第二章 11 第八节 对数函数（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦对数函数高考核心考点，涵盖概念、图象性质、反函数及综合应用，按“基础定义—图象特征—性质应用—综合拓展”逻辑递进，通过课标研读明确考向，自主检测诊断学情，分考点（图象应用、性质应用、综合问题）梳理知识网络，配合方法指导与真题训练，构建系统复习路径。 资料以多维探究驱动能力提升，如比较对数大小时融合中间量法与图象法，解不等式时强调定义域优先与分类讨论，培养学生数学思维与逻辑推理能力。设置分层练习（自主检测、对点练、真题再现），精准突破单调性、定义域等难点，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰教学指引。

第八节　对数函数 【课标研读】　1.通过具体实例，了解对数函数的概念.能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与图象中的特殊点.　2.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数. 1.对数函数的概念 函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). 2.对数函数的图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图 象 性 质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 过定点(1，0) 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 [微提醒]　y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象只在第一、四象限，即在直线x＝0的右侧. 3.反函数 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，它们的图象关于直线y＝x对称. 【常用结论】 对数函数图象的特点 (1)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)，(，－1)，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象. (2)函数y＝logax与yx(a＞0，且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)如图给出4个对数函数的图象 则b＞a＞1＞d＞c＞0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大. 【自主检测】 1.若函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为[0，1]，则函数f(x)的值域为(　　) A.[0，1] B.(0，1) C.(－∞，1] D.[1，＋∞) 答案：A 解析：根据复合函数单调性的同增异减原则可知f(x)在[0，1]上单调递增，因为0≤x≤1，所以1≤x＋1≤2，则log21≤log2(x＋1)≤log22，即f(x)∈[0，1].故选A. 2.(链接人教A必修一P133例3)已知实数a＝log32，b＝log2π，c＝log2，则有(　　) A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.c＜a＜b D.c＜b＜a 答案：A 解析：因为f(x)＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，且2＜π＜，所以c＞b＞1.又a＝log32＜1，所以a＜b＜c.故选A. 3.已知函数y＝loga－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是　　　　. 答案：(4，－1) 4.(链接人教A必修一P140习题4.4T1)函数y的定义域是　　　　. 答案： 解析：由lo(2x－1)≥0，得0＜2x－1≤1，所以＜x≤1.所以函数y的定义域是. 考点一　对数函数的图象及应用 　　　　自主练透 1.函数y＝logax与y＝－x＋a在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) 答案：A 解析：当a＞1时，函数y＝logax的图象为选项B、D中过点(1，0)的曲线，此时函数y＝－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a＞1，选项B、D中的图象都不符合要求；当0＜a＜1时，函数y＝logax的图象为选项A、C中过点(1，0)的曲线，此时函数y＝－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0＜a＜1，只有选项A中的图象符合要求.故选A. 2.已知函数f(x)＝｜ln x｜，若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是　　　　. 答案：(3，＋∞) 解析：f(x)＝｜ln x｜的图象如图，因为f(a)＝f(b)，所以｜ln a｜＝｜ln b｜，因为0＜a＜b，所以ln a＜0，ln b＞0，所以0＜a＜1，b＞1，所以－ln a＝ln b，所以ln a＋ln b＝ln(ab)＝0，所以ab＝1，则b，所以a＋2b＝a＋，令g(x)＝x＋(0＜x＜1)，则g(x)在(0，1)上单调递减，所以g(x)＞g(1)＝1＋2＝3，所以a＋2b＞3，所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞). 3.已知函数f(x)关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是　　　　. 答案：(1，＋∞) 解析：问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a＞1，所以实数a的取值范围是(1，＋∞). 对数函数图象的识别及应用方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 注意：对于函数f(x)(a＞0，且a≠1)，若f(m)＝f(n)(m≠n)，则必有mn＝1. 　　 考点二　对数函数的性质及应用　　　　多维探究 角度1　比较对数式的大小 (1)(一题多解)(2025·河南开封模拟)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝lo，则a，b，c的大小关系为(　　 ) A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.c＞a＞b (2)(2025·安徽阜阳模拟)设a＝log23，b＝log812，c＝lg15，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.b＜a＜c D.c＜b＜a 答案：(1)D　 (2)D 解析：(1)法一(中间量法)：因为a＝log2e＞1，b＝ln 2∈(0，1)，c＝lolog23＞log2e＞1，所以c＞a＞b.故选D. 法二(图象法)：lolog23，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝log2x，y＝ln x的图象，如图，由图可知c＞a＞b.故选D. (2)a＝log23＝log21＋log21＋，b＝log812＝log81＋log81＋，c＝lg 15＝log101＋log101＋，因为0＜2＜lo8＜10，所以a＞b＞c.故选D. 角度2　解对数方程、不等式 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)单调递减，则不等式f(lo(2x－5))＞f(log38)的解集为　　　　　　　　. 答案：∪ 解析：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(lo(2x－5))＞f(log38)可化为｜lo(2x－5)｜＞｜log38｜，即log3(2x－5)＞log38或log3(2x－5)＜－log38＝log3，即2x－5＞8或0＜2x－5＜，解得x＞或＜x＜，所以不等式的解集为(，)∪(，＋∞). 1.比较对数值大小的方法 若底数相同，真数不同 若底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论 若底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 若底数与真数都不同 常借助1，0等中间量进行比较 2.求解对数不等式的两种类型及方法 (1)logax＞logab：借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论. (2)logax＞b：需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解. 　　 对点练1.已知a＝3log83，b＝－lo16，c＝log43，则a，b，c的大小关系为(　　 ) A.a＞b＞c B.c＞a＞b C.b＞c＞a D.b＞a＞c 答案：A 解析：a＝3log83＝3×log23＞1，b＝－lo16＝－×－×log34＞1，0＜c＝log43＜1，log23－log34－，lg 2＞0，lg 4＞0，lg 2≠lg 4，因为lg 2lg 4＜(lg )2＜(lg 3)2，故log23－log34＞0，所以a＞b，所以a＞b＞c.故选A. 对点练2.设函数f(x)则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　) A.[－1，2] B.[0，2] C.[1，＋∞) D.[0，＋∞) 答案：D 解析：当x≤1时，由21－x≤2得1－x≤1，所以0≤x≤1；当x＞1时，由1－log2x≤2得x≥，所以x＞1.综上，x的取值范围为[0，＋∞).故选D. 考点三　对数型函数的综合问题　　　　师生共研 (一题多变)已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3). (1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)的最小值为0，求a的值. 解：(1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1， 因此a＋5＝4，即a＝－1， 所以f(x)＝log4(－x2＋2x＋3). 由－x2＋2x＋3＞0得－1＜x＜3，即函数f(x)的定义域为(－1，3). 令g(x)＝－x2＋2x＋3(－1＜x＜3)，则g(x)在(－1，1]上单调递增，在[1，3)上单调递减. 又y＝log4x在(0，＋∞)上为增函数， 所以f(x)的单调递增区间是(－1，1]，单调递减区间是[1，3). (2)若f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1， 因此应有解得a. [变式探究]　(变条件，变结论)若已知函数f(x)在区间[－1，1]上单调递增，求实数a的取值范围. 解：令g(x)＝ax2＋2x＋3 ，所以f(x)＝log4g(x). 当a＝0时，g(x)＝2x＋3在区间[－1，1]上单调递增，且g(x)＞0， 又y＝log4x在定义域上单调递增，所以函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)在区间[－1，1]上单调递增，所以a＝0符合题意. 当a＞0时，由函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)在区间[－1，1]上单调递增， 得解得0＜a≤1. 当a＜0时，由函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)在区间[－1，1]上单调递增， 得解得－1＜a＜0. 综上，实数a的取值范围是(－1，1]. 解决与对数函数有关的复合函数的单调性问题需关注三点 1.遵循定义域优先的原则，所有问题都必须在定义域内讨论. 2.底数与1的大小关系. 3.复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则确定函数的单调性. 　　 对点练3.设函数f(x)＝ln｜x＋3｜＋ln｜x－3｜，则f(x)(　　) A.是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减 B.是奇函数，且在(－3，3)上单调递减 C.是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增 D.是偶函数，且在(－3，3)上单调递增 答案：A 解析：函数f(x)的定义域为{x｜x≠±3}，f(x)＝ln｜x＋3｜＋ln｜x－3｜＝ln｜x2－9｜，令g(x)＝｜x2－9｜，则f(x)＝ln g(x)，由函数g(x)的图象(图略)可知，当x∈(－∞，－3)，x∈(0，3)时，g(x)单调递减，当x∈(－3，0)，x∈(3，＋∞)时，g(x)单调递增，由复合函数的单调性得，当x∈(－∞，－3)，x∈(0，3)时，f(x)单调递减，当x∈(－3，0)，x∈(3，＋∞)时，f(x)单调递增；由f(－x)＝ln｜(－x)2－9｜＝ln｜x2－9｜＝f(x)得f(x)为偶函数.故选A. 对点练4.(多选)(2025·安徽蚌埠模拟)已知函数f(x)＝log4(1＋4x)－x，则下列说法中正确的是(　　) A.函数f(x)的图象关于原点对称 B.函数f(x)的图象关于y轴对称 C.函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减 D.函数f(x)的值域为［，＋∞) 答案：BD 解析：易知f(x)的定义域为R，f(x)＝log4(1＋4x)－log4log4log4(2－x＋2x)，由于f(－x)＝log4(2x＋2－x)＝f(x)，因此f(x)为偶函数，故A错误，B正确；令t＝2x，则y＝log4(t＋)，令s＝t＋，则y＝log4s，当x∈[0，＋∞)时，t∈[1，＋∞)，所以s＝t＋在定义域上为增函数，又y＝log4s在定义域上为增函数，所以y＝log4(t＋)为增函数，又t＝2x为增函数，所以f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，故C错误；又f(x)为R上的偶函数，所以f(x)≥f(0)，所以f(x)的值域为［，＋∞)，故D正确.故选BD. [真题再现]　(2020·全国Ⅲ卷)设a＝log32，b＝log53，c，则(　　) A.a＜c＜b B.a＜b＜c C.b＜c＜a D.c＜a＜b 答案：A 解析：因为a323＜39c，b533＞525c，所以a＜c＜b.故选A. [教材呈现]　(人教A必修一P133例3)比较下列各题中两个值的大小： (1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1). 点评：本高考题是教材例题的拓展，由于a和b的底数不同，故不能直接利用单调性比较大小，需变形后比较大小，而变形的过程中应用了函数的单调性. 学科网（北京）股份有限公司 $