精品解析：河北省廊坊市固安县2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

河北省廊坊市固安县2025-2026学年八年级上学期11月 期中数学试题 （时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题．（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 全等图形的形状、大小都相同 B. 两个圆是全等图形 C. 两个形状相同的图形称为全等图形 D. 面积相等的两个三角形是全等图形 3. 下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，5，8 D. 4，5，10 4. 图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 5. 图①～⑥是三个三角形的碎片，每两个碎片恰好可组成一个完整的三角形，若组合其中的两个，恰能拼成一个轴对称图形，则应选择（ ） A. ①⑥ B. ②④ C. ③⑤ D. ④⑥ 6. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，若，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 一个零件的形状如图①，按规定应等于应分别是和．嘉淇量得，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？甲、乙、丙三人看完题目后分别给出了三种辅助线作法来证明嘉淇的结论． 甲：如图②，连接并延长； 乙：如图③，延长交于； 丙：如图④，连接． 则能成功证明嘉淇结论的是（ ） A. 只有甲 B. 只有乙 C. 只有丙 D. 甲、乙、丙 9. 如图，，点E在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 在和中，．已知，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 11. 如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点M，N，连接，分别与边相交于点D，E，若，的周长为17，则的长为（ ） A. 7 B. 10 C. 12 D. 1 12. 如图，已知，其中，点以每秒2个单位长度的速度沿着路径运动，同时，点以每秒个单位长度的速度沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点立即停止运动，它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②若P，Q两点同时到达点，则； ③若，则与垂直； ④若与全等，则或． 以上说法正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题．（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 假定某天上午你在镜子里看到的时钟如图所示，则此时真正时间是___________． 14. 如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是___________． 15. 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝8，BC＝5，则BD的长为__． 16. 如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=___． 三、解答题．（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明或演算过程） 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是点，． （1）画出关于轴对称的； （2）画出一个，使它与全等（点与点不重合）； （3）求出的面积． 18. 作图题：在两条公路的交叉处有两个村庄、政府想在交叉处的内部建一个加油站，并且使加油站到村庄、的距离相等且到两条公路的距离也相等．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在中，分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若的面积为，求的长； （2）若，求的大小． 20. 某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现： ①如图，在中，若，则有； ②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得，即知．若把①中的替换为，还能推出吗？ 基于此，社团成员小军进行了探索研究，发现确实能推出，并提供了以下证明方法： 证明：分别延长，至E，F两点，使得…… 【问题解决】 （1）完成①的证明； （2）把②中小军的证明过程补充完整． 21. 如图，四边形的对角线相交于点，点在上，． （1）求证：； （2）若，求证： ①； ②试探究与的位置关系． 22. 早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今． 几何模型：条件：如图1，A、B是直线同旁的两个定点． 问题：在直线上确定一点，使的值最小． 解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长． （1）根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形； （2）应用： ①如图2，已知，其内部有一点，在的两边分别有C、D两点（不同于点），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，，点M、N分别在边上，且，点P，Q分别在上，则的最小值是________． （3）拓展：如图，在四边形中，，在上分别找一个点M，N，使的周长最小，则________． 23. 【问题背景】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】 （2）如图2，分别平分，若，求的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线平分的外角平分的外角，若，请猜想的度数，并说明理由． 【拓展延伸】 （4）在图4中，若设，平分平分的外角，猜想与的关系，直接写出结论（用表示）． 24. 如图1，在等边三角形中，．点E，F分别在边上，且，动点从点出发沿射线运动，以为边向右侧作等边三角形，连接． （1）求证：是等边三角形． （2）当点在线段上运动时，求之间的数量关系． （3）如图2，当点在线段的延长线上运动时， ①_________； ②如图3作，再以为边向右侧作等边三角形，连接，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省廊坊市固安县2025-2026学年八年级上学期11月 期中数学试题 （时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题．（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意． 故选D． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 全等图形的形状、大小都相同 B. 两个圆是全等图形 C. 两个形状相同的图形称为全等图形 D. 面积相等的两个三角形是全等图形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等图形的定义，根据全等图形的定义，形状和大小都相同的图形才是全等图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、全等图形必须形状和大小都相同，故 A正确； B、两个圆只有半径相同时才全等，故 B错误； C、形状相同但大小不同的图形不全等，故C错误； D、面积相等但形状不同的三角形不全等，故D错误． 故选：A． 3. 下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，5，8 D. 4，5，10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可． 【详解】A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意； C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意； 故选：B． 4. 图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义，确定对称轴直线是解题的关键． 轴对称图形，一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此即可求解． 【详解】解：根据图示可得，该图形的对称轴是直线， 故选：D ． 5. 图①～⑥是三个三角形的碎片，每两个碎片恰好可组成一个完整的三角形，若组合其中的两个，恰能拼成一个轴对称图形，则应选择（ ） A. ①⑥ B. ②④ C. ③⑤ D. ④⑥ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和与轴对称图形，熟练掌握三角形内角和定理和轴对称图形的定义是解题的关键，根据三角形内角和是且利用图形已知的两个角的度数分别求出另一个角的度数，然后利用等腰三角形定义及等腰三角形是轴对称图形判断即可． 【详解】解：∵②，④图形一个角是， ∴②和④可以组成一个三角形，且这个三角形是等腰三角形，是轴对称图形， ∵⑤，③图形一个角是， ∴③和⑤可以组成一个三角形，这个三角形三个角都不相等，故不是轴对称图形， ∵，①图形一个角是， ∴①和⑥可以组成一个三角形，这个三角形三个角都不相等，故不是轴对称图形． 故选：B． 6. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 根据三角形外角的性质可得，，再根据邻补角表示出，然后利用三角形的内角和定理列式整理可得，同理，最后求和即可． 【详解】解：如图， 根据三角形的外角性质，，， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴． 故选：C． 8. 一个零件的形状如图①，按规定应等于应分别是和．嘉淇量得，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？甲、乙、丙三人看完题目后分别给出了三种辅助线作法来证明嘉淇的结论． 甲：如图②，连接并延长； 乙：如图③，延长交于； 丙：如图④，连接． 则能成功证明嘉淇结论的是（ ） A. 只有甲 B. 只有乙 C. 只有丙 D. 甲、乙、丙 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，运用三角形外角的性质是解题的关键．通过辅助线甲（连接并延长）可利用三角形外角性质证明应等于、、之和，即，但测得，故零件不合格；乙和丙的方法也可证明该结论． 【详解】解：甲：如图②，连接并延长， 在中，， 在中，， ∴， 但测得，故零件不合格； 乙：如图③，延长交于， ∵， ∴， ∴， ∴， 但测得，故零件不合格； 丙：如图④，连接， ∵， ∴， 但测得，故零件不合格． 综上所述，甲、乙、丙都能成功证明嘉淇结论． 故选：D． 9. 如图，，点E在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角，先证明，再利用可证明得到，利用三角形内角和定理可证明，据此根据等边对等角和三角形内角和定理可求出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 如图所示，设交于O， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 10. 在和中，．已知，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】过A作于点D，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：过A作于点D，过作于点， ∵， ∴， 当在点D的两侧，在点的两侧时，如图， ∵，， ∴， ∴； 当在点D的两侧，在点的同侧时，如图， ∵，， ∴， ∴，即； 综上，的值为或． 故选：C． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 11. 如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点M，N，连接，分别与边相交于点D，E，若，的周长为17，则的长为（ ） A. 7 B. 10 C. 12 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图作垂直平分线、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由作图可知是的垂直平分线可得，再根据的周长得，进而完成解答． 【详解】解：由题意可知，是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为17， ∴的周长 ， ∴ ， ∵ ∴． 故选：B． 12. 如图，已知，其中，点以每秒2个单位长度的速度沿着路径运动，同时，点以每秒个单位长度的速度沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点立即停止运动，它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②若P，Q两点同时到达点，则； ③若，则与垂直； ④若与全等，则或． 以上说法正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形动点问题、全等三角形的性质和判定等知识点，弄清运动过程、找出符合条件的点的位置是解题的关键． ①根据路程等于时间乘以速度求出点P和点Q的路程，即可判断Q；首先求出P到达点A时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；首先画出图形，根据题意求出，、，，然后得到与不全等，进而证明出，即可判断③；根据题意分两种情况∶ 和，然后根据全等三角形的性质列出方程求解即可判断④． 【详解】解：①∵点P以每秒2个单位长度的速度，运动时间为t秒， ∴点P运动路程为， 若，则点Q运动路程为t， ∴点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，故①正确； ②当P点到达A点时，秒， ∵P、Q两点同时到达A点， ∴，故②错误； ③如图所示，     当时，点P运动的路程为，点Q运动的路程为， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴和不全等 ∴， ∵ ∴， ∴ ∴与不垂直，故③错误； ④当时， ∴，即；，即， ∴； 当时， ∴，即；，即， ∴， ∴若与全等，则或．故④正确， 综上所述，正确的选项为①④． 故选B． 二、填空题．（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 假定某天上午你在镜子里看到的时钟如图所示，则此时真正时间是___________． 【答案】 【解析】 【分析】镜面图形与实际图形互为轴对称图形．钟表的时针实际指向9和10之间，分针指向25． 【详解】解：作对称图形如下： 则此时的准确时间是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是轴对称的性质，掌握其性质是解决此题的关键． 14. 如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的性质．利用数形结合的思想是解题的关键．根据点在第一象限（不与点重合），且与全等，画出图形，结合图形的对称性可直接得出． 【详解】解：∵点在第一象限（不与点重合），且与全等， ∴，， ∴可画图形如下， 点的坐标为，点的坐标为， 由图可知点C、D关于线段的垂直平分线对称， ∵点的坐标为， ∴则． 故答案为：． 15. 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝8，BC＝5，则BD的长为__． 【答案】1.5 【解析】 【分析】延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE＝AE，依据等角的余角相等，即可得等腰△BCE，可推出BC＝CE，AE＝BE＝2BD，根据AC＝8，BC＝5，即可求出BD的长度． 【详解】延长BD与AC交于点E，如图． ∵∠A＝∠ABD， ∴BE＝AE， ∵BD⊥CD， ∴BE⊥CD， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ECD， ∴∠EBC＝∠BEC， ∴△BEC为等腰三角形， ∴BC＝CE， ∵BE⊥CD， ∴2BD＝BE， ∵AC＝8，BC＝5， ∴CE＝5， ∴AE＝AC﹣EC＝8﹣5＝3， ∴BE＝3， ∴BD＝1.5． 故选：A 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论． 16. 如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=___． 【答案】2 【解析】 【详解】作EG⊥OA于G， ∵EF∥OB， ∴∠OEF=∠COE=15°， ∵∠AOE=15°， ∴∠EFG=15°+15°=30°． ∵EG=CE=1， ∴EF=2×1=2． 故答案为：2 三、解答题．（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明或演算过程） 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是点，． （1）画出关于轴对称的； （2）画出一个，使它与全等（点与点不重合）； （3）求出的面积． 【答案】（1） 解：如图：即为所求． （2） 解：如图：即为所求． （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查作图-轴对称变换、全等三角形的判定、勾股定理、三角形的面积等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）先根据关于轴对称点的坐标特征确定的对称点，然后顺次连接即可； （2）利用方格和勾股定理画出一个公共边为，且的三角形即可； （3）借助方格直接运用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积为． 18. 作图题：在两条公路的交叉处有两个村庄、政府想在交叉处的内部建一个加油站，并且使加油站到村庄、的距离相等且到两条公路的距离也相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 点为所求： 【解析】 【分析】本题考查尺规作图--作角平分线，作垂线，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，作出角平分线与线段的垂直平分线，交点就是点所在的位置． 【详解】略 19. 如图，在中，分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若的面积为，求的长； （2）若，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线、高和角平分线、三角形内角和定理、三角形的外角性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由三角形的中线定理可得，再结合三角形面积公式求解即可； （2）根据三角形的外角性质可求出，根据角平分线的定义可得，最后根据三角形的内角和定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵是的中线，， ∴． ∵， ∴，解得：． 【小问2详解】 解：在中，为它的一个外角，且， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， 在中，． ∴． 20. 某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现： ①如图，在中，若，则有； ②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得，即知．若把①中的替换为，还能推出吗？ 基于此，社团成员小军进行了探索研究，发现确实能推出，并提供了以下证明方法： 证明：分别延长，至E，F两点，使得…… 【问题解决】 （1）完成①的证明； （2）把②中小军的证明过程补充完整． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ， ． （2） 解：小军的证明过程： 分别延长至两点，使得，如图所示， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题是一道三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据，可以得到，然后根据可以证明，从而可以得到结论成立； （2）根据小军的证明过程可知：分别延长至两点，使得，然后作出辅助线，再根据全等三角形的判定方法和等腰三角形的性质，可以证明结论成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，四边形的对角线相交于点，点在上，． （1）求证：； （2）若，求证： ①； ②试探究与的位置关系． 【答案】（1） 证明：， ，即． 在和中， ， ． （2） ①证明：∵， ， ， ∴． ② 如图：连接． ， 为的垂直平分线， ， ， ∴点F在的垂直平分线上， ， ∴点在的垂直平分线上， ． 【解析】 【分析】题考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先证明，再结合题意运用即可证明结论； （2）①由可得，再结合运用等腰三角形三线合一的性质即可证明结论；②如图：连结，根据垂直平分线的判定与性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②略 22. 早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今． 几何模型：条件：如图1，A、B是直线同旁的两个定点． 问题：在直线上确定一点，使的值最小． 解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长． （1）根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形； （2）应用： ①如图2，已知，其内部有一点，在的两边分别有C、D两点（不同于点），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，，点M、N分别在边上，且，点P，Q分别在上，则的最小值是________． （3）拓展：如图，在四边形中，，在上分别找一个点M，N，使的周长最小，则________． 【答案】（1） 由题意，作图如下： （2） ①作图如下： 15； ②3 （3） 【解析】 【分析】本题考查轴对称，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握将军饮马模型，是解题的关键： （1）根据题干中给出的作法作图即可； （2）①作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，与的交点即为点，点，根据对称性推出为等边三角形，的周长等于的长，即可得出结果；②作关于的对称点，作关于的对称点，连接，与的交点即为点，此时的值最小为的长，证明为等边三角形，即可得出结果； （3）作点关于的对称点，关于的对称点，连接，交于点，交于点，此时的周长最小为的长，根据轴对称的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由作图可知：，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴周长的最小值； ②如图，作关于的对称点，作关于的对称点，连接，与的交点即为点，此时的值最小为的长， 由对称可知：，， ∴，，即， ∴为等边三角形， ∴， 即：的最小值为3； 【小问3详解】 作点关于的对称点，关于的对称点，连接，交于点，交于点，此时的周长最小为的长， 由对称性可知：， ∵， ∴三点共线，三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 23. 【问题背景】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】 （2）如图2，分别平分，若，求的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线平分的外角平分的外角，若，请猜想的度数，并说明理由． 【拓展延伸】 （4）在图4中，若设，平分平分的外角，猜想与的关系，直接写出结论（用表示）． 【答案】 （1）在中，． 在中，． （2）； （3），理由是：如图3： 平分的外角平分的外角， ， ， ∴， 即 即， ， （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考几何问题，属于中考常考题型． （1）利用三角形内角和求解即可． （2）利用（1）中结论可得出，两式相加，然后再根据角平分线的定义得出进而可得出，即可求出． （3）由角平分线的定义得出由补角的定义和性质得出由（1）中结论得出，，代入可进一步得出答案． （4）由角平分线的定义设，则，由（1）中结论得出，，整理即可得出． 【详解】解：（1）略 （2）由（1）得：， ∵分别平分， ∴ ， ． （3）略 （4）∵平分平分的外角， ∴设，则． ∵， ∴， ∴， ∴ 24. 如图1，在等边三角形中，．点E，F分别在边上，且，动点从点出发沿射线运动，以为边向右侧作等边三角形，连接． （1）求证：是等边三角形． （2）当点在线段上运动时，求之间的数量关系． （3）如图2，当点在线段的延长线上运动时， ①_________； ②如图3作，再以为边向右侧作等边三角形，连接，证明：． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ． ∵， ，即， ∴是等边三角形． （2） （3）①60； ②证明：∵和都是等边三角形， ， ∵， ， ∴． ， ，． 由①可得： ，即． 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． （1）根据题意得和，进而证明结论； （2）利用等边三角形的性质得到，证明可得，再根据线段和差以及等量代换即可解答； （3）①利用等边三角形的性质得到，证明可得即可求得答案；②由，结合题意可得，利用即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ． ∵是等边三角形， ， ，即． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：①∵和都是等边三角形， ， ∴， ∴， ∴，即． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $