精品解析：广东省深圳市龙岗区外国语学校2025-2026学年八年级上学期数学期中试题

2025－2026学年第一学期期中学情调研八年级数学试题 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．全卷共6页，考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题1－8，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题9－20，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 大约在公元前5世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他们的发现，人们把这些数叫做无理数．下列各数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的判断，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：在，，，中，只有是无理数； 故选B． 2. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案． 【详解】解：A、是最简二次根式，故选项正确； B、=，不是最简二次根式，故选项错误； C、，不是最简二次根式，故选项错误； D、，不是最简二次根式，故选项错误； 故选：A 【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型． 3. 下列计算结果正确的是（　　） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质和法则进行化简和运算得出答案． 【详解】解：A：和不是同类二次根式，无法计算，故此选项错误； B：，故此选项错误； C：，故此选项错误； D：，故D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算法则以及二次根式的化简，需要学生牢记二次根式运算公式，本题还涉及到了平方差公式的计算，因此巧借乘法公式能快速得出答案，考查了学生对不同公式的综合运用的能力． 4. 如图，若正方形A，B的面积分别为25和9，则正方形C的面积是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的几何应用，熟知勾股定理是解题的关键． 根据题意，得出，再根据勾股定理，得出，再结合正方形的面积，得出，进而即可得出答案． 【详解】解：如图， 由题意得， ， 四边形都是正方形， ，，， 正方形A、B的面积分别为25和9， ，， ， 正方形C的面积为： 故选：D． 5. 已知一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方根，根据平方根性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意可知： 和互为相反数， ∴ ， 化简得， ∴； 故选C． 6. 已知M(1，a)和N(3，b)是一次函数y＝2x﹣1图象上的两点，则a与b的大小关系是(　　) A. a＞b B. a＝b C. a＜b D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】由M(1，a)和N(3，b)是一次函数y＝2x﹣1图象上的两点，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出a，b的值，比较后即可得出结论． 【详解】解：当x＝1时，a＝2×1﹣1＝1； 当x＝3时，b＝2×3﹣1＝5． ∵1<5， ∴a<b． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b是解题的关键． 7. 中，，，所对的边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（　　） A. B. ，， C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能灵活运用定理进行计算和推理是解此题的关键．根据勾股定理的逆定理即可判断A和B；根据三角形的内角和定理即可判断C和D． 【详解】解：A、， ，即是直角三角形，故本选项不符合题意； B、，，， ， ，即是直角三角形，故本选项不符合题意； C、， 最大角， 不是直角三角形，故本选项符合题意； D、，， ，即是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 8. 如图，中，，E为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为D，若，，．记的面积为，的面积为，则的值为（ ）． A. 56 B. 66 C. 74 D. 84 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形的面积．解题的关键是利用“割补法”将两三角形的面积差转化为另外两个三角形的面积差． 先利用勾股定理求得的长，然后再求得的长，根据题意推出再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵ ∴， 由知，又 ∴ 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 比较下列各组数的大小：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较实数的大小，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，以及估算法进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 10. 已知是x的正比例函数，则m＝ ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的定义，方程与不等式，平方根，掌握知识点是解题的关键． 根据正比例函数的定义，列出方程与不等式，求解即可． 【详解】解：∵是x的正比例函数， ∴且， 即且， ∴． 故答案为：． 11. 若平面直角坐标系中的两点关于x轴对称，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键． 关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得a，b的值，进而可得答案． 【详解】解：∵点关于x轴对称， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为________． 【答案】10 【解析】 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图1， ，，， ， ； 如图2， ，，，， ， ， ， 蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为． 故答案为：10． 13. 如图，和均为等边三角形，．若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 延长交于点F，根据题意可证，进而可得，则，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：延长交于点F， ∵， ∴均在线段的垂直平分线上，即，且， ∴为等边中的角平分线，， 和中， ， ∴， ∴． ∴， ∴，且， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题6分，第15题8分，第16题9分，第17题10分，第18题8分，第19题10分，第20题10分，共61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂，注意计算的准确性即可． 【详解】解：原式 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2； （2）． 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算与化简，平方差公式，掌握知识点是解本题的关键． (1)先化简二次根式及进行平方差公式运算，再合并即可； (2)先化简二次根式，再进行乘法运算，最后合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 16. 在平面直角坐标系中，． （1）请画出关于y轴对称的． （2）写出三点的坐标： ， ， ． （3）的面积是 ． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质找出对应点即可求解； （2）由图形可直接得出结果； （3）根据割补法即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质以及割补法的运用． 17. 某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准．根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：千瓦·时）分为三档进行收费（第一档：月用电量不高于240千瓦·时．第二档： 月用电量为千瓦·时，第三档： 月用电量超过 400 千瓦·时）．设居民每月应交电费y（元） ，用电量为x（千瓦·时） 用电量（千瓦·时） 收费（元） 不超过 240 千瓦·时 每千瓦·时 元 千瓦·时 每千瓦·时 元 超过 400千瓦·时 超过的部分每千瓦·时 元 （1）①每月用电量不超过240千瓦·时，y= ； ②每月用电量超过 400千瓦·时，y= ． （2）若某户居民用电量为210千瓦·时，则应交电费多少元? （3）若某户居民某月交费210元，则该户居民用电多少千瓦·时? 【答案】（1）①；② （2）（元） （3）本月用电344度 【解析】 【分析】(1) ①根据费用=单价乘以用电量，列式计算即可． ②根据费用=单价乘以用电量，列式计算即可． (2)根据(1)求得的结果，讨论x的值，得出的结论． （3）根据当时，最多费用为元；当时，最多费用为元；当时，费用大于元；根据分档计算即可． 本题考查了一元一次方程的生活实际应用，正确理解分档的界点是解题的关键． 【小问1详解】 ①根据时，每千瓦·时 元， 故， 故答案为：． ②根据时，每千瓦·时 元， 故 ， 故答案为：． 【小问2详解】 根据时，每千瓦·时 元， 故， 由， 故当时， (元)． 答：应交电费元． 【小问3详解】 根据题意，当时，最多费用为元； 当时，最多费用为元； 当时，费用大于元； ∵， ∴用电量满足， 设用电x度，根据题意，得， 解得， 答：本月用电344度． 18. 数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据 抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12米，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】（1）9.5米；（2）8米 【解析】 【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【详解】解：（1）由题意得，，米，米， 在中，由勾股定理，可得：（米）， （米）． 答：风筝离地面的垂直高度为9.5米； （2）如图，当风筝沿方向再上升12米， 所以米， 在中，，米， 由勾股定理，可得（米）， 则应该再放出（米）， 答：他应该再放出8米长的线． 19. 学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题． （1）列表：与的部分对应值如表，则 ， ； … 0 1 2 3 … … 0 1 … （2）描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； （3）结合图象，写出一条函数的性质： ； （4）根据函数图象填空： ①方程有 个解； ②若关于的方程无解，则的取值范围是 ． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）函数的图象关于轴对称．（答案不唯一） （4）①2；② 【解析】 【分析】（1）将、代入函数解析式即可求解． （2）根据表格描点连线即可． （3）观察函数图象，从对称性等方面得出性质． （4）①根据图象确定方程解的个数； ②观察图象得出结论． 【小问1详解】 将、代入函数解析式， 当时，； 当时，； 故，． 【小问2详解】 根据表格描点、连线，如图所示： 【小问3详解】 观察图象，可知：函数的图象关于轴对称． 【小问4详解】 ①观察图象可知， 的图像与有两个交点， 故方程有2个解； ②观察图象可知，的图象与直线有一个交点， 在下方无交点， 故要使关于的方程无解， 需． 【点睛】本题考查函数的图象和性质，解决本题的关键是读懂函数图象，掌握一次函数的图象性质． 20. 折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，它是中国非物质文化遗产之一，具有悠久的历史和丰富的文化内涵．在现代，折纸艺术得到了进一步的发展和创新，材料已不只限于使用纸张，而且它还与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，形成有趣的“折纸数学”．某校八年级一数学学习兴趣小组准备参加区数学创新能力大赛，他们尝试用一张直角三角形纸片探究折纸中的几何问题． 如图，他们准备了一张直角三角形纸片，记，，，．点在线段上，将沿着直线翻折，点落在点处，交于点． 【操作一】 如图1，小组成员甲将纸片折叠，使，观察发现的形状是______，此时为______； 【操作二】 如图2，小组成员乙将纸片折叠，使与重叠，观察图形，请帮他求出的面积； 【操作三】 如图3，小组成员丙在图2的基础上，尝试在线段和上添加两个动点、，连接、，你能判断在、的运动过程中是否存在最小值吗？如存在请求出的最小值． 【答案】[操作一]等腰直角三角形，[操作二][操作二]的最小值为 【解析】 【分析】[操作一]设，则，根据得，，求得的值，进一步得出结果； [操作二]由折叠得，，从而得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，进一步得出结果； [操作三]作点关于的对称点，作于，交于，则最小值为，可求得，及的值，根据，求出的值即可得解． 【详解】[操作一] 解：由折叠得，， ， ， 设，则， 由得，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：等腰直角三角形，； [操作二] ，，， 由勾股定理得， 由折叠得，，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ， ， ； [操作三] 存在最小值，理由如下， 如图，作点关于的对称点，作于，交于， ， ， 由“两点之间线段最短”知，此时是最小值， ， ， ， ， 如上图，连接，由得，， ， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定，最短距离等知识，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期期中学情调研八年级数学试题 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．全卷共6页，考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题1－8，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题9－20，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 大约在公元前5世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他们的发现，人们把这些数叫做无理数．下列各数中，属于无理数的是（ ） A B. C. D. 2. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，若正方形A，B的面积分别为25和9，则正方形C的面积是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 5. 已知一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知M(1，a)和N(3，b)是一次函数y＝2x﹣1图象上的两点，则a与b的大小关系是(　　) A. a＞b B. a＝b C. a＜b D. 无法确定 7. 中，，，所对的边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（　　） A. B. ，， C. D. 8. 如图，中，，E为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为D，若，，．记的面积为，的面积为，则的值为（ ）． A 56 B. 66 C. 74 D. 84 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 比较下列各组数的大小：______． 10. 已知是x的正比例函数，则m＝ ________． 11. 若平面直角坐标系中的两点关于x轴对称，则的值是_________． 12. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为________． 13. 如图，和均为等边三角形，．若，则_____． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题6分，第15题8分，第16题9分，第17题10分，第18题8分，第19题10分，第20题10分，共61分） 14. 计算：． 15. 计算： （1）； （2）． 16. 在平面直角坐标系中，． （1）请画出关于y轴对称的． （2）写出三点的坐标： ， ， ． （3）的面积是 ． 17. 某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准．根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：千瓦·时）分为三档进行收费（第一档：月用电量不高于240千瓦·时．第二档： 月用电量为千瓦·时，第三档： 月用电量超过 400 千瓦·时）．设居民每月应交电费y（元） ，用电量为x（千瓦·时） 用电量（千瓦·时） 收费（元） 不超过 240 千瓦·时 每千瓦·时 元 千瓦·时 每千瓦·时 元 超过 400千瓦·时 超过的部分每千瓦·时 元 （1）①每月用电量不超过240千瓦·时，y= ； ②每月用电量超过 400千瓦·时，y= ． （2）若某户居民用电量为210千瓦·时，则应交电费多少元? （3）若某户居民某月交费210元，则该户居民用电多少千瓦·时? 18. 数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据 抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12米，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 19. 学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题． （1）列表：与的部分对应值如表，则 ， ； … 0 1 2 3 … … 0 1 … （2）描点、连线：根据上表中数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； （3）结合图象，写出一条函数的性质： ； （4）根据函数图象填空： ①方程有 个解； ②若关于的方程无解，则的取值范围是 ． 20. 折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，它是中国非物质文化遗产之一，具有悠久的历史和丰富的文化内涵．在现代，折纸艺术得到了进一步的发展和创新，材料已不只限于使用纸张，而且它还与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，形成有趣的“折纸数学”．某校八年级一数学学习兴趣小组准备参加区数学创新能力大赛，他们尝试用一张直角三角形纸片探究折纸中的几何问题． 如图，他们准备了一张直角三角形纸片，记，，，．点在线段上，将沿着直线翻折，点落在点处，交于点． 【操作一】 如图1，小组成员甲将纸片折叠，使，观察发现的形状是______，此时为______； 【操作二】 如图2，小组成员乙将纸片折叠，使与重叠，观察图形，请帮他求出的面积； 【操作三】 如图3，小组成员丙在图2的基础上，尝试在线段和上添加两个动点、，连接、，你能判断在、的运动过程中是否存在最小值吗？如存在请求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $