合素质评价数学试题

2025-2026学年度高二年级上学期期中综合素质评价 数学学科 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知椭圆的左右焦点分别是，椭圆上任意一点到的距离之和为4，焦距为2，则椭圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆定义及题目条件求出a、b、c即可得解． 【详解】根据椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为2a， 已知该和为，故，得， 椭圆焦距为2c，已知焦距为，故，得， 由椭圆中，可得， 所以椭圆的标准方程为． 故选：C． 2. 若双曲线E：的右焦点为，则E的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据焦点坐标即可求解，进而求得渐近线方程. 【详解】由于为双曲线的右焦点， 故， 则，所以， 故双曲线的渐近线方程为， 故选：B 3. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在拋物线上，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】将代入可得，再根据抛物线的定义求解即可. 【详解】由题意可知，抛物线的准线为，点在抛物线上，则，解得，即， 则由抛物线的定义可得，． 故选：D 4. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若为锐角，则 D. 若在上的投影向量为，则 【答案】C 【解析】 【分析】设，得出方程组无解，即可判断A，根据判断B，根据判断C，根据投影向量的定义判断D. 【详解】对于A：因为，且，所以， 即，方程组无解，故不存在使得，故A错误； 对于B：若，则，解得，故B错误； 对于C：因为与不可能共线，若为锐角，则，解得，故C正确； 对于D：因为，， 若在上的投影向量为，即，则，解得，故D错误； 故选：C 5. 双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线方程及两直线平行关系得，进而利用离心率公式求解即可. 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为． 因为双曲线的一条渐近线与直线平行，所以渐近线为，且， 所以双曲线的离心率． 故选：A． 6. 已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线定义与三角形两边之和大于第三边计算即可得. 【详解】过点作抛物线的准线于点， 由抛物线定义可得， 则， 当且仅当、、三点共线，抛物线的准线， 即时，有最小值. 故选：B. 7. 已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系以及双曲线的定义即可求解. 【详解】设动圆的半径为r， 则，， 则， 根据双曲线的定义知，动圆的圆心的轨迹为双曲线的左半支． 故选：C． 8. 已知椭圆的上焦点为，右顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于点M，可得点M为的中点，设.根据点为的重心，列方程可求得点的坐标.由点差法可得.将代入整理得，再结合即可求解. 【详解】延长交于点M，所以点M为的中点，设. 因为，点为的重心， 所以即，所以. 因为点在椭圆上， 所以，两式相减得，即， 整理得. 因为，所以，即， 所以，解得或. 又因为，所以，，所以. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，则（ ） A. 的最大值为2 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆上存在点，使得 D. 的最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆的定义，得到，结合基本不等式，可判定A正确；利用离心率的定义，可判定B错误；取椭圆的上顶点，利用向量的数量积的坐标计算公式，可判定C正确；设，求得，结合二次函数的性质，可判定D正确. 【详解】由椭圆，可得，则， 对于A，点是椭圆上一点，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，所以A正确； 对于B，由椭圆离心率的定义，可得，所以B不正确； 对于C，取椭圆的上顶点，且， 可得，则， 所以椭圆存在点，使得，所以C正确； 对于D中，由椭圆，可得，且， 设，其中，则， 所以 ， 当时，取得最小值，最小值为，所以D正确. 故选：ACD. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. C. 的面积为 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据条件求出，根据双曲线方程可得渐近线的方程，求出的坐标可判断其余选项. 【详解】由已知，抛物线的焦点坐标为，所以双曲线右焦点，即. 又，所以，所以双曲线的方程为. 对于A项，双曲线的渐近线方程为，故A项错误； 对于B项，联立双曲线与抛物线的方程整理可得，， 解得或（舍去负值），所以，代入可得，. 设，又，所以，故B项正确； 对于C项，易知，故C项正确； 对于D项，因为， 所以，由余弦定理可得，，故D项错误. 故选：BC 11. 已知为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，，为的中点，过作轴的垂线，垂足为.设抛物线的准线与轴交于点，且四边形为菱形，则（ ） A. 准线的方程为 B. C. 为钝角 D. 为钝角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，由四边形为菱形且，求出的值，得抛物线方程和准线方程；由已知可得直线的倾斜角为，方程为，与抛物线方程联立求出两点坐标，求出判断B选项，利用向量数量积判断角的范围验证CD选项. 【详解】不妨设点在第一象限，如图， 对于A，由抛物线方程中的几何意义可知，， 四边形为菱形，， 为的中点，，解得， 抛物线的标准方程为，准线的方程为，A错误， 对于B，方法一： 在中，，，直线的倾斜角为， ，直线的方程为， 设，，联立得方程组 消去并整理，得， 解得或 则，， ，， 则，B正确， 方法二： 若直线过焦点，则有结论：， ，，， ， 而，，B正确， 对于C，方法一： 易知，，， ， ，为锐角，C错误， 方法二： 由抛物线的性质可知，以为直径的圆与准线相切， 又直线的倾斜角为，切点不是点，则点在圆外， 由圆的性质可知，为锐角，C错误， 对于D，在中，， ，，， ， 为钝角，则为钝角三角形，D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆：和圆：内切，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据两圆内切可得方程，求解即可. 【详解】圆：，圆心，半径为， 圆：，圆心，半径， 因为两圆内切，所以，解得（舍去负值）． 故答案为： 13. 已知椭圆的离心率为，则实数___________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据给定条件，按椭圆的焦点位置，结合离心率的意义分类求解. 【详解】由椭圆，得，且， 当焦点在轴上时，，即时，，则； 当焦点在轴上时，，即时，，则， 所以或. 故答案为：或 14. 设双曲线的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，线段交于点，若，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】不妨设点H在第一象限，根据题意可得，然后利用双曲线的定义和余弦定理即可求解. 【详解】由，可知点P在线段FH上，且，如图所示，根据双曲线的对称性，不妨设点H在第一象限， 设O为坐标原点，则直线OH的方程为．由，则点到直线距离为， 又，则．由，可知． 设双曲线C的左焦点为，连接， 由双曲线的定义可知， 在中，由余弦定理可得， 整理得，即，则，，所以C的离心率． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于，两点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将圆的方程配方，由题意得，求解即得； （2）结合图形，由垂径定理求出，在中列出方程，求解即得. 【小问1详解】 方程可化为， 此方程表示圆，，即， 故实数的取值范围是； 【小问2详解】 由（1）可得圆心，半径， 如图，过点作于点，则， 圆心到直线的距离为， 由图可得：，即， 解得：． 即的值为2. 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面，是的中点，是的中点. （1）证明：平面； （2）若，，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 因四边形是菱形，则和互相平分， 因F是中点，则F也是中点， 又，则， 因平面，平面，则平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，求证F也是中点，即可证明，再根据线面平行判定定理即可证明； （2）以点为原点建系，利用线面角的空间向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作与平行的直线与交于，因底面，则底面， 则以为原点，以、、所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，由于，则，， 则，，，则， 所以， 易知平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为,， 则， 所以直线与平面所成角的余弦值. 17. 在平面直角坐标系中，椭圆：与椭圆有相同的焦点，，且右焦点到上顶点的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）若过椭圆左焦点，且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据题意可得，，所以，即可求得椭圆的方程； 设，，过且斜率为的直线方程为：，直线与椭圆方程联立，消得的一元二次方程，结合韦达定理，即可求的面积． 【小问1详解】 椭圆的焦点为，， 半焦距， 椭圆的右焦点到上顶点的距离为， ， 椭圆的方程为． 【小问2详解】 设，， 过且斜率为的直线方程为：， 代入椭圆的方程，化简可得， ， 则， . 18. 记双曲线的左、右焦点分别为，其上一点满足. （1）求的渐近线方程； （2）记的右顶点为，射线上两点，满足. （i）若点的横坐标为，求点的坐标（用表示）； （ii）已知点在圆上，若的面积为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）由双曲线的定义及题中条件可求出的值，从而求得的渐近线方程； （2）（i）由题意可得，由点斜式确定的方程，设的横坐标为，再根据两点之间的距离公式和题中条件，求得，从而可得点的坐标为； （ii）首先根据双曲线的方程求出，再根据（i）中结论及，确定，又圆的圆心为，半径为，将的取值范围转化为定点到圆上一动点的距离问题即可求解. 【小问1详解】 由双曲线的定义知，，可得， 将点代入双曲线，则，故， 因此可得的方程为：， 则的渐近线方程为. 【小问2详解】 （i）显然，而，故的斜率， 因此可得的方程为， 故，设的横坐标为， 则，于是， 故， 于是点的坐标为. （ii）沿用（i）的结论，记的半焦距为，则， 故，，则，由已知， 故，解得，故， 由（1），所以圆的方程为，圆心为，半径为， 于是，且， 故的取值范围为. 19. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与交于不同两点、，且满足，为坐标原点，并且在斜率存在时，不等于，则： ①的面积是否为定值？ ②椭圆上是否存在点（异于点、），满足，如果存在，请判断的形状；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①是； ②设，则， 若两点在直线同侧，由于， 则点到三边的距离等于对应边上的高的， 故为的重心，则， 由①已得：, 则， ， 则，代入，可得，即， 又，联立后无解， 此时椭圆C上不存在点M，满足； 若两点在直线异侧，设， 由于，则， 则，则，即， 则点到直线的距离相等，则为的中点， 同理，因，则为的中点，则， 则， ， 即，代入，可得，即， 又，联立后无解， 此时椭圆C上不存在点M，满足； 综上，椭圆C上不存在点M，满足. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组即可； （2）①分斜率不存在和斜率存在两种情况，当斜率存在时，设直线方程，联立方程组，根据得出，再代入中化简即可； ②若设，若两点在直线同侧，根据题意可得为的重心，若两点在直线异侧，根据题意可得四边形为平行四边形，分别根据重心坐标公式和中点坐标公式结合韦达定理得出点坐标，代入椭圆方程中与联立求解. 【小问1详解】 由题意可得，，，， 得， 故椭圆的方程为； 【小问2详解】 ①若直线的斜率不存在，则，因，则，， 此时； 若直线的斜率存在，则设， 与联立得 则，， 则 ， 则， 因，则， 则， 则 ， 故是定值，定值为； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二年级上学期期中综合素质评价 数学学科 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知椭圆的左右焦点分别是，椭圆上任意一点到的距离之和为4，焦距为2，则椭圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 若双曲线E：的右焦点为，则E的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在拋物线上，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若为锐角，则 D. 若在上的投影向量为，则 5. 双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 7. 已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的上焦点为，右顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ） A. 或 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，则（ ） A. 的最大值为2 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆上存在点，使得 D. 的最小值为2 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. C. 的面积为 D. 11. 已知为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，，为的中点，过作轴的垂线，垂足为.设抛物线的准线与轴交于点，且四边形为菱形，则（ ） A. 准线的方程为 B. C. 为钝角 D. 为钝角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆：和圆：内切，则______． 13. 已知椭圆的离心率为，则实数___________. 14. 设双曲线的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，线段交于点，若，则的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于，两点，且，求的值． 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面，是的中点，是的中点. （1）证明：平面； （2）若，，求直线与平面所成角的余弦值. 17. 在平面直角坐标系中，椭圆：与椭圆有相同的焦点，，且右焦点到上顶点的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）若过椭圆左焦点，且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求的面积． 18. 记双曲线的左、右焦点分别为，其上一点满足. （1）求的渐近线方程； （2）记的右顶点为，射线上两点，满足. （i）若点的横坐标为，求点的坐标（用表示）； （ii）已知点在圆上，若的面积为，求的取值范围. 19. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与交于不同两点、，且满足，为坐标原点，并且在斜率存在时，不等于，则： ①的面积是否为定值？ ②椭圆上是否存在点（异于点、），满足，如果存在，请判断的形状；如果不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $