3.2圆的对称性（题型专练）数学北师大版九年级下册

3.2圆的对称性 题型一 利用等弧进行求解 1．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，是的直径，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖北·期中）如图，在中，如果弧是弧的二倍，则下列关于弦与弦之间关系正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·西藏拉萨·期中）如图，为的直径，点C、D是的三等分点，，则的度数为（    ） A．32 B．60 C．80 D．120 4．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，、是的直径，．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·内蒙古兴安盟·期中）如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述为 ． 6．（24-25九年级上·河南许昌·期中）如图，已知是的直径，，，那么的度数为 ． 7．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的直径，，．求的度数 ． 8．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图，已知是的直径，弦与弦交于点E，且，垂足为点F．若点C是的中点． (1)求的度数； (2)若，求的值； 题型二 利用等弦进行求解 1．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C．到、的距离相等 D． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，将弦绕圆心顺时针旋转得到弦，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，五边形内接于半径为6的，F为中点，连结，若，，，则的长为（  ） A． B．5 C．4 D． 4．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，以为直径的半圆与分别相交于点D，E，则弧的度数（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是的直径，，，则的度数是 ． 6．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）如图，是的直径，四边形内接于，若，则的直径为 ． 题型三 利用圆心角相等进行求解 1．（24-25九年级上·陕西安康·期末）如图，是的弦，连接，若，则弦，之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·西藏林芝·期中）如图，是的弦，若，则弦所对的圆心角为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，半径为10的⊙中，弦，所对的圆心角分别是，．已知，，则点到的距离等于（   ） A．8 B．6 C． D． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，是的直径，如果，那么与线段相等的线段有 ，与相等的弧有 ． 5．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，请添上一个条件： ，使得． 6．（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知的半径为3，弦AB，CD所对的圆心角分别是，．若与互补，弦，求弦AB的长． 题型一 利用等弧进行求证 1．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，点、、、都在上，若，求证：． 2．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，． 求证： (1)； (2)． 3．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，在中，，于点D，于点E，求证：． 4．（20-21九年级上·福建南平·期末）在扇形中，，点B在上，且，点E在半径上，以为邻边作平行四边形，当点C，B，F共线时， (1)求的度数； (2)求证：． 5．（22-23九年级上·全国·期中）如图，A、B是上的两点，C是的中点，．求证：四边形是菱形． 6．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，弦，相交于点，．求证：． 7．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，正方形内接于，为弧中点，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求点到的距离． 题型二 利用等弦进行求证 1．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，均为上的点，且，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025九年级·全国·专题练习）如下图，A，B，C，D是上的四点，圆中两条弦AB，CD相交于点E． (1)若，求证：． (2)若，求证：． 3．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，、是的两条弦，与相交于点E,． (1)求证：； (2)连接，作直线，求证：． 4．（22-23九年级上·全国·期中）如图，O为等腰三角形的底边的中点，以为直径的半圆分别交，于点D，E．求证： (1) (2)． 5．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，已知．求证：． 6．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，，是的弦，，，是的半径，且，．求证：． 7．（24-25九年级下·广东茂名·阶段练习）如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：． 8．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如图，点在上，．求证：． 9．（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图，是上的点，，分别交，于点．求证： (1)； (2)． 题型三 利用圆心角相等进行求证 1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，，，，是上的点，，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）如图所示，在圆O中，如果（均小于），那么正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，都是的直径，且，则的弦，，的大小关系是 ． 4．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，A，B，C，D是半径为5的上的点，． (1)求证． (2)若E为的中点，求的长． 5．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，，，， 是 上的点，，． (1)求证：； (2)能否求出 的长?若能，求出 的长，若不能，请说明理由． 6．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，已知为的直径，，绕点旋转，，两点不与，重合． (1)求证：； (2)成立吗？为什么． 7．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图， ，是的两条直径，过点A作交于点，连结，，求证：． 8．（2023·江苏徐州·二模）如图，四边形内接于，延长到点E，使得，，连接． (1)求证：； (2)若，，．求的值． 题型一 弧、弦、圆心角的综合运用 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，点是的中点，垂直平分半径，，则该圆的半径为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川·中考真题）在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（   ） A． B．2 C．2 D．4 3．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知在扇形中，，，C为弧的中点，D为半径上一动点，点B关于直线的对称点为M，若点M落在扇形内（不含边界），则长的取值范围是 ． 4．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图，菱形，以A为圆心，长为半径的圆分别交边于点E，F，G，H． (1)求证：； (2)当E为弧中点时，求证：． 5．（2025·河南·模拟预测）【问题情境】数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对公园里的摩天轮进行实地调研．摩天轮位于儿童公园内，摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟． 【实践过程】小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度和所用的时间的数据，并绘制图象如图1． 【问题研究】请根据图1中信息回答： （1）摩天轮最高点距地面______（米），摩天轮最低点距地面______（米）； （2）求摩天轮的半径； 【问题解决】如图2，摩天轮从点旋转到点需6分钟，且两点与地面距离相等，即． （3）若距离地面82米以上能够获得最佳观赏效果，试问摩天轮从点旋转到点的全过程中是否能够获得最佳观赏效果，并说明理由．（结果精确到0.1米，参考数据，，） 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2圆的对称性 题型一 利用等弧进行求解 1．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，是的直径，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先根据圆心角、弧、弦的关系得到，然后利用平角的定义计算的度数，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．（25-26九年级上·湖北·期中）如图，在中，如果弧是弧的二倍，则下列关于弦与弦之间关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系及三角形三边关系定理，准确作出辅助线是解题的关键． 取弧的中点D，连接，，则根据圆心角、弧、弦关系定理的推论得到，又在中，根据三角形三边关系定理得出，即可得解． 【详解】解：如图，取弧的中点D，连接，， 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，即, 故选D． 3．（25-26九年级上·西藏拉萨·期中）如图，为的直径，点C、D是的三等分点，，则的度数为（    ） A．32 B．60 C．80 D．120 【答案】C 【分析】本题考查弧，弦，圆心角的关系．根据C、D是弧的三等分点易得度数为度数的． 【详解】解：∵， ， ∵点、是的三等分点， ∴ ， ， 故选：C． 4．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，、是的直径，．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查弧和圆心角的关系，解决此题的关键是熟练运用等弧所对的圆心角相等，反之亦如此；根据圆心角相等得到弧相等，根据弧相等得到圆心角相等，即可得到答案； 【详解】解：∵、是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 5．（25-26九年级上·内蒙古兴安盟·期中）如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 如图，取弧的中点，利用得到，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用三角形三边的关系得，于是有． 【详解】解：如图，取弧的中点，则， ， ， ， ， ． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·河南许昌·期中）如图，已知是的直径，，，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，解题关键是熟练掌握同圆（或等圆）中，等弧所对的圆心角相等． 根据同圆（或等圆）中，等弧所对的圆心角相等，即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为： 7．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的直径，，．求的度数 ． 【答案】 【分析】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用平角的定义得到的度数，然后根据弧的度数等于它所对的圆心角的度数求解． 【详解】解：∵，， ∴，而为直径， ∴ 答：的度数为. 8．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图，已知是的直径，弦与弦交于点E，且，垂足为点F．若点C是的中点． (1)求的度数； (2)若，求的值； 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，根据三线合一得到，再根据等弧所对圆心角相等得到，推出，即可求解； （2）根据含30度角的直角三角形的性质以及线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 题型二 利用等弦进行求解 1．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C．到、的距离相等 D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．根据圆心角、弧、弦的关系判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴O到、的距离相等， 所以A、C、D选项正确， 不能证明是等边三角形，不一定成立， 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，将弦绕圆心顺时针旋转得到弦，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质以及旋转的性质，解题的关键是由圆的性质“在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等”知道，以及正确求出的度数．由等腰三角形的性质“等边对等角”以及三角形的内角和定理，可以求出，由旋转的性质可知，由“在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等”可知，从而求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴． ∵弦绕圆心顺时针旋转得到弦， ∴， ∴． 故选A． 3．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，五边形内接于半径为6的，F为中点，连结，若，，，则的长为（  ） A． B．5 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查圆的基本性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，先根据已知条件得出，进而证明是等边三角形，再利用三角函数解即可． 【详解】解：如图，连接，，，， ，， ， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， F为中点， ， ， 故选A． 4．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，以为直径的半圆与分别相交于点D，E，则弧的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，弧与圆心角的关系，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，进而求得即可． 【详解】解：连接， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴弧的度数为， 故选：C． 5．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是的直径，，，则的度数是 ． 【答案】/78度 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，先根据圆心角、弧、弦的关系得到，然后利用平角的定义计算的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）如图，是的直径，四边形内接于，若，则的直径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质与判定．如图，连接、．根据圆心角、弧、弦的关系证得是等边三角形，则的半径长为；即可求解． 【详解】解：如图，连接、． 是的直径，四边形内接于，若， ， ． 又， 是等边三角形， ， 的直径为 故答案为：． 题型三 利用圆心角相等进行求解 1．（24-25九年级上·陕西安康·期末）如图，是的弦，连接，若，则弦，之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，根据在同圆或等圆中，弧，弦，角之间任意一组量相等，另外两组也相等，即可得出结论． 【详解】解：， ． 故选：C． 2．（25-26九年级上·西藏林芝·期中）如图，是的弦，若，则弦所对的圆心角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据同圆的半径相等，得到等腰三角形，根据等边对等角，三角形内角和定理解答即可． 本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，半径为10的⊙中，弦，所对的圆心角分别是，．已知，，则点到的距离等于（   ） A．8 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的相等关系，垂径定理和三角形中位线性质．作于，作直径，连接，先利用等角的补角相等得到，再利用圆心角、弧、弦的关系得到，由，根据垂径定理得，可证为的中位线，然后根据三角形中位线性质得到． 【详解】解：作于，作直径，连接，如图， ，， ， ， ， ， ， 又， 为的中位线， ， 故选B． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，是的直径，如果，那么与线段相等的线段有 ，与相等的弧有 ． 【答案】 ，，，，， ， 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧的关系，等边三角形的判定与性质，由是的直径得，从而得出，，是全等的等边三角形，再根据性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径，， ∴； 又∵， ∴，，是全等的等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：，，，，，；，． 5．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，请添上一个条件： ，使得． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据圆心角、弧、弦之间的关系即可求解． 【详解】解：添加， 则． 故答案为：． 6．（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知的半径为3，弦AB，CD所对的圆心角分别是，．若与互补，弦，求弦AB的长． 【答案】 【分析】延长交于点，连接，利用等角的补角相等得到，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，接着利用圆周角定理得到，然后利用勾股定理计算的长． 【详解】解：如图，延长交于点T，连接． ，， ， ． ， ，， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，解题的关键是应用圆的性质和勾股定理解决问题． 题型一 利用等弧进行求证 1．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，点、、、都在上，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了弦与弧之间的关系．根据已知条件求得，根据弧与弦的关系即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由得出，即，即可得证； （2）证明，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∴； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，在中，，于点D，于点E，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，连接，根据题意得出，进而证明，即可得证． 【详解】证明：连接． ， ， ， ． 又， ， ． 4．（20-21九年级上·福建南平·期末）在扇形中，，点B在上，且，点E在半径上，以为邻边作平行四边形，当点C，B，F共线时， (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了圆心角与弧的关系，平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． （1）根据弧度关系得到角度关系，求得，再结合平行四边形的性质，即可求解； （2）连接，证明是等边三角形，进而证明，即可得证 ． 【详解】（1）解：∵ ，且， ∴， ∵， ∴， ∵平行四边形中，， ∴； （2）证明：连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴．     又∵， ∴，     ∴， ∴． 5．（22-23九年级上·全国·期中）如图，A、B是上的两点，C是的中点，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆中弧、弦与圆心角的关系，等边三角形的判定与性质，菱形的判定等知识；连接，由C是的中点，，则可得和都是等边三角形，从而，则可得四边形是菱形． 【详解】证明：如图，连接， ∵C是的中点，， ∴， 又∵， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形． 6．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，弦，相交于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，理解在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等是解题关键，证明即可证明结论． 【详解】证明：， ， ， ． 7．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，正方形内接于，为弧中点，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由正方形的性质得，再结合为弧的中点，得出，则，故，即可作答． （2）先证明是线段的垂直平分线，再结合勾股定理得，算出，，则，即可作答． 【详解】（1）解： 四边形是正方形， ， 为弧的中点， ， ∴， ， 是等腰三角形． （2）解：如图，连接，连接并延长交于点， ，， 是线段的垂直平分线， 四边形是正方形， ， ∵， ， ∴， 则， ∴， ， ， 即点到的距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型二 利用等弦进行求证 1．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，均为上的点，且，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系．由A、B、C、D是⊙O上的点，，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，故A选项说法正确，不符合题意； ∴，即，故B选项说法正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∴，故C选项说法正确，不符合题意； 不能证明，故D选项说法错误，符合题意； 故选：D． 2．（2025九年级·全国·专题练习）如下图，A，B，C，D是上的四点，圆中两条弦AB，CD相交于点E． (1)若，求证：． (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系等知识，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据圆心角、弧、弦之间的关系等知识证明即可； （2）根据圆心角、弧、弦之间的关系等知识证明即可． 【详解】（1）证明：， ， ，即， ． （2）证明：， ， ，即， ． 3．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，、是的两条弦，与相交于点E,． (1)求证：； (2)连接，作直线，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，进而可得； （2）因为，所以，即．结合，得出E、O都在的垂直平分线上，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴； （2）连接、、，并作直线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴E、O都在的垂直平分线上， ∴． 4．（22-23九年级上·全国·期中）如图，O为等腰三角形的底边的中点，以为直径的半圆分别交，于点D，E．求证： (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质等知识，解题的关键是注意数形结合思想的应用． （1）首先得到，推出，然后等量代换得到，由三角形内角和得到，即可得到； （2）由得到，然后结合求解即可． 【详解】（1）证明：∵O为等腰三角形的底边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴，即． 5．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，已知．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握相等的圆心角所对的弦相等是解题关键． 连接、，证得，得，根据相等的圆心角所对的弦相等即可得证． 【详解】证明：如图，连接，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 6．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，，是的弦，，，是的半径，且，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查的是弧、圆心角、弦的关系，全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线．构造出全等三角形及圆心角是解题的关键． 连接，，，先根据全等三角形的判定定理得出，故可得出，再由平行线的性质可得出，， 故，进而得出结论． 【详解】证明：连接，，， 在与中， ， ， ， ，， ，， ， ． 7．（24-25九年级下·广东茂名·阶段练习）如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，求出，根据得出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如图，点在上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了圆心角，弧，弦的关系，熟知圆心角，弧及弦之间的关系是解题的关键， 根据圆心角，弧及弦之间的关系即可解决问题． 【详解】∵， 9．（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图，是上的点，，分别交，于点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由圆中弦、弧和圆心角的关系得到，再由圆的半径相等，结合两个三角形全等的判定定理得到，最后由全等三角形的性质即可得证； （2）由等腰三角形性质得到，，再结合（1）中，即可得到，从而由两个三角形全等的判定定理得到，最后由全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ； ； （2）证明：， ，， 由（1）知， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆综合，涉及圆中弦、弧和圆心角的关系，圆的基本性质，全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟记圆的性质及三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 题型三 利用圆心角相等进行求证 1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，，，，是上的点，，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系，根据圆心角，弦，弧之间的关系逐项排除即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴，不符合题意； 、不能保证，符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴， ∴，不符合题意； 故选：． 2．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）如图所示，在圆O中，如果（均小于），那么正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，正确把握相关定理是解题关键． 直接利用圆心角、弧、弦的关系得出各线段、角的关系即可解答． 【详解】解：取的中点，连接， ， ， ∵， ， ， ∵， ∴，故C正确； 故选：C． 3．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，都是的直径，且，则的弦，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．根据对顶角相等得到，，，得到，根据圆心角、弧、弦的关系定理判断即可． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，A，B，C，D是半径为5的上的点，． (1)求证． (2)若E为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，三线合一，勾股定理： （1）根据，得到，等角对等弧，即可得证； （2）等弧对等弦，得到，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∴． 5．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，，，， 是 上的点，，． (1)求证：； (2)能否求出 的长?若能，求出 的长，若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)能， 【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系定理； （1）先证明即可得到结论； （2）由证明即可. 【详解】（1）证明：， ， 即 ． ∴． （2）解：∵， ． ， ． 6．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，已知为的直径，，绕点旋转，，两点不与，重合． (1)求证：； (2)成立吗？为什么． 【答案】(1)证明见解析； (2)不成立，理由见解析． 【分析】（）直接利用弧度与圆心角的关系得出答案； （）利用三角形三边关系以及圆心角、弧、弦的关系得出即可； 此题主要考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形三边关系，正确把握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵为直径，， ∴， ∴； （2）不成立，理由： 如图，在上截取，则， 则，， 在中，， ∴． 7．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图， ，是的两条直径，过点A作交于点，连结，，求证：． 【答案】见详解 【分析】连接，可得，再由得，，从而得出，则． 本题主要考查了圆的对称性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】证明：如图，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．（2023·江苏徐州·二模）如图，四边形内接于，延长到点E，使得，，连接． (1)求证：； (2)若，，．求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据证明，得出即可； （2）过点D作于，求出，根据，，得出，根据三角函数求出，求出． 【详解】（1）证明：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：过点D作于，如图所示： ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角、弧、弦间的关系，解直角三角形，求正切值，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角函数的定义． 题型一 弧、弦、圆心角的综合运用 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，点是的中点，垂直平分半径，，则该圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，等边三角形的判定和性质，勾股定理等，连接，由线段垂直平分线的性质和弧弦圆心角的关系可得，即得和是等边三角形，可得，再利用等边三角形的性质和勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵垂直平分半径， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴和是等边三角形， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴，即圆的半径为， 故选：． 2．（2025·四川·中考真题）在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（   ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】B 【分析】延长至点，使，证明，进而推出，即可得到点是的中点，再根据直角三角形的性质可知点在以点为圆心，为半径的圆上，当时，取的最大值，即此时面积最大，然后根据弧、弦、圆心角的关系可知，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，延长至点，使， D为中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴，即， ， 点是的中点， ，D为中点， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上，如图， 当时，边上的高取的最大值，即此时面积最大， ， ，即为等腰直角三角形， ∵，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知在扇形中，，，C为弧的中点，D为半径上一动点，点B关于直线的对称点为M，若点M落在扇形内（不含边界），则长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，勾股定理，折叠的性质，由，得到点的轨迹，当点M在上时，取最大值，当点M在上时，取最小值，由，得到，求出的长度，设，则，在中应用勾股定理，即可求解． 【详解】解：连接、、，则：， 根据折叠的性质可得：， ∴点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， ∵点M在扇形内（不含边界）， 当点M在上时，取最大值，此时， ∵，为弧的中点， ∴， ∴； 当点M在上时，取最小值，作，，连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∵，，则， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， 即：，解得：， ∴． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图，菱形，以A为圆心，长为半径的圆分别交边于点E，F，G，H． (1)求证：； (2)当E为弧中点时，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）连接，证即可； （2）先证，，结合即可证得． 【详解】（1）证明：连接， 在中，， ， 在菱形中，平分， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：在菱形中，， ， ， ， ， ， 为弧中点， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，圆的相关性质：圆的半径相等、在同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角相等，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，构造辅助线，利用圆的相关性质是解题的关键． 5．（2025·河南·模拟预测）【问题情境】数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对公园里的摩天轮进行实地调研．摩天轮位于儿童公园内，摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟． 【实践过程】小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度和所用的时间的数据，并绘制图象如图1． 【问题研究】请根据图1中信息回答： （1）摩天轮最高点距地面______（米），摩天轮最低点距地面______（米）； （2）求摩天轮的半径； 【问题解决】如图2，摩天轮从点旋转到点需6分钟，且两点与地面距离相等，即． （3）若距离地面82米以上能够获得最佳观赏效果，试问摩天轮从点旋转到点的全过程中是否能够获得最佳观赏效果，并说明理由．（结果精确到0.1米，参考数据，，） 【答案】（1）108，3；（2）摩天轮的半径是52.5米；（3）从点旋转到点的全过程能够获得最佳观赏效果． 【分析】（1）根据函数图象求得最大值与最小值，即可求解； （2）根据最大值与最小值的差为直径，即可求解； （3）先根据题意求得所对圆心角的度数，连接，作于点，得出，进而即可求解． 【详解】解：（1）图象的最高点对应的的值是108，最低点对应的的值是3米， 摩天轮最高点距地面108米，最低点距离地面3米． 故答案为：108，3； （2）摩天轮最高点距地面108米，最低点距离地面3米， 摩天轮的直径是米， 摩天轮的半径是52.5米． 答：摩天轮的半径是52.5米； （3）摩天轮顺时针旋转一周需要20分钟，摩天轮从点旋转到点需6分钟， 所对圆心角的度数． 连接，作于点． ． ，， ． ， （米）． 点到地面的距离为：（米）． ， 从点旋转到点的全过程能够获得最佳观赏效果． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $