第二章 14 第十节 函数的零点与方程的解（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数零点与方程的解核心考点，涵盖零点定义、等价关系、存在定理及二分法，按“概念—定理—应用”逻辑架构知识点，通过考点梳理（定义辨析、定理解读）、方法指导（定理法、图象法）、真题训练（自主检测、真题再现）等环节，帮助学生构建从基础到综合应用的解题体系。 讲义突出数学思维与数学眼光培养，如零点个数判断中结合函数图象与单调性分析，引导学生用几何直观发现规律，在参数范围问题中通过多维度探究（根的分布、参数转化）提升逻辑推理能力。设置分层练习（基础巩固、能力提升）与即时反馈，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生应考能力。

第十节　函数的零点与方程的解 【课标研读】　1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系.　2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理.　3.探索用二分法求方程近似解的思路，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程的近似解. 1.函数的零点 (1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点. (2)三个等价关系 (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解. [微提醒]　 (1)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根.零点一定在定义域内. (2)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)＜0，如图所示.所以f(a)f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件. 2.二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 【常用结论】 (1)若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点. (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (3)周期函数若存在零点，则必有无穷多个零点. 【自主检测】 1.(多选)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法中错误的有(　　) A.若f(a)f(b)＞0，则不存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0 B.若f(a)f(b)＜0，则存在且只存在一个实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0 C.若f(a)f(b)＞0，则可能存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0 D.若f(a)f(b)＜0，则可能不存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0 答案：ABD 解析：取f(x)＝x2－1，区间取为[－2，2]，满足f(－2)f(2)＞0，但是f(x)在[－2，2]内存在两个零点－1，1，A错误，C正确；取f(x)＝sin x，区间取为［，］，满足f()f()×(－)＝－＜0，但是f(x)在［，］内存在三个零点π，2π，3π，B错误；根据零点存在定理可知，D错误.故选ABD. 2.下列函数中，不能用二分法求零点的是(　　) A.y＝2x B.y＝(x－2)2 C.y＝x＋－3 D.y＝ln x 答案：B 解析：对于B，y＝(x－2)2有唯一零点x＝2，但函数值在零点两侧同号，则不可用二分法求零点.故选B. 3.(链接人教A必修一P144T2)函数f(x)＝ln x＋x－，则函数f(x)的零点所在区间是(　　) A. B. C.( ，1) D.(1，2) 答案：C 4.(链接人教A必修一P155T8)已知函数f(x)则f(x)的零点为　　　　. 答案：－2，e 解析：由题意得，或解得x＝－2或x＝e. 考点一　函数零点所在区间的判断　　　　自主练透 1.根据表格中的数据可以判定方程ln x－x＋2＝0的一个根所在的区间为(　　) x 1 2 3 4 5 ln x 0 0.693 1.099 1.386 1.609 x－2 －1 0 1 2 3 A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5) 答案：C 解析：设f(x)＝ln x－x＋2＝ln x－(x－2)，易知函数f(x)在(1，＋∞)上的图象连续，由表格数据得f(1)＞0，f(2)＞0，f(3)＞0，f(4)＜0，f(5)＜0，则f(3)·f(4)＜0，即在区间(3，4)上，函数f(x)至少存在一个零点，即方程ln x－x＋2＝0的一个根所在的区间为(3，4).故选C. 2.函数f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)的零点所在的区间是(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 答案：C 解析：因为函数f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)在(－，＋∞)上单调递减，且函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，所以函数f(x)最多只有一个零点.因为f(0)＝5－lg 1＝5＞0，f(1)＝3－lg 3＞0，f(2)＝1－lg 5＞0，f(3)＝－1－lg 7＜0，f(2)·f(3)＜0，所以函数f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)的零点所在的区间是(2，3).故选C. 3.已知函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(m，m＋1)(m∈Z)上，则m等于(　　) A.－2 B.－1 C.0 D.1 答案：A 解析：因为函数f(x)＝e－x－2x－5是连续减函数，f(－2)＝e2－1＞0，f(－1)＝e－3＜0，所以f(－2)·f(－1)＜0，函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(－2，－1)，即(m，m＋1)上，又m∈Z，所以m＝－2.故选A. 4.已知x1＋0，x2＋log2x2＝0，－log2x3＝0，则(　　) A.x1＜x2＜x3 B.x2＜x1＜x3 C.x1＜x3＜x2 D.x2＜x3＜x1 答案：A 解析：设函数f(x)＝x＋2x，易知f(x)在R上单调递增，f－，f(0)＝1，即f(－1)f(0)＜0，由函数零点存在定理可知，－1＜x1＜0.设函数g(x)＝x＋log2x，易知g(x)在(0，＋∞)上单调递增，g－，g(1)＝1，即gg(1)＜0，由函数零点存在定理可知，＜x2＜1.设函数h(x)－log2x，易知h(x)在(0，＋∞)上单调递减，h(1)，h0，因为h(1)＞h(x3)，由函数单调性可知，x3＞1，即－1＜x1＜0＜x2＜1＜x3.故选A. 函数零点所在区间的判断方法及适用情形 1.定理法：利用函数零点存在定理进行判断.适用于容易判断区间端点值所对应函数值的正负的情形. 2.图象法：画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.适用于容易画出函数图象的情形. 　　 考点二　函数零点个数的判断　　　　师生共研 (1)已知函数f(x)则函数g(x)＝f(x)－的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)(一题多解)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 (3)(一题多变)已知函数f(x)在R上满足f(2＋x)＝f(2－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，且在区间[0，7]上只有x＝1和x＝3两个零点，则f(x)＝0在区间[0，2 025]上根的个数为(　　) A.404 B.405 C.406 D.203 答案：(1)C　(2)B　(3)C 解析：(1)当x≤0时，令g(x)－0，解得x＝1，舍去；当x＞0时，令g(x)＝｜log2x｜－0，解得x或x，满足x＞0，所以x或x.综上，函数g(x)＝f(x)－的零点个数为2.故选C. (2)法一(定理法)：因为f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1＜0，且函数在定义域上单调递增且连续，所以函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点.故选B. 法二(图象法)：设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示， 在区间(0，1)内，两图象的交点个数即为f(x)的零点个数.故函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点.故选B. (3)因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)关于直线x＝2对称，且f(7＋x)＝f(－3－x)，又f(7＋x)＝f(7－x)，故可得f(－3－x)＝f(7－x)，则f(x)＝f(x＋10)，故f(x)是以10为周期的函数.又f(x)在区间[0，7]上只有x＝1和x＝3两个零点，根据函数对称性可知，f(x)在一个周期[0，10]内也只有两个零点，又区间[0，2 025]内包含202个周期，故f(x)在[0，2 020]上的零点个数为202×2＝404，又f(x)在(2 020，2 025]上的零点个数与在(0，5]上的零点个数相同，有2个，故f(x)在[0，2 025]上有406个零点，即f(x)＝0在区间[0，2 025]上有406个根.故选C. [变式探究]　(变条件)若本例(3)变为：已知函数f(x)在R上满足f(x)＝f(x＋2)，当0≤x＜2时，f(x)＝x2－x，则函数y＝f(x)在区间[－3，3]上零点的个数为　　　　. 答案：7 解析：令f(x)＝x2－x＝0，即x＝0或x＝1，所以f(0)＝0，f(1)＝0，由f(x)＝f(x＋2)，得函数f(x)的最小正周期为2，所以f(2)＝0，f(3)＝0，f(－2)＝0，f(－1)＝0，f(－3)＝0，所以函数y＝f(x)在区间[－3，3]上零点的个数为7. 函数零点个数的判断方法 1.直接法：令f(x)＝0，有几个解就有几个零点. 2.定理法：首先确定函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数. 3.图象法：将原函数分成两个函数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数. 　　 对点练1.函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案：C 解析：函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数即函数f(x)＝ex与g(x)＝－x2－2x＋1的图象的交点个数，在同一直角坐标系中，分别作出f(x)＝ex与g(x)＝－x2－2x＋1的图象，如图所示， 由图可知，两图象有2个交点，故原函数有2个零点，故选C. 对点练2.函数f(x)·cos x的零点个数为　　　　. 答案：6 解析：令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，所以f(x)的定义域为[－6，6].令f(x)＝0得36－x2＝0或cos x＝0，由36－x2＝0得x＝±6，由cos x＝0得x＋kπ，k∈Z，又x∈[－6，6]，所以x的取值为－，－，，.故f(x)共有6个零点. 考点三　函数零点的应用　　　　多维探究 角度1　根据函数的零点个数求参数的取值范围 已知函数f(x)函数g(x)＝mx，若函数y＝f(x)－2g(x)恰有三个零点，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：根据题意，画出函数f(x)的图象如图所示， 因为函数y＝f(x)－2g(x)恰有三个零点，所以f(x)＝2g(x)有三个不等实根，即f(x)的图象与y＝2g(x)＝2mx的图象有三个不同的交点，由图象可知，当直线y＝2mx的斜率在kOA，kOB(OB与直线y＝x－4平行)之间时，有三个交点，即kOA＜2m＜kOB，因为kOA＝－，kOB＝1，所以－＜2m＜1，解得－＜m＜.故选A. 角度2　根据函数的零点范围求参数的取值范围 (1)已知函数f(x)＝log2－＋m在区间(1，3]上有零点，则实数m的取值范围为(　　) A. B.∪ C.∪ D. (2)(2024·山东济南三模)已知函数f(x)若函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，则实数b的取值范围为(　　) A.(0，1] B.[0，1] C.(0，1) D.(1，＋∞) 答案：(1)D　(2)A 解析：(1)因为函数y＝log2，y＝m－在区间(1，3]上单调递增，所以函数f(x)在(1，3]上单调递增，因为函数f(x)＝log2－＋m在区间(1，3]上有零点，则即解得－≤m＜0.因此，实数m的取值范围是.故选D. (2)依题意，函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，即f(x)＝b有四个解，转化为函数y＝f(x)与y＝b的图象有四个交点，作函数y＝f(x)和y＝b的图象，如图所示. 结合图象，可知实数b的取值范围为(0，1].故选A. 角度3　探究函数多个零点(方程根)问题 (多选)(2025·安徽淮北模拟)已知函数f(x)若f(x)＝a有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，且满足x1＜x2＜x3＜x4，则下列结论正确的是(　　) A.0＜a＜1 B.x1＋2x2∈ C.x1＋x2＋x3＋x4∈ D.2x1＋x2∈ 答案：ACD 解析：在同一平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)，y＝a的图象，如图所示. 由图象知，若f(x)＝a有四个不同的实数解，则0＜a＜1，故A正确；因为｜log2x1｜＝｜log2x2｜，即－log2x1＝log2x2，则x2，所以x1＋2x2＋2x2，1＜x2＜2，因为y＋2x2在(1，2)上单调递增，所以＋2x2∈，故B错误；因为x1＋x2＋x2，1＜x2＜2，y＋x2在(1，2)上单调递增，所以＋x2∈，而x3＋x4＝8，所以x1＋x2＋x3＋x4∈，故C正确；因为2x1＋x2＋x2，1＜x2＜2，y＋x2在(1，)上单调递减，在(，2)上单调递增，则＋x2∈，故D正确.故选ACD. 1.利用函数零点求参数范围的方法 2.求函数的多个零点(或方程的根以及直线y＝m与函数图象的多个交点横坐标)的和(积)时，实质上是等高线问题，重在“减元”，结合函数图象要充分利用“函数值相等”，树立目标意识，预设“消谁留谁”，利用“函数值相等”的逆向使用，探究出自变量间的等量关系. 　　 对点练3.函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　) A.(0，3) B.(1，3) C.(1，2) D.[2，＋∞) 答案：A 解析：因为函数y＝2x，y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝2x－－a在(0，＋∞)上单调递增，由函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，得f(1)·f(2)＝(2－2－a)(4－1－a)＝(－a)×(3－a)＜0，解得0＜a＜3.故选A. 对点练4.(2024·山东菏泽三模)已知函数f若曲线y＝f与直线y＝ax恰有2个公共点，则实数a的取值范围是　　　　　. 答案： 解析：当x≤0时，fx2＋2x，其在上单调递减，在上单调递增，且f'2x＋2，则f'(0)＝2；当0＜x＜1时，fln，f'－＜0，其在上单调递减，且f'－1.作出f的图象，如图，易知a的取值范围是. 对点练5.(2025·苏北四市联考)已知函数f(x)若f(x)＝m存在四个不相等的实数根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x4－(x1＋x2)x3的最小值是　　　　　. 答案：2e 解析：作出函数f(x)的图象与直线y＝m如图所示.因为f(x)＝m存在四个不相等的实数根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，所以x1＋x2＝－2，x3，x4＞0，且1－ln x3＝－(1－ln x4)，则ln x3＋ln x4＝2，即ln x3x4＝2，得x3x4＝e2，则x4－(x1＋x2)x3＝x4＋2x3≥22e，当且仅当x4＝2x3，即x3e，x4e时等号成立.故x4－(x1＋x2)x3的最小值是2e. [真题再现]　(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax.当x∈(－1，1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则a＝(　　) A.－1 B. C.1 D.2 答案： D 解析：由题意知f(x)＝g(x)，则a－1＝cos x＋2ax，即cos x＝a－1.令hcos x－a＋1.易知h(x)为偶函数，由题意知h(x)在(－1，1)上有唯一零点，所以h(0)＝0，即cos 0－a(0＋1)＋1＝0，得a＝2.故选D. [教材呈现]　1.(人教A必修一P156T13)有一道题“若函数f(x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1，1)内恰有一个零点，求实数a的取值范围”，某同学给出了如下解答： 由f(－1)f(1)＝(24a－5)(24a＋3)＜0，解得－＜a＜. 所以，实数a的取值范围是(－，). 上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答. 2.(人教A必修一P160T4) 已知函数f(x)求使方程f(x)＝k的实数解个数分别为1，2，3时k的相应取值范围. 点评：本题是教材习题的拓展，都考查了已知函数零点求参数(范围)，需适当变形后利用零点存在定理解决问题，是高考试题源于教材的典例. 学科网（北京）股份有限公司 $