5.1.1 平均变化率（教学课件）高二数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“平均变化率”核心知识点，以气温陡增与缓慢变化的生活实例导入，通过温差与时间变化的直观比较引出比值模型，结合图像陡峭程度的视觉化分析，联系直线斜率知识，搭建从具体现象到抽象概念的学习支架。 其亮点在于以真实情境（如婴儿体重增长、容器排水体积）培养数学眼光，通过不同函数（二次函数、一次函数）在多区间的平均变化率计算深化数学思维，题型探究兼顾代数推理与实际应用（运动位移问题），课堂小结系统归纳概念与方法，助力学生从直观到抽象理解知识，为教师提供丰富案例与高效教学思路。

5.1.1 平均变化率 苏教版2019选择性必修第一册•高二 第五章 导数及其应用 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 学 习 目 标 1 2 3 了解平均变化率的实际背景. 理解平均变化率的含义. 会求函数在某区间上的平均变化率,并能用平均变化率解释一些实际问题. 只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，而且也表明过程：运动. ——恩格斯 新知探究 世界充满着变化，有些变化几乎不被人们所察觉，而有些变化却让人们发出感叹与惊呼. 某市某年4月20日最高气温为33.4℃，而4月19日和4月18日最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温陡增14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了!” 新知探究 但是，如果我们将该市某年3月18日最高气温 3.5℃ 与4月18日最高气温 18.6℃ 进行比较，发现两者温差为 15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感叹. 这是什么原因呢? 原来前者变化得太快，而后者变化得缓慢。 ● 用怎样的数学模型刻画变量变化的快与慢? ● 这样的数学模型有哪些应用? 新知探究 为了弄清气温变化的快慢问题，我们先来观察如图 5-1-1 所示的气温曲线图 (以3月18日作为第一天). 在本章引言的案例中，气温“陡增”的数学意义是什么呢? 容易看出点 B，C 之间的曲线比点 A，B 之间的曲线更加“陡峭”. 陡峭的程度反映了气温变化的快与慢。 ●如何量化曲线上某一段的“陡峭”程度呢? 新知探究 为了量化气温变化的快与慢，我们不仅要考察气温的变化 ∆T＝TC－TB，同时还要考察对应时间的变化 ∆t＝tC－tB. 联想到用斜率来量化直线的倾斜程度，我们用比值来近似地量化点 B，C 之间这一段曲线的陡峭程度，并称该比值为气温在区间 [32，34] 上的平均变化率. 新知探究 气温在区间11，32]上的平均变化率为。气温在区间[32，34 ]上的平均变化率为 虽然点 A，B 之间的温差与点 B，C 之间的温差几乎相同，但它们的平均变化率却相差很大.一般地， 函数f(x)在区间[x,22]上的平均变化率为___________________. 在图 5-1-1 中，我们可以感受到：平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”. 新知探究 例 1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图5-1-2所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率. 解：从出生到第3个月婴儿体重的平均变化率为； 第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率为． 方法技巧 解题的关键：函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率 =≠. 典例分析 教材P174 例题 水经过虹吸管从容器甲流向容器乙 (图5-1-3)，t s 后容器甲中水的体积 V(t)＝5e－0.1t (单位：cm3)，试计算第一个10s内 V 的平均变化率. 例 2 解：在区间上，体积V的平均变化率为 ， 即第一个10s内容器甲中水的体积的平均变化率为（负号表示容器甲中的水在减少）． 典例分析 教材P174 例题 已知函数 f(x)＝x2，分别计算函数 f(x) 在区间 [1，3]，[1，2]，[1，1.1]， [1，1.001] 上的平均变化率. 例 3 解：函数 在 上的平均变化率为 函数在 上的平均变化率为 函数 在 上的平均变化率为 函数在 上的平均变化率为 典例分析 教材P175 例题 已知函数 f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算函数 f(x) 及 g(x) 在区间 [－3，－1]，[0，5] 上的平均变化率. 例 4 解：函数 在 上的平均变化率为 函数 在 上的平均变化率 函数g(x)在 上的平均变化率 函数g(x)在 上的平均变化率 典例分析 教材P175 例题 在例 4 的求解中，你能发现一次函数 y＝kx＋b 在区间 [m，n] 上的平均变化率有什么特点吗? 一次函数y＝kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率等于直线y＝kx＋b的斜率k。 思考 1. 甲、乙两人投人相同的资金经营某商品，甲用5年时间获利10万元，乙用5个月时间获利2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果? 解：由题意，甲的平均每月的获利为万元，乙的平均每月的获利为万元， 因为，乙的平均收益高于甲的平均获利，所以乙的经营成果较好. 2. 环境保护部门在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业进行检查，连续检测结果如图所示 (其中 W1(t)，W2(t) 分别表示甲、乙两企业的排污量)，试比较这两家企业的治污效果. 解：由图可知，甲企业比乙企业的平均排污率大，所以从排污量这项指标检查，可以认为甲企业治污效果更好. 教材P175~176 练习 3. 已知函数 f(x)＝3x＋1，求 f(x) 在区间 [a，b] 上的平均变化率： (1) a＝－1，b＝2； (2) a＝－1，b＝1； (3) a＝－1，b＝－0.9. 解：（1）在区间上的平均变化率为 ； （2）在区间上的平均变化率为 ； （3）在区间上的平均变化率为 . 教材P176 练习 4. 求经过函数 y＝x2 图象上两点 A，B 的直线的斜率： (1) xA＝1，xB＝1.001； (2) xA＝1，xB＝0.9； (3) xA＝1，xB＝0.99； (4) xA＝1，xB＝0.999. （1）解：由函数，当时，可得，即， 当，可得，即，所以直线的斜率为. （2）解：由函数，当时，可得，即 当，可得，即，所以直线的斜率为. （3）解：由函数，当时，可得，即 当，可得，即，所以直线的斜率为. （4）解：由函数，当时，可得，即 当，可得，即，所以直线的斜率为. 教材P176 练习 5. 若一质点的运动方程为 S＝t＋3 (位移单位：m，时间单位：s)，则在时间段 [3，3＋Δt] 上的平均速度是多少? ，， 所以， 所以平均速度是. 教材P176 练习 平均变化率的计算 题型一 题型探究 1.［江苏连云港灌南高级中学2025高二月考］函数在区间 上的平均变化率为 ( ) A A.1 B.2 C. D.0 解析 在区间上的平均变化率为 ，故选A. 2.［江苏镇江2025开学考试］已知二次函数从到的平均变化率为 ， 请写出一个满足条件的二次函数的表达式 _______________________. （答案不唯一） 解析 设 ，则 ， 所以解得 显然的取值不影响结果，不妨取，则 . 3.某物体做直线运动，若它所经过的位移与时间的函数关系为 ，则这个物体在时 间段 内的平均速度为( ) B A.2 B. C.3 D. 平均变化率的实际应用 题型二 题型探究 解析 所求平均速度为 .故选B. 4.为了检测甲、乙两辆车的刹车性能,分别对两辆车进行了测试,甲车从 到 用了 , 乙车从 到 用了 ,试比较两辆车的刹车性能. 解 甲车速度的平均变化率为 ,乙车速度的平均变化率为 , 平均变化率为负值说明速度在减少.因为刹车后,甲车的速度变化相对较快,所以甲车的刹车性能较好. 19 实际问题中的平均变化率与函数在某一区间上的平均变化率类似,首先求 ,再求比值 .当函数解析式没有给定时,先根据实际问题求出函数解析式,再重复上述步骤. 平均变化率的应用主要有:求某一时间段内的平均速度,物体受热膨胀率，高度（质量）的平均变化率等.解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量. 方法技巧 课堂小结 1.知识清单： (1)平均变化率的概念. (2)平均变化率的几何意义及应用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：对平均变化率的理解不透彻导致出错. 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 $