3.2勾股定理的逆定理 同步习题 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

3.2勾股定理的逆定理 一、单选题 1．小区在搭建一个直角三角形造型的休闲花架，用来摆放绿植美化环境，需要选适合长度的钢管做支架，哪组长度的钢管可以组成直角三角形支架（　　） A．2，4，6 B．3，5，6 C．5，12，13 D．4，5，7 2．如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．已知a，b，c是的三条边长，且满足，则的面积为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 5．已知a，b，c为的三边长，在下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 6．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A． B．，， C． D． 7．依据所标数据，下列三角形中，是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 8．若的三边长为a，b，c，满足，则是（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 二、填空题 9．一个三角形三边满足，则这个三角形是 三角形． 10．如图，等腰中底边，D是腰上一点，且，，则的长为 ． 11．如图，在中，，，中线，则的面积为 ． 12．如图，中，，为的角平分线，则 ． 13．如图，在中，，，点和点分别是线段和上的两个动点，且，连接，，则的最小值为 ． 三、解答题 14．如图，四边形中，，，，，． (1)判断是否是直角，并说明理由； (2)求四边形的面积． 15．如图，在边长为1的正方形网格图中有一个． (1)画出关于直线的对称图形（不写画法）． (2)是直角三角形吗？请说明理由． 16．如图，已知为等边三角形，为内一点，，，，若将绕点逆时针旋转后得到． (1)求点与点之间的距离； (2)求的度数． 17．如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，． (1)求证：； (2)若，，，请直接写出的度数． 18．如图，是等边三角形内的一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后得到． (1)求点与点之间的距离； (2)求的大小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，三角形的三边关系进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵， ∴不能组成三角形， 故A不符合题意； B、∵，， ∴， ∴不能组成直角三角形， 故B不符合题意； C、∵，， ∴， ∴能组成直角三角形， 故C符合题意； D、∵，， ∴， ∴不能组成直角三角形， 故D不符合题意； 故选：C． 2．B 【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟悉“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”是解题的关键．先利用勾股定理分别求解 ，，，再证明，，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得：，，， ，， ，， 故选B． 3．D 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：D． 4．C 【分析】先将变形为，即可得出、、的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状即可． 【详解】解：可变形为 ，， ，， 为直角三角形，其两直角边长分别为5和12 ． 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是勾股定理逆定理的应用，利用已知条件得出、、的值是解此题的关键． 5．B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的知识点，掌握勾股定理的逆定理最关键． 通过计算三角形三边的平方关系，即可逐项判断三角形是否为直角三角形的问题． 【详解】解：A、由可得是直角三角形，不符合题意； B、由可得，此时，无法构成三角形，符合题意； C、假设，由可得是直角三角形，不符合题意； D、由可得，是直角三角形，不符合题意． 故选：B ． 6．D 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此即可求解． 【详解】解：根据勾股数的定义，首先排除A、B选项； ∵， ∴C不符合题意；D符合题意； 故选：D 7．A 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键； 根据勾股定理的逆定理对所给的数据看是否符合两个较小数的平方和等于最大数的平方即可． 【详解】解：A.∵，∴是直角三角形，故本选项符合题意； B.∵，∴不是直角三角形，故本选项不符合题意； C.∵，∴不是直角三角形，故本选项不符合题意； D.∵，∴不是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：A． 8．D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与勾股定理的逆定理，掌握以上定理是解题的关键． 根据因式分解，利用等腰三角形的判定与勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， ∴是等腰三角形或直角三角形， 故选：D． 9．直角 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，完全平方公式． 先根据完全平方公式将原式化为，进而根据勾股定理的逆定理作答即可． 【详解】∵ ∴， 即， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 10．/ 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理求得是正确解决本题的关键． 根据勾股定理的逆定理求出，即，设，在中，由勾股定理得出，求出即可． 【详解】解：设， ，，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 故答案为：． 11．6 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握勾股定理逆定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键；延长到点，使，连接，可证明，则，所以，则，然后问题可求解． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接，则， 是的中线，， ， ∵， ∴， ∴，， ， 是直角三角形，且， ； 故答案为：6． 12．4.5 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，角平分线的性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点D作，垂足为E，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后根据角平分线的性质可得，最后根据的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：过点D作，垂足为E， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．/ 【分析】本题考查了勾股逆定理与勾股定理，等面积法，平行线之间距离处处相等，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运用勾股逆定理得出是直角三角形，且，再证明，故，当点与点重合时，则的值最小，且为，根据平行线之间距离处处相等则，，结合等面积法进行计算，根据勾股定理得，，即可作答． 【详解】解：在的下方，作，且，连接交于点，如图所示： ∵在中，，， ∴， 即是直角三角形，且， ∵， ∴， ∵，， ∴， 则 ∴， 当点与点重合时，则的值最小，且为： 过点C作直线交于点H，再过点F作直线于点N， 则， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴（平行线之间距离处处相等）， 同理得， 依题意，， 则， ∴， 在中，， 即， 在中，， 即的值最小，且为， 故答案为：． 14．(1)是直角，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理可求出的值，则可证明，据此可得结论； （2）根据列式计算即可． 【详解】（1）解：是直角，理由如下： 如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角； （2）解： ． 15．(1)见解析 (2)不是直角三角形．理由见解析 【分析】本题考查作轴对称图形，勾股定理的逆定理． （1）分别找出A，B，C关于直线的对应点D，E，F，顺次连接即可； （2）利用勾股定理的逆定理进行判断． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：不是直角三角形．理由如下： 由勾股定理得，，， ， ， 不是直角三角形． 16．(1)点与点之间的距离为； (2)． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理的逆定理，熟知相关知识是解题的关键． （）根据是等边三角形，得，由旋转性质可知，，，从而证明为等边三角形，所以； （）由（）得，，证明为直角三角形，故有，又为等边三角形，所以，然后通过角度和差即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， 由旋转性质可知，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴点与点之间的距离为； （2）解：由（）得：，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是证明． （1）由旋转的性质可得，，由等边三角形的性质可得，再根据证明即可； （2）证明是等边三角形，再由全等三角形的性质可得，，再由勾股定理的逆定理可得，再求解可得结论． 【详解】（1）证明：绕点B逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形． ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理逆定理等知识﹒ （1）根据旋转性质得到，，，进而证明是等边三角形，即可得到； （2）根据勾股定理逆定理证明为直角三角形，且，即可求出﹒ 【详解】（1）解：如图，连接， 由旋转的性质知，，，， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴是等边三角形， ； （2）解：，，， ， ∴为直角三角形，且， ∵是等边三角形， ∴， ﹒ 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $