精品解析：黑龙江省佳木斯市第二中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

2025-2026学年度第一学期期中考试试题 高二数学试卷 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 考试说明：本试卷分第1卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分． 1．答题前，考生务必将姓名、考号写在答题卡上，并在指定位置粘贴条形码． 2．选择题部分，每小题选出答案后，考生必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号按要求涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．非选择题各题的答案，必须书写在答题卡规定的区域，规定区域外答题不得分． 4．保持答题卡清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设直线的倾斜角为，根据直线方程求得斜率，然后利用求解. 【详解】设直线的倾斜角为， 因为直线方程为， 所以直线的斜率为， 所以， 因为， 所以. 故选：B 2. 已知定点和，动点满足，则动点的轨迹方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出轨迹方程. 【详解】依题意，，而， 因此点的轨迹是以为上下焦点，长轴长的椭圆， 而半焦距，则短半轴， 所以动点的轨迹方程为. 故选：C 3. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（ ） A. B. C. D. l与斜交 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】由直线l的方向向量与平面的法向量共线，判断结论即可． 【解答】由，，则 所以，则 故选：B． 4. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出点关于直线的对称点坐标，再由两点间距离公式计算可得结果. 【详解】设关于直线的对称点，如下图所示： 则，解得，即 此时即为最短路程，易知. 所以最短总路程为. 故选:C 5. 已知椭圆的左顶点和上顶点分别为，若的垂直平分线过的下顶点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题干条件得到，进而列出方程，求出，进而求出离心率. 【详解】由题可知，因为的垂直平分线过的下顶点，所以，则，解得：，所以的离心率. 故选：A 6. 已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取线段的中点，则，设直三棱柱的棱长为，以点为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求解. 【详解】取线段的中点，则，设直三棱柱的棱长为， 以为原点，、、的方向分别为、、的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，， 则. 设与所成角为，则. 所以与所成角的正弦值为. 故选：A 7. 若直线与曲线恰有两个交点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，直线恒过点，曲线表示出以为圆心，2为半径的右半圆，求出直线与圆相切时的斜率和直线过点的斜率，从而可求出答案. 【详解】如图，直线恒过点，曲线表示出以为圆心，2为半径的右半圆， 设直线与半圆相切于点，则 ，解得（舍去）或， 所以， 因为，，所以， 因为直线与曲线恰有两个交点， 所以， 所以， 故选：A 8. 已知直线与直线相交于点为直线上一动点，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意两动直线分别过定点，由交轨法可知点的轨迹为以、为直径的圆，判断直线与该圆的位置关系，结合点到直线的距离、三角形三边关系即可求得线段长度的最小值. 【详解】直线恒过定点，直线恒过定点， 由两直线的方程可知：两直线相互垂直. 所以点的轨迹方程为（且），圆心为， 圆心到直线的距离， 所以且与直线相离， 所以线段长度的最小值为. 故选：A. 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与夹角的余弦值为－ D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算，对于A，结合向量平行的性质，即可求解，对于B，结合向量模公式，即可求解，对于C，结合向量的夹角公式，即可求解，对于D，结合向量垂直的性质，即可求解. 【详解】因为，， 所以， 因为，所以向量与不共线，故选项A不正确； 因为，，所以，故选项B正确； 因为，故选项C正确； 因为，所以，即，故选项D正确. 故选：BCD. 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 若直线l 沿x 轴向左平移 3 个单位长度，再沿y 轴向上平移 2 个单位长度后，回到原来的位置，则 该直线l 的斜率为 B. 圆 上有且仅有 2 个点到直线l：的距离都等于1 C. 圆 与圆的交线为 D. 若圆 与圆M 关于直线 对称，则圆M 的方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平移得出直线方程可判断A，由直线与圆的位置关系可判断B，根据两圆公共弦的求法判断C，由对称问题的求法判断D. 【详解】设直线l方程为，平移后可得，因为直线重合， 所以，解得，故A正确； 因为圆心到的距离，圆半径为2，故圆上存在3个点到直线距离为1，故B不正确； 两圆方程相减可得，即公共弦所在直线方程，故C正确； 设是圆M上任意一点，则关于直线的对称点在圆 上，所以，即，故D正确. 故选：ACD 11. 已知直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，且与在第四象限交于点的左、右焦点分别为，则（ ） A. 离心率为 B. 的周长为 C. 以为直径的圆过点 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题设可求基本量，从而可判断A的正误，结合椭圆的定义可判断B的正误，结合焦点三角形的特征可判断C的正误，求出的坐标后利用弦长公式可求判断D的正误. 【详解】不妨设为上顶点，如图， 对于A，直线经过的右焦点和上顶点，所以， 则，所以离心率为，故A错误； 对于B，由椭圆的定义知可知，的周长为，B正确； 对于C，由A中分析可得，所以， 所以，则以为直径的圆过点，C正确； 对于D，由A中分析可知的方程为， 由解得或，则， 所以，D错误． 故选：BC. 第II卷 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 经过点M(2,1)作圆x2+y2=5的切线，则切线的方程为_____. 【答案】2x+y-5=0 【解析】 【分析】根据点M(2,1)及圆x2+y2=5知M在圆上，则M为切点即可求切点和圆心连线斜率，进而得到切线斜率，写出切线方程 【详解】点M(2,1)，可知在圆x2+y2=5上 ∴M为切点，切点和圆心连线斜率k= 则切线斜率为-2，故切线方程为y-1= -2(x-2)，即2x+y-5=0 故答案为：2x+y-5=0 【点睛】本题考查了直线与圆的关系，根据点坐标与圆的方程确定点与圆的位置关系，进而求过点与圆相切的切线方程 13. 已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是______. 【答案】## 【解析】 【分析】由空间向量的共面定理可得点四点共面，从而将求的最小值转化为求点到平面的距离，再根据等体积法计算. 【详解】∵， ∴由空间向量的共面定理可知，点四点共面，即点在平面上， ∴的最小值转化为求点到平面的距离， 由正方体棱长为1，可得时边长为的等边三角形， 则，， 根据等体积法得，， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：. 14. 点在椭圆上，是圆的一条直径，则向量的最大值______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量的线性运算和数量积，结合圆的几何性质得，设点，利用函数的单调性可求最值. 【详解】 因为，，，， 所以 ， 设点，则， 又，所以，即， 所以 ， 因为，所以当时，有最大值，最大值为. 故答案为： 四、解答题 15. 已知的三个顶点的坐标分别为，，. （1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得直线的斜率，利用点斜式即可求得直线方程； （2）由两直线垂直关系可得所求直线的斜率为3，代入点斜式方程可得结果. 【小问1详解】 由，可知， 故所求直线的方程为， 即. 【小问2详解】 易知， 则所求直线的斜率为3， 故所求直线的方程为， 即. 16. 已知平面上动点与两个定点和的距离之比等于2． （1）求动点的轨迹方程； （2）记（1）中的轨迹为，过点且斜率为的直线被所截得的线段的长为2，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据列等式化简可得出点的轨迹方程； （2）求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，即可解得的值. 【小问1详解】 因为动点与两个定点和的距离之比等于2， 即，则， 平方化简得，因此，动点的轨迹方程为； 【小问2详解】 圆的圆心，半径为2， 圆心到直线的距离为， 直线的方程为，即， 所以，整理可得，解得. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面四边形ABCD为菱形且，，M为OA的中点，N为BC的中点． （1）证明：直线平面OCD； （2）求点B到平面OCD的距离． 【答案】（1） 作于点P，则P为CD中点，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系． 则，，，，，，，， ∴，，， 设平面的法向量为， 则，， 即取，解得； 所以，平面OCD， ∴平面OCD； （2） 【解析】 【分析】由题可过点A作垂线垂直于CD，垂足为CD中点，令中点为P，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设点B到平面OCD的距离为， 则d为向量在向量上的投影数量的绝对值， 由，得， 所以点B到平面OCD的距离 18. 已知底面是平行四边形，平面，，，，且. （1）求证：平面平面； （2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明如下： 在中，，，， 则，可得， 所以，所以. 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，平面，所以平面， 因为，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）存在，或. 【解析】 【分析】（1）由，得到，再由平面，证得，进而证得平面，结合，得到平面，利用面面垂直的判定定理，即可证得平面平面. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，求得向量和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是平行四边形，平面，，，，且. 假设线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是， 以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得，， 设， 则，所以， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得，所以， 设直线与平面所成角的大小为， 故， 整理得，解得或，所以或. 19. 已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，且椭圆的右焦点到直线的距离为3. （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆与直线相交于不同的两点、，为弦的中点，当时，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设椭圆的方程为，应用点线距离公式列方程求参数，即可得方程； （2）联立直线与椭圆方程，应用韦达定理及中点坐标公式写出坐标，再根据对应直线斜率关系列方程，结合求参数范围. 【小问1详解】 依题意，设椭圆的方程为，则右焦点， ∵椭圆的右焦点到直线的距离为3， ∴，解得，故椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题设，联立，得， 由题知，即①， ∴，从而， ∴， ∵，则，即②， 把②代入①得，解得，又， 故的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中考试试题 高二数学试卷 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 考试说明：本试卷分第1卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分． 1．答题前，考生务必将姓名、考号写在答题卡上，并在指定位置粘贴条形码． 2．选择题部分，每小题选出答案后，考生必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号按要求涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．非选择题各题的答案，必须书写在答题卡规定的区域，规定区域外答题不得分． 4．保持答题卡清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知定点和，动点满足，则动点的轨迹方程为（　　） A. B. C. D. 3. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（ ） A. B. C. D. l与斜交 4. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 5. 已知椭圆的左顶点和上顶点分别为，若的垂直平分线过的下顶点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与曲线恰有两个交点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与直线相交于点为直线上一动点，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与夹角的余弦值为－ D. 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 若直线l 沿x 轴向左平移 3 个单位长度，再沿y 轴向上平移 2 个单位长度后，回到原来的位置，则 该直线l 的斜率为 B. 圆 上有且仅有 2 个点到直线l：的距离都等于1 C. 圆 与圆的交线为 D. 若圆 与圆M 关于直线 对称，则圆M 的方程为 11. 已知直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，且与在第四象限交于点的左、右焦点分别为，则（ ） A. 离心率为 B. 的周长为 C. 以为直径的圆过点 D. 第II卷 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 经过点M(2,1)作圆x2+y2=5的切线，则切线的方程为_____. 13. 已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是______. 14. 点在椭圆上，是圆的一条直径，则向量的最大值______． 四、解答题 15. 已知的三个顶点的坐标分别为，，. （1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程. 16. 已知平面上动点与两个定点和的距离之比等于2． （1）求动点的轨迹方程； （2）记（1）中的轨迹为，过点且斜率为的直线被所截得的线段的长为2，求的值． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面四边形ABCD为菱形且，，M为OA的中点，N为BC的中点． （1）证明：直线平面OCD； （2）求点B到平面OCD的距离． 18. 已知底面是平行四边形，平面，，，，且. （1）求证：平面平面； （2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，且椭圆的右焦点到直线的距离为3. （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆与直线相交于不同的两点、，为弦的中点，当时，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $