13.1.1 直角三角形三边的关系（12大基础题型+5大巩固提升）（题型专练）数学华东师大版2024八年级上册

13.1.1 直角三角形三边的关系 题型一：用勾股定理直接解三角形 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，于，和都是等腰直角三角形，如果，，那么的长为（   ） A． B． C．7 D．13 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟知等腰三角形两腰相等的性质是解答此题的关键． 根据等腰三角形性质得到，，再结合勾股定理求解，即可解题． 【详解】解： 和都是等腰直角三角形，，， ，， ． 故选：B． 2．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，在中，，点在的延长线上，连接，若，，则的长为（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形，勾股定理． 先根据等腰直角三角形的性质求得，再根据勾股定理解得即可． 【详解】解：，， ， 在中，， 故选：A． 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段练习）在中，，若，，则的长是（   ） A．1 B．3 C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理．直接利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 故选：A． 4．（25-26八年级上·广东清远·阶段练习）如图，等腰中，，，则底边边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，由，，则，，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：． 5．（25-26七年级上·山东济宁·期中）如图所示，在中，，，点是线段上的一个动点(不与、重合)，若线段的长为整数，则的长度为 ． 【答案】3或4/4或3 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，作于，根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，得到答案． 【详解】解：作于， ∵，， ∴， 由勾股定理得，， 又， ∴， ∵线段的长为整数， ∴的长度为3或4， 故答案为：3或4． 6．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段练习）已知在中，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 直接根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 故答案为：． 题型二：用勾股定理解三角形求周长 1．（2026九年级·贵州·专题练习）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O．若，，连接ME，则的周长为 ．BM的长为 ． 【答案】 14 【分析】①利用垂直平分线的性质求解； ②根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：①∵垂直平分， ∴， 的周长为； ②设，则，； 在中，， ∴，即； 解得，， 故答案为：①14，②． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理．熟练掌握垂直平分线的性质，勾股定理是解题的关键． 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接交于点，则与的周长之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合旋转的性质得，，根据等边三角形的性质得，运用勾股定理列式计算得，再结合周长公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：将绕点顺时针旋转，得到， ，， ， 为等边三角形， ， 在中，， 与的周长之和 ， 故答案为：． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为 ． 【答案】17 【分析】本题考查勾股定理、角平分线的性质和平行线的性质，解题的关键是利用角平分线和平行线的性质得到等腰三角形，进而将的周长转化为的长度． 利用勾股定理求出，根据角平分线的定义和平行线的性质可得和是等腰三角形，从而可得，进而可得的周长，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵中，， ， ∵平分平分， ， ， ， ， ， ， 的周长 ． 故答案为：17． 4．（25-26八年级上·安徽·阶段练习）如图，在中，，点，，依次在斜边上，分别以，，，为斜边在内作四个直角三角形，且满足，点，分别在边，上．若，，则这四个直角三角形的周长的和是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，平移的性质，根据勾股定理求出的长，由题意通过平 移可知，四个直角三角形的周长的和为三角形的周长，据此解答即可． 【详解】解：由勾股定理得，， 如图， 由题意将移到边上，将边平移到边上， ∴四个直角三角形的周长的和， 故答案为：12． 题型三：用勾股定理解三角形求面积 1．（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点D，若，则的面积是（    ） A．30 B．15 C．20 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，勾股定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 作于点，根据勾股定理得出，根据角平分线的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点， ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， 故选： B． 2．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，且，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质、旋转的性质以及勾股定理，利用旋转得到，进而得出四边形和正方形面积关系，再根据勾股定理求解即可． 【详解】把绕点顺时针旋转到的位置， ， ，， 四边形的面积正方形的面积， ∵，， ， 四边形的面积正方形的面积=， 故选：B． 3．（25-26八年级上·河南焦作·阶段练习）如图，点E在正方形内，满足，，，则阴影部分的面积是（   ） A．109 B．119 C．129 D．139 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 根据题意求出，根据即可得到答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 正方形的面积是， 的面积是， 阴影部分的面积是， 故选：D． 4．（2025·河南郑州·一模）如图，将绕点逆时针方向旋转到，连接，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，延长交于点E，求出，证明是等边三角形． 垂直平分，得，，由，得，即得． 【详解】解：如图，连接，延长交于点E， ∵，． ∴． 由旋转知，，， ∴是等边三角形． ∴． ∴点在的垂直平分线上． ∵， ∴点C在的垂直平分线上， ∴垂直平分． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形旋转．熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，三角形面积公式，添加辅助线，是解题的关键． 5．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）在中，，周长为60，斜边与一条直角边之比为，则这个三角形的面积是 ． 【答案】150 【分析】本题考查的是勾股定理，由斜边与一条直角边比是，设斜边是，直角边是，根据勾股定理，得另一条直角边是，根据周长列方程，求得两直角边的长，进而得出三角形面积即可． 【详解】解：设斜边是，直角边是， 根据勾股定理，得另一条直角边是， ∵周长为60， ∴， 解得：， ∴三角形的直角边边长分别是15，20， ∴三角形的面积， 故答案为：150． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，，直线、、分别通过、、三点，且 若与的距离为，与的距离为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】先过点作，交于，交于，由于，，易知，那么，，而，可得，根据同角的余角相等可得，根据可证，于是，，在中利用勾股定理可求，进而可求的面积． 【详解】过点作，交于，交于，如图， ，， ， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行线之间的距离，作辅助线，构造全等三角形，并证明是解题的关键． 7．（25-26八年级上·全国·期中）如图所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，则大正方形的面积为 ． 【答案】34 【分析】本题考查勾股定理、二元一次方程组的应用，运用方程思想．解题关键是通过设直角三角形的直角边为未知数，结合“”和“小正方形边长”建立方程组，求出直角边后用勾股定理求大正方形面积；易错点是混淆小正方形边长与直角边的关系，导致方程列错． 首先设直角三角形的直角边，．再根据“”得；根据“小正方形边长”得．然后解方程组，求出，．最后由勾股定理求大正方形边长的平方，即大正方形的面积为34． 【详解】设直角三角形的直角边，． 已知，即； 小正方形的边长，由图形可知，小正方形的边长等于，即． 联立方程组： ， 解得，． 在中，根据勾股定理： ， 因此，大正方形的面积为． 故答案为：34． 题型四：已知两点坐标求两点距离 1．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面内两点间的距离公式，熟记公式是解题的关键．根据两点间距离公式代入求解即可． 【详解】解：∵点，， ∴线段， 故选：B． 2．（24-25八年级上·浙江·期末）点与点两点之间的距离为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查坐标系中两点间距离计算，掌握坐标系中理由勾股定理求解两点之间的距离是解题的关键． 根据题意理由勾股定理求解即可． 【详解】解：点与点， 所以A、B两点的之间的距离为： 故选：D． 3．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点与点之间的距离是3，则x的值是（   ） A．5 B． C．5或 D．5或1 【答案】C 【分析】本题是基础题，考查了坐标与图形的性质，当两点的纵坐标相等时，则这两点在平行于轴的直线上，掌握以上知识是解答本题的关键． 点、的纵坐标相等，则直线在平行于轴的直线上，根据两点间的距离，可列出等式，从而解得的值． 【详解】解：∵点与点之间的距离是3， ∴， 解得：或， 故选：C． 4．（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，已知点P的坐标为，以点O为圆心．以的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A．则A点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标系内两点间距离，掌握勾股定理是解题的关键． 根据点P的坐标求出的长度，进而可得的长度，再根据点A所在位置，即可求解． 【详解】解：点P的坐标为， ， ， 点A在x轴的负半轴， A点表示的数为， 故选A． 5．（2025·海南·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，以点为圆心，将线段逆时针旋转，使点落在轴的负半轴上点处，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两点距离计算公式可得，由旋转得，，进而可得点的坐标是． 本题考查坐标与图形变化—旋转，两点距离计算公式，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 【详解】解：点的坐标是， ． 由旋转得，， 点的坐标是． 故选：． 6．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，C为轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，则点C的坐标为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系、勾股定理、等腰三角形的定义、三线合一，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题意，分和两种情况讨论，利用勾股定理和等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：若， 点A的坐标为，点B的坐标为， ， ， 点C的坐标为； 若，如图， 点A的坐标为， ， ，， ， 点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或． 故选：D． 7．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，坐标系中有两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知两点坐标求两点距离，根据两点的坐标得出，，再根据勾股定理即可求出． 【详解】解：∵点 ∴，， ∴， 故选：B 题型五：以直角三角形三边为边长的图形面积 1．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）如图，字母B所代表的正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，会利用勾股定理进行几何计算是解决本题的关键． 如图，利用勾股定理得到，再根据正方形的面积公式得到，，则可计算出，从而得到字母所代表的正方形的面积． 【详解】解：如图，∵， 而，， ， 字母所代表的正方形的面积为， 故选A． 2．（25-26八年级上·广东茂名·阶段练习）如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（   ） A．18 B．16 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出，再根据勾股定理，得到，即可求出答案． 【详解】解：在中，， ， ， ， 在中，， ， 即阴影部分的面积是18． 故选：A． 3．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，直线上有三个正方形、、，若正方形、的边长分别为5和7，则正方形的面积为（   ） A．36 B．49 C．74 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先证明，推出，，则，，再证，代入求出即可． 【详解】解：如图， 正方形，的边长分别为5和7， ，， 由正方形的性质得：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， 正方形的面积为， 故选：C． 4．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段练习）如图，在中，已知，以为直角边向外作，分别以为直径向外作半圆，面积分别记为．已知，则的大小是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理及其应用，解题关键在于把握题中各半圆面积之间的隐含关系．先根据圆的面积公式将，，，分别用含，，，的式子表示，再根据勾股定理得出等式，再转化为，即可求出结果． 【详解】解： ，， 根据勾股定理，得． ， 同理可得，，， ， 又 ，，， ． 故选：C 5．（25-26八年级上·全国·期中）如图所示，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C、D的面积分别是12，16，9，12，则最大正方形E的面积是（　　） A．28 B．625 C．49 D．400 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键．根据勾股定理的几何意义解答即可． 【详解】解：如图： 根据勾股定理的几何意义，可知： ， 故选：C． 6．（25-26八年级上·河南焦作·阶段练习）如图是美丽的勾股树及其形成过程，其中第1个图形是边长为1的正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，则第3个图形中所有正方形面积的和是 ． 【答案】3 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理，结合正方形的面积公式可得，，，，则，进而可求解． 【详解】解：如图，设A、B、C、D、E、F、P、Q为对应正方形的面积，则， 由勾股定理，得，，， ∴， 则第3个图形中所有正方形面积的和是， 故答案为：3． 7．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的面积分别为6、8、2，则正方形D的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了勾股定理，确定正方形A、B、C、D面积的数量关系是解题的关键．设正方形A、B、C、D的边长分别为a、b、c、d，中间阴影正方形的边长为x，由两个空白三角形均为直角三角形及勾股定理得，再代入数值即可求解． 【详解】解：设正方形A、B、C、D的边长分别为a、b、c、d，中间阴影正方形的边长为x， ∵两个空白三角形均为直角三角形， ∴，， ∴， ∵A、B、C三个正方形的面积分别为6、8、2， ∴， 即正方形D的面积为16． 故答案为：16． 8．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当，时，则阴影部分的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查勾股定理，求不规则图形的面积，勾股定理求出的长，根据阴影部分的面积等于两个小半圆的面积加上直角三角形的面积，再减去大半圆的面积，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴阴影部分的面积； 故答案为：4． 题型六：勾股定理与网格问题 1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图所示的网格是正方形网格，则 （点，，是网格线交点）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 延长交格点于，连接，根据勾股定理得到，，得出是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形外角的性质得到结论． 【详解】解：延长交格点于，连接， 则，， ， 是等腰直角三角形，且， ． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·全国·阶段练习） 如图，在5×5的正方形网格中， 的顶点均在格点上，若 ，则点 P 与点 重合．（填“D”“E”或“F”，且点D，E，F均为格点） 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定等知识，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可求解． 【详解】解：如图，当点 P 与点D重合时， ，∴， ，∴， 在和中， ， ∴． 故答案为：D 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，则网格上的三角形中，边长不是有理数的有 条． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理计算各条边长，即可计算得出结果． 【详解】解：如下图所示， 在中，， 应用勾股定理可知， ，长度为有理数， 同理可得， ，长度为无理数， ，长度为无理数． 故答案为：． 4.（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形顶点上，则线段的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，结合正方形网格，逐一画图计算后判定即可． 【详解】A．如图，，该选项不符合题意； B．如图，，该选项不符合题意； C．在正方形网格中找不到这样的格点，使得，该选项符合题意； D． 如图，，该选项不符合题意； 故选：C． 5．（25-26八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则和的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形网格，全等三角形的判定和性质，邻补角的性质，通过三角形全等求解是解题的关键．通过全等三角形的性质，邻补角的性质即可求解． 【详解】解：如图，在和中， ， ， ， ， ， 故选：C． ， 6．（25-26八年级上·江西吉安·阶段练习）如图，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．根据图形和三角形的面积公式求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 的面积， 由勾股定理得，， 则， 解得， 故选：C． 7．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形顶点上，则线段的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，结合正方形网格，逐一画图计算后判定即可． 【详解】A．如图，，该选项不符合题意； B．如图，，该选项不符合题意； C．在正方形网格中找不到这样的格点，使得，该选项符合题意； D． 如图，，该选项不符合题意； 故选：C． 8．（25-26八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则和的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形网格，全等三角形的判定和性质，邻补角的性质，通过三角形全等求解是解题的关键．通过全等三角形的性质，邻补角的性质即可求解． 【详解】解：如图，在和中， ， ， ， ， ， 故选：C． ， 9．（25-26八年级上·江西吉安·阶段练习）如图，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．根据图形和三角形的面积公式求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 的面积， 由勾股定理得，， 则， 解得， 故选：C． 题型七：勾股定理与折叠问题 1．（25-26八年级上·广东河源·阶段练习）如图，在中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 由题意知，，由折叠的性质设，则，由勾股定理得，，代入计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 由折叠的性质可知，， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， 故选：B． 2．（2025·广东汕头·一模）如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由折叠的性质得出，，，，推出，再由勾股定理求出，设，则，然后由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：由折叠的性质得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 3．（25-26八年级上·山西运城·阶段练习）如图，在中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边的延长线于点，交边于点，则的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与折叠的性质，解题的关键是掌握折叠的不变性． 设，由折叠可得，，然后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设， 由折叠可得，， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 4．（25-26八年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线处，若，则（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，利用勾股定理求出的长，由折叠的性质得到，根据列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴； 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．（24-25八年级下·青海海西·期中）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长． 本题考查了折叠的性质、利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得：， ， 设，则在中，， ． 故选：A． 6．（25-26八年级上·贵州毕节·阶段练习）如图1，在中，，将按如图2所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了翻折变换的问题，勾股定理，找到翻折后图形中的直角三角形，利用勾股定理来解答，解答过程中要充分利用翻折不变性．根据翻折不变性，可知，从而得到，，由勾股定理求出，设，则，在中，由勾股定理列方程求解． 【详解】解：根据翻折不变性得， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，设，则， ∴， ∴， 解得． 故选：C． 7．（25-26八年级上·河南·阶段练习）如图所示，在长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，则AE的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 8．（25-26八年级上·山西晋中·阶段练习）如图，将一张长方形纸片折叠，使得点的对应点落在上，折痕与交于点．若，则的长为（　　） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据长方形的性质可得，根据折叠的性质可得，，再运用勾股定理可得，进而得到；设，则，根据勾股定理列方程可得，即，最后再运用勾股定理求的长即可． 【详解】解：∵长方形纸片， ∴， ∵将一张长方形纸片折叠，使得点的对应点落在上，折痕与交于点， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：，即， ∴． 故选C． 9．（25-26八年级上·河北保定·阶段练习）如图，中，已知，将沿直线折叠，使点与点重合，点、点分别在边和上，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，由勾股定理得，由折叠得，设，则，再根据勾股定理解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴线段的长为， 故选：． 题型八：勾股定理解答题综合 1．（25-26八年级上·全国·阶段练习）已知：如图，在中，于点D，E为上一点，且，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合，得，再结合，，即可证明； （2）根据得出，，运用勾股定理列式计算得，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵于点， ∴， 在与中， ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点D，E为上一点，． (1)求证：． (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）直接利用证明三角形全等即可； （2）全等三角形的性质结合勾股定理求出的长，线段的和差求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，的平分线交于点E，于点F，点F恰好是的一个三等分点（）． 求证： (1)． (2)求的长． (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线性质得出，利用“”证明即可； （2）设，则，，根据勾股定理求出，根据，得出，求出，即可得出答案； （3）设，则，根据勾股定理得出，求出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 即； （2）解：∵， ∴， 设，则，， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， 即； （3）解：设，则， 根据勾股定理得， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，，点D在斜边边上，以为直角边向右作等腰直角三角形，连接． (1)求证：； (2)判断线段、、间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用． （1）根据，只要证明即可解决问题； （2）结论：．证明，，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ∵， ∴． （2）解：，理由如下： ∵ ∴，， ∴， ∴， 即． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：如图，在中，，，，是斜边上的高． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)25 (2)12 【分析】本题主要考查了勾股定理： （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解：在中，∵，，， ∴； （2）解：∵是斜边上的高，， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 6．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，是高，是角平分线． (1)若，，求和的度数． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)， (2)4.8 【分析】本题考查了三角形的高与角平分线，勾股定理． （1）先根据三角形内角和性质得，再结合角平分线的定义得，再结合是高，得出的度数，再根据角的关系进行运算得出的度数，即可作答； （2）先根据勾股定理求出，再运用等面积法进行列式，代入数值进行化简，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为，的度数为； （2）解：∵，，， ∴， 又∵是高， ∴，即， ∴． 题型九：勾股定理的证明方法 1．（2025八年级下·全国·专题练习）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 2．（24-25八年级下·山西大同·期中）勾股定理在人们的生活中应用广泛，它的证明也是多种多样．下列各式能用如图所示的图形面积验证勾股定理的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出图形面积是解题关键． 根据大正方形的面积等于四个直角三角形面积的和加上小正方形的面积计算． 【详解】解：大正方形的边长为，面积为， 小正方形的边长为，面积为， 四个直角三角形的面积都为， 所以， 故选：A． 3．（24-25八年级下·河北邢台·期中）在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，面积转化法，完全平方公式，掌握方法是解题的关键． 由图形中的面积关系：梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积，正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积，化简即可求解． 【详解】解：甲同学的方案： 由题意得等腰三角形的直角三角形； 梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积， ， 整理得， 因此甲同学的方案可以证明勾股定理． 乙同学的方案： 大正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积， ， ， ， 因此乙同学的方案可以证明勾股定理； 故选：C． 4．（24-25八年级下·福建福州·期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】解：在图①中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ∴， 整理得， 故①可以证明勾股定理； 在图②中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴， 整理得， 故②可以证明勾股定理； 在图③中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ∴， 整理可得， 故③可以证明勾股定理； 在图④中，连接， 此图也可以看成绕其直角顶点顺时针旋转，再向下平移得到．一方面，四边形的面积等于和的面积之和，另一方面，四边形的面积等于和的面积之和， 所以， 即， 整理：， ， ∴， 故④可以证明勾股定理； ∴能证明勾股定理的是①②③④． 故选：D． 题型十：以弦图为背景的计算题 1．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）在学习了勾股定理的赵爽弦图后，小明尝试将4个全等的小正方形嵌入到长方形内部，其中点E，F，G，分别在长方形的边，，，上，若，，则小正方形的边长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了赵爽弦图，二元一次方程组，勾股定理，根据赵爽弦图，将正方形分成4个全等的直角三角形，和一个小正方形，设直角三角形短的直角边为，长的直角边为，那么，然后解方程组，进而勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示：将每个正方形分成四个全等的直角三角形和一个小正方形，设直角三角形短的直角边为，长的直角边为， 那么， ， 正方形的边长为， 故选：B． 2．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段练习）我国古代数学家赵爽巧妙地利用“弦图”证明了勾股定理，标志着我国古代的数学成就．如图①的“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的周长为（    ） A．72 B．52 C．80 D．76 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据外延的4部分全等，且，由勾股定理求得，根据风车的外围周长是，计算求解即可． 【详解】解：如图，由题意知，外延的4部分全等，且， ， ， 这个风车的外围周长是． 故选：D． 3．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了“赵爽弦图”，它是由个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图，直角三角形的直角边长为，，斜边长为，若，每个直角三角形的面积为，则小正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，完全平方公式，熟记勾股定理是解题的关键．根据三角形的面积公式可得的值，结合已知的的值，利用完全平方公式可求得， 根据勾股定理求得，最后根据小正方形的面积大正方形的面积（即）个直角三角形的面积之和，计算即可得解． 【详解】解：直角三角形的直角边长为，，每个直角三角形的面积为， ，， ， ， ， 小正方形的面积为． 故选：A ． 4．（25-26八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为．若正方形的边长为3，则的值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了与弦图有关的计算，解题的关键是对三角形的面积设而不求，借用三角形的面积寻找三个正方形面积的关系． 结合图形，借助直角三角形的面积，设八个全等的直角三角形每个面积为，寻找三个正方形面积之间的关系为，即可求解． 【详解】解：设八个全等的直角三角形每个面积为， 由图形可得知，， 则 ∵正方形的边长为3 ∴ ∴ 故选C． 5．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）大正方形的面积为5，小正方形的面积为，若用、分别表示直角三角形的两直角边，下列三个结论：；；其中正确的是 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；根据题意可得小正方形的边长，大正方形的边长，再逐一判断，即可． 【详解】解：由题意可得小正方形的边长，大正方形的边长， 斜边大正方形的面积， 故正确； 小正方形的边长为， ， 故正确； 小正方形的面积四个直角三角形的面积=大正方形的面积， ， ， 故正确； 综上可得正确． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图（），图（）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，若正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的性质，完全平方公式，设正方形，，的面积分别为，由全等三角形性质可得，，然后分别求出即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设正方形，，的面积分别为， ∵八个直角三角形全等，正方形，，是正方形， ∴，， ∴ ， ，， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 题型十一：勾股定理与无理数 1．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，根据尺规作图的痕迹判断数轴上点C所表示的数是（   ） A． B． C．4.4 D．4.5 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴是解题的关键；由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴； 故选B． 2．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在数轴上点表示的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出圆弧半径的长是解题关键．先根据勾股定理求出圆弧半径，再根据数轴即可得到答案． 【详解】解：由勾股定理得直角三角形的斜边长为， 斜边长恰好是圆弧的半径， 则点A表示的实数为， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）如图，正方形的边长是1，边在数轴上，点A表示，点B是原点．以点A为圆心，以正方形的对角线的长为半径画半圆交数轴于点P，Q，则点P表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据勾股定理在数轴上表示无理数． 根据正方形边长以及结合勾股定理求出，观察数轴得出点在点的左侧，再列式表示出点表示的数，即可作答． 【详解】解：正方形的边长是1， 正方形的对角线为， ， 观察数轴得出点在点的左侧， ∴点表示的数是． 故答案为：． 4．（24-25七年级·全国·假期作业）如图，数轴上点表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了勾股定理、实数与数轴的关系等知识，由勾股定理得：，，从而有，则得到数轴上点表示的数，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图， 由勾股定理得：，， ∴， ∴数轴上点表示的数为， 故答案为：． 题型十二：用勾股定理构造图形解决实际问题 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在门上方离地面的墙上有一个由传感器A控制的灯，任何东西只要移至该灯及内，灯就会自动发光．小明身高，他走到点D处时（即），灯刚好发光，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练地掌握勾股定理．过点C作于点E，则人离墙的距离为， 在中，根据勾股定理列式计算即可得到答案． 【详解】解：如图，传感器A距地面的高度为，人高， 过点C作于点E，则人离墙的距离为， 由题意可知，， 当人离传感器A的距离时，灯发光． 此时，在中，根据勾股定理可得， ， ∴， ∴， 即人走到离墙远时，灯刚好发光． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，，那么门的宽度即的长为 寸． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 本题需画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图： ， 设，过作于， 则由题知，，，． 在中， ，即， 解得． 故门的宽度（两扇门的和）为寸． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图1，荡秋千是小朋友非常喜爱的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉得很直，则绳索 m． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理解直角三角形，线段的和差，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 设，表示出相关线段的长度，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设， , ∴， 由勾股定理得 即， 解得， ∴， 故答案为：10． 4．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 尺． 【答案】14.5 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，解题的关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解． 设秋千的绳索长尺，由题意知：尺，尺，尺，根据勾股定理列方程即可得出结论． 【详解】解：设秋千的绳索长为x尺， 由题意知：尺，尺，尺， 在中，， ∴， 解得：， 答：绳索长为14.5尺． 故答案为：14.5． 5．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图（单位：），龙龙家购置了一台圆形扫地机，计划放置在屋子角落（衣柜、书柜与地面均无缝隙，衣柜不可移动）．若要这台扫地机能从角落自由进出，则需拖动书柜，使图中的至少为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，连接，过点A作交的延长线于点C，利用勾股定理即可求得答案，理解题意准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】连接，过点A作交的延长线于点C， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型一：利用勾股定理解直角三角形求最值 1．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在矩形中，点、、、分别是边、、、上的动点（不与端点重合），若四点运动过程中满足、，且、，则四边形周长的最小值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形性质、平行四边形判定及最短路径问题，解题关键是准确作对称点并转化线段，易错点是对称点的位置或勾股定理计算失误；解题思路是运用对称思想与勾股定理，通过作对称点将折线转化为直线，利用两点之间线段最短求周长最小值． 【详解】解：由、及矩形性质， 可证是平行四边形，因此周长； 作点关于的对称点，关于的对称点； 则，； 周长; 当 、 、 、 、共线时，最小， 因为、，利用勾股定理可得： 最短周长 故答案为：． 2．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转得到，若点P为上一动点，旋转后点P的对应点，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握旋转的性质是解题的关键． 连接、，过点A作于点，由等腰三角形的“三线合一”得到，从而，进而得到，由旋转得到，，根据勾股定理求得，求出的最小值，即可解答． 【详解】解：如图，连接、，过点A作于点， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵点为上一动点，旋转后点的对应点， ∴当点与点重合时，有最小值为， ∴线段的最小值是． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，得出点的运动轨迹是解题关键．根据等边三角形和旋转的性质，证，得到，即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动，过点作于点，当点在点处时，取得最小值，即为的长，然后结合勾股定理求解即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， 即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动， 如图，过点作于点， 当点在点处时，取得最小值，即为的长， 点是边的中点， ， 在中，， ， ， 即的最小值是， 故答案为：． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，线段，点C是线段上的动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，在上方作，使，，点F为的中点，连接，当最小时，的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了旋转的性质、勾股定理等知识，连接，根据旋转的性质得出，，根据等腰三角形的性质求出，，，进而推出为直角三角形，根据勾股定理列出，设，则，建立关于x的二次函数关系式，求出时，最小． 【详解】解：连接，过点A作于点M， ∵，点F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，，， 由勾股定理得：． 当时，有最小值为， ∴当最小时，的长为3， 故答案为：3． 5．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意可知，要求周长最小，实际是求最小，先找出点运动轨迹，过点作，交、与E、F，过点M作于点G，由旋转的性质，利用证明，进而推出点在平行于，且与的距离为5的直线上运动，再作对称求解即可． 【详解】解：过点作，交、于E、F，过点M作于点G，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形和是矩形， ∴， ∵将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，点M是边的中点， ∴， ∴点在平行于，且与的距离为5的直线上运动， 作点M关于直线的对称点，连接交直线于点， 此时取得最小值，即周长最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴，即周长最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，轴对称最短路径问题等，正确添加辅助线找出点运动轨迹是解题的关键． 题型二：用勾股定理列方程解直角三角形 1．（25-26八年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在中，，平分交于点D，若，，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质及角平分线的定义．过点D作交于点E，根据角平分线定义得到，利用“”证得，得到，，根据勾股定理求得的长度，在中，设，则，由勾股定理得，列出方程解得，最终求得的长度． 【详解】解：如图，过点D作交于点E， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得，， 在中，设，则， 由勾股定理得，， ∴，解得， ∴， ∴． 故答案为：10． 2．（25-26九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，在中，、，斜边的垂直平分线交于点D，交的延长线于点，连接，则的长为 【答案】/ 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质和勾股定理的应用，是直角三角形，即满足勾股定理，设，由线段垂直平分线的性质得，，代入，求得，由勾股定理得．得，再由勾股定理得， 【详解】解：设， ∵是线段的垂直平分线且， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，, ∵垂直平分, ∴； 在中，， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·陕西·阶段练习）如图，在直角三角形中，，，．为边上一点，连接．将沿折叠，若点恰好落在线段的延长线上的点处，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握折叠的性质和勾股定理．先由折叠的性质得到，再由勾股定理求出，从而得到，设，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∵在中，， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，为的角平分线，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题可先利用勾股定理求出的长度，再根据角平分线的性质求出的长度，最后再次利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：过点作于点，如下图： 为的角平分线，，， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ，解得 ， 故答案为： ． 【点睛】本题关键在于掌握角平分线性质定理以及勾股定理的应用. 5．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，，．为射线上一点，把沿折叠，点落在直线上的点处，则的长为 ． 【答案】5或20 【分析】本题主要考查了勾股定理和折叠的性质，解题关键是正确识别图形，注意利用分类讨论的数学思想解决问题． 分两种情况进行讨论：①当点在线段上时；②当点在射线上时，分别画出图形，设，然后根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：①当点在线段上时，如图1所示： 设， ， ， 由折叠可知：， ， ， ， 在中，， ， 解得：； ②当点在射线上时，如图2所示： 由折叠可知：， 设，则， ， ， ， 即， 解得：， ∴的长为5或20． 故答案为：5或20． 6．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在梯形中，，，点为边上一点，连结、，已知，，，，那么的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查勾股定理.设，则，利用勾股定理可得，，则，而，即可建立方程求解. 【详解】解：如图所示，过B作于F点，设， 由题意得，，，，， ∴，四边形为矩形 ∴， ∴ 在中， 在中， 在中， 在中， ∴ 解得 ∴. 故答案为：5. 7．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，中，，垂足为D，，若，，则的长为 ． 【答案】/0.9 【分析】本题考查勾股定理，三角形外角的性质，等边对等角，解题的关键是掌握以上知识点． 本题考查了勾股定理，如图，延长到E，使得．推出，求出，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，延长到E，使得，      ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴设，则， ∵ ∴ ∴ 解得． ∴． 故答案为：． 题型三：勾股定理解直角三角形中动点问题 1．（辽宁省丹东市第八中学2025-2026学年八年级上学期期中数学联考试题）如图，在中，，，，点是边上的一个动点，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒．当点在边上运动时，出发 秒后，是以为腰的等腰三角形． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，先利用勾股定理可得，再分和两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 当时，如图， ∵， ∴ (秒)； 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴(秒)； 综上，出发秒或秒，是以为腰的等腰三角形， 故答案为：或． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，动点D从点A出发，沿射线AC方向以每秒2个单位长度的速度运动，连接BD，则当是等腰三角形时，运动时间为 s． 【答案】5，6或 【分析】本题需要先利用勾股定理求出的长度，然后分三种情况讨论为等腰三角形时的运动时间，分别是． 【详解】在中，， 根据勾股定理， 设运动时间为秒，则， ①当时：， 解得； ②当时： ， ， 则，即， 解得； ③当时：， 在中，根据勾股定理， 即， 展开得， 移项化简得， 解得． 综上所述：则当是等腰三角形时，运动时间为，或s． 故答案为：，或． 【点睛】本题考查了勾股定理和等腰三角形的性质，掌握分情况讨论，结合勾股定理求解运动时间是解题的关键． 3．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，，，，动点D从点A出发，沿线段以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作交所在的直线于点F，连接，．设点D运动时间为t秒．当是等腰三角形时，则 秒． 【答案】或或2 【分析】本题考查的是勾股定理、三角形的面积计算、等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．分、、三种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：． 当时，， ∴， ∴； 当时，， 则， ∴，即， 解得：， 由勾股定理得：， ∴； 当时， ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，是等腰三角形时，t的值为或或2． 故答案为：或或2． 4．（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒速度沿射线的方向运动．当点运动 秒时，为等腰三角形． 【答案】或5或6 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． 先求出，设点运动t秒时，为等腰三角形，有， 再分类讨论：①当时，②当时，③当时，逐一求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 设点运动t秒时，为等腰三角形，有， ①当时，如图 ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ②当时，如图 ∵， ∴， 即 ， 解得， ③当时，如图 ∴ 解得， 综上所述，t的值为或5或6． 5．（25-26八年级上·江西萍乡·阶段练习）如图，在中，，，，若动点P从点A出发，以的速度沿折线运动．设运动时间为，当点P运动到与点A和点B的距离相等的位置时，t的值为 ．    【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理和与线段有关的动点问题，熟练掌握分类讨论的数学思想是解决问题的关键． 根据题意可知，然后分两种情况讨论：当点在上和当点在上，即可求得的值． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得，， 当点在上时，且，    ∴， 即， 解得； 当点在上时，且，    则点为的中点， 此时， 即． ∴当点P运动到与点A和点B的距离相等的位置时，t的值为或． 故答案为：或． 题型四：利用勾股定理证明线段平方关系（压轴题） 1．（2025·四川广元·模拟预测）如图1，在等腰三角形中， ，点 D 是直线上一点，连接，将线段绕点A 顺时针旋转得到线段，连接，． (1)当，且点 D 在线段上时，线段与之间的数量关系是 ． (2)如图2，当，且点 D 在线段上时，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)当，，时，求的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）将线段绕点A 顺时针旋转得到线段，那么，，然后可证，推出，得到； （2）同理可证，那么，，得到，然后根据勾股定理即可得到结论； （3）由勾股定理求出，然后分当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，当点在线段的延长线上时三种情况进行分类讨论． 【详解】（1）解：， 理由如下： 将线段绕点A 顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴． 由题意可知，，， ∴ ∴，． ∴． 在中， （3）解：∵，， ∴． ∴在中，由勾股定理，得 ①当点在线段上时， 由(2)，得在中，由勾股定理，得， ②当点在线段的延长线上时，如图． ∵， ∴． 又，， ∴． ∴，． 又， ． ∴在中， ， 即 ， ③当点在线段的延长线上时，，不满足条件． 综上所述， 的长为或 ． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求． 【答案】(1)猜想：．理由见解析； (2)73 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定、勾股定理、垂美四边形的定义等知识． （1）利用勾股定理求得即可证明； （2）连接，，只要证明四边形是垂美四边形，利用（1）中结论即可解决问题． 【详解】（1）解：猜想：．理由如下： ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ， ∴； （2）连接，，如图： ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， 由（1）可知， ∵，， ∴由勾股定理，得，，， ∴． 3．（四川省成都市东部新区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷）如图1，在中，，，D是边上一动点，连接，过C点作，交于点E于点F，M是边上的中点，连接交于点． (1)问题解决： （i）求证：； 连接，试探究之间的数量关系，并证明； (2)类比迁移： 如图2：在等边中,为边上的高，在线段上取点，连接，在射线上取一点E，连接使得，延长交于点F，在线段上取点N，使得，连接，请直接写出之间的数量关系． 【答案】(1)（i）见解析；（ii），证明见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、以及勾股定理的应用，解题的关键是通过分析图形中的角度和边长关系，构造或证明全等三角形，将待求线段与已知线段关联，再结合特殊三角形的性质或勾股定理推导数量关系． （1）（i）由等腰直角三角形性质得；利用同角的余角相等，证明；根据判定，从而得出． 由（i）中全等三角形得，结合，推出，进而得；利用等腰直角三角形边长关系，将表示为 表示为；在中应用勾股定理，代入边长表达式化简，得出． （2）由等边三角形性质得，利用角度和差证明；根据判定，得，进而推出；利用等边三角形边长关系，将表示为 表示为；在中应用余弦定理（或角的三角形边长公式），代入边长表达式化简，得出． 【详解】（1）证明：，， ， 点M是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 解：如图1， ，理由如下： 由（1）得， ，，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ，， ， ； （2）解：如图2， ，理由如下： 连接，并延长，交于G，连接， 是等边三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 平分， ，，， ， ， ， 在中，，过点N作的垂线，垂足为点（如下图），则,， 在中， ， ， 4．（23-24八年级下·辽宁鞍山·阶段练习）【问题背景】 （1）如图1，点是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等腰中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）通过证明即可证明； （2）连接，根据条件证明可得，进而得到，由勾股定理即可证明； （3）延长到T，使，连接，延长交于点J，即可证明，利用全等三角形的性质可得，即可求得． 【详解】（1）证明：∵点是线段，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图，    ∵是等腰三角形，是底边上的高线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长到T，使，连接，延长交于点J，如图，    ∵点为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 5．（24-25八年级上·全国·期中）如图，和都是等腰三角形，其中，且． (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，若，且C点恰好落在上，试探究和之间的数量关系，并加以说明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，进而推出，勾股定理求出，进而推出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴． （2） 如图，连接． ∵． ∴． 同（1）法可得：． ∴． ∴，即． 在中，由勾股定理可知：． ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（24-25八年级下·广东深圳·阶段练习）如图1，在中，，，点D是直线上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图2，当，且点D在线段上时，线段与的数量关系为 ； (2)如图3，当，且点D在线段上时， ①求证：； ②猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)①见解析；②，见解析 【分析】本题主要考查几何变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）将线段绕点A逆时针旋转得到线段，根据题意证明，即可得到结论； （2）①根据题意证明即可；②证明，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：，理由如下：如图： 将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ，， ， 即， 在与中， ， ， ． （2）①将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ，， ， 即， 在与中， ， ． ②证明：线段、、之间的数量关系为， 证明如下：如图： ，， ， 由①可证， ，， ， ， ． 7．（2024·北京东城·一模）在中，，，点、是边上的点，，连接，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接交于点． (1)如图①，当点与点重合时，直接写出与之间的数量关系； (2)如图②，当点与点不重合点在点的左侧时， ①补全图形； ②与在（1）中的数量关系是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． (3)在（2）的条件下，用等式表示线段、、的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①见解析；②仍然成立，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等等： （1）由三线合一定理可得，再由，得到三点共线，即可得到； （2）①根据题意画图即可；②过点A作于H，则，先证明，再证明，进而证明，得到，则，即； （3）将绕点A逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，证明，得到，由勾股定理得，即可得到． 【详解】（1）解：∵在中，，，点D与点B重合，， ∴， ∵， ∴三点共线， ∴； （2）解：①如图所示，即为所求； ②仍然成立，证明如下： 如图所示，过点A作于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 题型五：勾股定理的证明方法解答题 1．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）用四个全等直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图．其中每个直角三角形的直角边长分别为a、b（），斜边长为c． (1)请结合图①，证明勾股定理． (2)如图②，将这四个全等直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到八边形，若该八边形的周长为48，，则该八边形的面积是_________． (3)如图③，将图①中的每个直角三角形绕着斜边的中点旋转得到新的直角三角形拼接成正方形，将图③中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，若，则__________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理和旋转的性质，熟知勾股定理是解题的关键． （1）大正方形的边长为c，其面积为，大正方形面积等于四个全等的直角三角形面积加上中间小正方形的面积，其面积为，据此可证明勾股定理； （2）设，则，根据周长计算公式可建立方程求出，则可利用勾股定理得到，解方程即可得到答案； （3）根据正方形面积计算公式可得，再由可得的值，进而可得答案． 【详解】（1）证明：图①中大正方形的边长为c，小正方形的边长为， ∴大正方形的面积为； 又∵大正方形面积等于四个全等的直角三角形面积加上中间小正方形的面积， ∴大正方形的面积为， ∴； （2）解：由题意得，， ， 设，则， ∵该八边形的周长为48， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由旋转的性质可得， ∴正方形的边长为； ∵正方形、正方形、正方形的面积分别为、、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段练习）同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！ (1)填空：如图①，若直角边，直角边，则斜边________； (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边、在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明； (3)如图③所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，，求的长． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】本题主要勾股定理的证明，几何图形面积的计算，矩形与折叠中勾股定理的运用． （1）运用勾股定理可得的值； （2）图②的面积，又图②的面积，由此即可求解； （3）根据折叠，长方形的性质，在中，运用勾股定理，可得，设，则，在中，运用勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：根据勾股定理得，， 故答案为：； （2）证明：图②的面积， 又图②的面积， ∴， ∴， ∴； （3）解：由折叠的性质得：， ∵四边形是长方形， ∴， 在中，，即， 解得：， ∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴． 3．（25-26八年级上·广东佛山·阶段练习）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，图中的个全等的直角三角形可以拼成不同的图形，用来证明勾股定理． (1)如图，，，求证； (2)用图验证勾股定理； (3)若图的，，用图的个全等的直角三角形拼成图3中的形状，求这个图形外围轮廓（实线）的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)这个图形外围轮廓（实线）的周长为． 【分析】本题考查了勾股定理的证明和应用，全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设与交于点，，则，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）连接，由，得，，，然后通过即可验证； （）由勾股定理得，又，则所以，，，然后证明，则，设，则，从而求得，同理可得，然后通过，再代入即可求解． 【详解】（1）证明：如图，设与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵， ∴，，， ∴， ∴ ∴, ∴ ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴这个图形外围轮廓（实线）的周长为， ∴这个图形外围轮廓（实线）的周长为． 4．（25-26八年级上·广东佛山·期中）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为，斜边长为，则．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； 【方法运用】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得，求边上的高？ 【应用拓展】 （3）如图4，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 【答案】（1）见解析（2）（3）0.2千米 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明与应用，熟练掌握该知识点是关键． （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果． 【详解】解：（1）梯形的面积为， 也可以表示为， ∴， 即； （2）设边上的高为h，则： ，， ∴， ∴， 即边上的高是； （3）设， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得， 即， ∴（千米）， 答：新路比原路短0.2千米． 5．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段练习）勾股定理在我国有着悠久的历史．汉末三国初数学家、天文学家赵爽给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦．”其设计图是由四个完全相同的直角三角形(两条直角边长分别为，，且，斜边为)拼成一个边长为的正方形(如图)，直观地论证了勾股定理，该图被后人称为“赵爽弦图”． (1)请你借助“赵爽弦图”验证勾股定理． (2)若，，求中间小正方形(阴影部分)的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其证明方法，熟知勾股定理及其证明方法是解题的关键． （1）根据最外面的大正方形的边长为c，且大正方形的边长等于四个全等的直角三角形的面积加上中间小正方形的面积进行证明即可； （2）根据勾股定理可求出a的值，进而可求出中间小正方形的面积． 【详解】（1）证明：∵最外面的大正方形的边长为c， ∴最外面的大正方形的面积为； ∵中间小正方形的边长为， ∴中间小正方形的面积为； 又∵最外面的大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积加上中间小正方形的面积， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴或（舍去）， ∴中间小正方形的面积为． 6．（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段练习）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，据不完全统计，勾股定理的证明方法有400多种． (1)请用图1证明勾股定理； (2)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图2所示的“数学风车”．若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了勾股定理的几何背景和勾股定理的应用，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键． （1）利用大正方形的面积的不同表示方法进行证明即可； （2）先由“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求得，设，则，再由勾股定理得，可得关于x的方程，解方程再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108， ， 设，则， 在中，， ． 将，代入，可得， 解得， 小正方形的边长，， 风车图案的面积为． 7．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）综合与实践． 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】将两个这样的直角按照图②所示摆放，使和在一条直线上，连接 (1)请用a，b，c分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：勾股定理 (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为______． (3)如图④，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 【答案】(1)， ；证明见解析 (2) (3) 【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键． 根据可证； 计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； 运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：设边上的高为h，则, ， , ， 即边上的高是， 故答案为：； （3）解：在中，由勾股定理得： ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ． 1．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，小华在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，摆绳长，A处距离地面的高度是，小华先向后摆到点C处，然后向前荡起到最高点B处，此时与摆绳起始位置的水平距离BD为．若前后摆动过程中摆绳始终拉直，与夹角为，则小华在C处时距离地面的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理和全等三角形的应用．通过计算O点离地高度为，水平距离．过C点作的垂线，利用与垂直证明，从而得到，进而求出C点离地高度． 【详解】解：设O点在地面上的垂足为F，过作交于， ， 由题意得：，，， ， ， ． ， ， ， ∴ 点离地高度为． 故选：A． 2．（25-26八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，的面积是24．当长度最小时，的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的尺规作图及性质，全等三角形性质与判定，勾股定理，熟练掌握角平分线性质是解题的关键． 由垂线段最短可知，当时，长度最小，由作图过程可知平分，结合角平分线性质得到，证明，利用全等三角形性质得到，根据勾股定理求出，设，则，在中，根据勾股定理列方程求出，最后利用三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，长度最小， 由作图过程可知平分， ， ， ， ， ， ， ，， 设，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ， ， 故选：C． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段练习）【古籍残卷】如图，方格中的三个顶点分别在正方形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与全等的格点三角形共有（   ）个．（不含） A．7 B．29 C．32 D．31 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定、勾股定理与网格问题，熟练掌握三角形全等的判定是解题关键．根据勾股定理与网格问题、三角形全等的判定画出左下角的正方形中，与全等的格点三角形，同样的方法可得在左上角的正方形中，在右上角的正方形中，在右下角的正方形中，由此即可得答案． 【详解】解：如图，在左下角的正方形中，共有7个格点三角形与全等． 同理，在左上角的正方形中，共有8个格点三角形与全等， 在右上角的正方形中，共有8个格点三角形与全等， 在右下角的正方形中，共有8个格点三角形与全等， 所以可以与全等的格点三角形共有（个）．（不含） 故选：D． 4．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，．以，两边为边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理；在中,，，得到，据此解答即可． 【详解】解：由正方形的面积计算可知，， ∵在中，， ∴． 故选：B． 5．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图，有一块直角三角形纸片．而直角边，现将该纸片沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，则为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质， 先根据勾股定理求出，进而得出，再设，则，根据勾股定理可得方程，求出解即可. 【详解】解：根据勾股定理，得， 即， ∴. 设，根据折叠得， ，则， 在中，， 即， 解得， 所以. 故选：B. 6．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，将两把完全相同的长方形直尺靠在的两边，点为两把直尺的接触点，边与其中一把直尺边缘的交点为点，点、的示数分别为和，若尺子的宽度，则为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等角对等边，角平分线的判定定理，过点作交于点，可证明是的平分线，则可推出，得到，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：过点作交于点． ，且， 是的平分线， ， ， ， ， ， 、的示数分别为和， ， ， 在中利用勾股定理，得， ． 故答案为： 7．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，先由勾股定理求出的长，进而求出的长，由折叠的性质可得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，利用圆规在上截取，在上截取，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，由题意可得，由勾股定理可得，结合题意可得，从而可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∵利用圆规在上截取， ∴， ∴， ∵在上截取， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）若直角三角形的两条边的长分别为a、b，且满足，则该直角三角形第三边长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理．根据非负性，，再分情况讨论，当为直角边时，当为斜边时，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 解得：，， 设直角三角形的第三边为， 当为直角边时， ， 当为斜边时，． 故答案为：或． 10．（25-26八年级上·广东清远·阶段练习）如图，将一张正方形纸片对折，使与重合，得到折痕后展开，E为上一点，将沿所在的直线折叠，使得点C落在折痕上的点F处，连接，若，则的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由正方形可得，再由折叠可得，，，，利用勾股定理可求的长，进而得到，在中，利用勾股定理构造方程，即可求得的长． 【详解】解：由题意得，， 由折叠的性质可得，，， ，， ； ∵， ∴， ； 设，则， 在中，由勾股定理得 ， 解得 故答案为：． 11．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，． (1)尺规作图：作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，求角平分线的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（）根据角平分线的作法作图即可； （）由等腰三角形的性质可得，，进而利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了角平分线的作法，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：∵，平分， ∴，， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）如图，折叠长方形纸片的一边，使点落在边的处，是折痕，已知，，求的长． 【答案】的长为． 【分析】本题考查了勾股定理与折叠，由题意得，，，由折叠性质可知，，， 通过勾股定理得，所以，设，则，然后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是长方形， ∴，，， 由折叠性质可知，，， ∴在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的长为． 13．（25-26九年级上·广东汕头·期中）如图，是边长为的等边三角形，是边上的一点，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)当点是的中点时，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由为等边三角形，则，，由旋转性质可知，，，证明，所以，再由平行线的判定即可求证； （）由是边长为的等边三角形，点是的中点，则，，，所以，然后通过勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是边长为的等边三角形，点是的中点， ∴，，， ∴， 在中，， ∴． 14．（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·期中）如图， 中， ，，点 在 上，且，将 沿折叠得到，连接，求 的长度． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，作于，证明是等边三角形，得出，由折叠的性质可得：，，求出，再由含角的直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，再求出，最后由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，作于， ， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·广东清远·阶段练习）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边的长度为a，b，斜边的长度为c，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）在中，，，，且点D在直线上，，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）千米；（3）10或22 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识，熟知勾股定理是解题的关键． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案； （3）分点D在线段上和点D在线段的延长线上两种情况，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：（1）梯形的面积为， 也可以表示为， ，即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得， ， 解得，即千米， 千米， 答：新路比原路少千米； （3）如图所示，当点D在线段上时， ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 如图所示，当点D在的延长线上时， ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 综上所述，的长为10或22． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.1.1 直角三角形三边的关系 题型一：用勾股定理直接解三角形 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，于，和都是等腰直角三角形，如果，，那么的长为（   ） A． B． C．7 D．13 2．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，在中，，点在的延长线上，连接，若，，则的长为（    ） A． B．3 C．1 D． 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段练习）在中，，若，，则的长是（   ） A．1 B．3 C．2 D．4 4．（25-26八年级上·广东清远·阶段练习）如图，等腰中，，，则底边边上的高为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·山东济宁·期中）如图所示，在中，，，点是线段上的一个动点(不与、重合)，若线段的长为整数，则的长度为 ． 6．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段练习）已知在中，，若，则 ． 题型二：用勾股定理解三角形求周长 1．（2026九年级·贵州·专题练习）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O．若，，连接ME，则的周长为 ．BM的长为 ． 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接交于点，则与的周长之和为 ． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为 ． 4．（25-26八年级上·安徽·阶段练习）如图，在中，，点，，依次在斜边上，分别以，，，为斜边在内作四个直角三角形，且满足，点，分别在边，上．若，，则这四个直角三角形的周长的和是 ． 题型三：用勾股定理解三角形求面积 1．（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点D，若，则的面积是（    ） A．30 B．15 C．20 D．2 2．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，且，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河南焦作·阶段练习）如图，点E在正方形内，满足，，，则阴影部分的面积是（   ） A．109 B．119 C．129 D．139 4．（2025·河南郑州·一模）如图，将绕点逆时针方向旋转到，连接，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 5．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）在中，，周长为60，斜边与一条直角边之比为，则这个三角形的面积是 ． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，，直线、、分别通过、、三点，且 若与的距离为，与的距离为，则的面积为 ． 7．（25-26八年级上·全国·期中）如图所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，则大正方形的面积为 ． 题型四：已知两点坐标求两点距离 1．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江·期末）点与点两点之间的距离为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 3．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点与点之间的距离是3，则x的值是（   ） A．5 B． C．5或 D．5或1 4．（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，已知点P的坐标为，以点O为圆心．以的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A．则A点表示的数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·海南·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，以点为圆心，将线段逆时针旋转，使点落在轴的负半轴上点处，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，C为轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，则点C的坐标为（    ） A． B．或 C．或 D．或 7．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，坐标系中有两点，则（   ） A． B． C． D． 题型五：以直角三角形三边为边长的图形面积 1．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）如图，字母B所代表的正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东茂名·阶段练习）如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（   ） A．18 B．16 C．9 D．12 3．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，直线上有三个正方形、、，若正方形、的边长分别为5和7，则正方形的面积为（   ） A．36 B．49 C．74 D．8 4．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段练习）如图，在中，已知，以为直角边向外作，分别以为直径向外作半圆，面积分别记为．已知，则的大小是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26八年级上·全国·期中）如图所示，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C、D的面积分别是12，16，9，12，则最大正方形E的面积是（　　） A．28 B．625 C．49 D．400 6．（25-26八年级上·河南焦作·阶段练习）如图是美丽的勾股树及其形成过程，其中第1个图形是边长为1的正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，则第3个图形中所有正方形面积的和是 ． 7．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的面积分别为6、8、2，则正方形D的面积为 ． 8．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当，时，则阴影部分的面积为 ． 题型六：勾股定理与网格问题 1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图所示的网格是正方形网格，则 （点，，是网格线交点）． 2．（25-26八年级上·全国·阶段练习） 如图，在5×5的正方形网格中， 的顶点均在格点上，若 ，则点 P 与点 重合．（填“D”“E”或“F”，且点D，E，F均为格点） 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，则网格上的三角形中，边长不是有理数的有 条． 4.（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形顶点上，则线段的长不可能是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则和的关系为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·江西吉安·阶段练习）如图，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D．则的长为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形顶点上，则线段的长不可能是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则和的关系为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·江西吉安·阶段练习）如图，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D．则的长为（    ） A． B． C． D． 题型七：勾股定理与折叠问题 1．（25-26八年级上·广东河源·阶段练习）如图，在中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长为（    ） A．5 B． C． D． 2．（2025·广东汕头·一模）如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山西运城·阶段练习）如图，在中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边的延长线于点，交边于点，则的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 4．（25-26八年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线处，若，则（   ） A． B．3 C． D．4 5．（24-25八年级下·青海海西·期中）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·贵州毕节·阶段练习）如图1，在中，，将按如图2所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·河南·阶段练习）如图所示，在长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，则AE的长为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·山西晋中·阶段练习）如图，将一张长方形纸片折叠，使得点的对应点落在上，折痕与交于点．若，则的长为（　　） A．8 B． C． D． 9．（25-26八年级上·河北保定·阶段练习）如图，中，已知，将沿直线折叠，使点与点重合，点、点分别在边和上，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 题型八：勾股定理解答题综合 1．（25-26八年级上·全国·阶段练习）已知：如图，在中，于点D，E为上一点，且，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点D，E为上一点，． (1)求证：． (2)已知，求的长． 3．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，的平分线交于点E，于点F，点F恰好是的一个三等分点（）． 求证： (1)． (2)求的长． (3)求的面积． 4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，，点D在斜边边上，以为直角边向右作等腰直角三角形，连接． (1)求证：； (2)判断线段、、间的数量关系，并说明理由． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：如图，在中，，，，是斜边上的高． (1)求的长； (2)求的长． 6．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，是高，是角平分线． (1)若，，求和的度数． (2)若，，，求的长． 题型九：勾股定理的证明方法 1．（2025八年级下·全国·专题练习）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山西大同·期中）勾股定理在人们的生活中应用广泛，它的证明也是多种多样．下列各式能用如图所示的图形面积验证勾股定理的等式是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河北邢台·期中）在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 4．（24-25八年级下·福建福州·期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 题型十：以弦图为背景的计算题 1．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）在学习了勾股定理的赵爽弦图后，小明尝试将4个全等的小正方形嵌入到长方形内部，其中点E，F，G，分别在长方形的边，，，上，若，，则小正方形的边长为（    ） A． B． C． D．3 2．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段练习）我国古代数学家赵爽巧妙地利用“弦图”证明了勾股定理，标志着我国古代的数学成就．如图①的“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的周长为（    ） A．72 B．52 C．80 D．76 3．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了“赵爽弦图”，它是由个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图，直角三角形的直角边长为，，斜边长为，若，每个直角三角形的面积为，则小正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为．若正方形的边长为3，则的值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 5．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）大正方形的面积为5，小正方形的面积为，若用、分别表示直角三角形的两直角边，下列三个结论：；；其中正确的是 6．（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图（），图（）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，若正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为 ． 题型十一：勾股定理与无理数 1．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，根据尺规作图的痕迹判断数轴上点C所表示的数是（   ） A． B． C．4.4 D．4.5 2．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在数轴上点表示的实数是 ． 3．（25-26八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）如图，正方形的边长是1，边在数轴上，点A表示，点B是原点．以点A为圆心，以正方形的对角线的长为半径画半圆交数轴于点P，Q，则点P表示的数是 ． 4．（24-25七年级·全国·假期作业）如图，数轴上点表示的数为 ． 题型十二：用勾股定理构造图形解决实际问题 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在门上方离地面的墙上有一个由传感器A控制的灯，任何东西只要移至该灯及内，灯就会自动发光．小明身高，他走到点D处时（即），灯刚好发光，则 ． 2．（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，，那么门的宽度即的长为 寸． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图1，荡秋千是小朋友非常喜爱的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉得很直，则绳索 m． 4．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 尺． 5．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图（单位：），龙龙家购置了一台圆形扫地机，计划放置在屋子角落（衣柜、书柜与地面均无缝隙，衣柜不可移动）．若要这台扫地机能从角落自由进出，则需拖动书柜，使图中的至少为 ．（结果保留根号） 题型一：利用勾股定理解直角三角形求最值 1．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在矩形中，点、、、分别是边、、、上的动点（不与端点重合），若四点运动过程中满足、，且、，则四边形周长的最小值等于 ． 2．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转得到，若点P为上一动点，旋转后点P的对应点，则线段的最小值是 ． 3．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接、，则的最小值是 ． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，线段，点C是线段上的动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，在上方作，使，，点F为的中点，连接，当最小时，的长为 ． 5．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为 ． 题型二：用勾股定理列方程解直角三角形 1．（25-26八年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在中，，平分交于点D，若，，则的长为 ． 2．（25-26九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，在中，、，斜边的垂直平分线交于点D，交的延长线于点，连接，则的长为 3．（25-26八年级上·陕西·阶段练习）如图，在直角三角形中，，，．为边上一点，连接．将沿折叠，若点恰好落在线段的延长线上的点处，连接，则的长为 ． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，为的角平分线，，则的长度为 ． 5．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，，．为射线上一点，把沿折叠，点落在直线上的点处，则的长为 ． 6．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在梯形中，，，点为边上一点，连结、，已知，，，，那么的长为 ． 7．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，中，，垂足为D，，若，，则的长为 ． 题型三：勾股定理解直角三角形中动点问题 1．（辽宁省丹东市第八中学2025-2026学年八年级上学期期中数学联考试题）如图，在中，，，，点是边上的一个动点，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒．当点在边上运动时，出发 秒后，是以为腰的等腰三角形． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，动点D从点A出发，沿射线AC方向以每秒2个单位长度的速度运动，连接BD，则当是等腰三角形时，运动时间为 s． 3．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，，，，动点D从点A出发，沿线段以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作交所在的直线于点F，连接，．设点D运动时间为t秒．当是等腰三角形时，则 秒． 4．（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒速度沿射线的方向运动．当点运动 秒时，为等腰三角形． 5．（25-26八年级上·江西萍乡·阶段练习）如图，在中，，，，若动点P从点A出发，以的速度沿折线运动．设运动时间为，当点P运动到与点A和点B的距离相等的位置时，t的值为 ．    题型四：利用勾股定理证明线段平方关系（压轴题） 1．（2025·四川广元·模拟预测）如图1，在等腰三角形中， ，点 D 是直线上一点，连接，将线段绕点A 顺时针旋转得到线段，连接，． (1)当，且点 D 在线段上时，线段与之间的数量关系是 ． (2)如图2，当，且点 D 在线段上时，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)当，，时，求的长． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求． 3．（四川省成都市东部新区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷）如图1，在中，，，D是边上一动点，连接，过C点作，交于点E于点F，M是边上的中点，连接交于点． (1)问题解决： （i）求证：； 连接，试探究之间的数量关系，并证明； (2)类比迁移： 如图2：在等边中,为边上的高，在线段上取点，连接，在射线上取一点E，连接使得，延长交于点F，在线段上取点N，使得，连接，请直接写出之间的数量关系． 4．（23-24八年级下·辽宁鞍山·阶段练习）【问题背景】 （1）如图1，点是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等腰中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，，请直接写出的长． 5．（24-25八年级上·全国·期中）如图，和都是等腰三角形，其中，且． (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，若，且C点恰好落在上，试探究和之间的数量关系，并加以说明． 6．（24-25八年级下·广东深圳·阶段练习）如图1，在中，，，点D是直线上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图2，当，且点D在线段上时，线段与的数量关系为 ； (2)如图3，当，且点D在线段上时， ①求证：； ②猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明． 7．（2024·北京东城·一模）在中，，，点、是边上的点，，连接，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接交于点． (1)如图①，当点与点重合时，直接写出与之间的数量关系； (2)如图②，当点与点不重合点在点的左侧时， ①补全图形； ②与在（1）中的数量关系是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． (3)在（2）的条件下，用等式表示线段、、的数量关系，并证明． 题型五：勾股定理的证明方法解答题 1．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）用四个全等直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图．其中每个直角三角形的直角边长分别为a、b（），斜边长为c． (1)请结合图①，证明勾股定理． (2)如图②，将这四个全等直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到八边形，若该八边形的周长为48，，则该八边形的面积是_________． (3)如图③，将图①中的每个直角三角形绕着斜边的中点旋转得到新的直角三角形拼接成正方形，将图③中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，若，则__________． 2．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段练习）同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！ (1)填空：如图①，若直角边，直角边，则斜边________； (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边、在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明； (3)如图③所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，，求的长． 3．（25-26八年级上·广东佛山·阶段练习）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，图中的个全等的直角三角形可以拼成不同的图形，用来证明勾股定理． (1)如图，，，求证； (2)用图验证勾股定理； (3)若图的，，用图的个全等的直角三角形拼成图3中的形状，求这个图形外围轮廓（实线）的周长． 4．（25-26八年级上·广东佛山·期中）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为，斜边长为，则．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； 【方法运用】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得，求边上的高？ 【应用拓展】 （3）如图4，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 5．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段练习）勾股定理在我国有着悠久的历史．汉末三国初数学家、天文学家赵爽给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦．”其设计图是由四个完全相同的直角三角形(两条直角边长分别为，，且，斜边为)拼成一个边长为的正方形(如图)，直观地论证了勾股定理，该图被后人称为“赵爽弦图”． (1)请你借助“赵爽弦图”验证勾股定理． (2)若，，求中间小正方形(阴影部分)的面积． 6．（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段练习）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，据不完全统计，勾股定理的证明方法有400多种． (1)请用图1证明勾股定理； (2)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图2所示的“数学风车”．若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 7．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）综合与实践． 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】将两个这样的直角按照图②所示摆放，使和在一条直线上，连接 (1)请用a，b，c分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：勾股定理 (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为______． (3)如图④，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 1．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，小华在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，摆绳长，A处距离地面的高度是，小华先向后摆到点C处，然后向前荡起到最高点B处，此时与摆绳起始位置的水平距离BD为．若前后摆动过程中摆绳始终拉直，与夹角为，则小华在C处时距离地面的高度是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，的面积是24．当长度最小时，的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段练习）【古籍残卷】如图，方格中的三个顶点分别在正方形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与全等的格点三角形共有（   ）个．（不含） A．7 B．29 C．32 D．31 4．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，．以，两边为边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图，有一块直角三角形纸片．而直角边，现将该纸片沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，则为（   ）． A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，将两把完全相同的长方形直尺靠在的两边，点为两把直尺的接触点，边与其中一把直尺边缘的交点为点，点、的示数分别为和，若尺子的宽度，则为 ． 7．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为 ． 8．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，利用圆规在上截取，在上截取，若，则的长为 ． 9．（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）若直角三角形的两条边的长分别为a、b，且满足，则该直角三角形第三边长为 ． 10．（25-26八年级上·广东清远·阶段练习）如图，将一张正方形纸片对折，使与重合，得到折痕后展开，E为上一点，将沿所在的直线折叠，使得点C落在折痕上的点F处，连接，若，则的长度为 ． 11．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，． (1)尺规作图：作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，求角平分线的长． 12．（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）如图，折叠长方形纸片的一边，使点落在边的处，是折痕，已知，，求的长． 13．（25-26九年级上·广东汕头·期中）如图，是边长为的等边三角形，是边上的一点，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)当点是的中点时，求的长． 14．（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·期中）如图， 中， ，，点 在 上，且，将 沿折叠得到，连接，求 的长度． 15．（25-26八年级上·广东清远·阶段练习）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边的长度为a，b，斜边的长度为c，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）在中，，，，且点D在直线上，，请直接写出的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $