3.2勾股定理的逆定理 同步习题 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

3.2勾股定理的逆定理 同步习题 一、单选题 1．下列各数中，能与6，10构成一组勾股数的是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．已知一个三角形的三边长分别为、4、5，则此三角形的面积为（    ） A．20 B．10 C． D． 3．在中，的对边分别为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（    ） A．3，4，5 B．0.6，0.8，1 C．9，12，16 D．5，12，13 5．下列几组数：①6，8，10；②7，24，25；③9，12，15；④（是大于1的整数），其中是勾股数的有（ ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 6．如图，在网格中，每个小正方形的边长都相等，网格线的交点称为格点格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，都在格点上，与相交于点P，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）    A． B． C． D． 二、填空题 9．已知a，b，c是的三边长且，a，b满足关系式，则的最大内角为 ． 10．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 11．一个三角形的三边长分别为 5，12，13，则这个三角形最长边上的高线为 ． 12．若a，b，c是的三边长，且满足，则是 三角形． 13．已知a、b、c是一个三角形的三边长，如果满足，则这个三角形的形状是 ． 14．已知在平面直角坐标系中 ，点P在x轴上运动，当点P与点A，B，C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为 ． 三、解答题 15．如图，在中，已知，，，请说明是直角三角形． 16．如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离米，点A与地面上点C（点B，C处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 17．如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，． (1)求证：； (2)若，，，请直接写出的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B B C D D C C 1．B 【分析】本题考查勾股数的定义，即三个正整数满足两个较小数的平方和等于最大数的平方．需逐一验证选项中的数是否与6、10构成勾股数． 【详解】勾股数要求三个正整数满足（其中为最大数）． A：三个数为6、6、10，最大数为10．，不符合条件． B：三个数为6、8、10，最大数为10．，符合条件． C：三个数为6、10、10，最大数为10．，不符合条件． D：三个数为6、10、12，最大数为12．，不符合条件． 综上，只有选项B满足勾股数的条件， 故选B． 2．B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，先判断三角形是否为直角三角形，再利用直角三角形的面积公式计算． 【详解】解：由题意，三角形的三边长分别为、4、5， 所以， 所以三角形为直角三角形，其中4和5为直角边， 所以直角三角形的面积． 故选：B 3．B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理． 根据得到，即可得到是直角三角形，． 【详解】∵， ∴， ∴是直角三角形，， 故选：B． 4．C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，若三角形三边满足“较小两边的平方和等于最大边的平方”，则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可． 【详解】A．，符合勾股定理，能构成直角三角形，不合题意； B．，符合勾股定理，能构成直角三角形，不合题意； C．，不符合勾股定理，不能构成直角三角形，符合题意； D．，符合勾股定理，能构成直角三角形，不合题意； 故选C． 5．D 【分析】本题主要考查的是勾股定理的问题， 根据两个数的平方和等于第三个数的平方解答即可． 【详解】① ， ∴6，8，10是勾股数， ② ， ∴ 7，24，25是勾股数， ③， ∴ 9，12，15是勾股数， ④ ， ∴ 是勾股数， 综上所述，勾股数的有4组， 故答案选：D． 6．D 【分析】根据网格的特点以及等腰直角三角形的性质，分类讨论，找出符合题意的点，即可求解． 【详解】解：如图， 格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有个 故选：D． 7．C 【分析】本题考查构造直角三角形，勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，根据勾股定理，求出． 【详解】解：如图，过点作， ， 过格点， 连接， ， ， ， ， ， 故选：C． 8．C 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：连接，    ∵ ∴， ∵， ∴为直角三角形，且， ∴． 故选：C． 9．90度/ 【分析】根据算术平方根和平方式的非负性求得a和b值，再根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：由得：，， 解得：，， ∵， ∴， ∴的形状为直角三角形，且， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、算术平方根和平方式的非负性，熟练掌握勾股定理的逆定理，正确求出a和b值是解答的关键． 10．2026 【分析】本题考查了勾股定理规律问题．根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和． 【详解】解：如图， 由题意得：， 由勾股定理得：， 则“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4， …… “生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2026． 故答案为：2026． 11． 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，等面积法，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理先判定三角形的形状，再根据三角形的面积公式求得其高． 【详解】解：， ∴， ∴该三角形是直角三角形， 根据等面积法可得，三角形最长边上的高线为， 故答案为：． 12．直角 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理及非负数的性质是解题的关键．根据非负数的性质可得，，，所以，根据勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】解：， ，，， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 13．直角三角形 【分析】根据绝对值、完全平方数和算术平方根的非负性，可求解出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， ∵， ∴三角形为直角三角形． 故答案为直角三角形． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理，运用非负数的性质求出a、b、c的值是解题的关键． 14．或或 【分析】因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分 和两种情况进行分析即可． 【详解】解：∵点P、A、B在x轴上， ∴P、A、B三点不能构成三角形． 设点P的坐标为 ．当 为直角三角形时， ① ，易知点P在原点处坐标为 ； ② 时， ∵ ∴ ， 解得，∴点P的坐标为 当 为直角三角形时， ① ，易知点P在原点处坐标为 ； ② 时， ∵ ， ∴点P的坐标为 ． 综上所述点P的坐标为 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗漏的进行分类． 15．见解析 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果，那么这个三角形是直角三角形． 只需要利用勾股定理的逆定理验证即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形． 16．(1) (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练的掌握勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）设米，则米，由线段垂直平分线的性质得到米，在中，根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ∴； （2）解：设米，则米， ∵点恰好在边的垂直平分线上， ∴米， 在中，由勾股定理得， ， 解得 答：这架无人机向下飞行的距离的长）为米． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是证明． （1）由旋转的性质可得，，由等边三角形的性质可得，再根据证明即可； （2）证明是等边三角形，再由全等三角形的性质可得，，再由勾股定理的逆定理可得，再求解可得结论． 【详解】（1）证明：绕点B逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形． ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $