第4章 幂函数、指数函数与对数函数（高效培优讲义）数学湘教版2019必修第一册

第四章 幂函数、指数函数与对数函数 复习讲义 教学目标 1.掌握指数函数、对数函数的概念、图象和性质,并能用图象和性质解决有关问题. 2.了解指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,通过对几类基本初等函数的变化差异进行比较,来解决简单的实际问题. 3.掌握运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法);理解用函数构建数学模型的基本过程;运用模型思想发现和提出、分析和解决问题. 教学重难点 1、重点：指数函数、对数函数的图象与性质及其应用,特别是单调性的应用. 2、难点：与指数、对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题和选择恰当的函数模型解决实际问题. 知识点01 指数幂运算 1.根式：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. 性质：＝a(a使有意义)； 当n为奇数时，＝a， 当n为偶数时，＝|a|＝ 2.分数指数幂 规定：正数的正分数指数幂的意义是(a>0，m，n∈N*，且n>1)； 正数的负分数指数幂的意义是(a>0，m，n∈N*，且n>1)； 0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. 3.有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s； (ar)s＝ars； (ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 【即学即练1-1】(25-26高一上·广东·期中)式子的值为(    ) A． B． C． D．1 【即学即练1-2】(25-26高一上·广西·开学考试)若，则(    ) A．11 B．14 C．30 D．45 知识点02 指数函数及其性质 1.概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数. 2.指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 【特别提醒】 (1)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，. (2)在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大，简称“底大图高” 如图是:(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则：c＞d＞1＞a＞b＞0． 【即学即练2-1】(2025高三·全国·专题练习)已知函数(，)的图象经过点，那么这个函数的图象也必定经过点(    ) A． B． C． D． 【即学即练2-2】(24-25高二下福建福州期末)已知，，，则的大小关系是(   ) A． B． C． D． 知识点03 对数运算 1.对数的定义：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN， 其中a叫做对数的底数，N叫做真数，N>0(负数和零没有对数)． 2.几种常用的对数 一般对数：(a>0，且a≠1)； 常用对数：； 自然对数： () 3.对数的常用结论 (1)loga1＝0(a>0且a≠1)； (2)logaa＝1(a>0且a≠1)； 推广：(a>0且a≠1) (3)对数恒等式： alogaN＝N (a>0且a≠1，N>0)． 4.对数的运算法则：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)； 5.对数的换底公式：logbN＝(a，b均大于零，且不等于1)； 推广：(1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)； (2)logambn＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)； 【即学即练3】(25-26高三上·天津·阶段练习)已知，计算(   ) A． B．1 C． D．2 知识点04 对数函数及其性质 1.对数函数的概念 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2.对数函数的图象与性质 函数 y＝logax，a>1 y＝logax，0<a<1 图象 图象特征 在y轴右侧，过定点(1，0) 当x逐渐增大时，图象是上升的 当x逐渐增大时，图象是下降的 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 函数值变化规律 当x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 3.指数函数与对数函数的关系 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 【即学即练4-1】(25-26高一上·全国·课前预习)函数(，且)恒过点(    ) A． B． C． D． 【即学即练4-2】(25-26高一上·江苏扬州·阶段练习)设，，，则(   ) A． B． C． D． 知识点05 函数零点存在定理 1．函数零点的定义：一般地，把方程f(x)＝0的实数根x称为函数y＝f(x)(x∈D)的零点． 注：函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根． 2．函数零点存在性定理 设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a) f(b)＜0，那么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点， 即至少有一点x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0． 3．函数的零点，方程的根，两图象交点之间的联系 设函数为y＝f(x)，则f(x)的零点即为满足方程f(x)＝0的根， 若f(x)＝g(x)－h(x)，则方程可转变为g(x)＝h(x)，即方程的根在坐标系中为g(x)，h(x)交点的横坐标． 由此看来，函数的零点，方程的根，两图象的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化． 【常用结论】 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． (4)连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出. 【即学即练5-1】(2025高二下·北京·学业考试)已知函数的图象如图所示，则方程的解的个数为(   ) A．0 B．1 C．2 D．3 【即学即练5-2】(2025高一·全国·专题练习)函数的零点所在区间为(    )． A． B． C． D． 知识点06 二分法 (1)定义：对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法. 注：求方程的近似解就是求函数零点的近似值. (2)用二分法求函数零点近似值的步骤: ①确定区间，验证，给定精度, ②求区间的中点, ③计算.若则就是函数的零点； 若，则令(此时零点), 若，则令(此时零点). ④判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为(或)； 否则重复第(2)~(4)步.(用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.) 【即学即练6】(24-25高一上·上海·阶段练习)用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点三次，可以确定根所在的最小区间是(    ) A． B． C． D． 知识点07 常见函数模型 一、几类常见函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0) 二、常见函数模型 1.反比例函数模型 若；则，(其中均不为0) 2.一次函数模型 模型1：若，则①，②为奇函数； 模型2：若，则； 模型3：若，则； 3.指数函数模型 模型1：若，则； 模型2：若，则； 模型3：若，则； 模型4：若，则； 4.对数函数模型 模型1：若，则； 模型2：若，则； 模型3：若，则； 模型4：若，则； 模型5：若，则； 5.幂函数模型 模型1：若，则； 模型2：若，则； 代入则可化简为幂函数； 6.余弦函数模型 模型1：若(不恒为0)，则； 模型2：若(不恒为0)，则； 模型3：若(不恒为0)，则； 7.正切函数模型 模型1：若，则； 【即学即练7】(安徽省安庆市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量监测数学试题)从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油(单位：)与速度(单位：的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：(    ) A． B． C． D． 题型01 指数运算 【典例1-1】(24-25高二下·云南·期末)(   ) A． B． C． D． 【典例1-2】(25-26高一上·江苏镇江·阶段练习)已知，，则，的大小关系是(    ) A． B． C． D．无法判断 【典例1-3】(多选)(23-24高一上·甘肃白银·期末)下列各式正确的有(    ) A． B． C． D． 【典例1-4】(24-25高一上·上海·期末)， 【变式1-1】(24-25高一上·全国·周测)下列各式正确的是(   ) A． B． C． D． 【变式1-2】(25-26高一上·江苏盐城·阶段练习)若，则的化简结果是(    ) A．1 B． C． D． 【变式1-3】(25-26高一上·江苏南通·阶段练习)设，若为定值，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【变式1-4】(多选)(25-26高一上·江苏南京·阶段练习)下列等式中正确的是(   ) A． B． C．() D．() 【变式1-5】(多选)(25-26高一上·全国·单元测试)设，则下列运算正确的是(    ) A． B． C． D． 【变式1-6】(25-26高一上·全国·课后作业)已知，则 ． 题型02 幂函数 【典例2-1】(25-26高三上·河南·阶段练习)已知幂函数的图象经过点，，则(    ) A． B．3 C．6 D．9 【典例2-2】(25-26高三上·福建·阶段练习)已知函数，设，则(    ) A．在上单调递减 B．在上单调递增，上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减，上单调递增 【典例2-3】(多选)(24-25高一上·云南·期末)已知函数的图象经过点，则下列结论错误的是(    ) A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称 C．在定义域上为减函数 D．当时，恒成立 【典例2-4】(25-26高一上·河南南阳·阶段练习)已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是 . 【变式2-1】(24-25高一上·安徽宣城·期末)幂函数在上递减，则实数(   ) A． B． C．2 D．2或 【变式2-2】(25-26高三上·河南商丘·阶段练习)已知幂函数的图象经过点，则(   ) A．3 B． C． D． 【变式2-3】(25-26高一上·贵州贵阳·阶段练习)已知幂函数是定义在上的奇函数，则的值为(   ) A．0 B．2 C．3 D．2或3 【变式2-4】(25-26高三上·江苏苏州·阶段练习)已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【变式2-5】(多选)(25-26高三上·吉林长春·阶段练习)已知幂函数图象经过点，则下列命题正确的有(    ) A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则. 【变式2-6】(24-25高一下·湖北·阶段练习)已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为 ． 题型03 求指数函数的解析式或函数值 【典例3-1】(25-26高一上·全国·课前预习)已知函数(，且)的图象恒过定点,若图象还过点，则(    ) A． B．0 C．2 D．4 【典例3-2】(24-25高一上·湖南郴州·期末)已知函数为上的奇函数，且，当时，，则 的值为(   ) A． B．0 C． D．1 【典例3-3】(多选)(24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末)函数在工程数学中称为正余弦双曲函数，因为它们的某些性质和正余弦函数类似而得名，则下列说法正确的是(    ) A．是奇函数，增函数 B．是偶函数，最小值为2 C． D． 【典例3-4】(24-25高一上·上海·期末)已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则 . 【变式3-1】(25-26高一上·全国·课前预习)函数是指数函数，则实数的取值范围为(   ) A． B． C． D． 【变式3-2】(24-25高一下·云南曲靖·期末)已知定义在上的函数满足，且时，，则(   ) A．1 B．2 C．4 D．8 【变式3-3】(24-25高一上·陕西西安·期末)已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，则(    ) A． B． C． D．0 【变式3-4】(24-25高一上·甘肃平凉·期末)已知函数，则 (    ) A．4048 B．4049 C．4051 D．4052 【变式3-5】(多选)(23-24高一上·广东汕头·阶段练习)已知函数，则满足(   ) A． B． C． D． 【变式3-6】(23-24高一下·湖南·开学考试)已知是偶函数，，且当时，，则 . 题型04 指数函数的图象 【典例4-1】(25-26高一上·全国·课前预习)函数与的图象(   ) A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【典例4-2】(24-25高二下·江西赣州·阶段练习)已知函数，且对于任意的，有，则实数a的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【典例4-3】(多选)(25-26高一上·河南·开学考试)下列说法中正确的有(    ) A．若集合中只有一个元素，则 B．已知，则“”是“”的必要不充分条件 C．“是方程的一个实数根”的充要条件是“” D．“”是假命题 【典例4-4】(24-25高一上·云南昆明·期末)已知函数的对称中心是，若正数满足，则的最小值是 ． 【变式4-1】(25-26高一上·上海·期中)已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是(    ) A．   B．  C．   D．   【变式4-2】(25-26高一上·全国·单元测试)某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的(    ) A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【变式4-3】(25-26高三上·山西·开学考试)已知的定义域为，其函数图象关于直线对称且，当时，，则下列结论不正确的是(   ) A．为偶函数 B．在上单调递减 C．关于对称 D． 【变式4-4】(24-25高一下·湖南·期末)定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论错误的是(    ) A． B．在区间上单调递减 C． D． 【变式4-5】(多选)(25-26高一上·全国·单元测试)已知函数，则下列叙述正确的是(    ) A．当，时，函数的图象过点 B．当时，函数的单调递增区间为 C．当时，函数的值域为 D．当时，若函数有最大值2，则 【变式4-6】(24-25高一上·北京朝阳·期末)已知函数，给出下面四个结论： ①当时，只有一个零点；②对任意，既没有最大值，也没有最小值； ③存在实数，在上单调递增；④若存在最小值，则的最小值为． 其中所有正确结论的序号是 ． 题型05 指数函数的单调性与奇偶性 【典例5-1】(24-25高一上·广东江门·期末)已知函数，则(   ) A．是偶函数，且在上是减函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在上是增函数 D．是奇函数，且在R上是减函数 【典例5-2】(25-26高一上·全国·课后作业)若是偶函数，则(    ) A． B． C．1 D．0 【典例5-3】(多选)(25-26高一上·全国·单元测试)已知函数是定义域为R的偶函数，是定义域为R的奇函数，且(其中e为常数，)．函数在上的最小值为，则下列结论正确的是(    ) A． B．在R上单调递减 C． D．或 【典例5-4】(24-25高一上·江苏常州·期末)已知函数是定义域为的偶函数，且当时，.若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是 . 【变式5-1】(24-25高一下·内蒙古赤峰·期末)若函数是奇函数，则实数的值为(    ) A． B．1 C． D．3 【变式5-2】(2025高一·全国·专题练习)函数的图象可能是(    )． A．  B．C． D．   【变式5-3】(25-26高三上·陕西·阶段练习)已知函数，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【变式5-4】(24-25高一上·江苏南通·阶段练习)设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【变式5-5】(多选)(2026高三·全国·专题练习)已知定义域为R的是奇函数，则(   ) A． B．在R上单调递增 C．的值域为 D．的解集为 【变式5-6】(2024·海南省直辖县级单位·模拟预测)已知函数，若，且，则的最小值为 ． 题型06 指数函数单调性的应用 【典例6-1】(24-25高一上·江苏南通·期末)已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【典例6-2】(25-26高三上·安徽·阶段练习)已知函数的最大值为2025，则的值为(   ) A． B．-1 C．1 D．或-1 【典例6-3】(多选)(24-25高一下·广东广州·期末)双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数 ，且当时有，则下列选项正确的是(     ) A． B．的值域为 C．，则 D．，则 【典例6-4】(25-26高三上·陕西汉中·开学考试)若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 【变式6-1】(25-26高一上·全国·单元测试)已知函数，(且)，若在上的最大值为，最小值为，且，则实数的值为(    ) A． B．2或 C． D．或 【变式6-2】(2025高一·全国·专题练习)设，表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是(    )． A． B． C． D． 【变式6-3】(25-26高一上·全国·课前预习)已知函数(，且)与函数(，且)的图象如图所示，则(   ) A． B． C． D． 【变式6-4】(24-25高一下·浙江杭州·期中)在自然界中，对称性无处不在.从蝴蝶翅膀的美丽图案到雪花晶体的完美结构，对称性展现了自然界的和谐与平衡.数学作为描述自然规律的语言，同样充满了对称之美.函数图像的对称性，例如轴对称和中心对称，关于函数的相关对称性质是数学中研究的重要概念.已知函数使得不等式成立的实数m的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【变式6-5】(多选)(24-25高一下·安徽安庆·期末)已知函数，，，则(   ) A．的单调递减区间为 B．的图象为轴对称图形 C．的图象关于原点对称 D．满足的x的取值范围为 【变式6-6】(25-26高一上·全国·单元测试)已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 题型07 比较大小 【典例7-1】(24-25高一上·湖北恩施·期中)已知，，，则(   ) A． B． C． D． 【典例7-2】(25-26高一上·全国·课后作业)已知，则(    ) A． B． C． D． 【典例7-3】(25-26高一上·全国·课后作业)设，且，则下列关系式中一定不成立的是() A． B． C． D． 【典例7-4】(24-25高一下·四川成都·期末)已知，若将、、按从小到大的顺序排列，应当是 ． 【变式7-1】(24-25高二下·福建福州·期末)已知，，，则的大小关系是(   ) A． B． C． D． 【变式7-2】(24-25高一上·天津·期中)若，，，则下列各式正确的是(   ) A． B． C． D． 【变式7-3】(25-26高一上·全国·课后作业)若，则(    ) A． B． C． D． 【变式7-4】(24-25高一上·湖北恩施·期中)若，其中m，n均为实数，则(   ) A． B． C． D． 【变式7-5】(多选)(25-26高一上·全国·单元测试)若实数，，满足，则下列不等关系可能成立的是(    ) A． B． C． D． 【变式7-6】(多选)(25-26高一上·全国·课后作业)已知实数满足，则以下大小关系正确的是(    ) A．当时， B． C． D． 题型08 对数运算 【典例8-1】(2025高二下·湖南·学业考试)(    ) A． B． C． D．2 【典例8-2】(25-26高三上·山东·阶段练习)定义域为的函数周期为4，且的图象关于轴对称，当时，，则(    ) A． B． C． D． 【典例8-3】(多选)(2025·陕西宝鸡·模拟预测)下列运算结果为1的有(    ) A． B． C． D． 【典例8-4】(24-25高一上·广东汕头·期末)已知正数、、满足，则下列选项正确的是(    ) A． B． C． D． 【变式8-1】(24-25高二下·云南·期末)(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-2】(25-26高一上·全国·课前预习)若，则(   ) A．26 B．24 C．22 D．20 【变式9-3】(25-26高三上·海南·阶段练习)(   ) A． B． C． D． 【变式8-4】(25-26高三上·吉林长春·阶段练习)若，，则(    ) A． B． C． D． 【变式8-5】(多选)(25-26高一上·新疆·期中)已知，且，则(    ) A． B． C． D． 【变式8-6】(多选)(25-26高二上·湖南·阶段练习)已知正数满足，则(　　) A． B． C． D． 题型9 指数、对数的关系 【典例9-1】(2025高一上·吉林·专题练习)在对数式中，实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【典例9-2】(24-25高一上·全国·周测)若对数式有意义，则实数的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【典例9-3】(多选)(22-23高一上·陕西宝鸡·阶段练习)已知函数，则使的可以是(    ) A． B． C． D． 【典例9-4】(24-25高一上·四川成都·阶段练习)已知函数，则的值为 . 【变式9-1】(25-26高一上·全国·课前预习)若，则(   ) A．26 B．24 C．22 D．20 【变式9-2】(24-25高一上·全国·周测)对数式中实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【变式9-3】(24-25高一上·贵州黔西·期末)已知函数则(    ) A． B．4 C． D．e 【变式9-4】(24-25高一下·北京·阶段练习)已知函数，给出下列四个结论： ①在定义域上单调递增；②存在最大值；③不等式的解集是；④的图象关于点对称． 其中所有正确结论的序号是(    ) A．① B．①③ C．①④ D．①③④ 【变式9-5】(多选)(23-24高一上·山东青岛·阶段练习)若，则(    ) A． B． C． D． 【变式9-6】(24-25高一上·上海松江·期末)同构式通俗讲是结构相同的表达式，如: ， 称 与 为同构式. 已知实数 满足 ， 则 . 题型10 对数函数的性质 【典例10-1】(2025高三上·四川·学业考试)已知函数，当时，的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【典例10-2】(25-26高二上·云南·开学考试)定义在上的偶函数满足，且时，，则(   ) A． B． C． D． 【典例10-3】(多选)(2025高三·全国·专题练习)(多选)已知函数，则下列说法正确的是(    ) A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．的图象关于直线对称 【典例10-4】(2025高一上·广东·专题练习)已知函数，若，则的取值范围是 ． 【变式10-1】(25-26高三上·北京·开学考试)为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点(　　) A．向上平移1个单位长度 B．向下平移1个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【变式10-2】(2025·贵州·模拟预测)已知函数，则关于的不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【变式10-3】(25-26高三上·北京·阶段练习)已知函数，设，，，则(    ) A． B． C． D． 【变式10-4】(25-26高二上·云南·阶段练习)是定义在上的偶函数，满足，当时，，则的值为(   ) A． B． C． D． 【变式10-5】(多选)(25-26高一上全国单元测试)函数 且，则(    ) A．在上单调递增 B．的值域为 C．当时，的图象关于直线对称 D．若，且满足，则 【变式10-6】(25-26高三上·湖南·阶段练习)已知函数，若在上存在最小值，则a的取值范围是 . 题型11 函数零点的判断 【典例11-1】(24-25高二下·云南·期末)设函数，则函数的零点所在的区间为(   ) A． B． C． D． 【典例11-2】(2014·江西南昌·二模)已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是(   ) A．9 B．10 C．11 D．18 【典例11-3】(多选)(25-26高一上·江苏泰州·阶段练习)下列说法不正确的是(    ) A．函数的零点是和 B．正实数满足，则不等式的最小值为 C．“”是“关于的方程有一正一负两根”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【典例11-4】(2025高一·全国·专题练习)若函数则函数的零点为 ． 【变式11-1】(2025高二下·湖南·学业考试)函数的零点为(    ) A． B． C． D． 【变式11-2】(2025高三上·四川·学业考试)函数的零点个数为(   ) A．0 B．1 C．2 D．3 【变式11-3】(25-26高三上·安徽·阶段练习)函数的零点所在区间是(   ) A． B． C． D． 【变式11-4】(24-25高一上·湖北恩施·期中)函数的零点所在的区间为(   ) A． B． C． D． 【变式11-5】（25-26高一上·全国·单元测试)用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ) A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【变式11-6】(2025高一·全国·专题练习)函数的零点个数是 ． 题型12 已知函数零点求参数范围 【典例12-1】(25-26高二上·湖南·阶段练习)已知函数的零点，则整数的值为(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【典例12-2】(25-26高一上·江苏·阶段练习)已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【典例12-3】(多选)(25-26高一上·全国·课后作业)设若实数且满足，则(    ) A． B． C． D．的取值范围是 【典例12-4】(多选)(25-26高一上·全国·单元测试)已知函数若存在四个不同的值，，使得，则下列结论正确的是(    ) A． B． C． D． 【变式12-1】(25-26高一上·全国·单元测试)函数的零点个数为(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【变式12-2】(24-25高一上·山东济宁·期末)已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为(    ) A． B． C． D． 【变式12-3】函数的零点所在区间为(    ) A． B． C． D． 【变式12-4】(25-26高一上·江苏镇江·阶段练习)已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【变式12-5】(多选)(2025高一·全国·专题练习)(多选题)已知关于的方程有正实数根，则实数的取值范围不可能为(    )． A． B． C．且 D． 【变式12-6】(25-26高一上·山东·阶段练习)已知函数，若恰有两个正整数满足，则实数的取值范围是 . 题型13 函数模型 【典例13-1】((课时作业)4.4.3不同函数增长的差异-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学必修第一册(人教A版2019))有一组实验数据如表： x 2 3 4 5 6 y 1.40 2.56 5.31 11 21.30 则体现这些数据的最佳函数模型是(　　) A． B． C． D． 【典例13-2】(天津经济技术开发区第一中学2025-2026学年高一上学期10月学科练习数学试卷)某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，则这批台灯的销售价格的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【典例13-3】(多选)(第六单元函数的单调性、函数的奇偶性A卷)如图，一座小岛与海岸线上的点距离最近，最近距离是，从点沿海岸线正东处有一个城镇．假设一个人先从小岛驾驶小船到海岸上，再步行去城镇，驾驶的小船的平均速度为，步行的速度为，时间(单位：)表示他从小岛到城镇的时间，(单位：)表示此人将船停在海岸线处距点的距离，表示他驾驶小船的行驶距离．设，，则(    )    A．函数为增函数 B． C．当时，此人从小岛到城镇花费的时间最少 D．当时，此人从小岛到城镇花费的时间超过 【典例13-4】(多选)(云南省玉溪市2023-2024学年高一上学期期末教学质量检测数学试卷)化学中会用值来判断溶液的酸碱度，值是溶液中氢离子浓度的负常用对数值，若设某溶液所含氢离子浓度为，可得，则以下说法正确的是(    )(参考数据) A．若氢离子浓度扩大为原来的10倍，则值降低1 B．若氢离子浓度扩大为原来的10倍，则值升高1 C．若氢离子浓度扩大为原来的4倍，则值降低0.6 D．若氢离子浓度扩大为原来的4倍，则值降低0.7 【变式13-1】(河南省新乡市金科新未来2024-2025学年高一上学期12月质量检测数学试题)在一次数学实验中，小胡同学运用图形计算器采集到如下一组数据： 3 5 7 9 11 13 21.01 21.11 21.99 30.03 101.96 749.36 在以下四个函数模型中，为常数，最能反映间函数关系的可能是(    ) A． B． C． D． 【变式13-2】(第二章第9讲函数模型及其应用-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习(人教A版))目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，发现地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为．则里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的(    ) A．6倍 B．倍 C．倍 D．倍 【变式13-3】(专题六函数应用)生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象．若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需要的平均时间．在物种入侵初期，可用对数模型(为常数)来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间(单位：天)之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出，据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍时所需要的时间为(    ) 参考数据：． A．19.5天 B．20.5天 C．22.6天 D．19天 【变式13-4】(第十三单元函数应用)按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内二氧化碳最高容许浓度不高于．经测定，刚下课时，教室内含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间(单位：)的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间的最小整数值为(    ) 参考数据：． A．1 B．3 C．7 D．8 【变式13-5】(多选)(广东省普宁市2024-2025学年高一上学期期末质量测试数学试题)某数学小组在进行“数学建模活动——探究茶水温度与时间的关系”时，根据所收集的数据，得到时间(分钟)与水温(℃)的散点图(如图)，则下列不可能作为该散点图对应的函数模型的是(   ) A． B． C． D． 【变式13-6】(多选)(辽宁省凌源市实验中学2024-2025学年高一上学期第三次月考数学试卷)按复利计算利息的一种储蓄，本金为(单位：万元)，每期利率为，本利和为(单位：万元)，存期数为.已知甲按照这种储蓄存入了一笔本金，当存期数为2时，本利和为1.1万元，当存期数为4时，本利和为1.21万元，则(    ) A． B． C．甲的本金为1万元 D．当存期数为8时，甲的本利和超过1.44万元 一、单选题 1.(25-26高一上·江苏·阶段练习)函数的零点为(    ) A．1 B．－3 C．1和－3 D．和 2.(24-25高一上·全国·周测)若，，则下列式子值为的是(    ) A． B． C． D． 3.(25-26高三上·山东淄博·阶段练习)已知，，若，则(    ) A． B． C． D．36 4.(2025高一·上海·专题练习)下列函数中是幂函数的是(    ) ① ；②；③ ；④；⑤ ；⑥ . A．① ③ ⑤ B．① ② ⑤ C．③ ⑤ D．只有⑤ 5.(2025·江西·二模)已知函数，则下列函数中为奇函数的是(    ) A． B． C． D． 6.(24-25高一上·四川泸州·期末)已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，，，则a，b，c的大小关系为(   ) A． B． C． D． 7.(25-26高三上·海南·阶段练习)若函数存在最小值，则实数a的取值范围为(   ) A． B． C． D． 8.(24-25高一下·江苏扬州·期中)已知函数，，下列说法错误的是(   ) A．的值域为 B．若有2个零点，则或 C．若的3个零点分别为：，，，则的取值范围为 D．若有1个零点，则或 二、多选题 9.(25-26高一上·山西忻州·开学考试)已知函数，则正确的是(    ) A．的值域为 B．的解集为 C．的图象与的图象关于轴对称 D．函数是偶函数 10.(25-26高一上·全国·单元测试)已知函数，关于的方程，则下列判断中正确的是(    ) A．时，方程有2个不同的实数根 B．方程至少有2个不同的实数根 C．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 D．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 11.(24-25高一下·广西南宁·阶段练习)设函数，则下列说法正确的是(  ) A．若，则或 B．若函数有3个不同零点，则实数的取值范围为 C．若函数有3个零点，，，则的取值范围为 D．对任意，函数在内无最小值 三、填空题 12.(25-26高三上·北京房山·阶段练习)函数的定义域为 . 13.(25-26高一上·河南南阳·阶段练习)已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是 . 14.(25-26高一上·全国·单元测试)已知(且)是指数函数，若“，不等式恒成立”为假命题，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题 15.(25-26高一上·全国·课堂例题)求下列各式中的x的值． (1)．(2)；(3). 16.(24-25高一上·全国·课后作业)已知指数函数(，且)的图象经过点． (1)试求的解析式，并求；(2)若，求实数的值． 17.(24-25高一上·山东日照·期末)已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式；(2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 18.(24-25高一上·云南昭通·期末)已知函数. (1)若，求的值；(2)若，判断的单调性并用定义法证明； (3)若，求不等式的解集. 19.(24-25高一下·贵州六盘水·期末)若定义域为的函数满足，则称函数为“a型”弱对称函数. (1)若函数为“1型”弱对称函数，求m的值； (2)若函数为“4型”弱对称函数，且恰有3个零点，，，求的值； (3)若函数为“2025型”弱对称函数，且恰有101个零点，当对任意满足条件的函数恒成立，求的最大值. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第四章幂函数、指数函数与对数函数复习讲义 内容概览 1.教学目标、教学重难点 2.知识点01指数幂运算 题型01指数运算 题型02幂函数 3.知识点02指数函数及其性质 题型03求指数函数的解析式或函数值 题型04指数函数的图象 题型05指数函数的单调性与奇偶性 4.知识点03对数运算 题型06指数函数单调性的应用 第4章幂函数、指数函数与对数函数复习 题型07比较大小 5.知识点04对数函数级其性质 题型08对数运算 题型09指数、对数的关系 题型10对数函数的性质 6.知识点05函数零点存在定理 题型11函数零点的半判断 题型12已知函数零点求参数范围 7.知识点06二分法 题型13函数模型 8.知识点07常见函数模型 教学目标、教学重难点 1.掌握指数函数、对数函数的概念、图象和性质，并能用图象和性质解决有关问题. 2.了解指数函数y=a'(a>0,且a≠1)与对数函数y=logx(a>0,且a≠1)互为反函数，通过对几类 教学目标 基本初等函数的变化差异进行比较，来解决简单的实际问题， 3,掌握运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法）；理解用函数构建数学模型的基本 过程；运用模型思想发现和提出、分析和解决问题， 1、重点：指数函数、对数函数的图象与性质及其应用，特别是单调性的应用. 教学重难点 2、难点：与指数、对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题和选择恰当的函数 模型解决实际问题， 知识清单 知识点01指数幂运算 1.根式：式子Va叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数 性质：(V@n=a(a使Va有意义)： 当n为奇数时，Van=a, 当m为偶数时，0-a-巴8 2.分数指数幂 规定：正数的正分数指数幂的意义是a”=Va(a>0,m,n∈N,且>l)片 正数的负分数指数幂的意义是a片=(e>0,m,n∈N,且心1： 0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义。 3.有理指数幂的运算性质：da=a;(a)=ar; (aby=ab,其中a>0,b>0,r,s∈Q. 第1页共27页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【即学即练1-1】(25-26高一上广东期中)式子√（π-4）z+/(3-)的值为) A.7-2π B.2π-7 C.-1 D.1 【即学即练1-2】(25-26高一上广西.开学考试)若10a=3,10b=5,则102+b=() A.11 B.14 C.30 D.45 知识点02指数函数及其性质 1.概念：函数y=a(a>0且a时1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R,a是底数， 2.指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 y /3=a y=a 图象 (0,1) ---y=1 0.2=1 oi 01x 定义域 R 值域 (0,+∞) 过定点(0,1)，即x=0时，y=1 性质 当>0时，y>1;当x<0时，0y<1 当x<0时，y>1;当x>0时，0y<1 在（一oo,十0）上是增函数 在（一0，十∞）上是减函数 【特别提醒】 ()画指数函数y=a(a>0,且1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a,(0,1),(-1,). (2)在第一象限内，指数函数y=a(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大，简称“底大图高” 如图是：(1)y=a,(2)y=b,(3)y=c,(4)y=d的图象，则：c>d>1>a>b>0. (2)y个 (3) (1) (4) 【即学即练2-1】(2025高三·全国.专题练习)已知函数f(x)=a*-1+1(a>0,a≠1)的图象经过点(2,3)，那 么这个函数的图象也必定经过点() A.（-2,) 8.(-1) C.(1,2) D.(3) 【即学即练2-2】(24-25高二下福建福州期末)已知a=1.50.6,b=1.50.7,c=0.70.6,则a,b,c的大小关系是() A.a>b>c B.c>a>b C.b>a>c D.b>c>a 知识点03对数运算 1.对数的定义：如果a=N(a>0,且a味1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logN, 其中a叫做对数的底数，N叫做真数，N>0(负数和零没有对数). 2.几种常用的对数 第2页共27页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一般对数：logaN(a>0,且a≠1)： 常用对数：lgN=log1oN; 自然对数：lnN=logeN(e≈2.718) 3对数的常用结论 (1)loga1=0(a>0且a≠1)；(2)logaa=1(a>0且a≠1)： 推广：logaa”=n(a>0且a≠1) (3)对数恒等式：aogN=N(a>0且a≠1，N>0). 4.对数的运算法则：如果a>0,且a时1，M0,N>0,那么： (1)loga(MN)=logaM+logaN; (2log.Y-log-M-Iog.N: (3)logaM"=nlogaM(nER): 5对数的换底公式：1oeN-a,b均大于零，且不等于1)： 推广：（①logb-loga=l,即1og.b=oma,b均大于0且不等于1）： (21ogb=片ogda,b均大于0且不等于1，m0,n∈R): 【即学即练3】(25-26高三上·天津阶段练习)已知loga3=m,log。4=n,计算a2m-n=() A是 B.1 C. D.2 知识点04对数函数及其性质 1.对数函数的概念 函数y=logx(a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，十oo). 2.对数函数的图象与性质 函数 y=logax,a>1 y=logax,0<a<l yt x=1 x=1 y=logx 图象 (1,0) 0/(1,0) y=log x 图象特征 在y轴右侧，过定点(1,0) 当x逐渐增大时，图象是上升的 当x逐渐增大时，图象是下降的 定义域 (0,+o) 值域 R 单调性 在(0，十∞)上是增函数 在(0，十o)上是减函数 函数值变化规律 当x=1时，y=0 当>1时，y>0;当0<x<1时，y<0 当>1时，y<0;当0<<1时，y>0 3.指数函数与对数函数的关系 指数函数y=a'(a>0,且a呋1)与对数函数y=logx(a>0,且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称. 【即学即练4-1】(25-26高一上全国课前预习)函数f(x)=loga(4x-1)(a>0,且a≠1)恒过点(） A.(1,0) B.(0,1) c.(. .(0) 第3页共27页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【即学即练42】(25-26高一上江苏扬州阶段练习)设a=18s25,b=1g0c=(（),，则() A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 知识点05函数零点存在定理 1.函数零点的定义：一般地，把方程fx)=0的实数根x称为函数y=x)x∈D)的零点. 注：函数的零点不是一个“点”，而是方程x)=0的实根. 2.函数零点存在性定理 设函数fx)在闭区间[a,b]上连续，且a)fb)<0,那么在开区间(a,b)内至少有函数fx)的一个零点， 即至少有一点xo∈(a,b),使得fxo)=0. 3.函数的零点，方程的根，两图象交点之间的联系 设函数为y=x),则x)的零点即为满足方程x)=0的根， 若x)=gx)一hx),则方程可转变为gx)=h(x),即方程的根在坐标系中为g(x),hx)交点的横坐标。 由此看来，函数的零点，方程的根，两图象的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题 以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化. 【常用结论】 (I)若连续不断的函数fx)在定义域上是单调函数，则fx)至多有一个零点. (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号. (4)连续不断的函数f(x)在闭区间[a,b]上有零点，不一定能推出f(a)·f(b)<0. 【即学即练5-1】(2025高二下北京·学业考试)已知函数y=f(x)的图象如图所示， 则方程fx)=-的解的 个数为)】 A.0 B.1 c.2 D.3 -2 【即学即练5-2】(2025高一全国专题练习)函数f(x)=log2x-的零点所在区间为()小： B C.(1,2) D.(2,3) 知识点06二分法 (I)定义：对于区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数f(x),通过不断地把函数f(x)的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法. 注：求方程f(x)=0的近似解就是求函数f(x)零点的近似值. (2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤： ①确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精度ε 第4页共27页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②求区间(a,b)的中点x1, ③计算f(x1)若f(x1)=0则x1就是函数f(x)的零点； 若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1), 若f(b)·f(x1)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)1. ④判断是否达到精确度ε，即若|a一bl<ε，则函数零点的近似值为a(或b); 否则重复第(2)(4)步.（用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.） 【即学即练6】(24-25高一上.上海阶段练习)用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间(2,3)内的实根，取区 间中点三次，可以确定根所在的最小区间是()】 A.(2,2.5) B.(2,2.25) C.(2,2.125) D.(2.0625,2.125) 知识点07常见函数模型 一、几类常见函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 fx)=ax十b(a,b为常数，a≠0) 反比例函数模型 )=+b(k,b为常数且k≠0) 二次函数模型 fx)=ax2+bx十c(a,b,c为常数，a≠0) 指数函数模型 fx)=ba十c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 fx)=blogax-十c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 fx)=ax+b(a,b为常数，a≠0) 二、常见函数模型 1.反比例函数模型 若f+)=得%：则f的=四，其中xf.fO.fx+功均不为0) 2.一次函数模型 模型1：若f(x±y)=f(x)±fy),则①f(x)=f(1)x,②f(x)为奇函数： 模型2：若f(x+y)=f(x)+fy)+m,则f(x)=[f(1)+mx-m 模型3：若f(x-y)=f(x)-fy)+m,则f(x)=[f(1)-m]x+m: 3.指数函数模型 模型1：若f(x+y)=f(x)fy),则f(x)=[f(1)]x(f(x)>0): 模型2：若fx-)=得，则f=fj水f>0): 模型3：若fx+y)=m·fx)f0y),则f()=mf⑩止， m 模型4：若c-0=m得则财r闭=m四： 4.对数函数模型 模型1：若f(x)=nf(x),则f(x)=f(a)logax(a>0且a+1,x>0): 模型2：若f(xy)=f(x)+fy),则f(x)=f(a)logax(a>0且a卡1，x>0): 模型3：若f()=f(x)-f,则fx)=f(a)logax((a>0且a≠1，x>0): 第5页共27页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 模型4：若f(xy)=f(x)+fy)+m,则f(x)=[f(a)+m]logax+m(a>0且a≠1，x>0): 模型5：若f(色)=f)-f0y+m,则fx)=[f(@)-m]Logax+m(a>0且a≠1，x>0): 5幂函数模型 模型1：若f(xy)=f(x)fy),则f(x)=[f(a)]ogax(a>0且a≠1，x>0): 模型2：若f(月=得则fx)=fao*a>0且a≠1，x>0,y≠0，f0)≠0)： 代入f(a)则可化简为幂函数： 6.余弦函数模型 模型1：若f(x+y)+f(x-y)=2f(x)fy)f(x)不恒为O),则f(x)=cosωx; 模型2：若f)+f6)=2f()f(f()不恒为0，则f(x)=cosωx: 模型3：若f(x+y)+f(x-y)=kf()f0y)(f(x)不恒为0)，则f(x)=cosωx 7.正切函数模型 模型1：若fx+0=%f0)车1，则f-tawx: 【即学即练7】（安徽省安庆市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量监测数学试题）从甲地到乙地的 距离约为240km,经多次实验得到一辆汽车每小时耗油Q(单位：L)与速度v单位：km/h)(0≤v≤120)的下 列数据： 17 0 40 60 80 120 Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：() A.Q=本+b B.Q=av3+bv2+cv c.Q=0.5"+a D.Q=klogav+b 题型精讲 题型01指数运算 【典例1-1】(24-25高二下·云南期末)(m-3)3=() A.It B.π+3 C.3(π-3) D.π-3 【典例1-2】(25-26高一上江苏镇江阶段练习)已知a=V30,b=V10,则a,b的大小关系是() A.a<b B.a>b C.a=b D.无法判断 【典例1-3】（多选(23-24高一上甘肃白银期末）下列各式正确的有() A.ya=a(n≥2，neN+)B.√a√a=a4(a>0)C.-3=-3D./(-3)=3 第6页共27页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例1-4】(24-25高一上上海期末)f()=3+万 3x f(2)+f(2)+…+f()+f(2) 【变式1-1】(24-25高一上·全国·周测)下列各式正确的是(》 A.3-8=-2 B.-3)=3c.+y=c+现0.(（月2=n2m 12 【变式1-2】(25-26高一上江苏盐城阶段练习)若1<a<2,则√(1-a)3+V(a-2)4的化简结果是() A.1 B.-1 C.3-2a D.2a-3 【变式1-3】25-26高一上江苏南通阶段练习)设x∈R,若√x-1)7+√x3为定值，则实数x的取值范围为() A.(-∞，0] B.(-∞，1] C.[0,+∞) D.[1,+∞) 【变式1-4】（多选25-26高一上·江苏南京·阶段练习）下列等式中正确的是() A-派=(原=xcx=x>0)D=>0 【变式1-5】（多选(25-26高一上·全国.单元测试）设a>0,则下列运算正确的是() A.aiai-a B.=a C.(a)-a D.VaVai-ai 【变式161526赛上金间淡后作出已a>0a>8则-需+、4-4b+员- 1 2 11 题型02幂函数 【典例2-1】(25-26高三上河南阶段练习)已知幂函数f(x)的图象经过点(4,2)，(m,3),则m=() A B.3 C.6 D.9 x,x>0 【典例2-2】(25-26高三上福建阶段练习)已知函数f(x)= 0,x=0,设F(x)=x2f(x),则F(x)( -X,x<0 A.在(-∞，+o)上单调递减 B.在(-∞，0)上单调递增，(0，+∞)上单调递减 C.在(-∞，+∞)上单调递增 D.在(-∞，0)上单调递减，(0，+∞)上单调递增 【典例23】（多选24-25高一上云南期末）已知函数f()=x的图象经过点(（传，3)，则下列结论错误的是() A.f)的图象经过点(2，) B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)在定义域上为减函数 D.当x<0时，f(x)≤-x-2恒成立 【典例2-4】(25-26高一上河南南阳·阶段练习)已知幂函数x)的图象经过点(9,3)，则不等式f(2x-1)< 第7页共27页 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 f(x+1)的解集是 【变式2-1】(24-25高一上安徽宣城期末)幂函数f(x)=(m2-m-1)xm2-2m-2在(0，+o)上递减，则实数 m=() A.-2 B.-1 C.2 D.2或-1 【变式2-2】(25-26高三上河南商丘阶段练习)已知幂函数f(x)的图象经过点(G,6),则f(-3)=) A.3 B. C.- D.-3 【变式2-3】(25-26高一上·贵州贵阳·阶段练习)已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm是定义在R上的奇函数， 则m的值为) A.0 B.2 C.3 D.2或3 【变式2-4】(25-26高三上江苏苏州阶段练习)已知幂函数y=xm2-2m-3(meZ)的图象关于y轴对称，且在 (0,+∞)上单调递减，则满足(a+1)5>(3-2a)5的实数a的取值范围为() A.（-1,)u6到B.(Gc.（-1,)u(+∞)D.(-1,) 【变式2-5】（多选）(25-26高三上吉林长春.阶段练习)已知幂函数f(x)图象经过点(4,2)，则下列命题正确的 有() A.函数f(x)为增函数 B.函数f(x)为偶函数 C.若x≥9，则f(x)≥3 D.若2>x1>0,则fr@<f(） 【变式2-6】(24-25高一下.湖北阶段练习)已知幂函数f(x)=(a2-a-1)x是偶函数，则不等式f(x+1)> f(2x-1)的解集为 题型03求指数函数的解析式或函数值 【典例3-1】(25-26高一上，全国课前预习)已知函数f(x)=ax-2+n(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(2,1)， 若图象还过点(m,1),则m+n=(） A.-2 B.0 C.2 D.4 【典例3-2】(24-25高一上·湖南郴州·期末)已知函数f(x)为R上的奇函数，且f(x)+f(x+3)=0,当x∈[0,1] 时，f(x)=e*-&,则f(2021)+f(2022)的值为) A.e-日 B.0 c.1-e D.1 e 【典例33】（多选24-25高一上黑龙江哈尔滨期末）函数F)=二，g)=产在工程数学中称为正余 第8页共27页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 弦双曲函数，因为它们的某些性质和正余弦函数类似而得名，则下列说法正确的是() A.f(x)是奇函数，增函数 B.g(x)是偶函数，最小值为2 C.f(2x)=2f(x)·g(x) D.g(x+y)=g(x)·gy)-f(x)·fy 【典例3-4】(24-25高一上.上海期末)已知函数f(x)的定义域为R,y=f(x)+4e*是偶函数，y=f(x)-2e 是奇函数，则f(1)= 【变式3-1】(25-26高一上全国课前预习)函数y=(7-2a)*是指数函数，则实数a的取值范围为) A.（-∞，) B.(-∞，3) c.(-∞，3)u(3,)D.(3,) 【变式3-2】24-25高一下云南曲靖：期未已知定义在R上的函数f()满足f(+3)=高且0<x<3时， f(x)=2x,则f(605)=() A.1 B.2 C.4 D.8 【变式3-3】(24-25高一上陕西西安期末)已知函数f(x)的定义域为R,y=f(x)+2x+1是奇函数，y=f(x)- 2x+2是偶函数，则f(1)=() A.月 B.克 c.-月 D.0 【变式3424-25高一上甘肃平凉期末已知函数f)=则f(-2025)+f(-2024)+…+f(-1)+ f(0)+f(1)+f(2)+·+f(2024)+f(2025)=() A.4048 B.4049 C.4051 D.4052 【变式3-5】（多选23-24高一上广东汕头阶段练习）已知函数f)=二，g)=二，则f),g()满足 () A.f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x) B.f(x)-g(x)=e-x C.f(2x)=2f(x)g(x) D.[f(x)]2-[g(x)]2=1 【变式3-6】(23-24高一下.湖南开学考试)已知f(4-2x)是偶函数，f(x)=f(4-x),且当0≤x≤1时， f()=是-+2，则f2024)= 题型04指数函数的图象 【典例41】(25-26高一上·全国课前预习)函数y=4与y=()的图象() A.关于y轴对称B.关于x轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称 第9页共27页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例4-2】(24-25高二下江西赣州阶段练习)已知函数f(x)= (-x2+4ax,x≤1，且对于任意的x1x2,有 ax+8,x>1 f)-f2>0(x1≠x2),则实数a的取值范围是() x1-X2 A.(1,2) B.(1,3] C.(1,+∞) D.B+∞) 【典例4-3】（多选）(25-26高一上河南·开学考试)下列说法中正确的有() A.若集合A={xax2+x+1=0}中只有一个元素，则a=} B.已知a,b∈R,则"a-3b=0”是号=3"的必要不充分条件 C.“x=1是方程ax2+bx-1=0的一个实数根"的充要条件是“a+b=1” D.Vx∈R,2x<3x"是假命题 【奥例44】2425高一上云南昆明期末已知函数了因)3,2十4,2的对称中心是(0，创，若正数m,加满 足2m2=b,则1+8m+2V2n的最小值是 m 【变式4-1】(25-26高一上·上海·期中)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的图象如图所示，则函数g(x)= a+b的图象大致是() 【变式4-2】(25-26高一上·全国单元测试)某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律， 根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以%的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的 倍，则24天后该植物的长度是原来的() A.倍 B.倍 c.名倍 0.倍 【变式4-3】(25-26高三上山西·开学考试)已知f(x)的定义域为R,其函数图象关于直线x=-3对称且f(x+ 3)=f(x-3),当x∈[0,3]时，f(x)=2x+2x-11,则下列结论不正确的是() A.f(x)为偶函数 B.f(x)在[-6，-3]上单调递减 C.f(x)关于x=3对称 D.f(2021)=-7 【变式4-4】(24-25高一下.湖南·期末)定义在R上的函数f(x)满足f(1+x)=f(1一x),且f(x+2)为奇函数， 已知当0≤x≤1时，f(x)=ex-1,则下列结论错误的是() A.f(x+4)=f(x) B.f(x)在区间[9,11]上单调递减 第10页共27页 第四章 幂函数、指数函数与对数函数 复习讲义 教学目标 1.掌握指数函数、对数函数的概念、图象和性质,并能用图象和性质解决有关问题. 2.了解指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,通过对几类基本初等函数的变化差异进行比较,来解决简单的实际问题. 3.掌握运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法);理解用函数构建数学模型的基本过程;运用模型思想发现和提出、分析和解决问题. 教学重难点 1、重点：指数函数、对数函数的图象与性质及其应用,特别是单调性的应用. 2、难点：与指数、对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题和选择恰当的函数模型解决实际问题. 知识点01 指数幂运算 1.根式：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. 性质：＝a(a使有意义)； 当n为奇数时，＝a， 当n为偶数时，＝|a|＝ 2.分数指数幂 规定：正数的正分数指数幂的意义是(a>0，m，n∈N*，且n>1)； 正数的负分数指数幂的意义是(a>0，m，n∈N*，且n>1)； 0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. 3.有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s； (ar)s＝ars； (ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 【即学即练1-1】(25-26高一上·广东·期中)式子的值为(    ) A． B． C． D．1 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】根式的化简求值 【分析】根据根式的性质运算即可得解. 【详解】，故选：A 【即学即练1-2】(25-26高一上·广西·开学考试)若，则(    ) A．11 B．14 C．30 D．45 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则计算得解. 【详解】由，得.故选：D 知识点02 指数函数及其性质 1.概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数. 2.指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 【特别提醒】 (1)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，. (2)在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大，简称“底大图高” 如图是:(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则：c＞d＞1＞a＞b＞0． 【即学即练2-1】(2025高三·全国·专题练习)已知函数(，)的图象经过点，那么这个函数的图象也必定经过点(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】指数型函数图象过定点问题、求指数函数解析式 【分析】将点代入函数表达式得出的值，从而得出函数解析式，依次代入各选项坐标计算求解. 【详解】已知函数(，)的图象经过点， ，解得，∴，依次代入各选项坐标： 当时，，故A错误； 当时，，故B错误； 当时，，故C正确； 当时，，故D错误.故选：C. 【即学即练2-2】(24-25高二下福建福州期末)已知，，，则的大小关系是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】根据条件，利用指数函数和的性质，即可求解. 【详解】因为是增函数，又，所以， 又是减函数，所以，则，故选：C. 知识点03 对数运算 1.对数的定义：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN， 其中a叫做对数的底数，N叫做真数，N>0(负数和零没有对数)． 2.几种常用的对数 一般对数：(a>0，且a≠1)； 常用对数：； 自然对数： () 3.对数的常用结论 (1)loga1＝0(a>0且a≠1)； (2)logaa＝1(a>0且a≠1)； 推广：(a>0且a≠1) (3)对数恒等式： alogaN＝N (a>0且a≠1，N>0)． 4.对数的运算法则：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)； 5.对数的换底公式：logbN＝(a，b均大于零，且不等于1)； 推广：(1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)； (2)logambn＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)； 【即学即练3】(25-26高三上·天津·阶段练习)已知，计算(   ) A． B．1 C． D．2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】利用指数、对数的关系可得：,代入求解即可. 【详解】由题可得：,所以；故选：A 知识点04 对数函数及其性质 1.对数函数的概念 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2.对数函数的图象与性质 函数 y＝logax，a>1 y＝logax，0<a<1 图象 图象特征 在y轴右侧，过定点(1，0) 当x逐渐增大时，图象是上升的 当x逐渐增大时，图象是下降的 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 函数值变化规律 当x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 3.指数函数与对数函数的关系 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 【即学即练4-1】(25-26高一上·全国·课前预习)函数(，且)恒过点(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】利用即可求解. 【详解】令，则，解得， 则函数(，且)恒过点．故选：C. 【即学即练4-2】(25-26高一上·江苏扬州·阶段练习)设，，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】比较对数式的大小、比较指数幂的大小 【分析】根据指数，对数的运算法则，化简并比较大小即可. 【详解】由，即.故选：C 知识点05 函数零点存在定理 1．函数零点的定义：一般地，把方程f(x)＝0的实数根x称为函数y＝f(x)(x∈D)的零点． 注：函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根． 2．函数零点存在性定理 设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a) f(b)＜0，那么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点， 即至少有一点x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0． 3．函数的零点，方程的根，两图象交点之间的联系 设函数为y＝f(x)，则f(x)的零点即为满足方程f(x)＝0的根， 若f(x)＝g(x)－h(x)，则方程可转变为g(x)＝h(x)，即方程的根在坐标系中为g(x)，h(x)交点的横坐标． 由此看来，函数的零点，方程的根，两图象的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化． 【常用结论】 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． (4)连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出. 【即学即练5-1】(2025高二下·北京·学业考试)已知函数的图象如图所示，则方程的解的个数为(   ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】根据给定的函数图象，求出直线与该图象交点个数即得. 【详解】由给定的图象知，直线与函数的图象有且只有1个交点， 所以方程的解的个数为1.故选：B. 【即学即练5-2】(2025高一·全国·专题练习)函数的零点所在区间为(    )． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】由零点存在定理即可求解. 【详解】函数，在上单调递增，且， 则函数的零点所在区间为．故选：C. 知识点06 二分法 (1)定义：对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法. 注：求方程的近似解就是求函数零点的近似值. (2)用二分法求函数零点近似值的步骤: ①确定区间，验证，给定精度, ②求区间的中点, ③计算.若则就是函数的零点； 若，则令(此时零点), 若，则令(此时零点). ④判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为(或)； 否则重复第(2)~(4)步.(用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.) 【即学即练6】(24-25高一上·上海·阶段练习)用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点三次，可以确定根所在的最小区间是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94 【知识点】二分法求方程近似解的过程 【分析】根据零点存在性定理，结合“二分法”的概念，可得答案. 【详解】令，则，， 由，，， 则方程在区间内有实根.故选：C. 知识点07 常见函数模型 一、几类常见函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0) 二、常见函数模型 1.反比例函数模型 若；则，(其中均不为0) 2.一次函数模型 模型1：若，则①，②为奇函数； 模型2：若，则； 模型3：若，则； 3.指数函数模型 模型1：若，则； 模型2：若，则； 模型3：若，则； 模型4：若，则； 4.对数函数模型 模型1：若，则； 模型2：若，则； 模型3：若，则； 模型4：若，则； 模型5：若，则； 5.幂函数模型 模型1：若，则； 模型2：若，则； 代入则可化简为幂函数； 6.余弦函数模型 模型1：若(不恒为0)，则； 模型2：若(不恒为0)，则； 模型3：若(不恒为0)，则； 7.正切函数模型 模型1：若，则； 【即学即练7】(安徽省安庆市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量监测数学试题)从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油(单位：)与速度(单位：的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据实际问题增长率选择合适的函数模型 【分析】分析表中数据根据单调性和定义域即可判断出最符合实际的函数模型． 【详解】由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为；第二，在定义域单调递增且单位增长率变快；第三，函数图象过原点. 函数和在定义域内单调递减，不符合条件，故AC错误； 函数中0不在函数的定义域中，故D错误； B选项：满足上述三点，故B正确.故选：B. 题型01 指数运算 【典例1-1】(24-25高二下·云南·期末)(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算 【分析】根据根式与指数幂的转化求解即可. 【详解】.故选：D 【典例1-2】(25-26高一上·江苏镇江·阶段练习)已知，，则，的大小关系是(    ) A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根式的化简求值、由不等式的性质比较数(式)大小 【分析】通过的大小，及不等式的性质即可判断. 【详解】，，所以，即，故选：A 【典例1-3】(多选)(23-24高一上·甘肃白银·期末)下列各式正确的有(    ) A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】运用根式的化简方法直接求解即可. 【详解】 A项错误； B项正确； C项正确； D项正确．故选：BCD 【典例1-4】(24-25高一上·上海·期末)， 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、指数幂的运算 【分析】根据题意求出，然后分组求和即可求出结果. 【详解】因为，所以 ， 则 .故答案为：. 【变式1-1】(24-25高一上·全国·周测)下列各式正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】借助指数幂的运算法则计算即可得. 【详解】对A：，，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：，故C错误； 对D：，故D错误.故选：A． 【变式1-2】(25-26高一上·江苏盐城·阶段练习)若，则的化简结果是(    ) A．1 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根式的化简求值 【分析】根据题意结合根式的性质运算求解即可. 【详解】由，得， 所以.故选：C. 【变式1-3】(25-26高一上·江苏南通·阶段练习)设，若为定值，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根式的化简求值 【分析】根据题意分，两种情况进行根式化简讨论，从而可求解. 【详解】由题意当时，不为定值， 当时，为定值， 综上所述：实数的取值范围为，故B正确.故选：B. 【变式1-4】(多选)(25-26高一上·江苏南京·阶段练习)下列等式中正确的是(   ) A． B． C．() D．() 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】根据分数指数幂与根式的转化判断各个选项. 【详解】对于A：，A选项正确； 对于B：当时，，B选项不正确； 对于C：时，C选项正确； 对于D：时，D选项正确；故选：ACD. 【变式1-5】(多选)(25-26高一上·全国·单元测试)设，则下列运算正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的运算 【分析】根据指数幂运算法则即可判断． 【详解】对A，，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，方法一(由内向外化)． 方法二(由外向内化)．故D正确.故选:AD. 【变式1-6】(25-26高一上·全国·课后作业)已知，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【详解】因为，所以．因为，则，所以， 因此． 题型02 幂函数 【典例2-1】(25-26高三上·河南·阶段练习)已知幂函数的图象经过点，，则(    ) A． B．3 C．6 D．9 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求幂函数的解析式 【分析】根据幂函数的定义设函数解析式，通过列方程求解. 【详解】设幂函数，则，解得. 故，解得.故选： 【典例2-2】(25-26高三上·福建·阶段练习)已知函数，设，则(    ) A．在上单调递减 B．在上单调递增，上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减，上单调递增 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断一般幂函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】求出的解析式，结合幂函数得到函数单调性. 【详解】，定义域为R， 当时，单调递增，当时，单调递减， 在上单调递减，上单调递增.故选：D 【典例2-3】(多选)(24-25高一上·云南·期末)已知函数的图象经过点，则下列结论错误的是(    ) A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称 C．在定义域上为减函数 D．当时，恒成立 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】判断一般幂函数的单调性、求幂函数的解析式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数奇偶性的定义与判断 【分析】首先求出函数的解析式，根据解析式即可判断A，根据函数的奇偶性可判断B，根据函数的单调性可判断C，证明即可判断D. 【详解】因为函数经过，即，所以函数解析式为， 当时，，所以函数经过，故A正确； 为奇函数不为偶函数，图像关于原点对称，故B错误； 在和单调递减，故C错误； 当时，，故恒成立，故D正确.故选：BC 【典例2-4】(25-26高一上·河南南阳·阶段练习)已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】判断一般幂函数的单调性、求幂函数的解析式、由幂函数的单调性解不等式 【分析】求出幂函数解析式，利用幂函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】设幂函数为，代入可得， 即，解得，所以， 由函数在上单调递增，得，解得， 所以不等式的解集为.故答案为： 【变式2-1】(24-25高一上·安徽宣城·期末)幂函数在上递减，则实数(   ) A． B． C．2 D．2或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据条件，利用幂函数的定义及性质，即可求解. 【详解】因为为幂函数，则， 即，解得或， 当时，在上递减，所以满足题意， 当时，在上递增，所以不满足题意， 综上，实数，故选：C. 【变式2-2】(25-26高三上·河南商丘·阶段练习)已知幂函数的图象经过点，则(   ) A．3 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的值、求幂函数的解析式 【分析】根据幂函数的定义，利用代入法进行求解即可. 【详解】设，由题意可知，，所以，则， 所以．故选：C 【变式2-3】(25-26高一上·贵州贵阳·阶段练习)已知幂函数是定义在上的奇函数，则的值为(   ) A．0 B．2 C．3 D．2或3 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的定义以及奇函数的性质求解即可. 【详解】是幂函数，所以,解得或； 当时，是定义在上的偶函数，不满足题意； 当时，是定义在上的奇函数，满足题意；故选：C 【变式2-4】(25-26高三上·江苏苏州·阶段练习)已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性解不等式、由幂函数的单调性求参数 【分析】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，又，所以， 因为函数的图象关于轴对称，所以为偶数， 不符合题意舍去，所以， 函数的定义域为，且函数在和上单调递减， 当时，，当时，，所以不等式可化为 或或，所以或， 所以的取值范围为.故选：C. 【变式2-5】(多选)(25-26高三上·吉林长春·阶段练习)已知幂函数图象经过点，则下列命题正确的有(    ) A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则. 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】判断一般幂函数的单调性、求幂函数的解析式、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】求出函数的解析式，根据幂函数的图像性质即可逐项求解. 【详解】设幂函数(为实数)，其图像经过点，，解得， ，其定义域为，且在上为增函数，A正确； 的定义域为， 不具有奇偶性，所以B错误； 时，，选项C正确； 函数是上凸函数， 对定义域内任意的，都有成立，选项D正确.故选：ACD. 【变式2-6】(24-25高一下·湖北·阶段练习)已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的解析式、由幂函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据幂函数的定义，结合是偶函数，可得，再根据单调性解不等式即可. 【详解】幂函数是偶函数， ，解得或， 当时，为奇函数，不符合题意， 当时，为偶函数，符合题意， ,在内单调递增，且为偶函数， 可化为， 两边取平方可得：， 整理的，解得， 的解集为.故答案为：. 题型03 求指数函数的解析式或函数值 【典例3-1】(25-26高一上·全国·课前预习)已知函数(，且)的图象恒过定点,若图象还过点，则(    ) A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据函数恒过定点求出n，再根据函数图象过求出m，从而得到答案． 【详解】由函数(，且)恒过定点，可得， ∵函数图象过点，∴，解得，故．故选：C． 【典例3-2】(24-25高一上·湖南郴州·期末)已知函数为上的奇函数，且，当时，，则 的值为(   ) A． B．0 C． D．1 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】指数函数的判定与求值、函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】首先利用奇函数的性质求出的值，再根据已知条件推出函数的周期，然后将所求的通过周期转化到已知区间上进行计算. 【详解】因为函数是上的奇函数，那么. 已知当时，，所以，解得. 此时. 已知，则. 用代替可得：. 所以，这表明函数的周期. 因为，所以. 由可得. 又因为是奇函数，所以. 当时，，则，所以. 因为，所以. 那么. 所以的值为.故选：C. 【典例3-3】(多选)(24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末)函数在工程数学中称为正余弦双曲函数，因为它们的某些性质和正余弦函数类似而得名，则下列说法正确的是(    ) A．是奇函数，增函数 B．是偶函数，最小值为2 C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、函数新定义、函数奇偶性的定义与判断 【分析】对于A，根据奇偶性定义判断奇偶性，根据为增函数，为增函数确定单调性，判断A，对于B，根据奇偶性定义判断奇偶性，根据，利用基本不等式求出最值，对于C，分别化简求出验证是否相等判断C，对于D，分别化简求出验证是否相等判断D. 【详解】对于A，定义域为，关于原点对称，， 所以是奇函数，因为为增函数，为增函数，所以为增函数，故A正确； 对于B，定义域为，关于原点对称，， 所以是偶函数，， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以最小值为1，故B错误； 对于C，， ， 所以，故C正确； 对于D， ，， 所以，故D错误；故选：AC. 【典例3-4】(24-25高一上·上海·期末)已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求指数函数解析式、求函数值、由奇偶性求函数解析式 【分析】结合奇函数与偶函数的性质求，再求即可. 【详解】因为是偶函数，是奇函数， 所以，， 所以， 所以， 所以，故答案为：. 【变式3-1】(25-26高一上·全国·课前预习)函数是指数函数，则实数的取值范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】根据函数是指数函数求参数 【分析】由指数函数的定义列出限制条件，求解不等式组可得答案. 【详解】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 故选：C 【变式3-2】(24-25高一下·云南曲靖·期末)已知定义在上的函数满足，且时，，则(   ) A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】指数函数的判定与求值、由函数的周期性求函数值 【分析】由题意可得函数周期为6，利用周期函数的概念与性质求解. 【详解】因为，故 ，所以函数周期为6， 故.故选：A. 【变式3-3】(24-25高一上·陕西西安·期末)已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，则(    ) A． B． C． D．0 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】指数函数的判定与求值、由奇偶性求函数解析式 【分析】令，，根据奇偶性得到关于、的方程组，求出的解析式，再代入计算可得. 【详解】令，， 依题意可得是奇函数，是偶函数， 则，， 即，解得， 则.故选：B 【变式3-4】(24-25高一上·甘肃平凉·期末)已知函数，则 (    ) A．4048 B．4049 C．4051 D．4052 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求函数值、函数对称性的应用 【分析】根据的解析式可得，由此可得答案. 【详解】∵，∴，， ∴， ∴ ．故选：C． 【变式3-5】(多选)(23-24高一上·广东汕头·阶段练习)已知函数，则满足(   ) A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、函数奇偶性的应用 【分析】根据函数解析式，逐项代入分析验证即可. 【详解】对于A，，， 所，故A正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，，故C正确； 对于D，， 故D不正确．故选：AC． 【变式3-6】(23-24高一下·湖南·开学考试)已知是偶函数，，且当时，，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】指数函数的判定与求值、函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】 根据题意，结合函数的基本性质，推得，得到函数是周期为的函数，进而求得的值. 【详解】设函数，因为函数为偶函数， 可得，所以， 令，可得，所以，即， 又因为，可得， 设，可得，即， 所以函数是周期为的函数，则， 又因为当时，，所以.故答案为：. 题型04 指数函数的图象 【典例4-1】(25-26高一上·全国·课前预习)函数与的图象(   ) A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】指数函数y=2x和y=(1/2)x的图像和性质 【分析】根据图形对称性求解． 【详解】把中的换成即可得到,故与的图象关于轴对称．故选：A 【典例4-2】(24-25高二下·江西赣州·阶段练习)已知函数，且对于任意的，有，则实数a的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由指数(型)的单调性求参数、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组，求解即得. 【详解】由题意，函数是上的增函数， 则，解得.故选：B. 【典例4-3】(多选)(25-26高一上·河南·开学考试)下列说法中正确的有(    ) A．若集合中只有一个元素，则 B．已知，则“”是“”的必要不充分条件 C．“是方程的一个实数根”的充要条件是“” D．“”是假命题 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】充要条件的证明、比较指数幂的大小、根据集合中元素的个数求参数、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据方程只有一个解，按照和分类讨论求解判断A；根据必要不充分判定可判断B；结合充要条件的概念将1代入方程求解判断C；举反例即可判断全称量词命题的真假判断D. 【详解】对于A，由题意得方程只有一个解，显然当时，有唯一解， 当时，，解得，综上或，错误； 对于B， 中，，中，所以可以推出， 但不能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，正确； 对于C，当即时，是方程的一个实数根， 当方程有一个根为1时，代入得即， 故“是方程的一个实数根”的充要条件是“”，正确； 对于D，当时， ，故“”是假命题，正确；故选：BCD 【典例4-4】(24-25高一上·云南昆明·期末)已知函数的对称中心是，若正数满足，则的最小值是 ． 【答案】10 【难度】0.4 【知识点】判断或证明函数的对称性、函数对称性的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】根据题意分析的对称中心可得的值，即可得，又由，结合基本不等式的性质分析可得结果. 【详解】根据题意, 则有，所以， 故的对称中心为，可得； 又正数满足，即可得； 所以； 当且仅当时，即时，等号成立 此时的最小值是10.故答案为：10. 【变式4-1】(25-26高一上·上海·期中)已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是(    ) A．   B．  C．   D．   【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别 【分析】由图可知的两个根其中一个根在，另一个根在，结合，可得的范围，结合指数的单调性即可判断. 【详解】的图象与x轴的交点的横坐标为方程的两个根， 由可得两根为， 又，所以， 由可知，为增函数， 又由，得，所以的图象与y轴的交点在x轴上方， 只有C选项满足题意，故选：C 【变式4-2】(25-26高一上·全国·单元测试)某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的(    ) A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】指数函数模型的应用(2)、指数函数模型的应用(1) 【分析】设植物原来长度为m，根据8天后，该植物的长度是原来的倍，求出，再结合指数幂的运算即可求得24天后该植物的长度是原来的多少倍． 【详解】方法1 设植物原来长度为m，8天后，该植物的长度是原来的倍， 故，即，即． 24天后该植物的长度是，即为原来的倍， 又， 所以24天后该植物的长度是原来的倍． 方法2  设植物原来长度为1，8天后，该植物的长度是， 24天后，该植物的长度是， 即24天后该植物的长度是原来的倍．故选：C 【变式4-3】(25-26高三上·山西·开学考试)已知的定义域为，其函数图象关于直线对称且，当时，，则下列结论不正确的是(   ) A．为偶函数 B．在上单调递减 C．关于对称 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用、判断指数型复合函数的单调性、函数对称性的应用 【分析】由可得函数的周期性，再根据函数的对称性即可得到函数的奇偶性，根据函数在的函数解析式判断函数在上的单调性，最后根据周期性与奇偶性求出即可 【详解】对于A，因为的定义域为，其函数图象关于直线对称，所以， 又，所以， 所以，即，所以函数为偶函数，故A正确； 对于B：因为，所以，即， 所以函数是周期为的周期函数，当时，， 因为当时，函数在上单调递增， 所以当时，，函数在上单调递增，故B错误； 对于C：因为函数图象关于直线对称，所以， 又函数是偶函数，所以， 即，， 所以，所以关于对称，故C正确； 对于D：， 又时，，所以，故D正确；故选：B 【变式4-4】(24-25高一下·湖南·期末)定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论错误的是(    ) A． B．在区间上单调递减 C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】函数基本性质的综合应用、指数函数图像应用、由抽象函数的周期性求函数值、判断证明抽象函数的周期性 【分析】由题意有，又，即可推出，进而判断A，作出在的图像，结合周期即可判断B，利用单调性即可判断C，先求一个周期的和，最后利用周期即可求，进而判断D. 【详解】由为奇函数有：，即，又，所以，所以， 即，所以，所以，故A正确； 由有的图像关于对称，又，所以的图像关于对称， 当时，，作出函数的图像：    由图可知在单调递减，又，所以是以4为周期的周期函数， 所以，所以当，， 即在的图像与的图像一致，所以在单调递减，故B正确； 由，又，在单调递减， 所以，故C错误； 由于，，，， 所以，且是以4为周期的周期函数， 所以，故D正确，故选：C. 【变式4-5】(多选)(25-26高一上·全国·单元测试)已知函数，则下列叙述正确的是(    ) A．当，时，函数的图象过点 B．当时，函数的单调递增区间为 C．当时，函数的值域为 D．当时，若函数有最大值2，则 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】求指数型复合函数的值域、求二次函数的值域或最值、判断指数型复合函数的单调性 【分析】明确函数解析式，代入验证可判断A的真假；利用指数函数的单调性，结合复合函数单调性的有关结论，可判断B的真假；明确函数解析式，求函数值域，可判断C的真假；分情况讨论，根据函数的最大值，求参数的值，可判断D的真假. 【详解】对A：当，时，． 将代入可得，， 所以函数的图象不经过点．故A错误； 对B：当时，． 令，二次函数图象的对称轴为，在区间上单调递增，在上单调递减． 又因为指数函数是减函数，所以根据复合函数“同增异减”的原则，可知的单调递增区间为．故B错误； 对C：当时，，令． 因为函数是减函数，所以. 所以函数的值域为．故C正确； 对D：当时，． 若，则，此时函数无最大值． 若，令， 要使有最大值2，则在t取最小值时取最大值，所以． 对于二次函数，其图象的对称轴为， 当时，， 因为的最大值为2，所以，所以，解得．故D正确.故选：CD 【变式4-6】(24-25高一上·北京朝阳·期末)已知函数，给出下面四个结论： ①当时，只有一个零点；②对任意，既没有最大值，也没有最小值； ③存在实数，在上单调递增；④若存在最小值，则的最小值为． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【难度】0.4 【知识点】分段函数的性质及应用、求指数型复合函数的值域、利用函数单调性求最值或值域、分段函数的值域或最值 【分析】求出的零点可判断①；分别求出和时的范围，根据可判断②；分别讨论和时是否在上单调递增可判断③；分和两种情况求出存在最小值时的取值范围可判断④. 【详解】对于①，当时，， 当时，令，即，解得(舍)或； 当时，令，即，方程无解， 所以当时，只有一个零点，故①正确； 对于②，当时，因为在单调递增， 所以，无最大值； 又因为在单调递增，所以， 又， 即，所以，无最小值， 所以函数既没有最大值，也没有最小值，故②正确； 对于③，当时，在单调递减，在单调递增， 所以在上不单调递增； 当时，在单调递增， 所以； 在单调递增，所以， 要使在上单调递增，则，即， 当时，显然，，不满足， 所以在上不单调递增； 当时，单调递增，单调递增， 且当时，， 又因为的增长速度比的增长速度快， 所以，不满足，所以在上不单调递增， 综上，不存在实数，使在上单调递增，故③错误； 对于④，当时，因为在单调递增， 所以； 因为在单调递增，所以， 若存在最小值，则，解得，所以； 当时，在单调递减，在单调递增， 所以； 因为在单调递增，所以， 若存在最小值，则，所以， 综上，，所以的最小值为，故④正确.故答案为：①②④ 题型05 指数函数的单调性与奇偶性 【典例5-1】(24-25高一上·广东江门·期末)已知函数，则(   ) A．是偶函数，且在上是减函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在上是增函数 D．是奇函数，且在R上是减函数 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】由已知得，即函数为奇函数， 设， ，在上单调递减，可得答案． 【详解】函数定义域为， ，函数为奇函数， 设 ，，函数单调递增，设 ，在 上单调递减， 故函数 在R上是减函数.故选：D 【典例5-2】(25-26高一上·全国·课后作业)若是偶函数，则(    ) A． B． C．1 D．0 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数 【分析】根据函数奇偶性的性质得到为奇函数，求出的值，再结合偶函数的定义检验即可. 【详解】令，则的定义域为， 因为，所以函数是奇函数． 因为是偶函数，所以为奇函数．则，即． 当时，，定义域为. ，即函数是偶函数.所以.故选：D. 【典例5-3】(多选)(25-26高一上·全国·单元测试)已知函数是定义域为R的偶函数，是定义域为R的奇函数，且(其中e为常数，)．函数在上的最小值为，则下列结论正确的是(    ) A． B．在R上单调递减 C． D．或 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、指数函数最值与不等式的综合问题、判断指数函数的单调性 【分析】由奇偶性得、，联立求对应函数解析式判断A；根据指数函数的单调性确定函数单调性判断B；由上分析得，令有，结合二次函数性质及其最小值求参数判断C、D. 【详解】A：因为为偶函数，所以，又为奇函数，所以， 因为①，所以，即②， 由①②得，，，对； B：因为函数，在R上均为增函数，故在R上单调递增，错； 因为，所以， 又，当且仅当，即时等号成立， 所以，设， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则，解得或(舍去)； 当时，在上单调递增，，解得，不符合题意． 综上，，C对，D错.故选：AC 【典例5-4】(24-25高一上·江苏常州·期末)已知函数是定义域为的偶函数，且当时，.若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】函数不等式恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、判断指数函数的单调性 【分析】首先可得的单调性，再由，即可得到对任意的，恒成立，从而得到对任意的，恒成立，再分、、三种情况讨论，分别解出，即可得到不等式组，从而求出参数的取值范围. 【详解】因为当时，，所以在上单调递增且， 又函数是定义域为的偶函数， 则当时，，所以在上单调递减且， 所以，， 因为对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立， 显然，即； 所以对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立， 当时，不等式，解得，显然不成立； 当时，不等式，解得，则，解得； 当时，不等式，解得，则，解得； 综上可得：实数的取值范围是.故答案为： 【变式5-1】(24-25高一下·内蒙古赤峰·期末)若函数是奇函数，则实数的值为(    ) A． B．1 C． D．3 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据函数定义域为，利用可求，再检验即可. 【详解】因为函数是奇函数，定义域为， 所以，解得， 时，，， 所以函数是奇函数，则.故选：C. 【变式5-2】(2025高一·全国·专题练习)函数的图象可能是(    )． A．  B．C． D．   【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别 【分析】由奇偶性定义判断函数的奇偶性，结合时，应用排除法即可得. 【详解】由，则， 所以是奇函数，排除B，C，又时，，排除A.故选：D 【变式5-3】(25-26高三上·陕西·阶段练习)已知函数，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】先根据函数奇偶性的定义得为奇函数，利用函数单调性的性质得函数在上单调递增，进而结合奇函数性质利用单调性求解不等式即得. 【详解】的定义域为，因为，所以是奇函数． ，则在上单调递增， 由0，可得，即． 因为在上单调递增，所以，解得， 故不等式的解集为．故选：D. 【变式5-4】(24-25高一上·江苏南通·阶段练习)设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、复合函数的单调性、根据函数的单调性求参数值 【分析】将问题转化为恒成立问题，分离参数求最值即可. 【详解】函数由和复合而成， 因为在区间上单调递减，而单调递增，所以在区间上单调递减， 因为，如图， 所以；解得，即实数的取值范围是.故选：D 【变式5-5】(多选)(2026高三·全国·专题练习)已知定义域为R的是奇函数，则(   ) A． B．在R上单调递增 C．的值域为 D．的解集为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、根据解析式直接判断函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【详解】因为是定义域为R的奇函数，所以，即，解得，此时，，是奇函数，故，故A正确．因为，所以在R上单调递减，故B错误．因为，所以，所以，故C正确．因为在R上单调递减，所以，即，解得或，所以的解集为，故D正确．故选ACD． 【变式5-6】(2024·海南省直辖县级单位·模拟预测)已知函数，若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、判断指数函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】判断给定函数的奇偶性和单调性，利用函数性质求出的关系，再借助基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由，定义域为，， 则， 所以函数为奇函数， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由，则， 所以，即，则， 又，，则，， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用基本不等式最值的方法与技巧： (1)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件； (2)利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数，以及“1”的代换等应用技巧. 题型06 指数函数单调性的应用 【典例6-1】(24-25高一上·江苏南通·期末)已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由指数(型)的单调性求参数、判断二次函数的单调性和求解单调区间 【分析】考虑的两段分段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系即可求解出a的范围． 【详解】因为单调递减，故对应的指数函数部分、二次函数部分都要单调递减， 对指数函数在单调递减，需， 对二次函数，开口向下、对称轴为，故二次函数在单调递减，满足要求， 此外还需满足分段点处的函数值满足，整理得， 解得或，结合，可得，故选：B． 【典例6-2】(25-26高三上·安徽·阶段练习)已知函数的最大值为2025，则的值为(   ) A． B．-1 C．1 D．或-1 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、根据指数函数的最值求参数、求二次函数的值域或最值 【分析】根据复合函数单调性结合指数函数的单调性得出的最小值为，最后应用二次函数最值求参数. 【详解】令， 因为单调递减，又因为函数的最大值为2025， 则的最小值为， 所以，且当时，，即得， 解得或，所以.故选：A 【典例6-3】(多选)(24-25高一下·广东广州·期末)双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数 ，且当时有，则下列选项正确的是(     ) A． B．的值域为 C．，则 D．，则 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】指数幂的运算、由指数函数的单调性解不等式、求指数型复合函数的值域、比较指数幂的大小 【分析】直接验证A选项即可；求得，结合指数函数的基本性质可求得的值域，可判断B选项；分析函数的单调性与奇偶性，解不等式可判断C选项；当时，由化简得出，由此可判断D选项. 【详解】对于A选项， ，A对； 对于B选项，， 因为，则，故，故， 即函数的值域为，B对； 对于C选项，对任意的，，故函数的定义域为， ，即函数为奇函数， 任取、，且，则， 所以， 即，故函数为上的增函数，且为奇函数， 由可得， 故，解得，C错； 对于D选项，， 当时，由整理可得， 即，故，D对.故选：ABD. 【典例6-4】(25-26高三上·陕西汉中·开学考试)若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】由奇偶性求得函数解析式，然后分类讨论解不等式可得. 【详解】是定义在上的奇函数，且当时，， 所以， 时，， 时，，解得， 时，，解得，故答案为：. 【变式6-1】(25-26高一上·全国·单元测试)已知函数，(且)，若在上的最大值为，最小值为，且，则实数的值为(    ) A． B．2或 C． D．或 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】根据指数函数的最值求参数 【分析】由的范围讨论单调性，确定最值即可求解． 【详解】当时，单调递增， 此时，所以，解得； 当时，单调递减，此时， 所以，解得．所以实数的值为或．故选：D. 【变式6-2】(2025高一·全国·专题练习)设，表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是(    )． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】根据不同的范围，求解出的值域，从而得到的值域，同理可得的值域，再根据取整运算得到可能的取值. 【详解】由题意得，． ①当时，，此时，， 则，， 从而，，所以． ②当时，，， ，，，，故． ③当时，，此时，， 则，， 从而，，所以． 综上所述，的值域为．故选：B． 【变式6-3】(25-26高一上·全国·课前预习)已知函数(，且)与函数(，且)的图象如图所示，则(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围、指数函数图像应用 【分析】由指数函数的图象与性质可得，.再根据函数(，且)与函数(，且)的图象的对称性，数形结合即可求解. 【详解】由图得，，所以. 因为函数(，且)的图象与函数(，且)的图象关于轴对称，如图所示， 由图可知：，则.故选：A. 【变式6-4】(24-25高一下·浙江杭州·期中)在自然界中，对称性无处不在.从蝴蝶翅膀的美丽图案到雪花晶体的完美结构，对称性展现了自然界的和谐与平衡.数学作为描述自然规律的语言，同样充满了对称之美.函数图像的对称性，例如轴对称和中心对称，关于函数的相关对称性质是数学中研究的重要概念.已知函数使得不等式成立的实数m的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】由函数对称性求函数值或参数、根据函数的单调性解不等式、判断或证明函数的对称性 【分析】由题可得关于直线对称，判断在上单调递增，由此可得，运算得解. 【详解】， ， 所以函数关于直线对称， 当时，， 由对号函数单调性可知在时单调递增，单调递增， 所以在上单调递增， 由，可得， ，化简整理得，解得.故选：C. 【变式6-5】(多选)(24-25高一下·安徽安庆·期末)已知函数，，，则(   ) A．的单调递减区间为 B．的图象为轴对称图形 C．的图象关于原点对称 D．满足的x的取值范围为 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、判断或证明函数的对称性、函数奇偶性的定义与判断、由指数(型)的单调性求参数 【分析】求得函数的解析式，结合指数函数的性质，可判定A正确；求得，可判定B正确；由函数奇偶性的定义和判定方法，可判定C正确；把不等式转化为，得到，求得不等式的解集，可判定D错误. 【详解】对于A中，因为， 则的单调递减区间为，所以A正确； 对于B中，因为，故的图象的对称轴为，所以B正确； 对于C中，因为，可得的定义域为关于原点对称， 且，所以为奇函数， 所以函数图象关于原点对称，所以C正确； 对于D中，由，可得，即， 可得，解得，所以D错误.故选：ABC. 【变式6-6】(25-26高一上·全国·单元测试)已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】． 【难度】0.65 【知识点】由指数(型)的单调性求参数、由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】，可判断为奇函数，且单调递减，等价于，故得到，解不等式即可. 【详解】令， ， 又定义域为，为奇函数， 所以不等式等价于， 又为奇函数，且均单调递减，所以单调递减， ．故答案为： ． 题型07 比较大小 【典例7-1】(24-25高一上·湖北恩施·期中)已知，，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】结合待比较的三个数的指数，底数的特点，构造指数函数，幂函数，根据它们的单调性即可求解. 【详解】设，根据指数函数的单调性，在上单调递减，则，即； 设，根据幂函数的单调性，在上单调递增，则，即. 故.故选：D 【典例7-2】(25-26高一上·全国·课后作业)已知，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为， 函数是减函数， 所以， 同理，函数是增函数，所以. 综上，可得.故选：B 【典例7-3】(25-26高一上·全国·课后作业)设，且，则下列关系式中一定不成立的是() A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围、指数函数图像应用 【分析】根据分段函数和指数函数图象画出的图象，数形结合讨论的正负和大小关系，再结合且即可得出答案． 【详解】 则的图象如图所示：    ∵， ∴若，则，这与已知矛盾． 同理，也不成立，∴只有或这两种情况． ∴，故B一定不成立，A成立； 又，即， ∴，故D一定成立，C一定不成立．故选：BC． 【典例7-4】(24-25高一下·四川成都·期末)已知，若将、、按从小到大的顺序排列，应当是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】利用指数函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为，则函数在上为减函数，所以， 故，则， 因为，故，故， 综上所述，.故答案为：. 【变式7-1】(24-25高二下·福建福州·期末)已知，，，则的大小关系是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】根据条件，利用指数函数和的性质，即可求解. 【详解】因为是增函数，又，所以， 又是减函数，所以，则，故选：C. 【变式7-2】(24-25高一上·天津·期中)若，，，则下列各式正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数单调性计算参数范围即可判断求解. 【详解】因为，，则.故选：D. 【变式7-3】(25-26高一上·全国·课后作业)若，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、由指数(型)的单调性求参数 【分析】可采用特值法进行判断，或者采用同构法，将不等式里面参数分到不等号两边，构造函数，根据函数单调性即可判断求解． 【详解】方法一：特值法． 取，得，满足题意，排除A，B； 取，得，满足题意，排除C，故选：D． 【变式7-4】(24-25高一上·湖北恩施·期中)若，其中m，n均为实数，则(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】构造函数，可得函数为增函数，借助单调性即可得出结果. 【详解】由变形，可得：， 设函数， 因为指数函数在上是增函数，在上是减函数， 所以在上是增函数， 所以在上是增函数. 由可得，即.故选：C 【变式7-5】(多选)(25-26高一上·全国·单元测试)若实数，，满足，则下列不等关系可能成立的是(    ) A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】幂函数图象的判断及应用、指数函数图像应用 【分析】画出，，的图象，移动直线，数形结合确定，，大小的所有可能情况，即可得. 【详解】如图，在同一平面直角坐标系中作出，，的图象，再作直线， 变换m的值发现，，，的大小关系可能为，，，，，，，故A，B，C正确，D错误．故选：ABC 【变式7-6】(多选)(25-26高一上·全国·课后作业)已知实数满足，则以下大小关系正确的是(    ) A．当时， B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】作商法比较代数式的大小、比较指数幂的大小、由不等式的性质比较数(式)大小、作差法比较代数式的大小 【分析】应用指数幂的性质、作差作商或平方法，结合不等式的性质判断各项的正误. 【详解】A：由，则且，故，对； B：当时，，错； C：，而，的符号不定， 所以的符号不能确定，故大小不定，错； D：法一：，而，则； 法二：由， 则 ，所以； 法三： ， ，，故，对.故选：AD 题型08 对数运算 【典例8-1】(2025高二下·湖南·学业考试)(    ) A． B． C． D．2 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】根据对数的运算性质即可求解． 【详解】根据对数运算性质可知，，所以． 故选：C． 【典例8-2】(25-26高三上·山东·阶段练习)定义域为的函数周期为4，且的图象关于轴对称，当时，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由函数周期性求函数值、函数对称性的应用、对数的运算性质的应用、指数函数的判定与求值 【分析】利用周期性及对数运算性质得，再由对称性得且，结合已知指数函数求函数值. 【详解】由周期性知， 而，则，即， 所以， 由的图象关于轴对称，则. 所以 .故选：A 【典例8-3】(多选)(2025·陕西宝鸡·模拟预测)下列运算结果为1的有(    ) A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、指数幂的化简、求值 【分析】对于AC：根据指数运算分析判断；对于B：根据对数运算分析判断；对于D：利用换底公式分析判断. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D正确；故选：BCD. 【典例8-4】(24-25高一上·广东汕头·期末)已知正数、、满足，则下列选项正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化 【分析】把指数式转换成相应的对数式后，运用对数运算法则及换底公式及基本不等式即可. 【详解】令，可得，，， ，故A正确； ，故B正确； ，，所以，得， 又，所以，得，所以，，故C不正确； ，故D正确；故选：ABD 【变式8-1】(24-25高二下·云南·期末)(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】运用换底公式化简计算 【分析】根据对数换底公式得解. 【详解】，故选：A 【变式8-2】(25-26高一上·全国·课前预习)若，则(   ) A．26 B．24 C．22 D．20 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】将对数式化成指数式，运算得解. 【详解】由题知，解得.故选：B. 【变式9-3】(25-26高三上·海南·阶段练习)(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据对数运算法则和换底公式直接求解即可. 【详解】.故选：C. 【变式8-4】(25-26高三上·吉林长春·阶段练习)若，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】利用换底公式结合指数与对数间的运算，求得或，代入，即可化简求得结果. 【详解】由题知，， 则，可得或，所以或， 若，又，则，所以，则或(舍去)， ，； 若，又，则，所以，则或(舍去)， 所以， 综上，.故选：B 【变式8-5】(多选)(25-26高一上·新疆·期中)已知，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、指数式与对数式的互化 【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化，结合幂函数的性质比较大小. 【详解】由，设， 则，于是， 因函数在上为增函数，由，可得， 又函数在上为增函数，由，可得，故.故选：B 【变式8-6】(多选)(25-26高二上·湖南·阶段练习)已知正数满足，则(　　) A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、对数的运算性质的应用、基本(均值)不等式的应用 【分析】举反例可判断A；由基本不等式可判断BC；由基本不等式结合对数的运算可得D. 【详解】对于A，当时，，则不成立，故A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，故，故B正确； 对于C，，当且仅当，即时等号成立，则，故C错误； 对于D，，因为，当且仅当时等号成立， 所以，于是 ，即，故D正确.故选：BD. 题型9 指数、对数的关系 【典例9-1】(2025高一上·吉林·专题练习)在对数式中，实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】根据对数的概念，底数大于且不等于，真数大于0，列不等式组即可求解． 【详解】要使对数式有意义，需满足，解得或， 所以实数的取值范围是．故选：D. 【典例9-2】(24-25高一上·全国·周测)若对数式有意义，则实数的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】根据对数式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】要使对数式有意义，需，解得且， 所以，实数的取值范围是.故选：B. 【典例9-3】(多选)(22-23高一上·陕西宝鸡·阶段练习)已知函数，则使的可以是(    ) A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化、已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】分、两种情况讨论，求出的值，然后结合函数的解析式可求得的值. 【详解】①当时，由，可得， 若时，则，此时无解， 若时，由，解得； ②当时，由，可得或. 若时，则，由可得，方程无解， 若时，由可得或，由可得或. 综上所述，满足的的取值集合为.故选：BCD. 【典例9-4】(24-25高一上·四川成都·阶段练习)已知函数，则的值为 . 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】对数的概念判断与求值、求分段函数解析式或求函数的值、指数函数的判定与求值 【分析】根据给定的分段函数，依次判断代入计算得解. 【详解】函数，， 所以.故答案为：2 【变式9-1】(25-26高一上·全国·课前预习)若，则(   ) A．26 B．24 C．22 D．20 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】将对数式化成指数式，运算得解. 【详解】由题知，解得.故选：B. 【变式9-2】(24-25高一上·全国·周测)对数式中实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】根据对数函数的定义和性质，得到关于的不等式组，求解即可得到答案. 【详解】由对数式有意义得 解得.故选：C. 【变式9-3】(24-25高一上·贵州黔西·期末)已知函数则(    ) A． B．4 C． D．e 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】对数的概念判断与求值、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为 所以，所以.故选：B 【变式9-4】(24-25高一下·北京·阶段练习)已知函数，给出下列四个结论： ①在定义域上单调递增；②存在最大值；③不等式的解集是；④的图象关于点对称． 其中所有正确结论的序号是(    ) A．① B．①③ C．①④ D．①③④ 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、判断或证明函数的对称性、指数式与对数式的互化、由指数函数的单调性解不等式 【分析】利用复合函数的单调性可判断①；利用不等式的基本性质可判断②；利用指数函数的单调性解原不等式，可判断③；利用函数的对称性的定义可判断④. 【详解】对于①，因为内层函数在上为减函数，且， 外层函数在上为减函数，故在定义域上单调递增，①对； 对于②，因为，则，可得， 所以，函数无最大值，也无最小值，②错； 对于③，由可得，可得，解得， 故不等式的解集是，③错； 对于④，函数的定义域为，， 所以，的图象关于点对称，④对.故选：C. 【变式9-5】(多选)(23-24高一上·山东青岛·阶段练习)若，则(    ) A． B． C． D． 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、由幂函数的单调性比较大小 【分析】设，则，，利用幂函数的单调性能求出结果． 【详解】设， 则，可得， 因为，则，则在内单调递减， 所以，，即，.故选：AB． 【变式9-6】(24-25高一上·上海松江·期末)同构式通俗讲是结构相同的表达式，如: ， 称 与 为同构式. 已知实数 满足 ， 则 . 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、指数式与对数式的互化 【分析】将化为，再利用同构式及函数单调性求得答案. 【详解】函数在R上单调递增，且， 由，得，则， 即，因此，则， 所以.故答案为：3 题型10 对数函数的性质 【典例10-1】(2025高三上·四川·学业考试)已知函数，当时，的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】对数函数单调性的应用 【分析】利用对数函数的单调性即可求得函数的值域 【详解】因函数在时为增函数， 故，即，故的取值范围是.故选：B. 【典例10-2】(25-26高二上·云南·开学考试)定义在上的偶函数满足，且时，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、对数的运算 【分析】先得到函数的一个周期为4，再根据偶函数可得，利用对数的性质即可得答案． 【详解】定义在上的函数满足，所以函数的周期为4， 因为是定义在上的偶函数，∴， 所以. 因为， 所以；所以；所以.故选：. 【典例10-3】(多选)(2025高三·全国·专题练习)(多选)已知函数，则下列说法正确的是(    ) A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．的图象关于直线对称 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】判断或证明函数的对称性、对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义域 【分析】对A，由真数大于0，解不等式组求定义域；对B和C，通过复合函数单调性判断；对D，由与关系判断. 【详解】对于A：令，解得， 所以的定义域为，故A正确； 对于B和C：函数， 令，则函数在上单调递增，在上单调递减， 又是增函数， 所以在上单调递增，在上单调递减，故B正确，C错误； 对于D：因为， ，所以， 所以的图象关于直线对称，故D正确．故选：ABD. 【典例10-4】(2025高一上·广东·专题练习)已知函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由对数函数的单调性解不等式 【分析】先讨论当时，不等式转化为，确定函数在时的单调性得最值即可得此时的取值范围，再根据此范围确定当时，函数的单调性，从而得最值得的取值范围，综合可得结论. 【详解】当时，不等式为，即， 因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以； 由于，则当时，函数在上单调递减， 所以，解得，所以； 综上，的取值范围是.故答案为：. 【变式10-1】(25-26高三上·北京·开学考试)为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点(　　) A．向上平移1个单位长度 B．向下平移1个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】对数函数图象的应用、函数图象的变换 【分析】把化简为后可得平移方法. 【详解】因为即为， 故只需把函数的图象上所有的点向上平移1个单位长度即可，故A对B错； 对于C，把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度后所得图象对应的解析式为，故C错误； 对于D，把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度后所得图象对应的解析式为，故D错误；故选：A. 【变式10-2】(2025·贵州·模拟预测)已知函数，则关于的不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解分段函数不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】分和两种情况，分别解不等式，即可求得答案. 【详解】当时，，令，即， 解得或，结合可知，此时； 当时，，令，解得， 综合上可知不等式的解集为，故选：C 【变式10-3】(25-26高三上·北京·阶段练习)已知函数，设，，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】比较对数式的大小、比较函数值的大小关系、比较指数幂的大小 【分析】根据函数的对称性与单调性可将函数值的比较转化为自变量的比较，结合指数函数与对数函数的性质可得解. 【详解】因为的图象关于直线对称，且在上单调递减． 而，所以，故选：D. 【变式10-4】(25-26高二上·云南·阶段练习)是定义在上的偶函数，满足，当时，，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、对数的运算 【分析】根据函数的周期性和奇偶性得到. 【详解】，故的一个周期为2， 故， 因为为偶函数，所以， 又，.故选：C. 【变式10-5】(多选)(25-26高一上全国单元测试)函数 且，则(    ) A．在上单调递增 B．的值域为 C．当时，的图象关于直线对称 D．若，且满足，则 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、由对数(型)的单调性求参数、比较函数值的大小关系、函数对称性的应用 【分析】举反例判断A，举反例应用指数函数及对数函数单调性及值域判断B，根据点关于直线对称定义判断C，应用对数运算结合对等式适当变形，构造函数应用函数的单调性计算比较函数值判断D. 【详解】对于A：当时，当时，， 由指数函数性质得单调递减，则在上不可能单调递增，A选项错误； 对于B：当时，对于， 当时，，由指数函数性质得单调递增，故， 当时，，由对数函数性质得单调递增，故，则的值域不为，B选项不正确； 对于C：当时，若，则，设在图象上，则， 得到，即，化简得， 此时点在图象上，而和关于直线对称， 而当时，，则的图象关于直线对称，C选项正确； 对于D：由，得． 设函数，则在上单调递增，且，所以． 又由B选项解析得，时函数单调递减，故，D选项正确； 故选：CD. 【变式10-6】(25-26高三上·湖南·阶段练习)已知函数，若在上存在最小值，则a的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分段函数的值域或最值、根据对数函数的值域求参数值或范围 【分析】由题意得到，再根据的单调性和零点即可得a的取值范围. 【详解】当时，单调递减，没有最小值； 当时，单调递增，其最小值为. 由在上存在最小值，得，即. 因为是的单调增函数，又， 所以.故答案为： 题型11 函数零点的判断 【典例11-1】(24-25高二下·云南·期末)设函数，则函数的零点所在的区间为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断零点所在的区间、求函数的零点 【分析】由，求解可得结论. 【详解】令，可得，所以.故选：A. 【典例11-2】(2014·江西南昌·二模)已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是(   ) A．9 B．10 C．11 D．18 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数周期性的应用、求函数零点或方程根的个数、函数图象的应用 【分析】作出函数图象，利用数形结合计算即可. 【详解】易知在上为偶函数，结合其周期性，画出函数的图象， 再作出函数的图象，如下图， 由图可知，与共有10个交点，故原函数有10个零点.故选：B 【典例11-3】(多选)(25-26高一上·江苏泰州·阶段练习)下列说法不正确的是(    ) A．函数的零点是和 B．正实数满足，则不等式的最小值为 C．“”是“关于的方程有一正一负两根”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】充要条件的证明、基本不等式求和的最小值、既不充分也不必要条件、求函数的零点 【分析】根据零点的概念判断A的真假；利用基本不等式求和的最小值，判断B的真假；根据充要条件的概念判断C的真假；利用特例判断D的真假. 【详解】对A：函数的零点是和5， 即函数的零点是数，不是点，故A错误； 对B：因为， 当且仅当，即时取等号，故B错误； 对C：因为方程有一正一负两根，故C正确； 对D：当时，满足，但不成立，故“”不是“”的充分条件； 当时，满足，但不成立，所以“”不是“”的必要条件. 综上“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确.故选：AB 【典例11-4】(2025高一·全国·专题练习)若函数则函数的零点为 ． 【答案】和1 【难度】0.94 【知识点】求函数的零点 【分析】根据题意，分类讨论取不同范围的值时，解方程的根即可求解. 【详解】函数的零点即方程的根． 当时，方程，即，解得或， 因为，舍去，所以； 当时，方程，即，解得，符合题意． 综上，函数的零点为和1．故答案为：和1. 【变式11-1】(2025高二下·湖南·学业考试)函数的零点为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求函数的零点 【分析】先研究函数的单调性，再判断零点的个数，最后分析的解即可求出． 【详解】因为在R上单调递增，在R上单调递增，所以在R上单调递增，最多只有一个零点，又因为，所以函数的零点为．故选：B． 【变式11-2】(2025高三上·四川·学业考试)函数的零点个数为(   ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】研究对数函数的单调性、求函数零点或方程根的个数 【分析】由对数函数的性质及零点定义求解即可. 【详解】因为，，且函数在上单调递增，令，解得， 所以函数只有一个零点.故选：B. 【变式11-3】(25-26高三上·安徽·阶段练习)函数的零点所在区间是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】根据给定条件，确定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即得. 【详解】函数的定义域为，且函数在上单调递减， 而， 所以函数的零点所在区间是.故选：C 【变式11-4】(24-25高一上·湖北恩施·期中)函数的零点所在的区间为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】计算函数值，再根据零点存在性定理可判断. 【详解】因，，，，， 则由零点存在性定理可知，函数的零点所在的区间为；故选：B 【变式11-5】（25-26高一上·全国·单元测试)用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ) A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】零点存在性定理的应用、用二分法求近似解的条件 【分析】由二分法，结合表格可知函数的零点在区间内，然后根据选项判断即可. 【详解】由表格可得，函数的零点在区间内， 且，结合选项可知，方程的近似解可取1.8．故选：C. 【变式11-6】(2025高一·全国·专题练习)函数的零点个数是 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】作出与的函数图象，根据图象交点个数得出答案. 【详解】令，， 则原函数的零点个数问题就转化为两个新函数图象的交点个数问题． 由图，可知原函数的零点个数为2．故答案为：2. 题型12 已知函数零点求参数范围 【典例12-1】(25-26高二上·湖南·阶段练习)已知函数的零点，则整数的值为(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围、根据解析式直接判断函数的单调性、判断零点所在的区间 【分析】由函数单调性和即可由函数零点存在性定理求解. 【详解】和均为单调递增函数，所以在上也为单调增函数， 因为，所以函数的零点在区间上， 又函数的零点在区间上，所以.故选：C. 【典例12-2】(25-26高一上·江苏·阶段练习)已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程根的分布问题、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】根据二次函数零点的存在性质，分类讨论，根据零点存在性定理，可得答案. 【详解】当时，即，解得或， 令，则，令，解得，符合题意； 令，则，令，解得，不合题意. 当时，由题意可得，则，解得； 令，则，令，解得或，显然不合题意； 令，则，令，解得或2，显然符合题意. 综上所述，的取值范围为或.故选：D 【典例12-3】(多选)(25-26高一上·全国·课后作业)设若实数且满足，则(    ) A． B． C． D．的取值范围是 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、函数图象的应用 【分析】由题意知直线与的图象有三个交点，且，根据图象可得并求出与的关系，整理可得，结合二次函数分析求解即得正确选项. 【详解】∵，且， ∴直线与的图象有三个交点， 作出的图象，如图所示， 由图可知且解得 则 因为，则，所以所以的取值范围是．故选：CD. 【典例12-4】(多选)(25-26高一上·全国·单元测试)已知函数若存在四个不同的值，，使得，则下列结论正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、函数图象的应用 【分析】作出函数的图象，设，则直线与的图象4个交点的横坐标分别为，可得出，再结合对称性与对数运算即可得正确选项. 【详解】作出的图象，设， 则直线与的图象4个交点的横坐标分别为， 函数的图象如图所示， 对于A，因为的图象关于直线对称，所以．A错误； 对于B，因为，由图象可得， 所以，解得．B错误； 对于C，由图象可得，所以．C正确； 对于D，由图象可知，又，， 所以．D正确.故选：CD. 【变式12-1】(25-26高一上·全国·单元测试)函数的零点个数为(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求函数零点或方程根的个数、分段函数的性质及应用 【分析】求分段函数的零点，令每段等于0解方程，取符合每段范围的的值即可． 【详解】当时，令，得(舍去)或(舍去)； 当时，令，得；所以零点有1个.故选：B. 【变式12-2】(24-25高一上·山东济宁·期末)已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】二分法求函数零点的过程 【分析】根据给定条件，利用二分法计算方法判断即可. 【详解】函数，， ，函数的零点在内； ，函数的零点在内； ，函数的零点在内.故选：A 【变式12-3】函数的零点所在区间为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】比较对数式的大小、根据解析式直接判断函数的单调性、判断零点所在的区间、求幂函数的解析式 【分析】由已知条件求出，则，判断函数的单调性及的正负，结合零点存在性定理得出结果. 【详解】由于点在幂函数的图象上，所以， 所以，则. 又因为函数在上都单调递增， 则函数在定义域上单调递增， ， 因为，即，所以， ， 因为，即，所以， 因为在上单调递增，， 所以在上只有一个零点，且在内.故选：C. 【变式12-4】(25-26高一上·江苏镇江·阶段练习)已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】通过换元令，得，由于有两个不同的正根，列出不等式求解即可. 【详解】由，得，令，得， 由题意可知方程有两个不同的正根， 则，解得：，即实数的取值范围是.故选：D 【变式12-5】(多选)(2025高一·全国·专题练习)(多选题)已知关于的方程有正实数根，则实数的取值范围不可能为(    )． A． B． C．且 D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】解法1：利用检验法可得结论；解法2，利用分离变量法可求得的范围；解法3，设，可得方程有大于1的根，分类讨论可求得的范围；解法4，设，方程有大于1的根．，分类讨论可求得的范围. 【详解】解法1：， 当时，无解，选项B不可能． 当时，，方程即，即，无解，选项D不可能． 当时，，方程即0， 即，得或，无正根，选项C不可能． 解法2：由题意可知，， 因为，所以，从而，故，A正确BCD错误． 解法3：设，则原问题转化为方程有大于1的根， 显然，当时不成立． 判别式． ①当时，，方程即，得，无解． ②当时，，，． (i)当时，，所以，解得，与矛盾． (ii)当时，，所以，解得． 若，则恒成立； 若，则，， 可得，结合，得． ③当时，，方程无解． 综上所述，，A正确BCD错误． 解法4：设，则原问题转化为方程有大于1的根． 设，则，． ①当，即时，函数图象开口向上． (ⅰ)当时，，，不满足题意． (ⅱ)当时，，则有无解． ②当，即时，函数图象开口向下． 当时，，则有，得． 综上所述，，A正确BCD错误．.故选：BCD． 【变式12-6】(25-26高一上·山东·阶段练习)已知函数，若恰有两个正整数满足，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数与方程的综合应用、对数函数图象的应用 【分析】根据，可得只有两个正整数，对分类讨论应用数形结合列式计算求参即可. 【详解】由，可得， 即不等式的解集中只有两个正整数， 当，原不等式即为，不满足题意； 当时，二次函数在上单调递减，且恒成立，不满足题意； 当时，二次函数在上单调递增，且恒成立， 当时，， 所以只有和满足， 所以，解得，即实数的取值范围为.故答案为： 题型13 函数模型 【典例13-1】((课时作业)4.4.3不同函数增长的差异-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学必修第一册(人教A版2019))有一组实验数据如表： x 2 3 4 5 6 y 1.40 2.56 5.31 11 21.30 则体现这些数据的最佳函数模型是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】根据实际问题增长率选择合适的函数模型、指数、对数、幂函数模型的增长差异 【分析】根据给定的数据变化情况，逐项判断得解. 【详解】观察表中数据，知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快， 而选项A，B中的函数增长速度越来越慢，AB不正确； 对于C，当x=6时，y≈21.33；对于D，当x=6时，y=18，误差偏大，C最佳.故选：C 【典例13-2】(天津经济技术开发区第一中学2025-2026学年高一上学期10月学科练习数学试卷)某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，则这批台灯的销售价格的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式的实际应用、利用二次函数模型解决实际问题 【分析】根据已知得到销售收入且，再由求范围. 【详解】由题设，销售收入且， 为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，则， 所以，可得，综上，.故选：C 【典例13-3】(多选)(第六单元函数的单调性、函数的奇偶性A卷)如图，一座小岛与海岸线上的点距离最近，最近距离是，从点沿海岸线正东处有一个城镇．假设一个人先从小岛驾驶小船到海岸上，再步行去城镇，驾驶的小船的平均速度为，步行的速度为，时间(单位：)表示他从小岛到城镇的时间，(单位：)表示此人将船停在海岸线处距点的距离，表示他驾驶小船的行驶距离．设，，则(    )    A．函数为增函数 B． C．当时，此人从小岛到城镇花费的时间最少 D．当时，此人从小岛到城镇花费的时间超过 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值、利用函数单调性求最值或值域 【分析】根据函数，结合图象逐项分析可得答案. 【详解】对于A，由，单调递增，可得， ，则在上单调递减； 对于B，，所以 ； 对于C，由B可得， 当且仅当时，取等号，此时，即； 对于D，当时，，，即．故选：BD. 【典例13-4】(多选)(云南省玉溪市2023-2024学年高一上学期期末教学质量检测数学试卷)化学中会用值来判断溶液的酸碱度，值是溶液中氢离子浓度的负常用对数值，若设某溶液所含氢离子浓度为，可得，则以下说法正确的是(    )(参考数据) A．若氢离子浓度扩大为原来的10倍，则值降低1 B．若氢离子浓度扩大为原来的10倍，则值升高1 C．若氢离子浓度扩大为原来的4倍，则值降低0.6 D．若氢离子浓度扩大为原来的4倍，则值降低0.7 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】根据题意列出方程判断即可. 【详解】，氢离子浓度扩大10倍， 则值降低1，所以A正确，B错误；， 所以C正确，D错误.故选：AC. 【变式13-1】(河南省新乡市金科新未来2024-2025学年高一上学期12月质量检测数学试题)在一次数学实验中，小胡同学运用图形计算器采集到如下一组数据： 3 5 7 9 11 13 21.01 21.11 21.99 30.03 101.96 749.36 在以下四个函数模型中，为常数，最能反映间函数关系的可能是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】根据实际问题增长率选择合适的函数模型 【分析】由不同函数模型的增长速度可知指数函数符合题意. 【详解】根据表格提供数据可知，自变量变化量相同时，函数值增长越来越快， 即函数增长非常快，所以指数增长符合，即B选项符合.故选：B. 【变式13-2】(第二章第9讲函数模型及其应用-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习(人教A版))目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，发现地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为．则里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的(    ) A．6倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、对数的运算性质的应用 【分析】分别设里氏8.0级地震和里氏6.0级地震所释放出来的能量为和，通过给定的式子求出和，再求比值可得答案. 【详解】设里氏8.0级地震所释放出来的能量为，里氏6.0级地震所释放出来的能量为， 则，；，． 故选：C 【变式13-3】(专题六函数应用)生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象．若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需要的平均时间．在物种入侵初期，可用对数模型(为常数)来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间(单位：天)之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出，据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍时所需要的时间为(    ) 参考数据：． A．19.5天 B．20.5天 C．22.6天 D．19天 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、对数的运算性质的应用 【分析】根据已知数据求出的值，设初始时间为，累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍的 时间为，利用结合对数运算法则求解. 【详解】由题可知， 设初始时间为，累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍时的时间为，则 ， 所以该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍时所需要的时间为22.6天．故选：C. 【变式13-4】(第十三单元函数应用)按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内二氧化碳最高容许浓度不高于．经测定，刚下课时，教室内含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间(单位：)的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间的最小整数值为(    ) 参考数据：． A．1 B．3 C．7 D．8 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】由得，再由，求解即可. 【详解】当时，，解得，所以， 令，即， 即， 所以，故所需时间的最小整数值为8．故选：D 【变式13-5】(多选)(广东省普宁市2024-2025学年高一上学期期末质量测试数学试题)某数学小组在进行“数学建模活动——探究茶水温度与时间的关系”时，根据所收集的数据，得到时间(分钟)与水温(℃)的散点图(如图)，则下列不可能作为该散点图对应的函数模型的是(   ) A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、指数函数模型的应用(2) 【分析】根据常见函数的增长规律判定即可. 【详解】，单调递增，故A， C错误；，单调递减，满足题意.故选：AC. 【变式13-6】(多选)(辽宁省凌源市实验中学2024-2025学年高一上学期第三次月考数学试卷)按复利计算利息的一种储蓄，本金为(单位：万元)，每期利率为，本利和为(单位：万元)，存期数为.已知甲按照这种储蓄存入了一笔本金，当存期数为2时，本利和为1.1万元，当存期数为4时，本利和为1.21万元，则(    ) A． B． C．甲的本金为1万元 D．当存期数为8时，甲的本利和超过1.44万元 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】指数函数模型的应用(2) 【分析】根据指数函数模型得到，代入数据解得，再合理赋值即可判断. 【详解】由题意得，则解得 因为，所以，A，C正确，B错误. 当时，，D正确.故选：ABD. 一、单选题 1.(25-26高一上·江苏·阶段练习)函数的零点为(    ) A．1 B．－3 C．1和－3 D．和 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求函数的零点 【分析】根据零点定义令计算求解. 【详解】令，，即，解得或．故选：C. 2.(24-25高一上·全国·周测)若，，则下列式子值为的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算 【分析】利用指数幂的运算性质化简可得结果. 【详解】因为，，所以，， 所以，故选：C． 3.(25-26高三上·山东淄博·阶段练习)已知，，若，则(    ) A． B． C． D．36 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化 【分析】利用指数式与对数式的互化和对数的运算性质计算即得. 【详解】易知，所以，所以.故选：C 4.(2025高一·上海·专题练习)下列函数中是幂函数的是(    ) ① ；②；③ ；④；⑤ ；⑥ . A．① ③ ⑤ B．① ② ⑤ C．③ ⑤ D．只有⑤ 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断函数是否是幂函数 【分析】根据幂函数的定义即可逐一判断. 【详解】的系数是而不是1，故①不是幂函数； 是指数函数，故②不是幂函数； 的底数是而不是，故④不是幂函数； 是两个幂函数和的形式，故⑥也不是幂函数； 而和具有幂函数的形式，故③ ⑤是幂函数.故选：C. 5.(2025·江西·二模)已知函数，则下列函数中为奇函数的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据奇函数性质判断选项 【详解】根据得 可得，故为奇函数故选：A 6.(24-25高一上·四川泸州·期末)已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，，，则a，b，c的大小关系为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、对数的概念判断与求值、比较函数值的大小关系、比较指数幂的大小 【分析】根据偶函数可知，分析可知在内单调递减，结合单调性即可判断大小. 【详解】因为函数为上的偶函数，则， 且，则，即，可得， 又因为对任意，，均有成立， 可知在内单调递减，则，即.故选：A. 7.(25-26高三上·海南·阶段练习)若函数存在最小值，则实数a的取值范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数的最值求参数、对数函数单调性的应用 【分析】利用分段函数的单调性，结合参数讨论，即可判断最小值，从而可求参数范围. 【详解】当时，单调递增，所以， 当时，， 显然当时，在上单调递增，此时函数没有最小值，不合题意； 当时，函数，存在最小值，符合题意； 当时，在上单调递减，最小值， 在上值域为，要满足函数存在最小值， 则只需要.综上可得：实数a的取值范围为，故选：B 8.(24-25高一下·江苏扬州·期中)已知函数，，下列说法错误的是(   ) A．的值域为 B．若有2个零点，则或 C．若的3个零点分别为：，，，则的取值范围为 D．若有1个零点，则或 【答案】D【难度】0.15 【知识点】函数与方程的综合应用、分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、函数图象的应用 【分析】作出函数的图象，即可得到的值域，判断A选项，将的零点问题转化为的图象与函数的图象的交点的问题，数形结合即可判断B，C，D三个选项. 【详解】作出函数的图象，    对于A选项，当时，，当时，， 的值域为，故A正确； 令，则， 对于B选项，若有2个零点，则的图象与有两个交点，则或，故B正确； 对于C选项，若的3个零点，则的图象与有三个交点，则， ，，且， 则，，故C正确； 对于D选项，若有1个零点，则的图象与有一个交点，则或，故D错误. 故选：D. 二、多选题 9.(25-26高一上·山西忻州·开学考试)已知函数，则正确的是(    ) A．的值域为 B．的解集为 C．的图象与的图象关于轴对称 D．函数是偶函数 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性解不等式、求指数型复合函数的值域、函数奇偶性的定义与判断、函数对称性的应用 【分析】A项，根据的性质易求出函数的值域；B项，写出的表达式，根据的单调性，即可求出的解集；C项，求出的表达式，得出与的表达式相同，即可得出结论；D项，设，利用函数的奇偶性定义即可判断. 【详解】对于A，因，则，即值域为，A正确； 对于B，因，由得，即， ∵函数为减函数，∴，解得，故的解集为，B错误； 对于C，由， 可得，    由图知，的图象与的图象关于轴对称，C正确； 对于D，设，函数的定义域为，关于原点对称， 且，故为奇函数，故D错误.故选：AC. 10.(25-26高一上·全国·单元测试)已知函数，关于的方程，则下列判断中正确的是(    ) A．时，方程有2个不同的实数根 B．方程至少有2个不同的实数根 C．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 D．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数、根据函数零点的个数求参数范围、函数图象的应用 【分析】把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． 【详解】程根的问题可以转化成直线和图象的交点问题， 如图，作出直线和函数的图象， A，由图可知：时，方程有3个不同的实数根，错误； B，当时，结合图象可知，方程无解，错误． C，由图可知直线和的图象有3个交点时，的取值范围为，正确． D，假设，结合图象可知，，所以，正确．故选：CD. 11.(24-25高一下·广西南宁·阶段练习)设函数，则下列说法正确的是(  ) A．若，则或 B．若函数有3个不同零点，则实数的取值范围为 C．若函数有3个零点，，，则的取值范围为 D．对任意，函数在内无最小值 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】对于A，由分段讨论代入求解即可判断；对于B，由需有一个零点，同时 方程需有两个不等的小于1的实根， 即可判断；对于C，由题意得到，构造函数，确定单调性即可判断；对于D，分别讨论时，二次函数的最小值及时，的最小值，进而可判断； 【详解】对于中，若，， 解得(舍去)，若，则，解得， 因此，若，则或，可判定正确； 对于中，令，当时，可得， 若函数有3个零点，则需有一个零点，则； 当时，可得，若函数有3个零点， 则需有两个不等的小于1的实根，则满足，解得， 所以若函数有3个零点，则的取值范围是，所以正确. 对于中，设函数的3个零点分别是， 则，可得， 令，则在上单调递减，所以， 即的取值范围是，所以C错误； 对于中，当时，函数是开口向下的二次函数，， 对称轴是， 当时，函数在单调递减，在没有最小值，， 当时，函数单调递增，所以， 因为，所以，所以在内无最小值； 当时，函数在单调递增，在单调递减，在没有最小值， ， 当时，函数单调递增，所以， 因为，所以，所以在内无最小值； 当时，函数在单调递增，在没有最小值，， 当时，函数单调递增，所以， 因为，所以，所以在内无最小值，所以正确.故选：ABD. 三、填空题 12.(25-26高三上·北京房山·阶段练习)函数的定义域为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】使函数式有意义，列不等式，即得答案. 【详解】要使有意义， 需，解得：.故答案为： 13.(25-26高一上·河南南阳·阶段练习)已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性解不等式、求幂函数的解析式、判断一般幂函数的单调性 【分析】求出幂函数解析式，利用幂函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】设幂函数为，代入可得， 即，解得，所以， 由函数在上单调递增，得，解得， 所以不等式的解集为.故答案为： 14.(25-26高一上·全国·单元测试)已知(且)是指数函数，若“，不等式恒成立”为假命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据函数是指数函数求参数、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立(有解)问题 【分析】根据函数为指数函数求参数，得，问题转化为在上恒成立，由函数的单调性有在上恒成立，判断左侧单调性，即可求参数范围. 【详解】由指数函数定义得，又且，所以，，则． “，不等式能成立”为假命题， 则“，不等式恒成立”为真命题． 注意到，所以不等式在上恒成立． 又在R上单调递增，所以，即在上恒成立． 设函数，， 由，得，所以单调递增，则， 即，解得，所以． 故答案为： 四、解答题 15.(25-26高一上·全国·课堂例题)求下列各式中的x的值． (1)．(2)；(3). 【答案】(1)；(2)9；(3)2 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、指数式与对数式的互化 【分析】根据对数与指数的互化，结合指数的运算性质逐一求解； 【详解】(1)由，得； (2)由，得，所以； (3)因为，所以，所以. 16.(24-25高一上·全国·课后作业)已知指数函数(，且)的图象经过点． (1)试求的解析式，并求；(2)若，求实数的值． 【答案】(1)，；(2)或2． 【难度】0.94 【知识点】求指数函数解析式、由指数(型)的单调性求参数、求函数值 【分析】(1)根据指数函数的图象经过点，可求指数函数的解析式；再根据解析式求的值. (2)借助指数函数的单调性可求解. 【详解】(1)由题可知，，解得，则，所以. (2)令，则， 因为在上单调递增，所以， 由，解得或2． 17.(24-25高一上·山东日照·期末)已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式；(2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【难度】0.85 【知识点】函数不等式恒成立问题、求幂函数的解析式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】(1)将点代入解析式求出，得解； (2)问题转化为恒成立，令，求出的最小值得解. 【详解】(1)由题意可得，，. (2)由(1)可得，恒成立，， 令，，，实数的取值范围为. 18.(24-25高一上·云南昭通·期末)已知函数. (1)若，求的值；(2)若，判断的单调性并用定义法证明； (3)若，求不等式的解集. 【答案】(1)；(2)单调递增，证明见解析；(3) 【难度】0.65 【知识点】对数的概念判断与求值、定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】(1)由，解得，再利用对数运算求解； (2)利用函数的单调性定义证明； (3)由，求得，(解法一)由，将不等式转化为求解；(解法二)直接利用函数的解析式求解. 【详解】(1)由，得， 则，即，解得，则. (2)在上单调递增.证明如下：设，且， 则. 因为，所以，解得或. 因为，且，所以，则是上的增函数. 因为，所以，则， 所以，即，即，则在上单调递增. (3)由，得，解得. (解法一)由(2)可知在上单调递增，且， 则不等式等价于不等式，所以，即不等式的解集为. (解法二)由，得，即，解得，即不等式的解集为. 19.(24-25高一下·贵州六盘水·期末)若定义域为的函数满足，则称函数为“a型”弱对称函数. (1)若函数为“1型”弱对称函数，求m的值； (2)若函数为“4型”弱对称函数，且恰有3个零点，，，求的值； (3)若函数为“2025型”弱对称函数，且恰有101个零点，当对任意满足条件的函数恒成立，求的最大值. 【答案】(1)；(2)8；(3)4545 【难度】0.15 【知识点】基本不等式求最小值、函数新定义、根据函数零点的个数求参数范围、函数不等式恒成立问题 【分析】(1)根据“1型”弱对称的条件，代入运算求得； (2)利用“4型”弱对称性，零点成对出现，结合有奇数个零点，确定必有一个零点为2，进而求得答案； (3)根据题意，设，则，讨论和，且，得到，利用基本不等式求的范围，进而求得的最大值. 【详解】(1)因为为“1型”弱对称函数，所以，， 化简整理得恒成立，，即. (2)因为为“4型”弱对称函数，所以， 若是的零点，则也是零点，而恰有3个零点， 所以2显然是其中一个零点，不妨设，则，. (3)由题，，且， 对于的零点，有，则， 若，则，故45必为的一个零点， 若，且，则， 所以 ， 又对任意满足条件的函数恒成立，故，所以的最大值为4545. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第四章幂函数、指数函数与对数函数复习讲义 内容概览 1.教学目标、教学重难点 2.知识点01指数幂运算 题型01指数运算 题型02幂函数 3.知识点02指数函数及其性质 题型03求指数函数的解析式或函数值 题型04指数函数的图象 题型05指数函数的单调性与奇偶性 4.知识点03对数运算 题型06指数函数单调性的应用 第4章幂函数、指数函数与对数函数复习 题型07比较大小 5.知识点04对数函数级其性质 题型08对数运算 题型09指数、对数的关系 题型10对数函数的性质 6.知识点05函数零点存在定理 题型11函数零点的半判断 题型12已知函数零点求参数范围 7.知识点06二分法 题型13函数模型 8.知识点07常见函数模型 教学目标、教学重难点 1.掌握指数函数、对数函数的概念、图象和性质，并能用图象和性质解决有关问题. 2.了解指数函数y=a'(a>0,且a≠1)与对数函数y=logx(a>0,且a≠1)互为反函数，通过对几类 教学目标 基本初等函数的变化差异进行比较，来解决简单的实际问题， 3,掌握运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法）；理解用函数构建数学模型的基本 过程；运用模型思想发现和提出、分析和解决问题， 1、重点：指数函数、对数函数的图象与性质及其应用，特别是单调性的应用. 教学重难点 2、难点：与指数、对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题和选择恰当的函数 模型解决实际问题， 知识清单 知识点01指数幂运算 1.根式：式子Va叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数 性质：(V@n=a(a使Va有意义)： 当n为奇数时，Vaπ=a, 当m为偶数时，0-a-巴8 2.分数指数幂 规定：正数的正分数指数幂的意义是a”=Va(a>0,m,n∈N,且>l)片 正数的负分数指数幂的意义是a片=(e>0,m,n∈N,且心1： 0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义。 3.有理指数幂的运算性质：da=a;(a)=ar; (aby=ab,其中a>0,b>0,r,s∈Q. 第1页共74页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【即学即练1-1】(25-26高一上广东期中)式子√（π-4）z+/(3-)的值为) A.7-2π B.2π-7 C.-1 D.1 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】根式的化简求值 【分析】根据根式的性质运算即可得解 【详解】√(-4+V3-=4-π+3-π=7-2m,故选：A 【即学即练1-2】(25-26高一上广西开学考试)若10a=3,10b=5,则102+b=() A.11 B.14 C.30 D.45 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则计算得解。 【详解】由10=3,10b=5,得102a+b=102a×10b=(10)2×10b=32×5=45.故选：D 知识点02指数函数及其性质 1.概念：函数y=a'(a>0且a时1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R,a是底数. 2指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 y /Jy=㎡ y=a 图象 (0,) ---y=1 02y=1 o1一x o1 定义域 R 值域 (0,十0) 过定点(0,1)，即x=0时，y=1 性质 当>0时，y>1;当x<0时，0y<1 当x<0时，y>1;当x>0时，0<y<1 在（一o,十o0)上是增函数 在（一o,十o)上是减函数 【特别提醒】 (1)画指数函数y=a(a>0,且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a),(0,1),（-1,). (2)在第一象限内，指数函数y=(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大，简称“底大图高” 如图是：(1)y=a,(2)y=b,(3)y=c,(4)y=的图象，则：c>d>1>a>b>0. (2) (1) 4) 【即学即练2-1】(2025高三全国.专题练习)已知函数f(x)=a-1+1(a>0,a≠1)的图象经过点(2,3)，那 么这个函数的图象也必定经过点() 第2页共74页 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.（-2) B.（-1) c.(1,2) 0.(3 【答案】c 【难度】0.94 【知识点】指数型函数图象过定点问题、求指数函数解析式 【分析】将点(2,3)代入函数表达式得出α的值，从而得出函数解析式，依次代入各选项坐标计算求解. 【详解】已知函数f(x)=a-1+1(a>0,a≠1)的图象经过点(2,3)， ·a2-1+1=3,解得a=2,f(x)=2x-1+1,依次代入各选项坐标： 当x=-2时，f(-2)=22-1+1=京+1=号≠子故A错误： 当x=-1时，f(-1)=21-1+1=+1=+分故B错误： 当x=1时，f(1)=21-1+1=1+1=2,故C正确： 当x=3时，f3)=23-1+1=4+1=5≠日故D错误故选：C 【即学即练2-2】(24-25高二下福建福州期末)已知a=1.50.6,b=1.50.7,c=0.70.6,则a,b,c的大小关系是() A.a>b>c B.c>a>b C.b>a>c D.b>c>a 【答案】c 【难度】0.94 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】根据条件，利用指数函数y=1.5*和y=0.7*的性质，即可求解. 【详解】因为y=1.5*是增函数，又0<0.6<0.7，所以b>a>1, 又y=0.7*是减函数，所以c=0.70.6<0.70=1,则b>a>c,故选：C 知识点03对数运算 1.对数的定义：如果a=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN, 其中a叫做对数的底数，N叫做真数，N>O(负数和零没有对数). 2.几种常用的对数 一般对数：logaN(a>0,且a≠1)： 常用对数：lgN=log1oN; 自然对数：nN=logeN(e≈2.718) 3对数的常用结论 (1)loga1=0(a>0且a≠1)： (2)logaa=1(a>0且a≠1)月 推广：logaa=n(a>0且a≠1) (3)对数恒等式：aloeaN-=N(a>0且a1,>0). 4.对数的运算法则：如果a>0,且a≠1，M>0,W>0,那么： (1)loga(MN=logaM+logaN; (2loga-log.M-log.N; (3)logaM"-nlogaM(nER); 第3页共74页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.对数的换底公式：logW=oa,b均大于零，且不等于1)； logab 推广：（加gb1ogu=l,即1ogb=a,b均大于0且不等于1i (2logb=点ogba,b均大于0且不等于1，m0,n∈R): 【即学即练3】(25-26高三上，天津.阶段练习)已知loga3=m,log。4=n,计算a2m-n=() A是 B.1 C. D.2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】利用指数、对数的关系可得：am=3,an=4,代入求解即可. 【详解】由题可得：Q=3,a=4,所以a2=字=景放远：A 知识点04对数函数及其性质 1.对数函数的概念 函数y=logx(a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，+o). 2.对数函数的图象与性质 函数 y=logax,a>1 y=logax,0<a<1 yt x=1 x=1 y=logx 图象 (1,0) /1(1,0) y=log x 图象特征 在y轴右侧，过定点(1,0) 当x逐渐增大时，图象是上升的 当x逐渐增大时，图象是下降的 定义域 (0,+0) 值域 R 单调性 在(0，十o)上是增函数 在(0，十o)上是减函数 函数值变化规律 当x=1时，y=0 当>1时，>0；当0<<1时，y<0 当>1时，y<0;当0<x<1时，y>0 3指数函数与对数函数的关系 指数函数y=a(a>0,且a≠1)与对数函数y=logx(a>0,且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称. 【即学即练4-1】(25-26高一上·全国课前预习)函数f(x)=l0ga(4x-1)a>0,且a≠1)恒过点() A.(1,0) B.(0,1) c.() D.(0) 【答案】c 【难度】0.94 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】利用loga1=0即可求解 【详解】令4-1=1，则4=2，解得x= 则函数f)=1og.(4-1)a>0,且a≠1恒过点(，0），故选：C. 第4页共74页 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【即学即练42】25-26高-上江苏扬州阶段练习)设a=1gs25,b=lg六c=(份3，则() A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】比较对数式的大小、比较指数幂的大小 【分析】根据指数，对数的运算法则，化简并比较大小即可. 【详解】由c=(月2=4>a=1os25=2>b=8品=-1，即b<a<c放选：C 知识点05函数零点存在定理 1.函数零点的定义：一般地，把方程fx)=0的实数根x称为函数y=fx)x∈D)的零点. 注：函数的零点不是一个“点”，而是方程x)=0的实根. 2.函数零点存在性定理 设函数fx)在闭区间[a,b]上连续，且a)fb)<0,那么在开区间(a,b)内至少有函数fx)的一个零点， 即至少有一点xo∈(a,b),使得xo)=0. 3.函数的零点，方程的根，两图象交点之间的联系 设函数为y=x),则x)的零点即为满足方程x)=0的根， 若x)=g(x)一h(x),则方程可转变为gx)=h(),即方程的根在坐标系中为g(x),h(x)交点的横坐标. 由此看来，函数的零点，方程的根，两图象的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题 以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化， 【常用结论】 (I)若连续不断的函数fx)在定义域上是单调函数，则fx)至多有一个零点. (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号 (4)连续不断的函数f(x)在闭区间[a,b]上有零点，不一定能推出f(a)·f(b)<0. 【即学即练51】(2025高二下北京学业考试)已知函数y=f(x)的图象如图所示，则方程f(,)=-的解的 个数为)】 A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】根据给定的函数图象，求出直线y=一与该图象交点个数即得。 【详解】由给定的图象知，直线y=-与函数y=f)的图象有且只有1个交点， 所以方程f)=一的解的个数为1.故选：B, 第5页共74页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【即学即练5-2】(2025高一全国专题练习)函数f()=og2x-的零点所在区间为(： () B c.（1,2) D.(2,3) 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】由零点存在定理即可求解， 【详解】函数f)=log2x-是在(0，+o)上单调递增，且f(1)f(2)<0, 则函数f()=log2x-的零点所在区间为(1,2).故选：℃ 知识点06二分法 (I)定义：对于区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数f(x),通过不断地把函数f(x)的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法. 注：求方程f(x)=0的近似解就是求函数f(x)零点的近似值. (2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤： ①确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精度ε ②求区间(a,b)的中点x1, ③计算f(x1).若f(x1)=0则x1就是函数f(x)的零点； 若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x∈(a,x1), 若f(b)·f(x1)<0,则令a=x1(此时零点x∈(x1,b): ④判断是否达到精确度ε，即若la-bl<e,则函数零点的近似值为a(或b): 否则重复第(2)(4)步.（用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成） 【即学即练6】(24-25高一上·上海阶段练习)用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间(2,3)内的实根，取区 间中点三次，可以确定根所在的最小区间是() A.(2,2.5) B.(2,2.25) C.(2,2.125) D.(2.0625,2.125) 【答案】c【难度】0.94 【知识点】二分法求方程近似解的过程 【分析】根据零点存在性定理，结合“二分法”的概念，可得答案 【详解】令f(x)=x3-2x-5,则f(2)=-1,f(3)=16, 由f(2.5)=5.625,f(2.25)=1.890625,f(2.125)=0.345703125, 则方程x3-2x-5=0在区间(2,2.125)内有实根.故选：C. 知识点07常见函数模型 一、几类常见函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 fx)=ax十b(a,b为常数，a≠0) 反比例函数模型 )=+bk,b为常数且≠0) 二次函数模型 fx)=ax2+bx十c(a,b,c为常数，a≠0) 指数函数模型 f孔x)=bar+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 fx)=blogax十c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 fx)=ar十b(a,b为常数，a≠0) 第6页共74页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、常见函数模型 1.反比例函数模型 若fc+0=得%：则F)=四供中%f,f0,fc+y0的不为0) 2.一次函数模型 模型1：若f(x士y)=f(x)±fy),则①f(x)=f(1)x,②f(x)为奇函数； 模型2：若f(x+y)=f(x)+fy)+m,则f(x)=[f(1)+m]x-m: 模型3：若f(x-y)=f(x)-fy)+m,则f(x)=[f(1)-m]x+m: 3.指数函数模型 模型1：若f(x+y)=f(x)fy),则f(x)=[f(1)]x,(f(x)>0): 模型2：若fx-)=得则f=f(水>0)： 模型3：若f(x+y)=m·fx)fy),则fo)=mf严， m 模型4：若f-刃=m得则f=m四 4.对数函数模型 模型1：若f(x)=nf(x),则f(x)=f(a)logax(a>0且a≠1，x>0): 模型2：若f(xy)=f(x)+fy),则f(x)=f(a)logax((a>0且a≠1，x>0): 模型3：若f(白)=f(x)-fy),则f(x)=f(a)logax(a>0且a≠1，x>0): 模型4：若f(xy)=f(x)+fy)+m,则f(x)=[f(a)+m]logax+m(a>0且a+1,x>0): 模型5：若f()=f(x)-fy)+m,则fx)=[f(a)-m]logax-+m(a>0且a≠1，x>0): 5.幂函数模型 模型1：若f(xy)=f(x)fy),则f(x)=[f(a)]oga*(a>0且a≠1，x>0): 模型2：若f的)=得则f=fabg(a>0且a≠1，x>0,y≠0，f0)≠0)： 代入f(a)则可化简为幂函数： 6.余弦函数模型 模型1：若f(x+y)+f(x-y)=2f(x)fy)f(x)不恒为O),则f(x)=c0sωx; 模型2：若f()+fy)=2f()f()f(x)不恒为o,则f(x)=cosωx: 模型3：若f(x+y)+f(x-y)=kf()f0y)(f()不恒为0)，则f(x)=cosωx: 7正切函数模型 模型1：若fx+)=8f0)≠1).则f)=tanx 【即学即练7】（安徽省安庆市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量监测数学试题）从甲地到乙地的 距离约为240km,经多次实验得到一辆汽车每小时耗油Q(单位：)与速度v(单位：km/h)(0≤v≤120)的下 列数据： 第7页共74页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 O 60 80 120 Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：() A.Q=本+b B.Q=av3+bv2+cv C.Q=0.5”+a D.Q=klog v+b 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据实际问题增长率选择合适的函数模型 【分析】分析表中数据根据单调性和定义域即可判断出最符合实际的函数模型： 【详解】由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为[0,120]：第二，在定义域单调递增且单位增长 率变快；第三，函数图象过原点 函数Q=1+b和Q=05”+a在定义域内单调递减，不符合条件，故Ac错误： 函数Q=klogav+b中0不在函数的定义域中，故D错误； B选项：Q=av+bv2+cv满足上述三点，故B正确.故选：B. 题型精讲 题型01指数运算 【典例1-1】(24-25高二下云南期末)(m-3)3=() 3 A.π B.π+3 C.3(π-3) D.π-3 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算 【分析】根据根式与指数幂的转化求解即可 【详解】m-3)3=(红-3)2=π-3，故选：D 【典例1-2】(25-26高一上江苏镇江阶段练习)已知a=30,b=√10，则a,b的大小关系是() A.a<b B.a>b C.a=b D.无法判断 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根式的化简求值、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】通过a,b的大小，及不等式的性质即可判断. 【详解】a6=(V30°=900，b6=(V10°=1000，所以a5<b°，即a<b,故选：A 【典例1-3】（多选23-24高一上·甘肃白银期末）下列各式正确的有() A.Va=a(n≥2，n∈N+)B.√a√a=a(a>0)c.-3=-3D.V(-3)=3 第8页共74页 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】运用根式的化简方法直接求解即可」 【详解】~Van a,n为奇数 A项错误； (lal,n为偶数 w/ava-(ava)i-(a.a)-(a)-ai(a>0). ·B项正确： :3=-3,C项正确： :√(-3)=V32=V3,:D项正确.故选：BCD 【典例14】2425高一上上海期末)f)= f(2)+f(2)+…+f(82)+f(02器)= 【答案】1012 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、指数幂的运算 【分析】根据题意求出f(x)+f(1-x)=1,然后分组求和即可求出结果. 【详解】因为f国=系所以听倒+f0-刘=票+ 31-x =+ 3x =+=1， 3x 则f(品)+f(品)+…+f(02)+f() ()+f(2)+V(品)+f器+亚(02器)+f(器》 =1012×1=1012.故答案为：1012. 【变式1-1】(24-25高一上·全国·周测)下列各式正确的是() A.-8=-2 8. (-3)=-3c.x+y=x+是D.(月2=nm 12 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】借助指数幂的运算法则计算即可得 【详解】对A:(-2)3=-8,-2=8,故A正确： 对8："-3)=3=3=3，故B错误 对C::(x+y)=c+)3++y,故C错误： 对D:(=器=n2m2≠2m,故D错误故选：A 【变式1-2】(25-26高一上江苏盐城阶段练习)若1<a<2,则V(1-a)3+V(a-2)4的化简结果是() 第9页共74页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1 B. -1 C.3-2a D.2a-3 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】根式的化简求值 【分析】根据题意结合根式的性质运算求解即可。 【详解】由1<a<2,得a-2<0, 所以(1-a)3+(a-2)4=1-a+la-2=1-a+2-a=3-2a.故选：C 【变式1-3】25-26高一上江苏南通阶段练习)设x∈R,若√x-1)7+Vx3为定值，则实数x的取值范围为) A.(-∞，0] B.(-∞，1] C.[0,+∞) D.[1,+∞) 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根式的化简求值 【分析】根据题意分x>1,x≤1两种情况进行根式化简讨论，从而可求解 【详解】由题意当x>1时，√x-1)7+=x-1+x=2x-1不为定值， 当x≤1时，√c-12+=1-x+x=1为定值， 综上所述：实数x的取值范围为(-oo,1],故B正确故选：B. 【变式1-4】（多选25-26高一上·江苏南京·阶段练习）下列等式中正确的是() A.-=(-x)3 B.x c=酒x>0,。=x>0 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】根据分数指数幂与根式的转化判断各个选项. 【详解】对于A:-反=-x=(-x),A选项正确： 对于B:当x=-1时，√x2=1≠-1，B选项不正确： 对于c:>0时x=目= C选项正确： 【变式1-5】（多选25-26高一上.全国·单元测试）设a>0,则下列运算正确的是() 21 A.a3a3=a B.号=a C.(a)3=a3 D.√a√a=a 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的运算 第10页共74页