精品解析：陕西省商洛市山阳县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025—2026 学年度第一学期期中学业水平测试 九年级数学试题（卷）（人教版） 老师真诚地提醒你： 1．本试卷共8页，满分120分； 2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚； 3．书写要认真、工整、规范；卷面干净、整洁、美观． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8 小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程x2+3x+5＝0的根的情况是（　　） A. 无实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 不能确定 4. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值为() A. B. 2 C. D. 1 5. 将二次函数的图象向上平移m个单位长度，使其经过点，则m的值为( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b均不为0）与二次函数 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，将 绕点 C 旋转得到，连接，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数 的图象如图所示，其对称轴是直线 给出以下结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ②③ 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6 小题，每小题3分，计18分） 9. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 10. 抛物线的顶点坐标是___________． 11. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，则方程的一个解x的取值范围是______________________． x 0 1 y 3 12. 已知关于x的一元二次方程的一个整数解是3，则m的值为___________． 13. 如图，在等腰三角形中，是底边的中线，与关于点 C 成中心对称，连接，若则的长为_________ ． 14. 如图，在等边中，，D 是边上的一个动点，连接，将线段 绕点B 顺时针旋转得到线段，点 D 的对应点为点 E，连接，当线段最小时，的长为________． 三、解答题(共12小题，计78分，解答应写出过程) 15. 解方程： 16. 将二次函数 化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项． 17. 如图，在中，，点 D 在边 上，连接，将绕某点旋转得到，且点B，C，在同一条水平线上．已知． （1）旋转中心是点 ，旋转角度是 ； （2）求的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是：． （1）画出 关于原点O 的中心对称图形 （2）画出 绕点 O 顺时针旋转得到 ，并写出点 的坐标． 19. 如图，李爷爷用一面足够长的墙为一边，其余边用总长为的围栏（围栏宽忽略不计）建两个面积均是的小菜园和小果园，且各留一个宽为的门．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过．设垂直于墙的一边长，求的值． 20. 已知二次函数 （1）完成下表，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； x … 0 … y … 4 … （2）结合图象，若点均在该二次函数的图象上，请比较和的大小． 21. 已知关于的一元二次方程 （1）若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若，且、是该方程的两个实数根，求、，的值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，求点的坐标．（提示：过点作轴的垂线，利用全等求解） 23. 如图，二次函数 的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点D是函数图象第二象限上的一点，连接，交x轴于点E ． （1）求该二次函数的解析式； （2）若，求点D的坐标． 24. 全球七分之一的苹果来自陕西，主产区集中在渭北黄土高原，其果形高桩、色泽艳丽，酸甜适度，出口量常年稳居全国前列．佳乐水果超市以每箱65元的进价购进一批红富士苹果，当该水果售价为每箱85元时，八月销售300箱，九、十月该苹果十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，十月的销量达到432箱． （1）求九、十月两月销量的月平均增长率； （2）十一月该水果超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该苹果每箱降价1元，月销量在十月销量的基础上增加6箱，当该苹果每箱降价多少元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6 930元？ 25. 如图是某个拱型彩灯门的横截面示意图，其由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段，构成，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点M 且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知，，，O为的中点． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）为支撑拱型彩灯门的结构，在抛物线上的点E，F处，制作三条撑杆，，，且，，均垂直于地面，求这三条撑杆长度和的最大值． 26. 问题再现 （1）如图1，在正方形中，E，F分别在边上，，连接．求证：．小辰给出的思路是：将绕点A 顺时针旋转得到，且与重合…，根据这种思路，写出证明过程； 类比探究 （2）如图2，在四边形 中，，点E，F分别在边上， 若都不是直角，当与 满足什么等量关系时，？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026 学年度第一学期期中学业水平测试 九年级数学试题（卷）（人教版） 老师真诚地提醒你： 1．本试卷共8页，满分120分； 2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚； 3．书写要认真、工整、规范；卷面干净、整洁、美观． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8 小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，掌握相关知识是解决问题的关键．中心对称图形则是指在平面内把一个图形绕着某个点旋转180°后，能够与原来的图形重合的图形，这个点称为对称中心．中心对称图形的关键特点是绕对称中心旋转180°后，图形的形状和大小不变，只是位置发生了变化． 【详解】解：根据中心对称图形的定义，只有B选项符合． 故选：B． 2. 用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法的基本操作，关键是正确计算一次项系数一半的平方． 使用配方法解一元二次方程，先将常数项移项，然后两边加上一次项系数一半的平方，以完成配方． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ． ∴ 原方程变形为 ． 故选D． 3. 一元二次方程x2+3x+5＝0的根的情况是（　　） A. 无实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用根的判别式进行判断即可得到答案. 【详解】解：∵△＝32﹣4×1×5＝﹣11＜0， ∴方程无实数根． 故选A． 【点睛】本题主要考查根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根． 4. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值为() A. B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点关于原点对称，掌握知识点是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标性质，两个点的横坐标和纵坐标分别互为相反数，由此列出方程求解a和b，再计算的值． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，且， 解得， ∴． 故选：B． 5. 将二次函数的图象向上平移m个单位长度，使其经过点，则m的值为( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像的平移，掌握知识点是解题的关键． 由题意，原二次函数为，向上平移m个单位后得到新函数，由于新函数经过点，代入计算即可求出m的值． 【详解】解：∵将二次函数的图象向上平移m个单位长度， ∴平移后的函数为， 将点代入，得 ， 即， ， ∴， 因此m的值为6． 故选B． 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b均不为0）与二次函数 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象等知识点．根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数中a、b的正负情况与二次函数中a、b的正负情况，然后逐项判断即可解答． 【详解】解：A、由二次函数图象可知：，，则，由一次函数图象可知：，故该选项不符合题意； B、由二次函数图象可知：，，由一次函数图象可知：，故该选项不符合题意； C、由二次函数图象可知：，，则，由一次函数图象可知：，故该选项不符合题意； D、由二次函数图象可知：，，由一次函数图象可知：，故该选项符合题意； 故选：D． 7. 如图，在中，，将 绕点 C 旋转得到，连接，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． 先求出，由旋转，得，，推导出，继而求出，则，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转，得 ，， ∴， ∴， ∴． 故选C． 8. 已知二次函数 的图象如图所示，其对称轴是直线 给出以下结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据抛物线的对称轴方程可判断、同号，判断①错误；由对称轴方程可判断②错误；代入结合图象可判断③正确；代入结合函数的图象判断④正确． 【详解】解：①，、同号，故，原结论错误； ②由对称轴可知， ，原结论错误； ③当时，由图象可知，即，原结论正确； ④当时，由图象可知，即，整理得，原结论正确． 所以，正确的结论是③④． 故选：C． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6 小题，每小题3分，计18分） 9. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0． 【详解】解：由题意，方程是关于的一元二次方程，则的最高次数为2，即， ， ∴．又因为二次项系数，即， 故． 故答案为． 10. 抛物线的顶点坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】把抛物线解析式化为顶点式，即可求解． 【详解】解：， ∴抛物线的顶点坐标是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查二次函数顶点式，解此题的关键在于熟练掌握配方法． 11. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，则方程的一个解x的取值范围是______________________． x 0 1 y 3 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 通过观察表格中函数值的变化，确定方程根所在区间． 【详解】解：方程的解即为函数的零点． 由表格数据可知，当时，； 当时，． 由于函数连续，故在与之间必然存在一点使， 因此方程的一个解的取值范围是． 故答案为：． 12. 已知关于x的一元二次方程的一个整数解是3，则m的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，掌握知识点是解题的关键． 将已知的整数解代入一元二次方程，直接求解m的值． 【详解】解：将代入方程，得 ． 解得． 故答案为：． 13. 如图，在等腰三角形中，是底边的中线，与关于点 C 成中心对称，连接，若则的长为_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，中心对称图形．根据等腰三角形的性质可得，再由中心对称图形的性质可得，，，然后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：在等腰三角形中，∵是底边的中线，， ∴， ∵与关于点 C 成中心对称， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为： 14. 如图，在等边中，，D 是边上的一个动点，连接，将线段 绕点B 顺时针旋转得到线段，点 D 的对应点为点 E，连接，当线段最小时，的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握相关性质定理．根据旋转的性质，垂线段最短，可得当时，最小，最小，再求出的度数，即可求解． 【详解】解：根据旋转的性质得：．当最小时，最小， ∴ 当时，最小，最小， ∵在等边中，， ∴， ∴ ， ∴． 故答案为：． 三、解答题(共12小题，计78分，解答应写出过程) 15. 解方程： 【答案】x1=1，． 【解析】 【分析】先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解即可． 【详解】解：∵3(x-1)2=x(x-1)， ∴3(x-1)2-x(x-1)=0， ∴(x-1) (3x-3-x)=0， ∴x-1=0或2x-3=0， 解得x1=1，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 16. 将二次函数 化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】，二次项系数是，一次项系数是，常数项是9 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的一般形式，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．把化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：， 即， 则二次项系数是，一次项系数是，常数项是9． 17. 如图，在中，，点 D 在边 上，连接，将绕某点旋转得到，且点B，C，在同一条水平线上．已知． （1）旋转中心是点 ，旋转角度是 ； （2）求的长． 【答案】（1）C， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形的性质： （1）根据旋转的性质解答即可； （2）根据直角三角形的性质可得，再由旋转的性质解答即可． 【小问1详解】 解：旋转中心是点C，旋转角度是； 故答案为：C；120 【小问2详解】 解：∵， ∴，． 由旋转的性质可得：， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是：． （1）画出 关于原点O 的中心对称图形 （2）画出 绕点 O 顺时针旋转得到 ，并写出点 的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 解：如图，即为所求，． 【解析】 【分析】本题考查作中心对称图形，旋转作图，图形与坐标，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先作出 关于的对称点，然后顺次连接即可； （2）先作出 绕顺时针旋转的对应点，然后顺次连接即可，并写出点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，李爷爷用一面足够长的墙为一边，其余边用总长为的围栏（围栏宽忽略不计）建两个面积均是的小菜园和小果园，且各留一个宽为的门．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过．设垂直于墙的一边长，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程． 根据题意，列出方程，解出方程即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 整理，得 解得 ∵垂直于墙的一边长不超过， ∴． 20. 已知二次函数 （1）完成下表，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； x … 0 … y … 4 … （2）结合图象，若点均在该二次函数的图象上，请比较和的大小． 【答案】（1） 解：完成表格，如下： x … 0 … y … 4 1 0 1 4 … 在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象，如下图： （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，图象法求自变量的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）先列表，然后描点，最后连线即可； （2）根据函数图象，可得该二次函数的对称轴是直线，从而得到关于对称轴的对称点坐标是，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图象可知，该二次函数的对称轴是直线， ∴关于对称轴的对称点坐标是， 又∵抛物线的开口向上， ∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∵点在该二次函数的图象上，， 21. 已知关于的一元二次方程 （1）若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若，且、是该方程的两个实数根，求、，的值． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． （1）根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，求出k的取值范围即可； （2）根据配方法解一元二次方程的步骤求出、，再根与系数的关系求出两根之和，两根之积，再代入中，计算即可． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴k的取值范围为； 【小问2详解】 将代入，得 ， 配方，得 ， ∴， 解得 ，， ∵、是该方程的两个实数根， ∴， ∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，求点的坐标．（提示：过点作轴的垂线，利用全等求解） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的性质和判定，图形与坐标，旋转的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．过点 作轴于点 C，可证明，则，则题目可求． 【详解】解：如图，过点 作轴于点 C， ∵， ， ， ∴， ， 又∵， ∴， ， ， ． 23. 如图，二次函数 的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点D是函数图象第二象限上的一点，连接，交x轴于点E ． （1）求该二次函数的解析式； （2）若，求点D的坐标． 【答案】（1） （2）点D的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，包括待定系数法求二次函数解析式，利用三角形面积求点的坐标． （1）根据已知的两点坐标代入二次函数的解析式即可求得两个待定系数，从而确定二次函数的解析式； （2）首先求得点C的坐标，由得出点D和点C到x轴的距离相等，可求出点D到x轴的距离，再根据点D在第二象限推出点D的纵坐标为3，代入二次函数解析式可求得x的值，最终得到点D的坐标． 【小问1详解】 解：∵二次函数与x轴交于，两点， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：当时，， ∴， ∵， ∴点D和点C到x轴的距离相等， ∴点D到x轴的距离为3， 又∵点D在第二象限， ∴点D的纵坐标为3， 当时，即， 解得，（舍去）， ∴点D的坐标为． 24. 全球七分之一的苹果来自陕西，主产区集中在渭北黄土高原，其果形高桩、色泽艳丽，酸甜适度，出口量常年稳居全国前列．佳乐水果超市以每箱65元的进价购进一批红富士苹果，当该水果售价为每箱85元时，八月销售300箱，九、十月该苹果十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，十月的销量达到432箱． （1）求九、十月两月销量的月平均增长率； （2）十一月该水果超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该苹果每箱降价1元，月销量在十月销量的基础上增加6箱，当该苹果每箱降价多少元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6 930元？ 【答案】（1）九、十月两月销量的月平均增长率是 （2）当该苹果每箱降价5元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6930元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的增长率问题，掌握知识点是解题的关键． （1）设九、十月两月的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，求出x的值即可； （2）设该苹果每箱降价y元，根据题意 列出一元二次方程，求出y的值即可． 【小问1详解】 解：设九、十月两月的月平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得 （舍去）， 答：九、十月两月销量的月平均增长率是； 【小问2详解】 解：设该苹果每箱降价y元，根据题意，得 ， 整理，得 ， 解得 （舍去）． 故当该苹果每箱降价5元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6930元． 25. 如图是某个拱型彩灯门的横截面示意图，其由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段，构成，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点M 且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知，，，O为的中点． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）为支撑拱型彩灯门的结构，在抛物线上的点E，F处，制作三条撑杆，，，且，，均垂直于地面，求这三条撑杆长度和的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是正确求出二次函数解析式． （1）由题意可知，顶点，设抛物线的函数解析式为，将代入求解即可； （2）设，则，，然后表示出这三条撑杆的长度和，然后根据二次函数得性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，顶点， ∵O为的中点，，， ∴点， 设抛物线的函数解析式为， 将代入，得，解得， 故该抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：设，则， 则这三条撑杆的长度和， ∴当时，所需撑杆长度和的最大值为． 26. 问题再现 （1）如图1，在正方形中，E，F分别在边上，，连接．求证：．小辰给出的思路是：将绕点A 顺时针旋转得到，且与重合…，根据这种思路，写出证明过程； 类比探究 （2）如图2，在四边形 中，，点E，F分别在边上， 若都不是直角，当与 满足什么等量关系时，？ 【答案】 （1）证明：将绕点A 顺时针旋转得到，且与重合， ∴． ∵正方形， ∴， ∴ ，即点 G，B，E三点共线． ∵，， ∴． 在和中 ， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，通过旋转构造全等三角形是解题的关键： （1）根据旋转的性质，正方形的性质，证明，再根据线段的和差关系结合等量代换，即可得出结论； （2）当时，，将绕点 D 逆时针旋转得到，且与重合，证明，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：． 理由：∵， ∴将绕点 D 逆时针旋转得到，且与重合，如图所示， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ ． ∵， ∴，即点 F，C，G三点共线． 在和中， ∴， ∴， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $