专题27.7 三角形的内切圆、切线长定理（举一反三讲义）数学沪教版九年级下册

专题27.7 三角形的内切圆、切线长定理（举一反三讲义） 【沪教版】 【题型1 作三角形的内切圆】 2 【题型2 三角形内切圆中求角的度数】 4 【题型3 三角形内心有关的应用】 5 【题型4 应用切线长定理求长度】 6 【题型5 应用切线长定理求周长】 7 【题型6 应用切线长定理求面积】 8 【题型7 应用切线长定理求角度】 9 【题型8 应用切线长定理求证】 10 【题型9 三角形内切圆中求最值】 11 【题型10 三角形的内切圆与外接圆的综合】 13 【题型11 圆与圆的位置关系】 14 知识点1 三角形的内切圆 1. 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形． 2. 三角形的内心：三角形的内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点． 3. 三角形的内心与外心的区别 内心 外心 内心到三角形三边的距离相等 外心到三角形的三个顶点的距离相等 过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角 过三角形三边中点和外心的直线垂直平分三角形的边 所有三角形的内心均在三角形内部 三角形的外心不一定在三角形内部 知识点2 切线长及切线长定理 1. 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 2. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 知识点3 圆和圆的位置关系 两圆外离d>R+r； 两圆外切d=R+r； 两圆相交R-r<d<R+r(R≥r)； 两圆内切d=R-r(R>r)； 两圆内含d<R-r(R>r)． 【题型1 作三角形的内切圆】 【例1】（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）如图，在△ABC中做一个圆，使它与这个三角形的三边都相切． 【变式1-1】（24-25九年级下·北京·开学考试）根据下图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定内心的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．若与的交点为，则点是（     ） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的中心 【变式1-3】解题与遐想． 如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝4，BD＝5．求Rt△ABC的面积． 王小明：这道题算出来面积刚好是20，太凑巧了吧．刚好是4×5＝20，有种白算的感觉… 赵丽华：我把4和5换成m、n再算一遍，△ABC的面积总是m•n!确实非常神奇了… 数学刘老师：大家想一想，既然结果如此简单到极致，不计算能不能得到呢？比如，拼图？ 霍佳：刘老师，我在想另一个东西，这个图能不能尺规画出来啊感觉图都定了．我怎么想不出来呢？ 计算验证 （1）通过计算求出Rt△ABC的面积． 拼图演绎 （2）将Rt△ABC分割放入矩形中（左图），通过拼图能直接“看”出“20”请在图中画出拼图后的4个直角三角形甲、乙、丙、丁的位置，作必要标注并简要说明． 尺规作图 （3）尺规作图：如图，点D在线段AB上，以AB为斜边求作一个Rt△ABC，使它的内切圆与斜边AB相切于点D．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明） 【题型2 三角形内切圆中求角的度数】 【例2】如图，△ABC的内切圆的三个切点分别为D，E，F，∠A＝75°，∠B＝45°，则圆心角∠EOF＝ 度． 【变式2-1】如图，在中，点是的内心，若，则 ． 【变式2-2】如图，在中，，，的内切圆圆与边分别相切于点、、，则的度数为 ． 【变式2-3】如图，在中，，是的内切圆，M，N，K是切点，连接，．交于E，D两点．点F是上的一点，连接，，则的度数是 ． 【题型3 三角形内心有关的应用】 【例3】（24-25九年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，把剪成三部分，边，，放在同一直线上，点都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，为的内心，有一直线通过点且分别与、相交于点、点．若，，则点到的距离是（   ） A．3 B．2 C． D． 【变式3-2】（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在中，，，I为的内心，过点I作直线分别交，于点M，N，且，则的周长为（    ） A．11 B．16 C．18 D．22 【变式3-3】（2025·河北石家庄·三模）如图，点I是的内心，点O是的外心，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型4 应用切线长定理求长度】 【例4】（2025·四川泸州·一模）如图，在中，，，，是的内切圆，则的半径为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，、、是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若，，则的长是 ． 【变式4-2】（2025·四川南充·模拟预测）如图，过外一点P作的两条切线，，切点分别为A，B，与交于点D，与弧交于点E，为的直径．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【变式4-3】（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，中，，，，其内切圆分别于、、相切于点、、，则弦的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【题型5 应用切线长定理求周长】 【例5】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（    ） A．7 B．6 C．9 D． 【变式5-1】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，P为外一点，分别切于A，B，C三点，且切线分别交于点M，N．若，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．16 D．24 【变式5-2】（2025·四川绵阳·一模）如图，的内切圆与两直角边，分别相切于点，，过劣弧（不包括端点，）上任一点作的切线与，分别交于点，，若的半径为2，则的周长为 ． 【变式5-3】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，的半径为1，，是的两条切线，切点分别为A，B．连接，，，，若，则的周长为（   ） A． B． C．6 D．3 【题型6 应用切线长定理求面积】 【例6】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，点为的内心，，，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，为的内切圆，点为切点，若，，则的面积为 ． 【变式6-2】（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，是的内切圆，若，，则图中的面积为（   ） A．5.5 B．2.75 C．6.05 D．3.025 【变式6-3】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）直角梯形中，，，，以为直径的切于点E，连交于点M，连交于点N，则四边形的面积为 （    ） A． B． C． D． 【题型7 应用切线长定理求角度】 【例7】（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，、、是的切线，点A、B、E是切点，分别交、B于C、D两点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25九年级下·河南周口·阶段练习）如图、分别与相切，切点分别为，，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·北京丰台·二模）如图，，是的切线，，是切点．若，则 °． 【变式7-3】（2025·四川眉山·一模）如图，、是的切线，切点为A、D，点B、C在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型8 应用切线长定理求证】 【例8】（24-25九年级下·四川自贡·期中）如图1，已知内切于四边形，与分别相切于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，与交于点，若，求证：． 【变式8-1】如图1所示，为的外接圆，为直径，、分别与相切于点D、C（）.E在线段上，连接并延长与直线相交于点P，B为中点. (1)证明：是的切线. (2)如图2，连接，，求证：. 【变式8-2】如图，，是的切线，，为切点，连接． (1)若与相切于点，求证； (2)若，求证与相切． 【变式8-3】如图，P为外一点，为的切线，切点分别为A、B，直线交于点D、E，交于点C． (1)求证∶． (2)若，连接，求证：四边形是菱形． 【题型9 三角形内切圆中求最值】 【例9】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，点A的坐标为，以O点为圆心，以为半径的圆交x轴于点B，点C为第一象限圆上一动点，轴于D点，点I为的内心，则的最小值为 ． 【变式9-1】如图，矩形ABCD，AD＝6，AB＝8，点P为BC边上的中点，点Q是的内切圆圆O上的一个动点，点M是CQ的中点，则PM的最大值是 ． 【变式9-2】如图，在中，，，，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则的内切圆半径为 ，线段PQ长度的最小值为 ． 【变式9-3】如图，的直径的长为8，P是上一动点，的角平分线交于点Q，点I为的内心，连接，下列结论：①点Q是定点；②的最大值为8；③的长为定值；④的最大值为16．其中正确的结论是 （把正确结论的序号都填上）． 【题型10 三角形的内切圆与外接圆的综合】 【例10】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，已知点M是的内心，分别是点M关于的对称点，点B在的外接圆上，且点A在边上，若的外接圆半径为2，则长为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是的外接圆，且为的直径，点E为的内心，的延长线交于点F，连接．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D． 【题型11 圆与圆的位置关系】 【例11】在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．相离 【变式11-1】（2025·上海松江·二模）已知的半径是5，的半径是6．圆心在上．那么两圆的公共弦长是（    ） A． B． C．10 D．12 【变式11-2】如图，在中，，，．点在边上，，以点为圆心，为半径作．点在边上，以点为圆心，为半径作．如果和外切，那么的长为 ．    【变式11-3】（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，的外接的半径为5，，点P为BC的中点，以点P为圆心作，若与相切，则的半径为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.7 三角形的内切圆、切线长定理（举一反三讲义） 【沪教版】 【题型1 作三角形的内切圆】 2 【题型2 三角形内切圆中求角的度数】 7 【题型3 三角形内心有关的应用】 10 【题型4 应用切线长定理求长度】 14 【题型5 应用切线长定理求周长】 18 【题型6 应用切线长定理求面积】 21 【题型7 应用切线长定理求角度】 26 【题型8 应用切线长定理求证】 29 【题型9 三角形内切圆中求最值】 35 【题型10 三角形的内切圆与外接圆的综合】 41 【题型11 圆与圆的位置关系】 45 知识点1 三角形的内切圆 1. 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形． 2. 三角形的内心：三角形的内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点． 3. 三角形的内心与外心的区别 内心 外心 内心到三角形三边的距离相等 外心到三角形的三个顶点的距离相等 过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角 过三角形三边中点和外心的直线垂直平分三角形的边 所有三角形的内心均在三角形内部 三角形的外心不一定在三角形内部 知识点2 切线长及切线长定理 1. 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 2. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 知识点3 圆和圆的位置关系 两圆外离d>R+r； 两圆外切d=R+r； 两圆相交R-r<d<R+r(R≥r)； 两圆内切d=R-r(R>r)； 两圆内含d<R-r(R>r)． 【题型1 作三角形的内切圆】 【例1】（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）如图，在△ABC中做一个圆，使它与这个三角形的三边都相切． 【答案】见解析 【分析】分别作，的平分线和，交点为I，再过I作的垂线，垂足为D，再以I为圆心，以的长为半径作即可．本题考查三角形的内切圆，熟练掌握作三角形内切圆的方法是解题关键． 【详解】解：如下图所示：分别作，的平分线和，交点为I，再过I作的垂线，垂足为D，再以I为圆心，以的长为半径作． 【变式1-1】（24-25九年级下·北京·开学考试）根据下图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定内心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内心的定义．根据三角形内心是三角形三条角平分线的交点进行求解即可． 【详解】解：∵三角形内心是三角形三条角平分线的交点， ∴四个选项中只有D选项作图方法是角平分线的尺规作图， 故选：D． 【变式1-2】（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．若与的交点为，则点是（     ） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的中心 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换以及角平分线的性质，三角形的内心的性质，根据折叠的性质可知点为角平分线的交点，根据角平分线的性质可知点到三边的距离相等． 【详解】解：如图：过点作，，，    由题意得：，， 为角平分线的交点， ， 点到三边的距离相等． 点是的内心． 故选：B． 【变式1-3】解题与遐想． 如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝4，BD＝5．求Rt△ABC的面积． 王小明：这道题算出来面积刚好是20，太凑巧了吧．刚好是4×5＝20，有种白算的感觉… 赵丽华：我把4和5换成m、n再算一遍，△ABC的面积总是m•n!确实非常神奇了… 数学刘老师：大家想一想，既然结果如此简单到极致，不计算能不能得到呢？比如，拼图？ 霍佳：刘老师，我在想另一个东西，这个图能不能尺规画出来啊感觉图都定了．我怎么想不出来呢？ 计算验证 （1）通过计算求出Rt△ABC的面积． 拼图演绎 （2）将Rt△ABC分割放入矩形中（左图），通过拼图能直接“看”出“20”请在图中画出拼图后的4个直角三角形甲、乙、丙、丁的位置，作必要标注并简要说明． 尺规作图 （3）尺规作图：如图，点D在线段AB上，以AB为斜边求作一个Rt△ABC，使它的内切圆与斜边AB相切于点D．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】（1）S△ABC＝20；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】（1）设⊙O的半径为r，由切线长定理得，AE＝AD＝4，BF＝BD＝5，CE＝CF＝r，由勾股定理得，（r+4）2+（r+5）2＝92，进而求得结果； （2）根据切线长定理可证明甲和乙两个三角形全等，丙丁两个三角形全等，故将甲乙图形放在OE为边的上方，将丙丁以OP为边放在右侧，围成矩形的边长是4和5； （3）可先计算∠AFB＝135°，根据“定弦对定角”作F点的轨迹，根据切线性质，过点F作AB的垂线，再根据直径所对的圆周角是90°，确定点C． 【详解】解：（1）如图1， 设⊙O的半径为r， 连接OE，OF， ∵⊙O内切于△ABC， ∴OE⊥AC，OF⊥BC，AE＝AD＝4，BF＝BD＝5， ∴∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°， ∴四边形ECFO是矩形， ∴CF＝OE＝r，CE＝OF＝r， ∴AC＝4+r，BC＝5+r， 在Rt△ABC中，由勾股定理得， （r+4）2+（r+5）2＝92， ∴r2+9r＝20， ∴S△ABC＝ ＝ ＝ ＝ ＝20； （2） 如图2， （3）设△ABC的内切圆记作⊙F， ∴AF和BF平分∠BAC和∠ABC，FD⊥AB， ∴∠BAF＝∠CAB，∠ABF＝， ∴∠BAF+∠ABF＝（∠BAC+∠ABC）＝＝45°， ∴∠AFB＝135°， 可以按以下步骤作图（如图3）： ①以BA为直径作圆，作AB的垂直平分线交圆于点E， ②以E为圆心，AE为半径作圆， ③过点D作AB的垂线，交圆于F， ④连接EF并延长交圆于C，连接AC，BC， 则△ABC就是求作的三角形． 【点睛】本题考查三角形的内切圆性质、切线长定理、勾股定理、矩形的判定与性质、尺规作图-作垂线，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 【题型2 三角形内切圆中求角的度数】 【例2】如图，△ABC的内切圆的三个切点分别为D，E，F，∠A＝75°，∠B＝45°，则圆心角∠EOF＝ 度． 【答案】120 【分析】首先根据∠A=75°，∠B=45°，求出∠C=60°；然后根据△ABC的内切圆的三个切点分别为D、E、F，可得∠OEC=∠OFC=90°，再根据四边形OECF的内角和等于360°，求出圆心角∠EOF的度数即可． 【详解】解：∵∠A=75°，∠B=45°， ∴∠C=180°﹣75°﹣45°=105°﹣45°=60°． ∵△ABC的内切圆的三个切点分别为D、E、F， ∴∠OEC=∠OFC=90°， ∵四边形OECF的内角和等于360°， ∴∠EOF=360°﹣（90°+90°+60°）=360°﹣240°=120°． 故答案为120． 【点睛】此题主要考查了三角形的内切圆与内心，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 【变式2-1】如图，在中，点是的内心，若，则 ． 【答案】/115度 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．利用角平分线的性质和三角形内角和得到，即可求解． 【详解】解：点是的内心， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-2】如图，在中，，，的内切圆圆与边分别相切于点、、，则的度数为 ． 【答案】80° 【分析】连接DO，FO，利用切线的性质得出∠ODA=∠OFA=90°，再利用三角形内角和以及四边形内角和定理求出∠DOF的度数，进而利用圆周角定理得出∠DEF的度数． 【详解】连接DO，FO， ∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=70°， ∴∠A=20°， ∵内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D. E. F， ∴∠ODA=∠OFA=90°， ∴∠DOF=160°， ∴∠DEF的度数为80°. 故答案为:80°. 【点睛】此题考查三角形的内切圆与内心，解题关键在于掌握其性质和作辅助线. 【变式2-3】如图，在中，，是的内切圆，M，N，K是切点，连接，．交于E，D两点．点F是上的一点，连接，，则的度数是 ． 【答案】/62.5度 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内心的性质，三角形内角和定理，先根据三角形内心的性质得，，进而求出，即可求出，然后根据圆周角定理得出答案． 【详解】∵是的内切圆， ∴，是的角平分线， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型3 三角形内心有关的应用】 【例3】（24-25九年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，把剪成三部分，边，，放在同一直线上，点都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内心，三角形内角和定理，读懂题意，熟练掌握三角形内心的判定及性质是解决问题的关键． 过点分别作于，于，于，如图所示，得到点是的内心，即点为三个内角平分线的交点，然后根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：过点分别作于，于，于，如图所示： ∵直线， ∴， ∴点是的内心，即点为三个内角平分线的交点， ∵ ∴ ∴， ∴． 故选：C． 【变式3-1】（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，为的内心，有一直线通过点且分别与、相交于点、点．若，，则点到的距离是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形底边上的 高、底边上的中线、顶角平分线相互重合 (三线合一)，和勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，可以求得的长；三角形的内心(三 条角平分线的交点)到三角形三边的距离相等，根据等面积法，即可得到的长，从而可以得到点到的距离． 【详解】解：连接，作于点，于点，于点，作于点，如图所示： ，，， ，， ， 设， ∵为的内心， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、角平分线的性质，勾股定理，知道三角形的内心是角平分线的交点是连接面积计算与距离求解的关键． 【变式3-2】（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在中，，，I为的内心，过点I作直线分别交，于点M，N，且，则的周长为（    ） A．11 B．16 C．18 D．22 【答案】D 【分析】本题考查了内心的定义，全等三角形的判定和性质．过点I作，分别交于点D，E，连接，证明和，推出的周长即为的周长；利用平行线的性质结合等腰三角形的判定和性质求得和，据此求解即可． 【详解】解：如图，过点I作，分别交于点D，E，连接， ∴， ∵， ∴， ∵I为的内心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长即为的周长； 连接， ∵I为的内心， ∴为的平分线，为的平分线， ∴，． 又∵， ∴，． ∴，， ∴， 同理，， ∴的周长为 ， 即的周长为22． 故选：D． 【变式3-3】（2025·河北石家庄·三模）如图，点I是的内心，点O是的外心，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心和外心性质以及三角形的内角和定理，求三角形的外心的性质得到的度数是解决本题的关键． 根据点O是的外心，可求的度数，由内心的性质可得角平分线的性质，再根据三角形内角和求解即可． 【详解】解：因为点O是的外心，且， 所以， 在中有，， 又因为点I是的内心， 所以为的角平分线，为的角平分线， 所以，， 所以， 所以 ． 故选：C． 【题型4 应用切线长定理求长度】 【例4】（2025·四川泸州·一模）如图，在中，，，，是的内切圆，则的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，切线的定义，三角形面积公式，熟记勾股定理，三角形面积公式是解题的关键． 设三边内切于点，连接 ，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式计算即可得到答案． 【详解】解：如图，设三边内切于点，连接 ， 设的半径为， ，，， ， ， ， ， ， ， 故选：A ． 【变式4-1】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，、、是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若，，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．由、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【详解】解：∵、为的切线，， ∴； ∵、为的切线， ∴； ∵， ∴． 故答案为：2． 【变式4-2】（2025·四川南充·模拟预测）如图，过外一点P作的两条切线，，切点分别为A，B，与交于点D，与弧交于点E，为的直径．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】连接，由切线长定理得，则，由为的直径，得，则，再证明是等边三角形，得，求得，则，可证明是等边三角形，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 分别与相切于点， ， ， 为的直径，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ∴是等边三角形， ， 故选：B． 【点睛】此题重点考查切线的性质定理、切线长定理、等腰三角形的“三线合一”、直径所对的圆周角是直角、三角形的中位线定理、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式4-3】（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，中，，，，其内切圆分别于、、相切于点、、，则弦的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】连接，，根据切线的性质得到，推出四边形是正方形，得到，根据勾股定理得到，进而根据切线长定理求得，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵内切圆分别于、、相切于点、、， ∴， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ，， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， 在中， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，切线长定理，正方形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 【题型5 应用切线长定理求周长】 【例5】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（    ） A．7 B．6 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键． 连接，根据三角形的内心是角平分线的交点，可得平分，，由平行的性质和等角对等边可得，同理，可得到图中阴影部分的周长就是边的长． 【详解】解：如图，连接， ∵点I为的内心， ∴平分， ∴， 由平移得：， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴的周长， 即图中阴影部分的周长为6， 故选择：B． 【变式5-1】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，P为外一点，分别切于A，B，C三点，且切线分别交于点M，N．若，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．16 D．24 【答案】D 【分析】本题考查切线长定理．根据切线长定理得到，,再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵，分别切于A，B， ∴． 同理，可得， ∴的周长 ． 故选：D． 【变式5-2】（2025·四川绵阳·一模）如图，的内切圆与两直角边，分别相切于点，，过劣弧（不包括端点，）上任一点作的切线与，分别交于点，，若的半径为2，则的周长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了切线长定理和切线的性质，证明的周长等于是关键． 证明四边形是正方形，然后根据切线长定理证明的周长等于即可求解． 【详解】解：连接、． 和是的切线， ，，， 则四边形是正方形． ， 又是切线， ，， 的周长 ． 故答案是：4． 【变式5-3】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，的半径为1，，是的两条切线，切点分别为A，B．连接，，，，若，则的周长为（   ） A． B． C．6 D．3 【答案】B 【分析】由切线的性质可得出，由切线长定理可得出，从而可判断为等边三角形，又易证，即可求出，从而可求出，进而可求出，最后由三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵，是的两条切线，切点分别为A，B， ∴，． ∵， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：B． 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质．掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题关键． 【题型6 应用切线长定理求面积】 【例6】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，点为的内心，，，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握三角形的内心定义． 过点作的延长线于点，根据点为的内心，，可得，所以，利用含角的直角三角形可得的长，进而可得的面积． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点， 点为的内心， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【变式6-1】（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，为的内切圆，点为切点，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查切线长定理，正方形的判定和性质，勾股定理．根据题意，连接，根据内切圆的性质可得四边形是正方形，则，根据切线的性质可得，，设的半径为，则，运用勾股定理可得，据此计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是直角三角形的内切圆，点为切点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴， ∵点为切点， ∴，， 设的半径为，则， ∴， ∴或（舍去）， ∴，， ∴的面积， 故答案为：． 【变式6-2】（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，是的内切圆，若，，则图中的面积为（   ） A．5.5 B．2.75 C．6.05 D．3.025 【答案】D 【分析】本题考查与圆内切三角形．熟练掌握圆内切三角形性质，切线性质，切线长定理，正方形判定和性质，三角形面积公式，是解题的关键． 设的半径为r，分别切的三边于D、E、F，连接，证明四边形是正方形，得，得，，由，得，解得，即得． 【详解】解：设分别切的三边于D、E、F，半径为r，连接， 则， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：D． 【变式6-3】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）直角梯形中，，，，以为直径的切于点E，连交于点M，连交于点N，则四边形的面积为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，证明，为的切线；可得，，，过作于，证明四边形为矩形，可得，，，，求解，同理可得：，，证明四边形为矩形，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，以为直径的切于点E， ∴，为的切线； ∴，， ∴， 过作于， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴四边形的面积为， 故选：B 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，勾股定理的应用，线段的垂直平分线的判定，切线长定义的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【题型7 应用切线长定理求角度】 【例7】（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，、、是的切线，点A、B、E是切点，分别交、B于C、D两点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，全等三角形的判定和性质． 连接，根据切线性质和切线长定理可得，，， 进而可得，，即得，，得到，再利用四边形的内角和求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线，点是切点， ∴，，，，， ∴， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式7-1】（24-25九年级下·河南周口·阶段练习）如图、分别与相切，切点分别为，，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线长定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握切线长定理是解决此题的关键．由切线长定理得到，由等腰三角形的性质得，再由三角形的内角和即可得解． 【详解】解：、分别与相切， ， ， ， ， ， 故选：B ． 【变式7-2】（2025·北京丰台·二模）如图，，是的切线，，是切点．若，则 °． 【答案】25 【分析】本题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质和判定， 先根据切线的性质及切线长定理得，再证明，根据全等三角形的性质得，然后结合已知条件答案可得． 【详解】解：∵是的切线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：25． 【变式7-3】（2025·四川眉山·一模）如图，、是的切线，切点为A、D，点B、C在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键． 【详解】解：连接， 、是的切线，切点为A、D，点B、C在上， 四边形是的内接四边形， ， 、是的切线，切点为A、D， 根据切线定理得出：， ， ， ， 故选：B． 【题型8 应用切线长定理求证】 【例8】（24-25九年级下·四川自贡·期中）如图1，已知内切于四边形，与分别相切于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，与交于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据切线长定理可得：，，，，问题随之得解； （2）连接，可得出，，利用圆周角定理求得，，进一步计算得出结论． 【详解】（1）证明：根据切线长定理可得：，，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵四边形的内切圆与边分别相切于点E，F，G，H， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，圆中的弧、弦、圆周角之间的关系等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 【变式8-1】如图1所示，为的外接圆，为直径，、分别与相切于点D、C（）.E在线段上，连接并延长与直线相交于点P，B为中点. (1)证明：是的切线. (2)如图2，连接，，求证：. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，根据直角三角形斜边上的中线的性质以及等边对等角得出，进而根据为切线，， ，得出，即可得证； （2）根据、、分别与相切于点D、E、C，根据切线长定理得出，，则，，，，即可得出，进而即可得证． 【详解】（1）证明：连接， ∵为直径， ∴.     在中，B为中点， ∴， ∴，     ∵， ∴，   又∵为切线， ∴， ∴      ∴.     即， ∴是的切线. （2）证明：∵、、分别与相切于点D、E、C， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，   ∴，     ∴； 【点睛】本题考查了切线的性质与切线长定理，掌握切线的判定方法以及切线长定理是解题的关键． 【变式8-2】如图，，是的切线，，为切点，连接． (1)若与相切于点，求证； (2)若，求证与相切． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）利用切线长定理证明，即可求证； （）延长到点，使得，连，过点作，垂足为G，连接，，，，证明，再由证明，根据性质再证明，最后由性质即可求证； 此题考查了切线长定理和切线的判定与性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点的应用及正确添加辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵与相切，切点为，且，是的切线，，为切点， ∴ ，， ∵， ∴； （2）证明：延长到点，使得，连接，过点作，垂足为G，连接，，，， ∵，， ∴ ， ∵，是的切线，，为切点， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴平分， 又∵，， ∴， ∴与相切． 【变式8-3】如图，P为外一点，为的切线，切点分别为A、B，直线交于点D、E，交于点C． (1)求证∶． (2)若，连接，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，由,证明，，进而得证； （2）连接，连接，证明，得到，由为的切线得到，，证明，得到，则，得到，又由，即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是直径， ∴ 即 ∵为的切线， ∴， 即． ∴， ∵ ∴， ∴． （2）连接，连接，如图， ∵， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴ ∵为的切线， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】此题考查了切线的性质、切线长定理、圆周角定理、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，添加适当的辅助线是证明的关键． 【题型9 三角形内切圆中求最值】 【例9】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，点A的坐标为，以O点为圆心，以为半径的圆交x轴于点B，点C为第一象限圆上一动点，轴于D点，点I为的内心，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，坐标与图形性质，垂径定理，连接，作的外接圆，圆心为P，连接，根据内心定义证明，可得，当A，I，P三点共线时，取得最小值，此时，然后根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，作的外接圆，圆心为P，连接， ∵点I为的内心， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为， ∴， ∴， ∴， 当A，I，P三点共线时，取得最小值， 此时． 故答案为：． 【变式9-1】如图，矩形ABCD，AD＝6，AB＝8，点P为BC边上的中点，点Q是的内切圆圆O上的一个动点，点M是CQ的中点，则PM的最大值是 ． 【答案】 【分析】由矩形的性质得出，，由勾股定理得出，设△的内切圆的半径为，则，解得，连接，易证是的中位线，得出，当经过圆心时，最长，则此时最长，作于，于，则，，由勾股定理得出，则，即可得出结果． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 设△的内切圆的半径为， 则， 解得：， 连接， 是边上的中点，点是的中点， 是的中位线， ， 当经过圆心时，最长，则此时最长， 作于，于， 则，， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心、勾股定理、矩形的性质、三角形中位线的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 【变式9-2】如图，在中，，，，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则的内切圆半径为 ，线段PQ长度的最小值为 ． 【答案】 1 【分析】根据直角三角形内切圆半径与直角三角形三边的关系即可求出的内切圆半径；设经过点C的圆的圆心为F，圆F与的切点为D，连接，则有；由勾股定理的逆定理知，是直角三角形，直径，由线段最短知，即，只有当点F在上，且是直角三角形的斜边的高时，有最小值为的长，由直角三角形的面积公式知，此时． 【详解】解：，，， ∴的内切圆半径 设过点C的圆的圆心为F，与的切点为， ∵， 是的直径， 连接，连接，， ∵点、在上，是的直径， ， 又∵ ∴， ∵与切于点， ∴； ∴当点是的斜边的高的中点时，三点共线，且为的斜边的高，此时的直径等于 又∵， ∴能取到最小值． 故答案为：1，． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，垂线段最短，直角三角形的面积公式，直角三角形内切圆与直角三角形三边的关系，正确作出辅助线转化问题是关键． 【变式9-3】如图，的直径的长为8，P是上一动点，的角平分线交于点Q，点I为的内心，连接，下列结论：①点Q是定点；②的最大值为8；③的长为定值；④的最大值为16．其中正确的结论是 （把正确结论的序号都填上）． 【答案】①②③ 【分析】连接，由题意易得，然后可得①，根据圆中直径最大可判定②，由内心可知，然后根据三角形外角的定义及圆周角定理可进行排除③，过点P作于点D，进而可得，最后可得出选项． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为的直径， ∴， ∵的角平分线交于点Q，点I为的内心， ∴， ∴，且是等腰直角三角形， ∴，即点Q是定点，故①正确； 由圆中最长的弦是直径可知的最大值为8，故②正确； ∵，且， ∴， ∴，即的长为定值，故③正确； 过点P作于点D， ∴， 当的值为最大，则的值为最大，即的值为最大， ∴当是半径时，即为， ∴的最大值为；故④错误； 综上所述：正确的有①②③； 故答案为①②③． 【点睛】本题主要考查三角形的内心、圆周角定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握三角形的内心、圆周角定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 【题型10 三角形的内切圆与外接圆的综合】 【例10】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内心的定义和圆周角定理． 根据三角形内心的定义可得的度数，然后由圆周角定理求出，再根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出答案． 【详解】解：连接， ∵点I是的内心，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式10-1】（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内心，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点，掌握内心的定义是解题的关键． 连接，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，进而由圆周角定理得，再根据内心的定义可得，据此即可求解． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ∵点是的内心， ， 故选：B． 【变式10-2】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，已知点M是的内心，分别是点M关于的对称点，点B在的外接圆上，且点A在边上，若的外接圆半径为2，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的内心、外心、轴对称、特殊直角三角形等内容．连接，易得四边形是正方形，再证，即可得解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点G，与交于点H，与交于点K， ∵的外接圆半径为2，且点B也在的外接圆上， ∴， ∵分别是点M关于的对称点， ∴，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴、、、都是等腰直角三角形， ∴， ∵，且， ∴四边形是正方形， ∴，， 在中，， ∴， ∴，， 同理， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：D． 【变式10-3】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是的外接圆，且为的直径，点E为的内心，的延长线交于点F，连接．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】连接交于点G，作于点H，证明，得到，，证明是等腰直角三角形，得到，则，利用等积法得到，即可得到答案． 【详解】解：连接交于点G，作于点H， ∵点E为的内心， ∴，， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴ 故选：B 【点睛】此题考查了勾股定理、圆周角定理、三角形内心的性质、垂径定理的推论、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理、三角形内心的性质、垂径定理的推论是解题的关键． 【题型11 圆与圆的位置关系】 【例11】在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．相离 【答案】B 【分析】本题考查圆的位置关系，涉及勾股定理，根据题意，作出图形，数形结合，即可得到答案，熟记圆的位置关系是解决问题的关键． 【详解】解：圆半径为1，圆半径为3，圆与圆内切， 圆含在圆内，即， 在以为圆心、为半径的圆与边相交形成的弧上运动，如图所示： 当到位置时，圆与圆圆心距离最大，为， ， 圆与圆相交， 故选：B． 【变式11-1】（2025·上海松江·二模）已知的半径是5，的半径是6．圆心在上．那么两圆的公共弦长是（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了相交两圆的性质，先根据题意画出图形，设和相交于A，B，连接，设与相交于点C，设，则，，，，，在和中，由勾股定理得，则，由此解出，则，进而即可得出公共弦AB的长． 【详解】解：设和相交于点，，连接，，，，，设与相交于点，如图所示： 设， 的半径是5，的半径是6．圆心在上， ，，，， ，， 在△和△中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， ． 故选：B 【变式11-2】如图，在中，，，．点在边上，，以点为圆心，为半径作．点在边上，以点为圆心，为半径作．如果和外切，那么的长为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查的是圆和圆的位置关系、解直角三角形的知识，作于点H，连接，先求出，设，在中，根据勾股定理列方程即可解决． 【详解】解：作于点H，连接，    ，， ， 在中，， ， ， 设， 和外切，半径为2， ， 在中，， ， 解得：， 故答案为：． 【变式11-3】（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，的外接的半径为5，，点P为BC的中点，以点P为圆心作，若与相切，则的半径为 ． 【答案】或/2或8 【分析】本题考查了相切两圆的性质，勾股定理，分两种情况，由相切两圆的性质，如果两圆相切，那么连心线必经过切点，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，，， ∵，， ∴， ∵，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 当在内部时，两圆相切于，如图， ∴， ∴此时的半径为2； 当在外部时，两圆相切于，如图， ∴， ∴此时的半径为， ∴的半径为或， 故答案为：或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $