专题一 相似三角形的基本模型（模型解读+题型解析+拓展训练）2025-2026学年人教版九年级数学下册大单元教学分层优化练

2025学年人教版九年级数学下大单元教学分层优化练 专题一 相似三角形的基本模型（模型解读+题型解析+拓展训练）（解析版） 相似三角形是初中几何的核心内容，掌握其基本模型相当于拿到了解决众多几何问题的钥匙。下面汇总了十种常用基本模型的核心特征和应用场景，希望能帮你快速抓住重点。 模型名称 核心图形特征 主要应用与关键点 A字型模型 图形呈“A”字状，通常有一组平行线。 利用平行线直接判定相似，是基础且高频的模型。注意有其变式“反A字型”。 8字型模型 图形像数字“8”，两个三角形部分重叠，常存在对顶角。 常用于在相交线中寻找比例线段。注意其变式“反8字型”。 母子型模型 一个大三角形包含一个小三角形，两者有公共边和。 公共角是关键，且公共边的平方等于两边的乘积（射影定理的重要基础）。 一线三等角模型 一条直线上有三个相等的角（不限于直角）。 在复杂图形中快速锁定相似关系，是中考压轴题的“常客”。 一线三直角模型 “一线三等角”的特例，三个角都是直角。 常在坐标系或矩形中考察，用于证明相似和计算线段长度。 手拉手模型 两个相似三角形绕一个公共顶点旋转构成。 不仅有两三角形相似，其对应边组成的新的三角形也相似（例如△ABD∽△ACE）。 旋转相似模型 图形由特定三角形绕顶点旋转一定角度形成。 利用旋转角相等和对应边成比例证明相似。 双垂直模型 直角三角形斜边上的高构成两个直角三角形。 是“母子型”的特例，包含三层相似关系，应用非常广泛。 蝶形相似模型 图形类似蝴蝶，两对三角形位置交错。 若其中一对三角形相似，则另一对也相似，即两对相似三角形同时存在。 半角模型 通常出现在正方形或等腰直角三角形中，涉及一个角是另一个角的一半的情况。 常用于证明线段间的复杂比例关系。 模型一 A字型及其变形 A字型（平行） 反A字型（不平行） ①基本模型如图，在中，点D在上，点E在上，，则，． ②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； ③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔． 例1．如图，在中，分别是上的点，且，，，求和的长． 【答案】， 【详解】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”是解题的关键． 由，利用平行线分线段成比例，可得出结合“，”，可求出的长，由，利用平行线分线段成比例，可得出，结合“，”，可求出的长，再结合，即可求出的长． 【解答】解：∵， ∴. ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴. 【变式1-1】．请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过作，交的延长线于． 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图3，已知中，，，平分，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键． （1）过作，交的延长线于，则，，再证出，根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证； （2）先利用勾股定理可得，再根据（1）的结论可得的长，然后利用勾股定理可得的长，最后根据三角形的周长公式求解即可得． 【详解】（1）证明：如图2，过作，交的延长线于， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵在中，，， ∴， ∵在中，平分， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∴的周长为． 【变式1-2】．如图．在中，，．求证：是和的比例中项． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 由得到，由得到，进而求解即可． 【详解】证明：， ， ， ， ， 即， 是和的比例中项． 【变式1-3】．如图，在中，是上的一点．请利用无刻度的直尺和圆规在上作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母） 【答案】见解析 【分析】此题考查了尺规作一个角等于已知角，平行线的判定，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意作出，进而得到，然后利用平行线分线段成比例即可得到． 【详解】解：如图，点即为所求． 模型二、 X字型及其变形（8字型） ①基本模型： X字型（平行） 反X字型（不平行） ①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔； ②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔． 例2．如图，已知，． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． (1)根据三角形内角和定理计算，根据，得到即可． (2) 根据，得 ，求得的长即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， 解得， ∴． 【变式2-1】．如图，在平行四边形中，，点是对角线上的两点，且的延长线交于点的延长线交于点． (1)求的长； (2)设的面积为，求四边形的面积．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，三角形中线的性质，通过证明，然后利用相似三角形的性质进行求解是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，，由此证明，得到，由，求出，进而求出； （2）同理证明，利用相似三角形面积之比等于相似比的平方得到，由三角形中线平分三角形面积得到，据此求出．则由可得答案． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ∴ ． ， ， ； （2）， ． ． ， ， ， ， ， ． 【变式2-2】．如图，在中，E是线段AB上一点，连接AC，DE交于点F．若，求． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 设，则，根据平行四边形的性质，得到，可证明，得到相似比，根据两个三角形的高相等，面积比等于底之比即可得到答案． 【详解】解： 设，则 ． 四边形ABCD是平行四边形， ， ． 【变式2-3】．如图，已知，与相交于点．如果，，，求的长． 【答案】16 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据得到，求出，即可得到的长． 【详解】解：∵， ， ，，， ， 解得：， ． 模型三 母子型 图1垂直母子型条件：，图1结论：； 图2斜交母子字型条件：，图2结论：； 例3．如图，在中，已知，，请在的边上找一点，使．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，作垂直平分线，等边对等角；作的垂直平分线交于点，则，得出，进而证明． 【详解】解：如图所示，作的垂直平分线交于点，点即为所求， 证明：∵，， ∴， 根据作图可得， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【变式3-1】．如图，在中，D为边上一点，，求证：．． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 求出两组对应边的比例，利用两边对应成比例且其夹角相等的判定方法证明相似． 【详解】证明：在中，为边上一点，， ， ， ， ． 【变式3-2】．如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．由已知求得，根据相似三角形的判定即得答案． 【详解】证明：，， ， ， ， ． 【变式3-3】．如图，中弦、相交于点P，连接，，，若添加一个条件使得，甲添加的条件是：；乙添加的条件是：． (1)甲、乙添加的条件中，能使的是______（选填“甲”“乙”“都对”或“都不对”）； (2)选择一个正确的条件加以证明；若都不对，则添加一个正确的条件并加以证明． 【答案】(1)都对 (2)见解析 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，三角形相似的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）甲：由同弧所对的圆周角相等，可知，又，故能证明；乙：根据对江边成比例，结合，可证； （2）选择甲，由同弧所对的圆周角相等，可知，又，故能证明； 选择乙：利用和，可证． 【详解】（1）解：当时，则， ， ， ； 当时， ， 又， ； 故答案为：都对； （2）解：选择甲： 当时，则， ， ， ； 选择乙： 当时， ， 又， ； 模型四 一线三等角 “一线三等角”模型：如图，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 例4 问题提出 （1）如图1，在正方形中，点分别在边上，连接，且．若，则__________． 问题解决 （2）如图2，有一平行四边形板材，现需要从该板材中裁出一个形状为四边形的部件．已知点分别在边上，，，求部件四边形的周长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质以及勾股定理，等边三角形的判定和性质： （1）证明，即可求解； （2）过点E作于点G，延长至点H，使，连接，先根据直角三角形的性质以及勾股定理可得，再证明是等边三角形，可得，然后证明，可得，，即可求解． 解：（1）∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：； 故答案为： （2）如图，过点E作于点G，延长至点H，使，连接， 在中，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴， ∴部件四边形的周长为． 【变式4-1】在中，，D是边的中点，以D为角的顶点作．如图1，射线经过点A，交边于点E． (1)不添加辅助线，请直接写出图1中所有与相似的三角形； (2)如图2，将从图1中的位置开始，绕点D按逆时针方向旋转（旋转角不大于α），射线，分别交，于点E，F． ①求证：； ②如图3，若，，在线段上有一点P，且，若点P始终在内（包括边界上），求的取值范围； ③若，直接写出旋转角为多少度时，与相似． 【答案】(1) (2)①见解析  ②  ③或 【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，外角的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，可证,可得可证； （2）①由外角的性质可证，可得； ②由特殊位置可求即可求解； ③由等腰三角形的性质可求由相似三角形的性质可求解. 解：（1）∵， 是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）①证明: ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ②如图，初始位置时，如图，当过点时， ， 是边的中点， ， 由①知 ， ，即 解得 ， ∴ 的取值范围为； ③当旋转角或时, 与相似, ∵， ∴ ， ∴, ∵是的中点， ∴ , 当时, 旋转角为， 当时, 旋转角为， 综上所述: 当旋转角为或时, 与相似． 【变式4-2】在中，已知，于，，，求的长． (1)如图，当时，小党同学灵活运用一线三等角构造相似三角形知识，他作出，利用三角形相似求出的长，请你帮助他证明：； (2)当时． ①如图，求的长． ②如图，，为直线上两点（在点左侧，在点右侧），在中，，，，设，，请求出，之间的关系式． 【答案】(1)见解析 (2)①6；② 【分析】（1）由余角的性质可求，由角的数量关系可证，，即可求解； （2）①由等腰直角三角形的性质可求，的长，通过证明，可得，即可求解； ②由勾股定理可求，由轴对称的性质可得，，，由“”可证，可得，，通过证明，可求，，由勾股定理可求解． 解：（1）证明：如图1，作，交于，， ，， ， ， ， ，， ； （2）解：①如图2，作，交于，， ，， ， ，， ，， ，，， ，， ， ， ， ，（舍去）， 即的长为6； ②在中，，，， ， ，， ， 如图，作关于对称的，在上截取，连接，并延长交于， ，，， ，， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【点拨】本题是相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，求函数关系式等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 【变式4-3】．已知：在中，，点是的中点，是直线上一点，连接，将沿着折叠，点的对应点为，连接． (1)如图，若点在线段上，求证：； (2)如图，与交于点，连接，若，求证：点是的中点； (3)如图，点在延长线上，与交于点，交于点，若，，求． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）连接，由折叠可知，，，再证明点三点在以为直径的圆上，再利用垂直同一直线的两直线平行，即可得到结论； （）同理推出点三点在以为直径的圆上，设，由，则，再证明，据此即可证明结论； （3）设，利用三角形内角和定理以及折叠的性质，求得，推出，证明，求得，再证明，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 由折叠可知，，， ∵点是的中点， ∴，即点三点在以为直径的圆上，如图， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点三点在以为直径的圆上，如图， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； （3）解：连接， 设， ∵，， ∴点三点在以为直径的圆上，如图， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形，翻折，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形，圆周角定理，圆的有关概念，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 模型5 一线三直角 ①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. ②拓展： （1）在正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在和内均有射影定理模型． （2）如图，在圆中也会出现射影定理模型． 例5．如图，在正方形中，点，，分别在，，上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定；由正方形的性质得，通过角的转换得，即可得证． 【详解】证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ， ． 【变式5-1】．如图，在矩形中，E是上一点，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由矩形的性质可得，结合，可得，根据两组对角相等即可证明． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， 又， ． 【变式5-2】．如图，沿折叠矩形纸片，使点D落在边的点F处； (1)求证：； (2)若是中点，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定、矩形与折叠问题、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和折叠的性质是解题关键． （1）先根据矩形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）设，则，再根据折叠的性质可得，然后利用勾股定理可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 设， ∵是中点， ∴， 由折叠的性质得：， 在中，， ∴． 【变式5-3】．如图，在矩形中，，．点、分别在边、上，且，过点作于点，连接、、，．求证：． 【答案】见解析 【分析】由矩形的性质，结合直角三角形两锐角互余及互余定义得到、，等量代换即可得到，结合“一线三垂直模型”，由两个三角形相似的判定即可得证． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、直角三角形两锐角互余、相似三角形的判定、矩形的判定、熟记矩形的判定与性质、掌握“一线三垂直模型”判定两个三角形相似是解决问题的关键． 模型6 手拉手模型 基本模型： 总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似 例6．如图，已知，过点作射线，点在射线上，连接，．请你用尺规作图法在射线上作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，作一个角等于已知角的尺规作图法，熟记相似三角形的判定是解题的关键．尺规作即可． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 【变式6-1】．如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可证明． 【详解】证明：， ， ， 又， ． 【变式6-2】．综合与实践：如图，是等边三角形，点是射线上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 观察发现 （1）______，______； 迁移探究 （2）当点在线段时上，请判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点在射线上，直线和直线相交于点，且，请直接写出的值． 【答案】（1），；（2） ，理由见解析；（3）或 【分析】由旋转的性质可得，，可得是等边三角形，可求，由可证≌，可得； 由全等三角形的性质可得，即可求解； 分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况讨论，通过证明∽，可得，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， 将绕点逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， ， ， 又，， ， ， 故答案为：，； ，理由如下： ， ， ； 如图，当点在线段上时，过点作，交于， ，， ， ， ， ∽， ， 设， ，， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ； 如图，当点在线段的延长线上时，过点作，交于， 同理可求：， 综上所述：的值为或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式6-3】．如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质． （1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：； （2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形， ，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：和是两个全等的等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ． 模型7 旋转模型 这个模型通常表现为：两个相似三角形（△ABC ∽ △ADE）有一个公共的顶点（A）。当其中一个三角形绕这个公共顶点旋转时，会产生新的一组相似三角形（△ABD ∽ △ACE） 例7．如图，绕点按顺时针方向旋转一定的角度得到，点在边上，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，相似三角形的判定，先由旋转得，进而得，，，即可证． 【详解】证明：根据旋转的性质，得， ， ， ． 由， 得， ． 【变式7-1】．综合与实践 在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，已知在中，．请解答下面的问题． 观察猜想： （1）如图1，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为______． 探究证明： （2）如图2，D，E分别是边的中点，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】（1）；（2）①证明见解析；② 【分析】（1）如图1，根据旋转的性质得到，则根据等边三角形的判定方法可判断为等边三角形得到，再由即可求出答案； （2）①由于点分别是边的中点，所以，再根据旋转的性质得到，，所以，从而可判断；②先利用勾股定理计算出，则5，过点作于点，如图2，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，然后在中利用勾股定理可计算出的长． 【详解】解：（1）如图1，∵绕点按顺时针方向旋转得到 ，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①∵点分别是边的中点， ， ∵绕点按顺时针方向旋转得到， ， ， ， ； ② ， 过点作于点，如图2， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键，也考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理和含30度角的直角三角形的性质； 【变式7-2】．如图，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，连接BD，CE．求证：△ADB∽△AEC． 【答案】见解析． 【分析】由题知，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，可得到AC＝AE，AB＝AD，∠CAE＝∠BAD，即可证明． 【详解】∵将△ABC绕点A旋转得到△ADE， ∴AC＝AE，AB＝AD，∠CAE＝∠BAD， ∴， ∴△ADB∽△AEC． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及相似三角形的判定，属于基础题，明白旋转前后的边和角都不变是解题的关键． 【变式7-3】．如图，、为等腰直角三角形，且，．若固定不动，绕点旋转，、与边的交点分别为、．请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． 【答案】见解析 【分析】△EAD∽△EBA，△DAE∽△DCA．根据等腰直角三角形的性质得∠B=45°，∠GAF=45°，则∠EAD=∠EBA，再由∠AED=∠BEA（公共角），根据相似三角形的判定即可得到△EAD∽△EBA，同理可得△DAE∽△DCA． 【详解】，． 对进行证明： ∵、为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 而， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质及相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似． 模型8 双垂直模型 如图 这个模型揭示了这样一个核心规律：在直角三角形中，斜边上的高是关键的“催化剂”，它将原三角形分成了两个小的直角三角形，并且这三个三角形两两相似。正是基于这种稳固的相似关系，才推导出了射影定理，这几个等积式是直接进行线段长度计算的强大工具。 例8．射影定理：如图①，在中，，如果，垂足为D，那么有下列结论：①；②；③． （1）请你证明射影定理中的结论③，即． 【结论运用】请直接使用射影定理解决下面的问题． （2）如图②，在正方形中，O是对角线、的交点，点E在边上，过点C作，垂足为F，连接．求证：． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及正方形的性质． （1）先证明，得对应边成比例，再将比例式转化为等积式即可； （2）直接利用射影定理得，，由此得，再将此等积式转化为比例式，再根据“两边对应成比例，且夹角相等”证明，即可证明． 熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用射影定理是解题的关键． 【详解】（1）， ， ． ， ， ， ． （2）四边形是正方形， 且， ． ，， ， ， ． ， ， ． 【变式8-1】．（1）追根溯源 如图1，太阳直射在上，为上的高，，，是位于同一条直线上的影子．则通过，，得到______，进而得到，被称作射影定理． （2）拓展提升 如图2，在中，点为上一点，． ①求证：； ②若，，点为直线上一点，当为直角三角形时，请直接写出的长度． 【答案】（1）； （2）①见解析；②或 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据两角对应相等，证明，根据相似三角形的性质，即可得证； （2）①同（1）证明，即可得证； ②根据相似三角形的性质求得，进而求得，然后根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论，求得的长，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． （2）①∵，， ∴ ∴ ∴， ②∵，， ∴ ∴ 如图， 当时， ∵ ∴ 当时， ∴ ∴ 综上所述，的长为或． 【变式8-2】．如图1，在中，，点D在上，于点E． (1)求证：； (2)如图2，当点与点重合时，有结论：．这就是直角三角形中著名的“射影定理”，又称“欧几里得定理”．该定理还有其它表达形式．已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）利用有两组角相等的两个三角形相似判定即可； （2）由（1）可知：，从而证明，再代入求值即可． 【详解】（1）证明：于点， ， ， （2）解：由（1）可知：， ，即： ， ， 【变式8-3】．操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上． (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______； (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理； (3)拓展运用：如图2，正方形的边长为15，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接；若，则 ． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定于性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定与性质进行推理证明； （1）根据题意，写出答案即可； （2）利用同角的余角相等证明即可证明与相似，再列出比例式即可； （3）作，证明与全等，再利用射影定理求出线段长即可． 【详解】（1）解：根据投影的定义可知线段的投影是，线段的投影是， 故答案为：，． （2）证明：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即． （3）解：作， ∵点O是对角线、的交点，， ∴    ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵正方形的边长为15，，， 由射影定理可知，，即， ，由勾股定理，得：， 则，， 所以 故答案为：． 模型9 蝶形相似模型 蝶形相似模型 ，图形类似蝴蝶，两对三角形位置交错 寻找形似蝴蝶的图形，核心是两条线段（如梯形的对角线或相交的弦）相交形成四个三角形 例9．在等腰梯形中且．在延长线上有一点，在延长线上有一点，连结和的延长线交于点．若， (1)求证：． (2)令射线、交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质． 先利用等腰梯形的性质得到相关边相等、相关角对应相等，再把已知条件“”进行转化，得到三角形相似，最后得对应角相等． 先作辅助线，利用“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成得三角形相似三角形”并结合第一问中三角形相似进行转化即可得出结论． 【详解】（1）解：在等腰梯形中，，，， ，， ， ，， ， 又， ， ， ． （2）解：过点作，交于点， ， ， ， ； ，， ， ， ， ， ， ，即， ， ． 【变式9-1】．如图，已知在等腰梯形中，，，，联结、交于点，为上一点，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰梯形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． （1）先证明，得到；由相似三角形性质可得，进而得出结论． （2）先证明，得到；再证明，得到，等量代换即可． 【详解】（1）证明：， ，， 又， ， ， （2），，， ， ， ， ． 在等腰梯形中，，， 又， ， ， ， ， ， 【变式9-2】．【阅读材料】我们把一组对边平行，另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形． 【问题解决】已知在等腰梯形中，，，对角线相交于点T． (1)如题图1，若，以点T为圆心，长为半径作圆，求证：直线是的切线； (2)如题图2，若点F，G分别为线段的中点，求证：； (3)如题图3，若点M是的中点，交AC于点P，若，直接写出的长 ．（用含字母a的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点T作于点，证明是的平分线，利用角平分线的性质证得，据此可证明直线是的切线； （2）连接并延长交于点，证明，推出，，得到是的中位线，利用三角形中位线定理即可证明； （3）利用等腰梯形的性质结合，，求得，，设，则，，证明，利用相似三角形的性质构造一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点T作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线，又，， ∴， ∴直线是的切线； （2）证明：连接并延长交于点， ∵， ∴，， ∵点F为线段的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵点G为线段的中点， ∴是的中位线，∴； （3）解：连接，， 设， ∵在等腰梯形，，，， ∴，，， ∴， ∵点M是的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，， 解得， ∴，， 设，则，， ∴， ∴，即， 整理得， 解得（负值舍去）， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，三角形中位线定理，线段垂直平分线的判定和性质，第3问求得，是解题的关键． 【变式9-3】．阅读与思考：小刚在学习了圆这章知识后，在某本课外书上看到还有一个相交弦定理（圆内的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段长的积相等）．下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆内的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段长的积相等． 已知：如图1， 的两条弦相交于点P．   求证：． 证明：如图1，连接． ，， ∴① ， ② ， ， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等． 任务： (1)请将上述证明过程补充完整． ① ； ② ． (2)小刚又看到一道课后习题：如图2，是的弦，P是上一点，，求的半径．    【答案】(1)①；② (2) 【分析】（）证明即可求证； （）延长交于点，延长交于点，设的半径为，则，，由（）可得，，据此解答即可求解； 本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ， ∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等， 故答案为：，； （2）解：延长交于点，延长交于点， 设的半径为，则，， 由（）可得，， ∴， 解得（舍负）， ∴的半径为． 模型10 半角模型 这个模型的核心规律是：当一个角（通常是一个大角，如90°、120°）内部包含一个角度是其一半的角（如45°、60°）时，通过旋转某个三角形，可以使分散的线段“汇集”到一起，从而构造出新的全等或相似三角形，为解题打开突破口。 其核心结论是证明旋转后产生的新三角形与原有三角形全等或相似，进而将不在同一直线上的线段（如BE和DF）转化到一条线上（如EF），证明其和差关系 例10．【模型回顾】在八年级，我们学习了全等三角形的经典模型—“半角模型”：如图1，在正方形中，E、F在边上，，连接．请你写出线段、、的数量关系：_______； 【探索发现】如图2，小明连接对角线，与、交于点M、N，图中与相似的三角形共有___________个，请你选择其中一组证明； 【深入研究】正方形边长为1，设的长为x，的长为，求与的函数关系式． 【答案】（1）；（2）5，见解析；（3） 【分析】（1）延长到点G，使，连接，证明，得出，，证明，得出，则可得出结论； （2）根据正方形的性质和相似三角形的判定方法即可得到结论； （3）由（1）知，，根据相似三角形的性质得到，作于O，过A作于P，得到，根据全等三角形的性质得到，求得，由（1）知，，得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）； 理由：延长到点G，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）与相似的三角形有． 理由：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 将绕点A顺时针旋转得到， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相似的三角形有， 故答案为：5； （3）由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于O，过A作于P， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形，学会利用相似三角形的性质解决线段之间的关系问题． 【变式10-1】．如图1是初中平面几何中非常经典的“半角模型”，即在正方形中，E，F分别是，上的点，，， 分别交对角线于P，Q两点． 我们很容易得到下面三个结论： 结论1： 结论2： 结论3：A，B，E，Q四个点在同一个圆上，A，P，F，D四个点在同一个圆上（本题若用到以上三个结论，可不用证明） 有题目如下： (1)如图1，条件不变．求证： ①； ②． (2)如图2，在矩形中，E，F分别是，上的点，，且．请写出，，三者之间满足的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)；理由见解析 【分析】（1）①连接，证明为等腰直角三角形，得出，证明为等腰直角三角形，得出，证明，得出； ②延长，过点A作，交的延长线于点G，证明，得出，证明，得出，，根据三角形的面积得出得出，根据，，得出，即可证明结论； （2）方法一：延长，交于点M，延长，交于点K，过点B作，取，连接，过点G作于点H，延长，过点G作于点N，根据等腰直角三角形性质证明，，，证明，得出，，求出，证明，得出，证明四边形为矩形，得出，，根据勾股定理得出，求出结果即可． 方法二：过点E作与点H，过点F作与点I，相交于点G，连接，易得四边形、、为矩形，则，再证明四边形为正方形，得出，，进而得出点E、B、F三点共圆，且点G为圆心，则，根据勾股定理可得，，等量代换得到，，即可推出． 【详解】（1）证明：①连接，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴， ∵A，B，E，Q四个点在同一个圆上， ∵， ∴为直径， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵A，P，F，D四个点在同一个圆上，， ∴为直径， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②延长，过点A作，交的延长线于点G，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：方法一： ．理由如下： 延长，交于点M，延长，交于点K，过点B作，取，连接，过点G作于点H，延长，过点G作于点N，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，根据勾股定理得： ， ∴ ， 即． 方法二： 过点E作与点H，过点F作与点I，相交于点G，连接， ∵四边形为矩形，，， ∴四边形、、为矩形， ∴， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴点E、B、F三点共圆，且点G为圆心， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，等腰直角是三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 【变式10-2】．定义：若△ABC中，其中一个内角是另一个内角的一半，则称△ABC为“半角三角形”． （1）若Rt△ABC为半角三角形，∠A=90°，则其余两个角的度数为． （2）如图，以△ABC的边AB为直径画圆，与边AC交于M，与边BC交于N，已知CN=AC ①求证：∠C=60°． ②若△ABC是半角三角形，求∠B的度数． 【答案】（1）45°，45°或30°，60°；（2）略；（3）30°，40°，80°，90° 【分析】（1）根据“半角三角形”的定义即可解决问题； （2）①只要证明△CMN∽△CBA，可得，即，在Rt△ACN中，sin∠，即可推出∠CAN＝30°解决问题； ②根据“半角三角形”的定义即可解决问题. 【详解】(1)∵Rt△ABC为半角三角形，∠A＝90°， ∴∠B＝∠C＝45°，或∠B＝60°，∠C＝30°或∠B＝30°，∠C＝60°， ∴其余两个角的度数为45°，45°或30°，60°， 故答案为45°，45°或30°，60°． (2)①如图中，连接AN． ∵AB是直径， ∴∠ANB＝90°， ∵∠C＝∠C，∠CMN＝∠B， ∴△CMN∽△CBA， ∴，即， 在Rt△ACN中，sin∠CAN＝， ∴∠CAN＝30°， ∴∠C＝60°． ②∵△ABC是半角三角形，∠C＝60°， 所以如果∠B是△ABC中∠C的一半，则∠B＝30°. 如果∠A是△ABC中∠C的一半，则∠A＝30°，故∠B＝90°. 如果∠B是△ABC中∠A的一半，则∠B＝，故∠B＝40°. 如果∠A是△ABC中∠B的一半，则∠B＝，故∠B＝80°. ∴∠B＝30°或40°或80°或90°． 【点睛】本题考查几何变换综合题、相似三角形的判定和性质、“半角三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 【变式10-3】．定义：若△ABC中，其中一个内角是另一个内角的一半，则称△ABC为“半角三角形”． (1)若Rt△ABC为半角三角形，∠A＝90°，则其余两个角的度数为　 　． (2)如图1，在▱ABCD中，∠C＝72°，点E在边CD上，以BE为折痕，将△BCE向上翻折，点E恰好落在AD边上的点F，若BF⊥AD，求证：△EDF为半角三角形； (3)如图2，以△ABC的边AB为直径画圆，与边AC交于M，与边BC交于N，已知△ABC的面积是△CMN面积的4倍． ①求证：∠C＝60°． ②若△ABC是半角三角形，直接写出∠B的度数． 【答案】(1)45°，45°或30°，60°；(2)证明见解析；(3)①证明见解析；②∠B＝30°或40°或80°或90°． 【分析】（1）根据“半角三角形”的定义即可解决问题； （2）只要证明∠DEF＝∠D，即可解决问题； （3）①只要证明△CMN∽△CBA，可得，即，在Rt△ACN中，sin∠，即可推出∠CAN＝30°解决问题； ②根据“半角三角形”的定义即可解决问题； 【详解】(1)∵Rt△ABC为半角三角形，∠A＝90°， ∴∠B＝∠C＝45°，或∠B＝60°，∠C＝30°或∠B＝30°，∠C＝60°， ∴其余两个角的度数为45°，45°或30°，60°， 故答案为45°，45°或30°，60°． (2)如图1中， ∵平行四边形ABCD中，∠C＝72°， ∴∠D＝108°， 由翻折可知：∠EFB＝72°， ∵EF⊥AD， ∴∠EFD＝18°， ∴∠DEF＝54°， ∴∠DEF＝∠D，即△DEF是半角三角形． (2)①如图2中，连接AN． ∵AB是直径， ∴∠ANB＝90°， ∵∠C＝∠C，∠CMN＝∠B， ∴△CMN∽△CBA， ∴，即， 在Rt△ACN中，sin∠CAN＝$\frac{C N}{A C}=\frac{1}{2}$， ∴∠CAN＝30°， ∴∠C＝60°． ②∵△ABC是半角三角形，∠C＝60°， ∴∠B＝30°或40°或80°或90°． 【点睛】本题考查几何变换综合题、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、“半角三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 1．如图，已知在梯形中，，点E为边上一点，且，连接与对角线交于点O，，点F是边的中点，连接． (1)求证：； (2)如图，当时，连接交对角线于点G． ①如果，求的值； ②如果，是等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)；或 【分析】（1）延长交于点M，设，根据相似三角形的判定与性质，证明，，再证明四边形是平行四边形，即可得到结论； （2）①过点D作于点H，由可证明，由此进一步证明，得到，然后证明，即可设，并列方程求出，再求出，即可得到答案； ②延长交于点M，连接，先求出，， 然后分三种情况讨论：当时，可求得，再用勾股定理求出的长；当时，求出，再用勾股定理求出的长，即可求得答案；当时，可证明这种情况不存在． 【详解】（1）解：延长交于点M， 设， ， ， ， ，， ，， ， ， ，， 点F是边的中点， ， ， ， 而， ， ， 四边形是平行四边形， ， 即； （2）解：①过点D作于点H， 由（1）知，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 或（舍去）， ， 在中，， ， ； ②延长交于点M，连接， 由（1）知，，，， ， ， ，， 是等腰三角形，可分三种情况： 当时， ， ， ， 在中，； 当时， 由（1）知，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，， ， ； 当时，点O在的垂直平分线上， ， 点M在的垂直平分线上， 垂直平分， 这不符合题意，所以这种情况不存在； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 2．如图，已知，，，，，． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理及相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出，进而求出的长； （2）根据，，得，又，可得，根据相似三角形的判定即可得到． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 3．如图，．求证． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，根据两角对应相等的两个三角形相似判定即可． 【详解】证明：， ∴，即， ， ． 4．如图，为的对角线，若点E、F分别是边上的点，连接，若，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，正确利用平行四边形的性质及题中所给条件，找到证明相似所需要的条件是解题的关键．由得，得，由得，由得，即可证明结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ， ， ． 5．如图，在中，以为直径的与交于点D，连接． (1)尺规作图：作出劣弧的中点（不写作法，保留作图痕迹）： (2)连接交于点，连接，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)证明过程见解析． 【分析】本题考查作线段垂直平分线，同弧（等弧）所对圆周角相等，三角形相似的判定． （1）分别以点，为圆心，大于为半径画弧，交于点，，直线与相交，交点即为劣弧的中点； （2）根据同弧（等弧）所对圆周角相等，可得，，即可证得结论． 【详解】（1）解：如图，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，交于点，，直线与交于点，点即为所求． （2）证明：∵是的直径，点，在上， ∴， ∵点为弧的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴． 6．如图，点，分别在的边，上，且，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由，，，得，，所以，然后通过相似三角形的判定方法即可求证，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 7．如图，在中，，于点D． (1)求证: ． (2)若O是边上一点，连接交于点E，交边于点F，求证: ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）利用两角对应相等的两个三角形相似证明即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）证明：由(1)可知， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 8．如图，在中，，点在上，的延长线交的外接圆于点，与相似吗？为什么？ 【答案】相似，见解析 【分析】先利用等腰三角形得出，进而得到一组角相等；再结合圆周角定理找到另一组角相等，依据“两角分别相等的两个三角形相似”来判断与是否相似 ．本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形性质以及相似三角形的判定，熟练掌握圆周角定理和相似三角形判定定理（两角分别相等的两个三角形相似 ）是解题的关键． 【详解】解：与相似．理由如下∶ ， ， ． ∵， ∴， 在和中， ，， （两角分别相等的两个三角形相似）． 9．如图，四边形内接于，是的直径，延长至点，连接，使． (1)求证：． (2)试判断：是不是的切线？若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)是的切线，证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定、切线的判定，熟练掌握判定方法是解得本题的关键． （1）利用两角对应相等的两个三角形相似即可证明； （2）连接，根据直径得到，可证明，得到，即可证明切线． 【详解】（1）证明：，， ； （2）解：是的切线，证明如下：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 又是的半径， 是的切线． 10．（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F，点D是上任意一点，连接交于点G，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，，若，且，恰好将三等分，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由得，所以，同理可得，故，即得答案； （2）先证明，得到，设，求出，的值，即可求得答案． 【详解】解：（1）， ， ， 同理， ， ， ；     （2），恰好将三等分， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， 设，则，， 由得，， （负值舍去）， ． 模 型 解 析 拓 展 训 练 题 型 解 读 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学下大单元教学分层优化练 专题一 相似三角形的基本模型（模型解读+题型解析+拓展训练） 相似三角形是初中几何的核心内容，掌握其基本模型相当于拿到了解决众多几何问题的钥匙。下面汇总了十种常用基本模型的核心特征和应用场景，希望能帮你快速抓住重点。 模型名称 核心图形特征 主要应用与关键点 A字型模型 图形呈“A”字状，通常有一组平行线。 利用平行线直接判定相似，是基础且高频的模型。注意有其变式“反A字型”。 8字型模型 图形像数字“8”，两个三角形部分重叠，常存在对顶角。 常用于在相交线中寻找比例线段。注意其变式“反8字型”。 母子型模型 一个大三角形包含一个小三角形，两者有公共边和。 公共角是关键，且公共边的平方等于两边的乘积（射影定理的重要基础）。 一线三等角模型 一条直线上有三个相等的角（不限于直角）。 在复杂图形中快速锁定相似关系，是中考压轴题的“常客”。 一线三直角模型 “一线三等角”的特例，三个角都是直角。 常在坐标系或矩形中考察，用于证明相似和计算线段长度。 手拉手模型 两个相似三角形绕一个公共顶点旋转构成。 不仅有两三角形相似，其对应边组成的新的三角形也相似（例如△ABD∽△ACE）。 旋转相似模型 图形由特定三角形绕顶点旋转一定角度形成。 利用旋转角相等和对应边成比例证明相似。 双垂直模型 直角三角形斜边上的高构成两个直角三角形。 是“母子型”的特例，包含三层相似关系，应用非常广泛。 蝶形相似模型 图形类似蝴蝶，两对三角形位置交错。 若其中一对三角形相似，则另一对也相似，即两对相似三角形同时存在。 半角模型 通常出现在正方形或等腰直角三角形中，涉及一个角是另一个角的一半的情况。 常用于证明线段间的复杂比例关系。 模型一 A字型及其变形 A字型（平行） 反A字型（不平行） ①基本模型如图，在中，点D在上，点E在上，，则，． ②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； ③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔． 例1．如图，在中，分别是上的点，且，，，求和的长． 【变式1-1】．请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过作，交的延长线于． 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图3，已知中，，，平分，求的周长． 【变式1-2】．如图．在中，，．求证：是和的比例中项． 【变式1-3】．如图，在中，是上的一点．请利用无刻度的直尺和圆规在上作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母） 模型二、 X字型及其变形（8字型） ①基本模型： X字型（平行） 反X字型（不平行） ①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔； ②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔． 例2．如图，已知，． (1)求的度数； (2)求的长． 【变式2-1】．如图，在平行四边形中，，点是对角线上的两点，且的延长线交于点的延长线交于点． (1)求的长； (2)设的面积为，求四边形的面积．（用含的代数式表示） 【变式2-2】．如图，在中，E是线段AB上一点，连接AC，DE交于点F．若，求． 【变式2-3】．如图，已知，与相交于点．如果，，，求的长． 模型三 母子型 图1垂直母子型条件：，图1结论：； 图2斜交母子字型条件：，图2结论：； 例3．如图，在中，已知，，请在的边上找一点，使．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【变式3-1】．如图，在中，D为边上一点，，求证：．． 【变式3-2】．如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 【变式3-3】．如图，中弦、相交于点P，连接，，，若添加一个条件使得，甲添加的条件是：；乙添加的条件是：． (1)甲、乙添加的条件中，能使的是______（选填“甲”“乙”“都对”或“都不对”）； (2)选择一个正确的条件加以证明；若都不对，则添加一个正确的条件并加以证明． 模型四 一线三等角 “一线三等角”模型：如图，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 例4 问题提出 （1）如图1，在正方形中，点分别在边上，连接，且．若，则__________． 问题解决 （2）如图2，有一平行四边形板材，现需要从该板材中裁出一个形状为四边形的部件．已知点分别在边上，，，求部件四边形的周长． 【变式4-1】在中，，D是边的中点，以D为角的顶点作．如图1，射线经过点A，交边于点E． (1)不添加辅助线，请直接写出图1中所有与相似的三角形； (2)如图2，将从图1中的位置开始，绕点D按逆时针方向旋转（旋转角不大于α），射线，分别交，于点E，F． ①求证：； ②如图3，若，，在线段上有一点P，且，若点P始终在内（包括边界上），求的取值范围； ③若，直接写出旋转角为多少度时，与相似． 【变式4-2】在中，已知，于，，，求的长． (1)如图，当时，小党同学灵活运用一线三等角构造相似三角形知识，他作出，利用三角形相似求出的长，请你帮助他证明：； (2)当时． ①如图，求的长． ②如图，，为直线上两点（在点左侧，在点右侧），在中，，，，设，，请求出，之间的关系式． 【变式4-3】．已知：在中，，点是的中点，是直线上一点，连接，将沿着折叠，点的对应点为，连接． (1)如图，若点在线段上，求证：； (2)如图，与交于点，连接，若，求证：点是的中点； (3)如图，点在延长线上，与交于点，交于点，若，，求． 模型5 一线三直角 ①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. ②拓展： （1）在正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在和内均有射影定理模型． （2）如图，在圆中也会出现射影定理模型． 例5．如图，在正方形中，点，，分别在，，上，且．求证：． 【变式5-1】．如图，在矩形中，E是上一点，连接，，求证：． 【变式5-2】．如图，沿折叠矩形纸片，使点D落在边的点F处； (1)求证：； (2)若是中点，求的值． 【变式5-3】．如图，在矩形中，，．点、分别在边、上，且，过点作于点，连接、、，．求证：． 模型6 手拉手模型 基本模型： 总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似 例6．如图，已知，过点作射线，点在射线上，连接，．请你用尺规作图法在射线上作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式6-1】．如图，．求证：． 【变式6-2】．综合与实践：如图，是等边三角形，点是射线上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 观察发现 （1）______，______； 迁移探究 （2）当点在线段时上，请判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点在射线上，直线和直线相交于点，且，请直接写出的值． 【变式6-3】．如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 模型7 旋转模型 这个模型通常表现为：两个相似三角形（△ABC ∽ △ADE）有一个公共的顶点（A）。当其中一个三角形绕这个公共顶点旋转时，会产生新的一组相似三角形（△ABD ∽ △ACE） 例7．如图，绕点按顺时针方向旋转一定的角度得到，点在边上，连接，求证：． 【变式7-1】．综合与实践 在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，已知在中，．请解答下面的问题． 观察猜想： （1）如图1，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为______． 探究证明： （2）如图2，D，E分别是边的中点，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接． ①求证：； ②若，，求的长． 【变式7-2】．如图，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，连接BD，CE．求证：△ADB∽△AEC． 【变式7-3】．如图，、为等腰直角三角形，且，．若固定不动，绕点旋转，、与边的交点分别为、．请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． 模型8 双垂直模型 如图 这个模型揭示了这样一个核心规律：在直角三角形中，斜边上的高是关键的“催化剂”，它将原三角形分成了两个小的直角三角形，并且这三个三角形两两相似。正是基于这种稳固的相似关系，才推导出了射影定理，这几个等积式是直接进行线段长度计算的强大工具。 例8．射影定理：如图①，在中，，如果，垂足为D，那么有下列结论：①；②；③． （1）请你证明射影定理中的结论③，即． 【结论运用】请直接使用射影定理解决下面的问题． （2）如图②，在正方形中，O是对角线、的交点，点E在边上，过点C作，垂足为F，连接．求证：． 【变式8-1】．（1）追根溯源 如图1，太阳直射在上，为上的高，，，是位于同一条直线上的影子．则通过，，得到______，进而得到，被称作射影定理． （2）拓展提升 如图2，在中，点为上一点，． ①求证：； ②若，，点为直线上一点，当为直角三角形时，请直接写出的长度． 【变式8-2】．如图1，在中，，点D在上，于点E． (1)求证：； (2)如图2，当点与点重合时，有结论：．这就是直角三角形中著名的“射影定理”，又称“欧几里得定理”．该定理还有其它表达形式．已知，求的长． 【变式8-3】．操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上． (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______； (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理； (3)拓展运用：如图2，正方形的边长为15，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接；若，则 ． 模型9 蝶形相似模型 蝶形相似模型 ，图形类似蝴蝶，两对三角形位置交错 寻找形似蝴蝶的图形，核心是两条线段（如梯形的对角线或相交的弦）相交形成四个三角形 例9．在等腰梯形中且．在延长线上有一点，在延长线上有一点，连结和的延长线交于点．若， (1)求证：． (2)令射线、交于点，求证：． 【变式9-1】．如图，已知在等腰梯形中，，，，联结、交于点，为上一点，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【变式9-2】．【阅读材料】我们把一组对边平行，另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形． 【问题解决】已知在等腰梯形中，，，对角线相交于点T． (1)如题图1，若，以点T为圆心，长为半径作圆，求证：直线是的切线； (2)如题图2，若点F，G分别为线段的中点，求证：； (3)如题图3，若点M是的中点，交AC于点P，若，直接写出的长 ．（用含字母a的代数式表示） 【变式9-3】．阅读与思考：小刚在学习了圆这章知识后，在某本课外书上看到还有一个相交弦定理（圆内的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段长的积相等）．下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆内的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段长的积相等． 已知：如图1， 的两条弦相交于点P．   求证：． 证明：如图1，连接． ，， ∴① ， ② ， ， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等． 任务： (1)请将上述证明过程补充完整． ① ； ② ． (2)小刚又看到一道课后习题：如图2，是的弦，P是上一点，，求的半径．    模型10 半角模型 这个模型的核心规律是：当一个角（通常是一个大角，如90°、120°）内部包含一个角度是其一半的角（如45°、60°）时，通过旋转某个三角形，可以使分散的线段“汇集”到一起，从而构造出新的全等或相似三角形，为解题打开突破口。 其核心结论是证明旋转后产生的新三角形与原有三角形全等或相似，进而将不在同一直线上的线段（如BE和DF）转化到一条线上（如EF），证明其和差关系 例10．【模型回顾】在八年级，我们学习了全等三角形的经典模型—“半角模型”：如图1，在正方形中，E、F在边上，，连接．请你写出线段、、的数量关系：_______； 【探索发现】如图2，小明连接对角线，与、交于点M、N，图中与相似的三角形共有___________个，请你选择其中一组证明； 【深入研究】正方形边长为1，设的长为x，的长为，求与的函数关系式． 【变式10-1】．如图1是初中平面几何中非常经典的“半角模型”，即在正方形中，E，F分别是，上的点，，， 分别交对角线于P，Q两点． 我们很容易得到下面三个结论： 结论1： 结论2： 结论3：A，B，E，Q四个点在同一个圆上，A，P，F，D四个点在同一个圆上（本题若用到以上三个结论，可不用证明） 有题目如下： (1)如图1，条件不变．求证： ①； ②． (2)如图2，在矩形中，E，F分别是，上的点，，且．请写出，，三者之间满足的数量关系，并加以证明． 【变式10-2】．定义：若△ABC中，其中一个内角是另一个内角的一半，则称△ABC为“半角三角形”． （1）若Rt△ABC为半角三角形，∠A=90°，则其余两个角的度数为． （2）如图，以△ABC的边AB为直径画圆，与边AC交于M，与边BC交于N，已知CN=AC ①求证：∠C=60°． ②若△ABC是半角三角形，求∠B的度数． 【变式10-3】．定义：若△ABC中，其中一个内角是另一个内角的一半，则称△ABC为“半角三角形”． (1)若Rt△ABC为半角三角形，∠A＝90°，则其余两个角的度数为　 　． (2)如图1，在▱ABCD中，∠C＝72°，点E在边CD上，以BE为折痕，将△BCE向上翻折，点E恰好落在AD边上的点F，若BF⊥AD，求证：△EDF为半角三角形； (3)如图2，以△ABC的边AB为直径画圆，与边AC交于M，与边BC交于N，已知△ABC的面积是△CMN面积的4倍． ①求证：∠C＝60°． ②若△ABC是半角三角形，直接写出∠B的度数． 1．如图，已知在梯形中，，点E为边上一点，且，连接与对角线交于点O，，点F是边的中点，连接． (1)求证：； (2)如图，当时，连接交对角线于点G． ①如果，求的值； ②如果，是等腰三角形时，请直接写出的长． 2．如图，已知，，，，，． (1)求的长； (2)求证：． 3．如图，．求证． 4．如图，为的对角线，若点E、F分别是边上的点，连接，若，．求证：． 5．如图，在中，以为直径的与交于点D，连接． (1)尺规作图：作出劣弧的中点（不写作法，保留作图痕迹）： (2)连接交于点，连接，求证：． 6．如图，点，分别在的边，上，且，，，．求证：． 7．如图，在中，，于点D． (1)求证: ． (2)若O是边上一点，连接交于点E，交边于点F，求证: ． 8．如图，在中，，点在上，的延长线交的外接圆于点，与相似吗？为什么？ 9．如图，四边形内接于，是的直径，延长至点，连接，使． (1)求证：． (2)试判断：是不是的切线？若是，请证明；若不是，请说明理由． 10．（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F，点D是上任意一点，连接交于点G，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，，若，且，恰好将三等分，求的值． 模 型 解 析 题 型 解 读 拓 展 训 练 学科网（北京）股份有限公司 $