上海市复旦大学附属复兴中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

复旦大学附属复兴中学2025学年第一学期期中考试 高二年级数学试卷 一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分） 1. 两个平面最多可以将空间分成__________部分. 2. 已知正方形边长为1，把该正方形绕着它的一条边旋转一周所形成的几何体的体积为________ 3. 已知一球的体积为，则该球的表面积为___________ 4. 如图，已知长方体的棱长，，则点A到棱的距离是______cm. 5. 如图，矩形的长为，宽为是的中点，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则的周长为___________． 6. 如图，正方体的所有棱中，其所在的直线与直线成异面直线的共有___________条． 7. 空间三角形三个顶点的坐标分别为和，则三角形的面积___________ 8. 如图，半径的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，该圆柱的表面积等于___________ 9. 如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则圆锥的母线长为______________. 10. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”：底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图，在堑堵中，，且．有下列命题： ①四棱锥为“阳马”； ②四面体为“鳖臑”； ③四棱锥体积最大为； ④过点分别作于点于点，则． 则正确命题是___________ 11. 从点O引三条射线OA、OB、OC，其两两间的夹角为60°、90°、120°，则这三个角的角平分线两两之间的夹角的最小值是_________． 12. 如图，点，分别为正方体的棱，的中点，以正方体的六个面的中心为顶点构成一个八面体，若平面将八面体分割成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为，，则__________. 二、选择题（本大题共4题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，共18分） 13. 已知a、b、c是空间中的三条不重合的直线，是三个不同的平面，下列命题中真命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 14. 已知向量是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 15. 如图，圆锥O的轴截面是一个面积为1的等腰直角三角形，C为弧上的一点，，E为线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 16. 三棱锥各顶点均在半径为的球O的表面上，，，二面角的大小为，则对以下两个命题，判断正确的是（ ） ①三棱锥的体积为；②点P形成的轨迹长度为． A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 三、解答题（本大题共5题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分） 17. 如图，在正方体中． （1）求异面直线和所成角的大小； （2）求二面角的大小． 18. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，.点M为BC的中点. （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离. 19. 如图，三棱锥中，底面是正三角形，底面，平面，垂足为． （1）是否可能是的垂心，请说明理由 （2）若恰是的重心，求直线与平面所成角的大小． 20. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，是棱的中点． （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值； （3）设是棱（含端点）上的动点，求直线与平面所成角的大小的取值范围． 21. 如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是线段上的一动点，． （1）证明：； （2）求二面角的大小； （3）设直线与平面、平面、平面所成角分别为、、，求的最大值． 复旦大学附属复兴中学2025学年第一学期期中考试 高二年级数学试卷 一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分） 【1题答案】 【答案】4 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】20 【6题答案】 【答案】6 【7题答案】 【答案】## 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】9 【10题答案】 【答案】①②④ 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共4题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，共18分） 【13题答案】 【答案】D 【14题答案】 【答案】C 【15题答案】 【答案】B 【16题答案】 【答案】A 三、解答题（本大题共5题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【19题答案】 【答案】（1） 如图：假设是的垂心，则：， 又因为平面，平面， 所以，又平面， 所以平面，平面， 所以，又因为底面， 所以，又平面， 所以平面，所以，与底面是正三角形矛盾， 所以不是的垂心. （2） 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【21题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $