精品解析：上海市嘉定区第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

嘉定一中、嘉一实验高中2025学年第一学期期中 高二数学试卷 一､填空题（满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分.） 1. 生活中有这样的经验：三脚架在不平的地面上也可以稳固地支撑一部照相机.两个轮子的自行车在停止运动后要加上一个支撑脚才能稳定；一扇门尽管有两个合页固定在门框上，但仍可以转动，只有锁上才可以固定下来，这些例子都说明了___________道理. 2. 设复数满足（i是虚数单位），则等于___________. 3. 已知直线，则直线的倾斜角为___________. 4. 函数的最小值为___________. 5. 如图，已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则= ________； 6. 如图，在直角坐标系中，放置一个直角梯形， 用斜二测画法作出的直观图的面积为_______. 7. 有一个圆锥形漏斗，其底面直径是10，母线长为20，在漏斗口的点处用一根绳子将漏斗挂在墙面上，当绳子的长度最短时，可以紧紧地箍住漏斗，不会上下滑动，则此时绳子的长度______. 8. 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______． 9. 如图，在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且，则CD的长为_____________ ． 10. 如图，正方体中，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且平面，则与平面所成角的余弦值构成的集合是__________. 11. 如图，水平放置的正四棱锥形工艺品的高为，底面对角线长为，在工艺品内部注入了部分液体，液体深度为12.现有一根长度为的玻璃棒放在工艺品内部，的一端置于点处，另一端置于侧棱上的点，则没入液体中部分的长度为__________(精确到)（工艺品外壁厚度、玻璃棒粗细均忽略不计） 12. 已知三棱锥的侧棱长相等，且侧棱两两垂直．设为该三棱锥表面（含棱）上异于顶点、、、的点，记．若集合中有且只有2个元素，则符合条件的点有_____________个． 二､选择题（本大题满分18分，13-14每题4分，15-16题每题5分） 13. 将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个四面体后，直线MN与PQ是异面直线的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①② D. ③④ 14. 函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. 三角形是生活中随处可见的简单图形，其中有非常有趣的特殊点及特殊线.大数学家欧拉在1765年发现，给定一个三角形，则其外心、重心、垂心落在同一条直线上，后人为了纪念欧拉，称这条直线为欧拉线.在平面直角坐标系xOy中，的顶点，，则“的欧拉线方程为”是“点C的坐标为”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 16. 如图所示，半径为1的圆始终内切于直角梯形，则当的长度增加时，以下结论：①越来越小；②保持不变．它们成立的情况是（ ） A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 三､解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. 已知直线. （1）当直线l在x轴上的截距是它在y上的截距3倍时，求实数a的值： （2）当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围. 18. 如图，四棱锥中，底面为正方形，底面，点为的中点． （1）证明：平面； （2）若，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值． 19. 如图，一船在海上由西向东航行，在处测得某岛的方位角为北偏东角，前进后在处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围范围内有暗礁，现该船继续东行． （1）若，问该船有无触礁危险？如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自处向东航行多少距离后会有触礁危险？ （2）当与满足什么条件时，该船没有触礁危险？ 20. 已知是底面边长为的正四棱柱. （1）若正四棱柱的高为1，求点到平面的距离； （2）设与底面所成角的大小为，异面直线与所成角的大小为，求证：. （3）为上任意一点，为中点，若棱上至少存在一点使得，求棱长的最大值. 21. 我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取其定义域中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称为其正弦周期． （1）判断，是否为正弦周期函数. （不需证明） （2）已知函数是周期函数，请求出它的一个周期．并判断此周期函数是否存在最小正周期，并说明理由． （3）已知存在这样一个函数，它是定义在上严格增函数，值域为，且是以为周期的正弦周期函数．若，，且存在，使得，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉定一中、嘉一实验高中2025学年第一学期期中 高二数学试卷 一､填空题（满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分.） 1. 生活中有这样的经验：三脚架在不平的地面上也可以稳固地支撑一部照相机.两个轮子的自行车在停止运动后要加上一个支撑脚才能稳定；一扇门尽管有两个合页固定在门框上，但仍可以转动，只有锁上才可以固定下来，这些例子都说明了___________道理. 【答案】不共线的三点确定一个平面 【解析】 【分析】根据平面的基本事实可得. 【详解】略 2. 设复数满足（i是虚数单位），则等于___________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用四则运算求出，再求实部即可. 【详解】，则的实部为1， 故答案为：1. 3. 已知直线，则直线的倾斜角为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为，先求出直线的斜率，由，即可得出答案. 【详解】由直线可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 所以，则. 故答案为：. 4. 函数的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由辅助角公式将函数解析式化简得到即可求解. 【详解】因为函数 ， 又，所以，所以， 所以，所以. 故答案： 5. 如图，已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则= ________； 【答案】0 【解析】 【分析】根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可. 【详解】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示： 则， ，， 故答案为：0 6. 如图，在直角坐标系中，放置一个直角梯形， 用斜二测画法作出的直观图的面积为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】由 斜二测画法定义结合题意分析直观图图形和图形边、角数据即可计算求解. 【详解】由图可得轴，分别在轴上， 设直角梯形用斜二测画法作出的直观图为， 则，如图， 所以直角梯形用斜二测画法作出的直观图是一个梯形，该梯形的高为， 所以所得直观图的面积为， 故答案为： 7. 有一个圆锥形漏斗，其底面直径是10，母线长为20，在漏斗口的点处用一根绳子将漏斗挂在墙面上，当绳子的长度最短时，可以紧紧地箍住漏斗，不会上下滑动，则此时绳子的长度______. 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥的侧面展开图可知，绳子是线段时，绳子长度最短，根据扇形弧长公式可求圆心角，从而可求弦的长度. 【详解】底面直径是10，则底面圆周长 ， 即圆锥的侧面展开图（如下图所示）中，弧的长度为， 母线，故圆心角， 当绳子是线段时，绳子长度最短， 在Rt中，. 故绳子的最短长度为. 故答案为：. 8. 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体的体积公式直接运算求解. 【详解】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为， 所以正四棱锥的体积为， 截去的正四棱锥的体积为， 所以棱台的体积为. 方法二：棱台的体积为. 故答案为：. 9. 如图，在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且，则CD的长为_____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】由题设，应用向量数量积定义、运算律求线段长． 【详解】由题设，，， 所以 ， 所以. 故答案为： 10. 如图，正方体中，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且平面，则与平面所成角的余弦值构成的集合是__________. 【答案】 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系后，利用空间向量计算可得点满足的条件，再利用线面角的向量求法求解即可得. 【详解】在正方体中，建立如图所示空间直角坐标系， 令，则， 设， 则， 设平面的法向量为， 则，令，得， 由平面，得， 即，化简得， 而，平面的法向量为， 设与平面所成角为， ， 由，则，即，又，故， 故，故， 则， 即与平面所成角的余弦值构成的集合是. 故答案为：. 11. 如图，水平放置的正四棱锥形工艺品的高为，底面对角线长为，在工艺品内部注入了部分液体，液体深度为12.现有一根长度为的玻璃棒放在工艺品内部，的一端置于点处，另一端置于侧棱上的点，则没入液体中部分的长度为__________(精确到)（工艺品外壁厚度、玻璃棒粗细均忽略不计） 【答案】 【解析】 【分析】记与水面的交点为，过作为垂足，则平面，将空间问题转化为平面问题，利用正弦定理结合两角和的正弦公式求解三角即可. 【详解】过正四棱锥的顶点作平面垂足为O，则O是正四棱锥的底面中心. 所以O是的中点，平面，, 因为，所以，，记， 在中，由正弦定理可得，解得， 因为，所以. 于是， 记与水面的交点为，过作为垂足，则平面， 故，从而cm. 故答案为： 12. 已知三棱锥的侧棱长相等，且侧棱两两垂直．设为该三棱锥表面（含棱）上异于顶点、、、的点，记．若集合中有且只有2个元素，则符合条件的点有_____________个． 【答案】10 【解析】 【分析】根据两个距离对应点的个数分类讨论后可得符合条件的点的个数. 【详解】设中的两个元素分别为， 若对应的点的个数分别为或， 不妨设对应的点的个数为个，对应点的个数为个，此时共有4种情形： （1），， 此时在过等边三角形的中心且垂直于平面的直线上， 而在该三棱锥表面且异于各顶点，故为的中心； （2），，其中， 彼此互异且为中取出后余下的3个不同元素， 此时在过直角三角形的外心（即斜边的中点）且垂直于平面的直线上， 而在该三棱锥表面且异于各顶点，故为直角三角形的外心， 此类情形共有3种； 若对应的点的个数分别为，设，， 其中，故此时，恰为四面体的一对对棱，. 此时在线段的中垂面上，也在线段的中垂面上，不妨设， 如图：设为的中点， 则这两个中垂面的交线即为的中点与中点的连线， 而在该三棱锥表面且异于各顶点，故为或者， 故不同的的个数为 综上所述，符合条件的点共有10个. 故答案为：10. 二､选择题（本大题满分18分，13-14每题4分，15-16题每题5分） 13. 将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个四面体后，直线MN与PQ是异面直线的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①② D. ③④ 【答案】A 【解析】 【分析】按题意把四个平面图形翻折成四面体，然后根据空间图形中直线与直线的位置关系判断． 【详解】①对应图1，是平面外一点，在平面内，且不在直线上，因此与是异面直线，①正确； ②对应图2，重合，与是相交直线，②错； ③对应图3，由于由中位线定理得，都与棱平等，从而，③错； ④与图1类似得与是异面直线，④正确． 故选：A． 14. 函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解. 【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以， 而显然过与两点， 作出与的部分大致图像如下， 考虑，即处与的大小关系， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 所以由图可知，与的交点个数为. 故选：C. 15. 三角形是生活中随处可见的简单图形，其中有非常有趣的特殊点及特殊线.大数学家欧拉在1765年发现，给定一个三角形，则其外心、重心、垂心落在同一条直线上，后人为了纪念欧拉，称这条直线为欧拉线.在平面直角坐标系xOy中，的顶点，，则“的欧拉线方程为”是“点C的坐标为”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】设出点C的坐标，结合欧拉线求出外心坐标，再由重心在欧拉线上及三角形外心的意义列出方程求解，然后利用充分条件、必要条件的意义判断作答. 【详解】若的欧拉线方程为，设点，则的重心为，显然点在直线上，于是得， 直线的斜率为2，线段的中点，则线段的中垂线方程为，即， 由得的外心，即有，因此， 解得或，于是得点C的坐标为或； 当C的坐标为时，的重心为，外心为，因此的欧拉线方程为， 所以“的欧拉线方程为”是“点C的坐标为”的必要不充分条件. 故选：A 16. 如图所示，半径为1的圆始终内切于直角梯形，则当的长度增加时，以下结论：①越来越小；②保持不变．它们成立的情况是（ ） A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 【答案】C 【解析】 【分析】以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴建立平面直角坐标系，求出、、的坐标，设出与的坐标，得到所在直线方程，由到的距离为1可得与的关系，然后分析两个命题得结论． 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系， 则，，， 设，，， 则所在直线方程为，即， 由题意，，整理得， ，，，， ，当的长度增加时，增大，则越来越小，故①正确； ， ， 当的长度增加时，增大，是变化的，故②错误． 故选：． 三､解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. 已知直线. （1）当直线l在x轴上的截距是它在y上的截距3倍时，求实数a的值： （2）当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出且，再求出直线l在x轴上的截距，在y上的截距，列出方程，求出a的值； （2）考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，列出不等式组，求出实数a的取值范围. 【小问1详解】 由条件知，且， 在直线l的方程中，令得，令得 ∴，解得：，或， 经检验，，均符合要求. 【小问2详解】 当时，l的方程为：.即，此时l不通过第四象限； 当时，直线/的方程为：. l不通过第四象限，即，解得 综上所述，当直线不通过第四象限时，a的取值范围为 18. 如图，四棱锥中，底面为正方形，底面，点为的中点． （1）证明：平面； （2）若，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连交于，根据中位线平行以及线面平行的判定定理可证； （2）根据三棱锥的体积为，求出，以为原点，以，，的正方向分别为轴建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量可求出结果. 【小问1详解】 连交于，则为的中点， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为底面为正方形，底面，点为的中点．， 所以， 所以， 以为原点，以，，的正方向分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得，，则， 设平面的一个法向量为， 则，，取，得，则， 所以， 由图可知，二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 19. 如图，一船在海上由西向东航行，在处测得某岛的方位角为北偏东角，前进后在处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围范围内有暗礁，现该船继续东行． （1）若，问该船有无触礁危险？如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自处向东航行多少距离后会有触礁危险？ （2）当与满足什么条件时，该船没有触礁危险？ 【答案】（1）该船有触礁的危险，该船自处向东航行后会有触礁危险；（2）. 【解析】 【分析】（1）作，垂足为，计算出，设，利用勾股定理计算出，由此可得出结论； （2）设，利用解三角形的相关知识求得，由已知可得，化简可得结果. 【详解】（1）作，垂足为． 由已知，，，， ，，， 所以该船有触礁的危险，设该船自处向东航行至处后有触礁危险，则． 在中，，，，，． 所以，该船自处向东航行后会有触礁危险； （2）设，在中，由正弦定理得，， 即，则， 而， 所以，当时，即，也即时，该船没有触礁危险． 20. 已知是底面边长为的正四棱柱. （1）若正四棱柱的高为1，求点到平面的距离； （2）设与底面所成角的大小为，异面直线与所成角的大小为，求证：. （3）为上任意一点，为中点，若棱上至少存在一点使得，求棱长的最大值. 【答案】（1） （2） 设正四棱柱的高为，连接， 因为平面， 所以是与底面所成角，即， 所以，即， 因为，所以是异面直线与所成角，即， 在中，，， 所以，即， 所以． （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离即可； （2）根据线面角和异面直线所成角的定义，找出和，再结合三角函数的知识，求证即可； （3）由题意知在平面上的投影为，由得出，利用勾股定理和判别式，即可求出棱长的最大值． 【小问1详解】 若正四棱柱的高为1，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 则点到平面的距离为， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接， 由题意知，在正四棱柱中，在平面上的投影为， 因为，所以， 设，则，设棱长，则； △中，，即， 化简得，，因为，解得， 即的最大值为． 21. 我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取其定义域中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称为其正弦周期． （1）判断，是否为正弦周期函数. （不需证明） （2）已知函数是周期函数，请求出它的一个周期．并判断此周期函数是否存在最小正周期，并说明理由． （3）已知存在这样一个函数，它是定义在上严格增函数，值域为，且是以为周期的正弦周期函数．若，，且存在，使得，求的值． 【答案】（1）不是正弦周期函数，是正弦周期函数 （2）是它的一个周期，且是此周期函数的最小正周期，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）结合所给定义及正弦函数性质推导即可得； （2）结合正弦、余弦函数性质由周期函数定义求解即可得； （3）由，结合严格递增函数性质与正弦函数性质进行推导即可得. 【小问1详解】 不是正弦周期函数，是正弦周期函数，理由如下： 假设是正弦周期函数，则存在正常数， 使得对任意，有恒成立， 即有或恒成立， 即或恒成立， 由，则与都随的变化而变化且连续， 故或不可能恒成立， 故不存在正常数，使得恒成立， 故不是正弦周期函数； 由 ， 即存在，使得， 故是正弦周期函数； 【小问2详解】 由， 故是它的一个周期， 下面证明是的最小正周期： 当时，是增函数， 当时，是减函数， 又， ， 所以，即函数图象关于直线对称， 所以当时，不可能是函数的周期， 假设函数有小于的正周期，则， 取，则当与时，函数的单调性相同， 但， 而在这两个区间上单调性相反，假设错误， 故当时，不可能是函数的周期， 综上所述：是的最小正周期； 【小问3详解】 因为是周期函数，是它的一个周期， 且，， 又由题意，， 则，， 又是严格递增函数，所以， 又时，， 则，， 因为是严格递增函数， 所以与是一一对应的， 因此，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $