精品解析：广东省深圳市新安中学（集团）燕川中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

广东省深圳市新安中学（集团）燕川中学2024-2025学年高二上学期期中考试 数学试题 2024年11月 命题人刘付丽清 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点与点，则的中点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（ ） A B. C. D. 4. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交过圆心 D. 相交不过圆心 5. 已知平面的法向量，平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 已知圆，直线，为任意实数，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 与m的值有关 7. 已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点P在圆上，点，满足的点的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的斜率为 B. 若直线经过第三象限，则， C. 直线恒过定点 D. 若，则直线与直线垂直 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若空间中的，满足，则三点共线 B. 空间中三个向量，若与不共线，则不共面 C. 对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面 D. 是空间的一组基底，若，则能为空间的一组基底 11. 长方体底面是边长为的正方形，长方体的高为，分别在上，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 二面角的正切值为 第II卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设椭圆的左、右焦点分别为，过作平行于轴的直线交于A，B两点，若，，则C的离心率为______________. 13. ，若，则实数值为___________. 14. 已知直线与曲线有公共点，则实数取值范围是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线过点且与圆相切. （1）求直线的方程； （2）若圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的标准方程. 16. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，中点. （1）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 17. 已知椭圆上点到其焦点的距离的最大值为，最小值为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 18. 在中，，，，分别是AC，AB上的点，满足，且.将沿DE折起到的位置，使，存在动点使如图所示. （1）求证：平面BCDE； （2）当时，求二面角的余弦值； （3）设直线BM与平面所成线面角为，求的最大值. 19. 如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，. （1）求直线的方程，并写出直线所经过的定点的坐标； （2）求线段中点的轨迹方程； （3）若两条切线，与轴分别交于，两点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省深圳市新安中学（集团）燕川中学2024-2025学年高二上学期期中考试 数学试题 2024年11月 命题人刘付丽清 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分焦点在轴上与轴上讨论，求的取值范围. 【详解】当时，方程表示焦点在轴上的椭圆； 当时，方程表示焦点在轴上的椭圆. 综上，实数的取值范围. 故选：D 2. 已知点与点，则的中点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用中点坐标公式可得结果. 【详解】由中点坐标公式可知，线段的中点坐标是，即为. 故选：B. 3. 如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理得到答案. 【详解】，为中点， 故 故选：B 4. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交过圆心 D. 相交不过圆心 【答案】D 【解析】 【分析】由圆标准方程确定圆心、半径，再应用点线距离公式求圆心到直线的距离，并与半径比较大小，即可确定位置关系，注意直线是否过圆心即可. 【详解】由题设，圆的标准方程为， ∴圆心为，半径为4， 又到的距离为， ∴直线与圆的位置关系为相交且不过圆心. 故选：D 5. 已知平面的法向量，平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题设知，结合它们的坐标得即可求，进而求. 【详解】由，知：，则，解得，，故. 故选：C 6. 已知圆，直线，为任意实数，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 与m的值有关 【答案】B 【解析】 【分析】将，转化为，利用 ，可以确定直线过定点，再利用定点在圆内部即可得出结论. 【详解】将直线的方程整理为， 由得 ， 所以直线过定点， 因为， 所以点在圆内部， 所以直线和圆恒有个交点，即直线和圆相交. 故选：B 【点睛】本题考查直线系方程的应用，考查了直线和圆的位置关系，属于中档题. 7. 已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆焦点三角形的性质求椭圆离心率的值. 【详解】如图，不妨设在第一象限. 设，则, 由. 由. 所以椭圆的离心率. 故选：B 8. 已知点P在圆上，点，满足的点的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示确定点的轨迹，结合圆与圆的位置关系即可判断. 【详解】设点，则，且， 由，得， 即， 故点的轨迹为一个圆心为，半径为的圆， 则两圆的圆心距为，半径和为，半径差为． 因为，所以两圆相交，满足这样的点有2个 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的斜率为 B. 若直线经过第三象限，则， C. 直线恒过定点 D. 若，则直线与直线垂直 【答案】CD 【解析】 【分析】A化为斜截式判断；B特殊值判断即可；C化为，即可确定定点；D将参数代入直线方程即可判断. 【详解】A：将直线化为斜截式，有，即直线斜率为，错； B：当时，直线为也过第三象限，错； C：， 令，即直线过定点，对； D：由题设，，显然两线垂直，对 故选：CD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若空间中的，满足，则三点共线 B. 空间中三个向量，若与不共线，则不共面 C. 对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面 D. 是空间的一组基底，若，则能为空间的一组基底 【答案】ACD 【解析】 【分析】化简得，可判定A正确；结合，可判定B错误；化简得，可判定C正确；设，得到，得到与是空间的一组基底矛盾，可判定D正确. 【详解】对于A，由，可得，即， 所以三点共线，所以A正确； 对于B，例如：向量，可得向量不共线， 若，则，此时向量共面，所以B不正确； 对于C，由，可得， 则， 所以四点共面，所以C正确； 对于D，若向量共面，则存在实数，使得， 因为，可得， 则向量共面，这与是空间的一组基底矛盾， 所以可以构成一个空间基底，所以D正确. 故选：ACD. 11. 长方体的底面是边长为的正方形，长方体的高为，分别在上，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 二面角的正切值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线线垂直、线线平行的向量证法可知AB正误；根据异面直线所成角、二面角的向量求法可知CD正误. 【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， ，，，， ，，，，，，，， 对于A，，， ，与不垂直，A错误； 对于B，，，， 则，B正确； 对于C，，， ，即异面直线与所成角的余弦值为，C正确； 对于D，轴平面，平面的一个法向量； 设平面的法向量，又，， ，令，解得：，，； ，， 即二面角的正切值为，D正确. 故选：BCD. 第II卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设椭圆的左、右焦点分别为，过作平行于轴的直线交于A，B两点，若，，则C的离心率为______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆对称性求出，由椭圆的定义求出，进而求得，即可求出离心率． 【详解】由题意知，，轴，故， 又，由，解得， 又，所以， 所以椭圆的离心率为． 故答案为： 13. ，若，则实数值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】由向量线性运算的坐标表示，和向量垂直的坐标表示，求实数的值. 【详解】，则， 又，则，解得. 故答案为：2 14. 已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，直线过定点，曲线表示半圆，做出图像，利用数形结合的思想可得斜率的最大值，最小值. 【详解】 由题意得直线过定点，画出曲线的图像，如图所示， 结合图像可知，当直线与半圆相切于点时，斜率最大， 根据，可得，此时 当直线与轴重合时，斜率最小，此时 所以实数的取值范围为 故答案为: 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线过点且与圆相切. （1）求直线的方程； （2）若圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的标准方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）判断出点为切点，根据切线的性质，即可求得答案； （2）设所求圆的圆心坐标为，结合圆心到直线的距离，根据弦长列式求出t的值，即可得答案. 【小问1详解】 可化为，即圆心为，半径为 将点的坐标代入圆的方程，成立，则点在圆上， 点与点连线的斜率为， 所以直线的斜率为1， 故直线的方程为，即. 【小问2详解】 设所求圆的圆心坐标为，由于该圆与轴相切，因此该圆的半径为， 所以该圆的方程是. 因为该圆被直线截得的弦长为， 所以该圆圆心到直线的距离， 由，解得. 故圆的标准方程为或. 16. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，中点. （1）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，运用向量点到平面的距离公式计算即可；（2）先求出直线与平面所成的角，可通过向量法，求出平面的法向量，再根据向量的夹角公式求出直线与平面所成角的正弦值，最后根据三角函数关系求出余弦值. 【小问1详解】 因为，，，，底面为正方形， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 因为，分别为，中点，所以，， 则，，， 设平面的法向量为， 由，即，令，则，，所以， 则，， 根据点到平面的距离公式. 【小问2详解】 首先设平面的法向量，，， 由，即，令，则，，所以， 设直线与平面所成角为， 则，，， 所以， 因为，所以， 则直线与平面所成角的余弦值. 17. 已知椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为，最小值为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆几何性质列方程组求解可得； （2）利用点差法即可得解. 【小问1详解】 由题意可知，则. 因为， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设，则， 两式相减得， 整理可得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 直线和轴的交点为， 该点在椭圆内，故直线和椭圆相交，满足条件. 18. 在中，，，，分别是AC，AB上的点，满足，且.将沿DE折起到的位置，使，存在动点使如图所示. （1）求证：平面BCDE； （2）当时，求二面角余弦值； （3）设直线BM与平面所成线面角为，求的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证平面，可得，进而可得平面； （2）建系标点，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角； （3）根据题意可得和平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【小问1详解】 因为，则， 且，可得， 将沿折起到的位置，始终有，， 因为，平面，所以平面， 由平面，可得， 且，，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）可知，，，两两垂直，翻折前，因为，且， 所以，，所以， 翻折后， 由勾股定理得， 所以以为原点，直线，，分别为，，轴建立如下空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，可得， 设平面的法向量，则， 令，则，，可得， 可得， 所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）可知，， 设平面的法向量，则， 令，则，，可得， 且， 因为直线与平面线面角为， 则 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 19. 如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，. （1）求直线的方程，并写出直线所经过的定点的坐标； （2）求线段中点的轨迹方程； （3）若两条切线，与轴分别交于，两点，求的最小值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出以为圆心，为半径的圆的方程，再根据线段为圆和圆的公共弦，将两圆的方程相减可得直线的方程，再令直线中参数项的自变量为0求解定点即可； （2）设的中点为点，直线过的定点为点，根据几何性质可得始终垂直于，进而求得方程即可； （3）设切线方程为，根据直线与圆相切化简可得，设，的斜率分别为，，则，为的两根，表达出，再代入韦达定理，结合函数的范围求解即可. 【小问1详解】 圆即，则，半径， 所以，，则， 故以为圆心，为半径的圆的方程为， 显然线段为圆和圆的公共弦， 所以直线的方程为，即， 令，解得，所以直线过定点； 【小问2详解】 因为直线过定点，的中点为直线与直线的交点， 设的中点为点，直线过的定点为点， 易知始终垂直于，所以点的轨迹为以为直径的圆， 又，，故该圆圆心，半径为，且不经过. 点的轨迹方程为，即线段中点的轨迹方程为； 【小问3详解】 设切线方程为，即， 故到直线的距离，即， 设，的斜率分别为，，则，， 把代入，得， 则， 故当时，取得最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $