3.2 圆的对称性（导学案）数学北师大版九年级下册

3.2 圆的对称性 导学案 1.掌握圆是轴对称图形及圆的中心对称性和旋转不变性。 2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题。 3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义。 学习重点：圆的对称性及圆心角、弧、弦的对等关系。 学习难点：正确运用“在同圆或等圆中”的条件进行推理或判定。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 ①圆可以看成是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形． ②连接圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径． ③圆上任意两点间的部分叫做圆弧 ，简称弧． ④能够重合的两个圆叫做等圆.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. ⑤点和圆的位置关系有三种：点在圆外，即d＞r； 点在圆上，即d=r；点在圆内，即d＜r. 2.情景引入 熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？八等分呢？ 新知自研：自研课本第70--72页的内容． 【学法指导】 自研课本P70-72页的内容，思考： ●探究一：圆的对称性 ◆1.思考 问题（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 解：圆是轴对称图形，任意一条过圆心的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴. 问题（2）你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流. 解：用折叠的方法. ◆2.想一想 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？ 圆具有旋转对称性(旋转不变性)——一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度之后，都能与原来的图形重合。 思考：将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？ 解：可以重合 ◆3.知识归纳 圆的对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线. 圆是中心对称图形，对称中心为圆心. ◆4.练一练 下列说法中正确的是（ ）． A．直径是圆的对称轴 B．经过圆心的直线是圆的对称轴 C．与圆相交的直线是圆的对称轴 D．与半径垂直的直线是圆的对称轴 解：B ●探究二：圆心角、弧、弦之间的关系 ◆1.做一做 在等圆☉O和☉O′中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，使OA和O′A′重合. 你能发现哪些等量关系？说说你的理由. 解：小红认为=，AB=A′B′，她是这样想的： ∵ 半径OA与O′A′重合，∠AOB＝∠A′O′B′， ∴ 半径OB与O′B′重合． ∵ 点A与点A′重合，点B与点B′重合， ∴ 与重合，弦AB与弦A′B′重合． ∴ ＝，AB＝A′B′. ◆2.知识归纳 弧、弦与圆心角的关系定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． ①∠AOB=∠COD →② =,③AB=CD ◆3.想一想 （1）如果不加“同圆或等圆中”这个条件，上述结论还一定成立吗？ 解：如果没有这个条件，两弧就不一定完全重合，两弦就不一定相等了． （2）“在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？ 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么结论？ 解：仍然成立 ◆4.知识归纳 弧、弦与圆心角关系定理的推论: 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． ◆5.练一练 下列说法中，正确的是（ ） A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等 解：B ◆6.议一议 思考：你得出本节结论的过程中，你用到了哪些方法？与同学进行交流. 折叠法：验证圆的轴对称性。 旋转法：探究圆的中心对称性与旋转不变性。 叠合法：验证同圆 / 等圆中圆心角、弧、弦的等量关系。 观察归纳法：从多次操作现象中总结出圆的对称性及相关性质规律。 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 如图，AB，DE是☉O 的直径，C是☉O 上的一点，且AD=CE.BE和CE的大小有什么关系？为什么？ 【解答】:BE=CE.理由是： ∵∠AOD=∠BOE， ∴. 又∵， ∴. ∴BE=CE. 例2 A，B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是的中点．试确定四边形OACB的形状，并说明理由． 【解答】解:四边形OACB是菱形；理由：连接OC． ∵，∴∠AOC=∠BOC． 又∵∠AOB=120°，∴∠AOC=∠BOC=60°． ∵OB=OC，OA=OC， ∴△BOC和△AOC都是等边三角形． ∴OB=BC=CA=AO． ∴四边形OACB是菱形． 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论圆心角、弧、弦之间关系定理； B.交流例题的解题思路，总结方法和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．下列命题中，正确的有（ ） A．圆只有一条对称轴 B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条 C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴 D．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴 解：D． 2.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则与的关系是( ) A. B. C. D.不能确定 解：A． 3.若圆的一条弦把圆分成度数比为1∶3的两条弧，则优弧所对的圆心角为(　　) A.45° B.90° C.135° D.270° 解：D. 4.如图，已知AB是⊙O的直径， ，∠BOC=40°，那么∠AOE=（ ）． A．40° B．60° C．80° D．120° 解：． 5. 如图，☉O中，AB=CD，∠1=，则∠2= ____. 解：. 6.如图，AB、CD是☉O的两条弦． （1）如果AB=CD，那么_________，____________． （2）如果，那么_________，_____________． （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________． 解：(1），∠AOB= ∠COD (2)AB=CD，∠AOB= ∠COD (3)，AB=CD 7.如图，AB，CD是☉O的直径，若弦DE∥AB，则弦AC与AE的大小关系为__________． 解: AC=AE 8.已知☉O的半径为r，弦AB的长也是r，则∠AOB的度数是______. 解: 60° 9.圆的一条弦把圆分为5：1两部分，如果圆的半径是2cm，则这条弦的长是____cm. 解:2 10.如图，M为⊙O上一点， ，MD⊥OA于D，ME⊥OB于E，求证：MD＝ME. 证明：连接MO， ∵， ∴∠MOD＝∠MOE， 又∵MD⊥OA于D，ME⊥OB于E， ∴MD＝ME. 11.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E.求的度数． 解：连接CD， ∵△ABC是直角三角形，∠B＝36°， ∴∠A＝90°－36°＝54°. ∵AC＝DC， ∴∠ADC＝∠A＝54°， ∴∠ACD＝180°－∠A－∠ADC＝180°－54°－54°＝72°， ∴∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝90°－72°＝18°. ∵∠ACD、∠BCD分别是所对的圆心角， ∴的度数为72°，的度数为18°. 题型一： 弧、弦、圆心角的概念 1．下列说法正确的是（　　） A．平分弦的直径垂直于弦 B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．等弧所对的弦必相等 【分析】根据圆周角定理、垂径定理及圆的对称性分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，不符合题意； B、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故原命题错误，不符合题意， C、同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意； D、等弧所对的圆周角相等，正确，符合题意； 故选：D． 【点评】考查了圆周角定理、垂径定理及圆的对称性等知识，解题的关键是了解有关性质或定理，难度不大． 2．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，CE＝DE，则下列说法错误的是（　　） A． B．OE＝BE C．CA＝DA D．AB⊥CD 【分析】先利用垂径定理的推论可得AB⊥CD，，，从而可得AC＝AD，再连接OC，BC，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CE＝DE， ∴AB⊥CD，，， ∴AC＝AD， 故A、C、D不符合题意； 连接OC，BC， ∵OC≠CB，AB⊥CD ∴OE≠BE， 故B符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，熟练掌握垂径定理的推论是解题的关键． 3． 如图，在⊙O中，，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④，正确的是 　 　（填序号）． 【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 【解答】解：在⊙O中，， ∴AB＝CD，故①正确； ∵BC为公共弧， ∴故④正确； ∴AC＝BD，故②正确； ∴∠AOC＝∠BOD，故③正确． 故答案为：①②③④． 【点评】本题考查了定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 题型二： 利用弧、弦、圆心角求角度 4．如图，△ABC顶点A、B、C均在⊙O上，∠BAC+∠BOC＝84°，则∠BOC为（　　） A．56° B．60° C．62° D．28° 【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解． 【解答】解：由圆周角定理可知：， ∵∠BAC+∠BOC＝84°， ∴， 解得∠BOC＝56°， 故选：A． 【点评】本题考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是关键． 5．如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝∠BOD＝84°，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接OA， ∵AB＝CD， ∴， ∴， ∴， ∴∠AOC＝∠BOD＝84°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO（180°﹣∠AOC）（180°﹣84°）＝48°， 故选：D． 【点评】此题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握圆心角、弧的关系是解题的关键． 6．如图，AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于（　　） A．100° B．110° C．120° D．135° 【分析】由已知可得，弦BC、CD、DA三等分半圆，从而不难求得∠BCD的度数． 【解答】解：连接OC、OD， ∵BC＝CD＝DA， ∴∠COB＝∠COD＝∠DOA， ∵∠COB+∠COD+∠DOA＝180°， ∴∠COB＝∠COD＝∠DOA＝60°， ∴∠BCD2（180°﹣60°）＝120°． 故选：C． 【点评】本题考查了弧、弦与圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．注意半圆对的圆心角为180°． 题型三 利用弧、弦、圆心角求弧的度数 7．如图，在⊙O中，∠A＝30°，劣弧的度数是（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 【分析】连接OB，求出∠AOB，可得结论． 【解答】解：连接OB． ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠B＝30°， ∴∠AOB＝180°﹣30°﹣30°＝120°， ∴的度数为120°． 故选：D． 【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题． 8．在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的弧的度数为　 　． 【分析】如图，⊙O的半径为1，弦AB，连接OA、OB，利用勾股定理的逆定理可判断△OAB为等腰直角三角形，则∠AOB＝90°，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解． 【解答】解：如图，⊙O的半径为1，弦AB， 连接OA、OB， ∵OA＝OB＝1， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴△OAB为等腰直角三角形， ∴∠AOB＝90°， ∴AB所所的弧的度数为90°或270°． 故答案为90°或270°． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 9．弦MN把⊙O分成1：3，连接OM、ON，过MN的中点A作AB∥ON，交于B，求的度数． 【分析】连接OA、OB利用弦MN把⊙O分成1：3，可计算出∠MON＝90°，而AB∥ON，所以BC⊥OM，加上点A为MN的中点，得到BC垂直平分OM，于是可判断△OMB为等边三角形，则∠BOM＝60°，所以∠BON＝30°，的度数为30°． 【解答】解：连接OA、OB， ∵弦MN把⊙O分成1：3， ∴∠MON360°＝90°， ∵AB∥ON， ∴BC⊥OM， ∵点A为MN的中点， ∴点C为OM的中点， 即BC垂直平分OM， ∴BO＝BM， 而OM＝OB， ∴OM＝OB＝MB， ∴△OMB为等边三角形， ∴∠BOM＝60°， ∴∠BON＝30°， ∴的度数为30°． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 题型四 利用弧、弦、圆心角求线段长 10．如图，⊙O的半径是8cm，∠AOB＝120°，那么圆心O到弦AB的距离是（　　） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 【分析】过O作OC⊥AB于C点，由等腰三角形的性质得∠A＝∠B＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质，可求得OC的长． 【解答】解：如图，过O作OC⊥AB于C点， ∵∠AOB＝120°，OA＝OB， ∴∠A＝∠B＝30°， ∵OC⊥AB， ∴∠ACO＝90°， ∴OCOA＝4（cm）． 故选：B． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 11．如图，AB为⊙O的直径，点D是的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F．若，AE＝2，则⊙O的直径长为（　　） A． B．8 C．10 D． 【分析】连接OF，首先证明，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【解答】解：如图，连接OF． ∵DE⊥AB， ∴DE＝EF，， ∵点D是弧AC的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 设OA＝OF＝x， 在Rt△OEF中，则有， 解得x＝4， ∴AB＝2x＝8． 故选：B． 【点评】本题考查勾股定理，垂径定理，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 12．如图，点C是直径AB的三等分点（AC＜CB），点D是弧ADB的三等分点（弧BD＜弧AD），若直径AB＝12，则DC的长为 　 　． 【分析】过D作DE⊥AB于E，求出∠DOB＝60°，解直角三角形求出DE、OE的长度，求出CE，再根据勾股定理求出DC即可． 【解答】解：过D作DE⊥AB于E，则∠DEC＝90°， ∵点C是直径AB的三等分点（AC＜CB），直径AB＝12， ∴AC＝4，BC＝8，OD＝OA＝OB＝6， ∴CO＝2， ∵点D是弧ADB的三等分点（弧BD＜弧AD）， ∴∠DOB60°， ∴∠ODE＝30°， ∴OEOD＝3，DE3， ∴CE＝OE+CO＝3+2＝5， ∴DC2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和直角三角形的性质，能求出∠DOB＝60°和半径的长度是解此题的关键． 题型五 利用弧、弦、圆心角比较大小 13．如图，在⊙O中，已知，则AC与BD的关系是（　　） A．AC＝BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定 【分析】由，得到，于是推出，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴AC＝BD． 故选：A． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，正确的理解圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 14．如图，在⊙O中，满足，则下列对弦AB与弦CD大小关系表述正确的是（　　） A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法确定 【分析】如图，取AB弧的中点E，连接AE，EB．证明AE＝EB＝CD，再利用三角形的三边关系解决问题． 【解答】解：如图，取AB弧的中点E，连接AE，EB． ∵2，， ∴， ∴AE＝EB＝CD， ∵AE+EB＞AB， ∴2CD＞AB． 故选：B． 【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间等分关系，三角形的三边关系等知识，解题的关键是理解题意正确作出辅助线． 15．如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果，那么AB+CD与EF的大小关系是（　　） A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD＞EF D．大小关系不确定 【分析】在弧EF上取一点M使弧EM＝弧CD，推出弧FM＝弧AB，根据圆心角、弧、弦的关系得到AB＝FM，CD＝EM，根据三角形的三边关系定理求出FM+EM＞FE即可． 【解答】解：如图，在弧EF上取一点M使弧EM＝弧CD， 则弧FM＝弧AB， ∴AB＝FM，CD＝EM， 在△MEF中，FM+EM＞EF， ∴AB+CD＞EF． 故选：C． 题型六 弧、弦、圆心角中的证明问题 16．（2024•利辛县开学）如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，，AE交CD于F．求证：CF＝AF． 【分析】连接AC，根据垂径定理得，再根据，得，根据圆心角、弧、弦的关系得∠C＝∠CAF，即可得出结论． 【解答】证明：如图，连接AC， ∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴， ∵， ∴弧AD＝弧CE， ∴∠C＝∠CAF， ∴CF＝AF． 【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，掌握以上知识点是解题的关键． 17．如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，交AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，求证：． 【分析】连接AF，根据平行线的性质及在同圆中圆心角相等，则所对的弧相等求得结论． 【解答】证明：连接AF， ∵AB＝AF， ∴∠ABF＝∠AFB． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠DAF＝∠AFB，∠GAE＝∠ABF． ∴∠GAE＝∠EAF． ∴． 【点评】本题利用了等边对等角，平行线的性质及在同圆中圆心角相等所对的弧相等等知识点的综合运用． 18．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且． （1）求证：AO平分∠BAC； （2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长． 【分析】（1）已知得到AB＝AC，又OC＝OB，OA＝OA，则△AOB≌△AOC，根据全等三角形的性质知，∠1＝∠2，进而解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【解答】证明：（1）连接OB、OC， ∵． ∴AB＝AC， ∵OC＝OB，OA＝OA， 在△AOB与△AOC中， ． ∴△AOB≌△AOC（SSS）， ∴∠1＝∠2， ∴AO平分∠BAC； （2）连接AO并延长交BC于E，连接OB， ∵AB＝AC，AO平分∠BAC， ∴AE⊥BC， 设OA＝x，可得：AB2﹣BE2＝AE2，OB2＝OE2+BE2， 可得：，x2＝OE2+42，OE+x＝8， 解得：x＝5，OE＝3， ∴半径OA的长＝5． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用圆中半径相等的隐含条件，获得全等的条件，从而利用全等的性质解决问题． 19．如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结CF交OB于点G，连结BC． （1）求证：GE＝BE； （2）若OG＝1，CD＝8，求BC的长． 【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系得到∠FCD＝∠BCD，证明△GCE≌△BCE，根据全等三角形的性质证明即可； （2）连接OC，根据勾股定理求出BE，再根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】（1）证明：∵D是的中点， ∴， ∴∠FCD＝∠BCD， 在△GCE和△BCE中， ， ∴△GCE≌△BCE（ASA）， ∴GE＝BE； （2）解：如图，连接OC， 设GE＝BE＝x，则OB＝1+2x， ∵AB⊥CD，CD＝8， ∴CE＝DE＝4， 在△OCE中，OE2+CE2＝OC2，即（1+x）2+42＝（1+2x）2， 解得：x＝2（负值舍去）， ∴BE＝2， ∴BC2． 【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质，掌握垂径定理是解题的关键． ▲1、圆的对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线. 圆是中心对称图形，对称中心为圆心. ▲2、弧、弦与圆心角的关系定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． ▲3、弧、弦与圆心角关系定理的推论: 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 圆的对称性 导学案 1.掌握圆是轴对称图形及圆的中心对称性和旋转不变性。 2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题。 3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义。 学习重点：圆的对称性及圆心角、弧、弦的对等关系。 学习难点：正确运用“在同圆或等圆中”的条件进行推理或判定。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 ①圆可以看成是平面上到 的距离等于 的所有点组成的图形． ②连接圆上任意两点的 叫做弦.经过圆心的弦叫做 ． ③圆上任意 的部分叫做圆弧 ，简称弧． ④能够重合的两个圆叫做 .在同圆或等圆中，能够 的弧叫做等弧. ⑤点和圆的位置关系有三种： ，即d＞r； ，即d=r； ，即d＜r. 2.情景引入 熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？八等分呢？ 新知自研：自研课本第70--72页的内容． 【学法指导】 自研课本P70-72页的内容，思考： ●探究一：圆的对称性 ◆1.思考 问题（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 问题（2）你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流. ◆2.想一想 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？ 圆具有 对称性(旋转不变性)——一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度之后，都能与原来的图形重合。 思考：将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？ ◆3.知识归纳 圆的对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过 . 圆是中心对称图形，对称中心为 . ◆4.练一练 下列说法中正确的是（ ）． A．直径是圆的对称轴 B．经过圆心的直线是圆的对称轴 C．与圆相交的直线是圆的对称轴 D．与半径垂直的直线是圆的对称轴 ●探究二：圆心角、弧、弦之间的关系 ◆1.做一做 在等圆☉O和☉O′中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，使OA和O′A′重合. 你能发现哪些等量关系？说说你的理由. 【解答】 ◆2.知识归纳 弧、弦与圆心角的关系定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 也相等． ①∠AOB= →② =,③AB= ◆3.想一想 （1）如果不加“同圆或等圆中”这个条件，上述结论还一定成立吗？ （2） “在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？ 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么结论？ ◆4.知识归纳 弧、弦与圆心角关系定理的推论: 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中 相等，那么它们所对应的其余各组量都 ． ◆5.练一练 下列说法中，正确的是（ ） A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等 ◆6.议一议 思考：你得出本节结论的过程中，你用到了哪些方法？与同学进行交流. 折叠法：验证圆的 。 旋转法：探究圆的中心对称性与 不变性。 叠合法：验证同圆 / 等圆中圆心角、弧、弦的等量关系。 观察归纳法：从多次操作现象中总结出圆的对称性及相关性质规律。 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 如图，AB，DE是☉O 的直径，C是☉O 上的一点，且AD=CE.BE和CE的大小有什么关系？为什么？ 【解答】 例2 A，B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是的中点．试确定四边形OACB的形状，并说明理由． 【解答】 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论圆心角、弧、弦之间关系定理； B.交流例题的解题思路，总结方法和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．下列命题中，正确的有（ ） A．圆只有一条对称轴 B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条 C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴 D．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴 2.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则与的关系是( ) A. B. C. D.不能确定 3.若圆的一条弦把圆分成度数比为1∶3的两条弧，则优弧所对的圆心角为(　　) A.45° B.90° C.135° D.270° 4.如图，已知AB是⊙O的直径， ，∠BOC=40°，那么∠AOE=（ ）． A．40° B．60° C．80° D．120° 5. 如图，☉O中，AB=CD，∠1=，则∠2= ____. 6.如图，AB、CD是☉O的两条弦． （1）如果AB=CD，那么_________，____________． （2）如果，那么_________，_____________． （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________． 7.如图，AB，CD是☉O的直径，若弦DE∥AB，则弦AC与AE的大小关系为__________． 8.已知☉O的半径为r，弦AB的长也是r，则∠AOB的度数是______. 9.圆的一条弦把圆分为5：1两部分，如果圆的半径是2cm，则这条弦的长是____cm. 10.如图，M为⊙O上一点， ，MD⊥OA于D，ME⊥OB于E，求证：MD＝ME. 11.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E.求的度数． 题型一： 弧、弦、圆心角的概念 1．下列说法正确的是（　　） A．平分弦的直径垂直于弦 B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．等弧所对的弦必相等 2．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，CE＝DE，则下列说法错误的是（　　） A． B．OE＝BE C．CA＝DA D．AB⊥CD 3． 如图，在⊙O中，，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④，正确的是 　 　（填序号）． 题型二： 利用弧、弦、圆心角求角度 4．如图，△ABC顶点A、B、C均在⊙O上，∠BAC+∠BOC＝84°，则∠BOC为（　　） A．56° B．60° C．62° D．28° 5．如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 6．如图，AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于（　　） A．100° B．110° C．120° D．135° 题型三 利用弧、弦、圆心角求弧的度数 7．如图，在⊙O中，∠A＝30°，劣弧的度数是（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 8．在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的弧的度数为　 　． 9．弦MN把⊙O分成1：3，连接OM、ON，过MN的中点A作AB∥ON，交于B，求的度数． 题型四 利用弧、弦、圆心角求线段长 10．如图，⊙O的半径是8cm，∠AOB＝120°，那么圆心O到弦AB的距离是（　　） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 11．如图，AB为⊙O的直径，点D是的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F．若，AE＝2，则⊙O的直径长为（　　） A． B．8 C．10 D． 12．如图，点C是直径AB的三等分点（AC＜CB），点D是弧ADB的三等分点（弧BD＜弧AD），若直径AB＝12，则DC的长为 　 　． 题型五 利用弧、弦、圆心角比较大小 13．如图，在⊙O中，已知，则AC与BD的关系是（　　） A．AC＝BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定 14．如图，在⊙O中，满足，则下列对弦AB与弦CD大小关系表述正确的是（　　） A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法确定 15．如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果，那么AB+CD与EF的大小关系是（　　） A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD＞EF D．大小关系不确定 题型六 弧、弦、圆心角中的证明问题 16．（2024•利辛县开学）如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，，AE交CD于F．求证：CF＝AF． 17．如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，交AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，求证：． 18．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且． （1）求证：AO平分∠BAC； （2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长． 19．如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结CF交OB于点G，连结BC． （1）求证：GE＝BE； （2）若OG＝1，CD＝8，求BC的长． ▲1、圆的对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过 . 圆是中心对称图形，对称中心为 . ▲2、弧、弦与圆心角的关系定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 也相等． ▲3、弧、弦与圆心角关系定理的推论: 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中 相等，那么它们所对应的其余各组量都 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $