专题05 二元一次方程组及三元一次方程组重难点题型专训（3个知识点+12大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪科版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题05 二元一次方程组及三元一次方程组的应用重难点题型专训 （3个知识点+12大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 方案问题 题型二 行程问题 题型三 工程问题 题型四 数字问题 题型五 年龄问题 题型六 分配问题 题型七 销售、利润问题 题型八 和差倍分问题 题型九 几何问题 题型十 图表信息题 题型十一 古代问题 题型十二 三元一次方程组的应用 拓展训练一 根据实际问题列二元一次方程组 拓展训练二 根据几何图形列二元一次方程组 拓展训练三 新定义问题 拓展训练四 二元一次方程组实际综合应用 知识点一：列方程组解应用题的基本思路 列方程组解应用题就是把实际问题抽象为方程组模型，关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。一般地，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足： （1）方程两边表示的是同类量； （2）同类量的单位要统一； （3）方程两边的数值要相等。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽池州·期末）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）为处理甲、乙两种玩具，商场决定打折销售，已知甲、乙两种玩具的原单价的和是880元，现在甲玩具打八折，乙玩具打七折，结果新单价的和是684元，设甲玩具的单价为x元，乙玩具的单价为y元，根据题意，列出的二元一次方程组是 ． 知识点二：列二元一次方程组解应用题的一般步骤 （1）审题：分析题中已知什么、求什么、明确各数量之间的关系； （2）设未知数：一般求什么，就设什么为； （3）找等量关系； （4）列方程组：根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方程组； （5）解：解所列方程组，求出未知数的值； （6）检验：检验所求未知数的值是否符合方程组，是否符合实际； （7）答：写出答案。 【即时训练】 1．（2025七年级·安徽安庆·模拟预测）有一个两位数，两个数位上的数字之和为，已知比的3倍大除以的商是5，余数是5，则这样的两位数（    ）． A．只有一个 B．有两个 C．有无数个 D．不存在 2．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货26吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货 吨． 知识点三：列二元一次方程组解应用题的常见类型 （1）和差倍分问题：增长量=原有量×增长率；较大量=较小量+多余量；总量=倍数×倍量； （2）产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是加工总量成比例； （3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；各部分工作量之和=总量； （4）利润问题：商品售价=标价×折扣率；商品利润=商品售价-商品进价；利润率=； （5）行程问题：速度×时间=路程；顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度； （6）方案问题：在解决问题时，常常需合理安排，需要从几种方案中选择最佳方案，方案选择题的题干较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方案。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）根据所给信息，请你求出每只玩具小猫和玩具小狗的价格（单位：元）分别为（    ） A．20，10 B．15，20 C．10，30 D．8，26 2．（25-26七年级上·安徽安庆·随堂练习）某人要在规定时间内由甲地赶往乙地，如果他以的速度行驶，就会迟到；如果他以的速度行驶，就可提前到达乙地．则甲、乙两地之间的距离为 ． 【经典例题一 方案问题】 【例1】（2025·安徽安庆·模拟预测）为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛．学校准备为在比赛中获得一、二等奖的学生购买奖品，其中一等奖奖品每份50元，二等奖奖品每份30元．若学校计划购买两种奖品共100份，购买总费用为3 800元，则购买一、二等奖奖品分别是多少份？                1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）在抗击疫情网络知识模拟预测中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用180元购买A、B、C三种奖品（三种都买），A种每个10元，B种每个20元，C种每个40元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，共有几种购买方案（    ） A．8种 B．9种 C．10种 D．11种 2．（2025·安徽滁州·模拟预测）小明为全班六一儿童节的活动准备奖品，A奖品每个2元，B奖品每个7元，购买A奖品个，B奖品个，共76元． （1）若，则 ； （2）若同时购买两种奖品，则小明共有 种不同的选购方案． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）中国-中亚峰会在西安成功举办，是千年古都的光荣使命、千万市民的骄傲与自豪．某校开展了以“美丽西安，我为家乡代言”为主题的演讲活动，计划拿出2000元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件250元，乙种奖品每件100元，问该校共有多少种购买方案？ 4．（24-25七年级上·安徽池州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 设计奖项设置和奖品采购的方案 某学校举办七年级数学知识模拟预测，分别设置一等奖、二等奖和三等奖若干名，需考虑获奖人数以及奖品购买方案． 素材1 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元． 素材2 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品． 素材3 （1）1盒水笔有12支，1包笔记本有16本． （2）计划设置一等奖a人，二等奖32人，三等奖b人，且． （3）一等奖：1支水笔和一本笔记本，二等奖：一支水笔，三等奖：一本笔记本． 问题解决 任务1 确定单价 求一盒水笔和一包笔记本各多少元？ 任务2 确定购买数量 将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？ 任务3 确定购买人数 任务2中购买的奖品刚好全部发完，则　　，　　． 【经典例题二 行程问题】 【例2】（2025·安徽淮北·模拟预测）平泽唯搭乘电车外出游玩，电车正要经过一条1000m长的桥，电车从车头上桥到车尾离桥共用时，整列电车完全在桥上的时间为，求电车的行驶速度． 1．（2025·安徽阜阳·模拟预测）从甲地到乙地的路有一段上坡，一段平路，如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需要，从乙地到甲地需．则从甲到乙地的全程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）甲驾驶一艘小船在河中匀速行驶，已知顺水行驶120千米，用时6小时；在同样的水流速度下，逆水行驶80千米用时8小时．则甲驾驶这艘小船在静止水面上行驶150千米需要 小时． 3．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）新情境  高铁是当代重要的交通工具．如图，某列复兴号动车组由2节车头和若干节车厢组成，车头的长度相等，每节车厢长度也相等．李华在观测点进行测量记录，该动车组若挂6节车厢以41米/秒的速度通过观测点需5秒，该动车组若挂14节车厢以45米/秒的速度通过观测点需9秒，求该动车组每节车头及每节车厢的长度分别为多少米？ 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另收费．甲说：“我乘坐这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“我乘坐这种出租车走了23千米，付了35元”． (1)请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？ (2)若小明乘坐这种出租车付了47元钱，则他这次乘车走了多少千米？ 【经典例题三 工程问题】 【例3】（2025·安徽合肥·模拟预测）某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由． 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）某污水处理厂库池里现有待处理的污水m吨．另有从城区流入库池的待处理污水（新流入污水按每小时n吨的定流量增加）．若该厂同时开动2台机组，需30小时处理完污水；若同时开动3台机组，需15小时处理完污水．若5小时处理完污水，则需同时开动的机组数为（    ） A．6台 B．7台 C．8台 D．9台 2．（24-25七年级上·安徽·阶段练习）甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，其中甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地．已知甲、乙、丙每小时分别能植树10棵，8棵，12棵．若乙在A地植树12小时后立即转到B地，则两块地同时开始同时结束；若要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，则乙应在A地植树 小时后立即转到B地． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）某中学为了增加操场面积，租用了土地10亩，现在平整操场需要运走36800吨泥土，现有租用A型车和B型车，已知：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)已知A型车每天能运20次，B型车每天能运16次．学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满，请找出该校的租车方案； 4．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）某市在创建安徽安庆卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治．现有一段300米长的河道的整治任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治20米，乙工程队每天整治30米，共用时13天．问河道整治任务完成后，甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： ①小明：设河道整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得 ②小华：设河道整治任务完成后，表示_____，表示_____． 根据题意，可列方程组 请你补全小明、小华两位同学的解题思路． (2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程． 【经典例题四 数字问题】 【例4】（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）有一个两位数比它个位数上的数字与十位上的数字的和的5倍大2；若将它个位数字与十位上的数字互换位置，则原来的数比新数小9，求这个两位数． 1．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，方格中的任一行、任一列及对角线上的数的和都相等，则m等于（　　） A．14 B．10 C．13 D．9 2．（25-26七年级上·安徽安庆·随堂练习）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字，，，，0，1，2，3，4分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都是同一个值，则的值是 ． 2 m n 3．（2025·安徽阜阳·模拟预测）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数中，个位数字是十位数字的2倍，若把个位数字与十位数字对调，所得的新的三位数比原三位数大36，请帮小明求出这个三位数． 4．（24-25七年级上·安徽六安·期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)如图1所示幻方，求x的值； (2)如图2所示幻方，求a，b的值； (3)如图3所示幻方，若m，n为正整数，直接写出一共有多少种填法，并把其中一种幻方填写完整． 【经典例题五 年龄问题】 【例5】（24-25七年级上·安徽池州·期中）在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（    ） A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10 2．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是 岁． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）今年小明的年龄是小华的，前年小华的年龄是小明的2倍，他俩今年年龄各是多少？ 4．（2025·安徽宣城·模拟预测）已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差． 【经典例题六 分配问题】 【例6】（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）一家眼镜厂，有25名工人加工镜片和镜架，每人每天可加工镜架72副或镜片96片，为了使每天加工的镜架和镜片能配套，应如何分配工人？ 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）有大、小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货17t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货39t，则3辆大货车与3辆小货车一次可以运货（   ） A．22t B．18t C．20t D．23t 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）某车间有660名工人，生产某种由一个螺栓和两个螺母构成的配套产品，每人每天平均生产螺栓14个或螺母20个，应安排 人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元． (1)求大、小两种垃圾桶的单价； (2)该校购买10个大垃圾桶和26个小垃圾桶共需多少元？ 4．（25-26七年级上·安徽滁州·期中）某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． (1)应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； (2)为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？ 【经典例题七 销售、利润问题】 【例7】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）列方程组，解应用题： 商场用36000元购进甲、乙两种玩具，全部销售完后共获利6000元．甲种玩具进价为120元/个，售价为138元/个：乙种玩具进价为100元/个，售价为120元/个，该商场购进甲、乙两种玩具各多少个？ 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）打折前，买件商品和件商品用了元，买件商品和件商品用了元．打折后，买件商品和件商品用了元，则打折比不打折少花（      ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）小林在某商场先后三次购买商品A和B，只有其中一次购买时遇到商场有优惠活动，商品A和B同时按标价打折出售，其余两次均按标价购买，三次购买A，B商品的数量和总费用如下表所示： A商品（个） B商品（个） 总费用（元） 第1次 6 5 1140 第2次 3 7 1110 第3次 9 8 1047 （1）在这三次购物中，第 次购物享受了优惠； （2）若在本次优惠活动中商品B打五折优惠，则商品A享受打 折出售的优惠政策． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）某水果店购进苹果与提子共60千克进行销售，这两种水果的标价如下表所示，如果店主将这些水果按标价的8折全部售出，总售价为400元，求该水果店购进苹果和提子分别是多少千克? 标价（元/千克） 苹果 8 提子 10 4．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）某班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳，经班长统计共需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学． (1)请根据图中班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价； (2)由于足球和跳绳的需求量增大，该体育用品商店的老板计划再次购进足球个和跳绳根，恰好用了1800元，其中足球每个的进价为80元，跳绳每根的进价为15元，则有哪几种购进方案？ (3)若依据（2）中的购进方案，假如所购进的足球和跳绳全部售出，销售获利为元，请用含，的代数式表示；应选择哪种购进方案获利最多？ 【经典例题八 和差倍分问题】 【例8】（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）某中学为了七年级学生在体育“足球”项目测试中取得优异的成绩．现决定从商场购买A、B两种足球共100个，已知购买A品牌足球比购买B品牌足球少花2800元，其中A品牌足球每个进价是50元，B品牌足球每个进价是80元．请同学们计算一下购买A、B两种品牌足球各多少个？ 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）汽车运输公司有A，B两种车型的旅游大客车，已知两种车型的座位数不同，1辆A型车和1辆B型车可乘坐105人，2辆A型车和1辆B型车可乘坐150人，则A，B两种车型大客车的座位数分别为（    ） A．45，60 B．65，45 C．40，65 D．60，45 2．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）阅读是人类进步的阶梯，现在的中小学生是祖国的未来，“用阅读点燃中国梦”，某校为更丰富读书内容，又新购进书册若干件，为让同学更早更快阅读，初二年级组织了86名同学搬书．为便于管理，把其中50名同学分成A、B两组，另外的36名同学分成C、D两组．A、C两组把书搬到甲地点，B、D两组把书搬到乙地点，A组搬书的人均件数比B组的人均件数多2件，C、D两组人均件数相同，且是B组搬书的人均件数的2.5倍，甲、乙两个地点的人均搬书件数相同，且比A组搬书的人均件数高25%，已知搬书的人均件数为整数．则这次该校又新购进书册共 件． 3．（2025·安徽滁州·模拟预测）某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A型号的新能源汽车比购进1辆B型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A型号和2辆B型号的新能源汽车共92万元．求A，B两种型号的新能源汽车的单价． 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）杂交水稻的发展对解决世界粮食不足问题有着重大的贡献，某超市购进A、B两种大米销售，其中两种大米的进价、售价如下表： 类型 进价（元/袋） 售价（元/袋） A种大米 20 30 B种大米 30 45 (1)该超市在3月份购进A、B两种大米共70袋，进货款恰好为1800元，求这两种大米各购进多少袋； (2)据3月份的销售统计，两种大米的销售总额为1500元，求该超市3月份已售出大米的进货款为多少元． (3)为刺激销量，超市决定在4月份增加购进C种大米作为赠品，进价为每袋10元，并推出两种促销方案甲方案：“买3袋A种大米送1袋C种大米”；乙方案：“买3袋B种大米送2袋C种大米．”若进货款为2100元，4月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进三种大米各多少袋？ 【经典例题九 几何问题】 【例9】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，由七个完全一样的小长方形组成大长方形，，求每个小长方形的长和宽． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块儿的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）如图（一）所示的这种拼图（宽度设为）我们小时候可能都玩过，已知有若干片相同的拼图，且拼图依相同方向排列时可紧密拼成一行，如图（二）所示，当4片拼图紧密拼成一行时长度为 ；如图（三）所示，当10片拼图紧密拼成一行时长度为，则这样一片拼图的宽度a为 ． 3．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）阅读材料：小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 ； (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）综合与实践：设计制作纸盒方案 素材一：如图1，现将300张纸板裁剪成材料，1张纸板可以裁成4个正方形或3个长方形，并用这些材料制作两种无盖纸盒（如图2），横式无盖纸盒需要2个正方形和3个长方形，竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形．    素材二：①所有纸板都要裁剪，且每张纸板只能裁剪一种材料． ②制作纸盒后没有剩余材料． （1）问题解决：为方便解决问题，设制作了横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个． 问题一：初探材料用量，请完善下表： 纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数） m个横式无盖纸盒 n个竖式无盖纸盒 n 问题二：再探关系，请完善下表： 需裁成正方形的纸板数（张） 需裁成长方形的纸板数（张） 合计 300 问题三：写出m，n之间满足的关系式： ； （2）方案选择：用这300张纸板制作两种纸盒，并且材料没有剩余，得到的横式无盖纸盒的数量能否为竖式无盖纸盒数量的二倍，请你做出判断，写出详细的解答过程． 【经典例题十 图表信息题】 【例10】（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，在的方格内，填写了一些代数式和数．在图中各行、各列及斜对角上的三个数之和都相等，请你求出x，y的值及左下角的方格内应填的数． 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，测得一定温度下声音传播的速度如下表．如果用v表示声音在空气中的传播速度，表示温度，则，满足公式：，为已知数，则表中 ． 气温 速度米秒 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示： 进货批次 甲种水果质量（单位：千克） 乙种水果质量（单位：千克） 总费用（单位：元） 第一次 60 40 1520 第二次 30 50 1360 求甲、乙两种水果的进价． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·假期作业）在某学校组织的“科学艺术节”活动中，掷飞镖游戏规则如下：如图，掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外部分，若掷在圆周上或大圆外重新掷一次，掷中一次记一个点．有效次数共八次．现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下图，那么小明的得分是多少？请写出解答过程． 【经典例题十一 古代问题】 【例11】（2025·安徽亳州·模拟预测）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：四只雀、六只燕共重一斤：雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少斤？ 1．（25-26七年级上·安徽安庆·单元测试）明代程大位有一首类似二元一次方程组的饮酒数学诗：肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇，醇酒二瓶醉五客，薄酒三瓶醉二人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？大意是：好酒二瓶，可以醉倒5位客人；薄酒三瓶，可以醉倒2位客人，如果33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒瓶，薄酒瓶，依题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有这样一道题：甲、乙两人一同放牧，两人暗地里在数羊的数量．如果乙给甲9只羊，则甲的羊数量为乙的两倍；如果甲给乙9只羊，则两人的羊数量相同．则乙的羊数量为 只． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 4．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）《九章算术》在“方程”章中记载有“方程术”，“方”指数据左右并排，其行方正，“成”指考查相关数据构成的比率关系．具体何谓“方程术”呢？请欣赏《九章算术》中的问题：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两，问牛、羊每头各值金多少？ (1)列二元一次方程组解决以上问题； (2)依“方程术”解，将“牛5头，羊2头，共值金10两”列在右方，“牛2头，羊，5头共值金8两”，列在左方，用右牛数遍乘左方各数（“遍乘”），将所得左方新数连续减去右方对应数的适当倍数，直到左方头位数为零为止（“直除”），如图1所示．左方未尽之数，用上面的数做除数，下面的数做被除数，所得商即为每头羊值金数，（羊1头，值金两） ①上述“方程术”推算“羊值金几何”的过程中，“遍乘”和“直除”体现了解二元一次方程组的 思想； ②依“方程术”解，采用“遍乘”和“直除”推算“牛值金几何”如图2所示，在图中填写数据，直接写出牛值金 两． 【经典例题十二 三元一次方程组的应用】 【例12】（24-25七年级上·安徽安庆·单元测试）某车间共有职工63人，加工一件产品需经三道工序，平均每人每天在第一道工序里能加工300件，在第二道工序里能加工500件，在第三道工序里能加工600件，为使每天能生产出更多的产品，应如何安排各工序里的人数？ 1．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）一件工程，甲乙合作天可以完工，乙丙合作天，可以完成全工程的；丙甲合作天后，剩余工程由丙单独去做天即可完工，那么由丙单独完成全部工程需要的天数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需 元 3．（25-26七年级上·安徽池州·期中）某次数学模拟预测前70名获奖，原定一等奖10人，二等奖20人，三等奖40人，现调整为一等奖15人，二等奖25人，三等奖30人．调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分，如果原来二等奖比三等奖平均分数多6分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分？ 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知方程组，求的值． 小军在解决这个问题时，他采用了如下方法： ，消去z，得 他发现无法求出方程组确定的解．但注意到问题要求的是整体的值， 可以在上式中“分离”出， 即 可以把代入两式中的任意一式，得到的值：也可将，消去“多余部分”，即，得到结果．用到的都是代数式整体的消元、转化的思想方法． (1)直接写出小军得到的的值． (2)请利用小军的方法解决下面的问题： 甲、乙两人去文具店购买文具，甲买了支钢笔、本笔记本、个文件夹，共花费元；乙买了支钢笔、本笔记本、个文件夹，共花费元．丙打算三种文具各买件，请问丙需要花费多少元？ 【拓展训练一 根据实际问题列二元一次方程组】 1．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）根据题意列方程组： (1)某活动小组购买了4个篮球和5个足球，共花费435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，篮球的单价和足球的单价各是多少元？ (2)将一批图书分给了若干名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本．共有多少本图书、多少名学生？ 2．（2025七年级上·安徽安庆·模拟预测）黄河是我国的母亲河，为打造黄河风光带，现有一段长为的河道整治任务由，两个工程队先后接力完成．工程队每天整治，工程队每天整治，共用时天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出的方程组如下： 甲：乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义． 甲：表示___________，表示___________； 乙：表示___________，表示___________； (2)从甲、乙两名同学所列的方程组中选择一种，求，两个工程队分别整治河道多少米． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）苗苗同学在学习了二元一次方程组相关知识后，对汽车的轮胎磨损问题进行了探究． 根据资料显示，汽车的前轮胎比后轮胎磨损更为严重，如果只更换前轮胎，那么行驶时的安全性会下降，但是如果一起更换轮胎，汽车的维护成本将会提高．所以为了解决这个问题，我们可以定期交换前后轮胎． 某种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，而后轮胎行驶6万公里时报废．轮胎报废的时候磨损程度为1． (1)该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为________； (2)假设该种汽车行驶x万公里之后，将前轮胎交换到了后轮的位置，然后继续行驶了y万公里后，该轮胎报废，此时轮胎的磨损程度为1．请依据上述信息，列一个关于x，y的方程； (3)当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是多少万公里？ 【拓展训练二 根据几何图形列二元一次方程组】 1．（24-25七年级上·安徽六安·期末）数学活动实践课上，小辰先画了一个长为，宽为的长方形，然后又在该长方形中面了5个相同大小的小长方形（阴影部分），如图所示，求图中空白部分的面积．（列方程组解） 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）列二元一次方程组解决问题：据统计，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是，如图所示，现要把一块长200米宽70米的长方形土地（），分为两块小长方形土地，上方小长方形种植甲种作物，下方小长方形种植乙种作物，怎样设计和的长度，使得甲、乙两种作物的总产量的比是？ 3．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）阅读材料并回答问题 课本再现 探究2 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长、宽的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是？ 方案一 如图1，过长边上一点，作交于点，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形和长方形．设，，依题意列方程组，解得， 过长方形土地的长边上离一端______处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大一块土地种植______种作物，较小一块土地种植______种作物． 方案二 如图2，过短边上一点，作交于点，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形和长方形． …… (1)完成方案一中的三个填空； (2)请你参考“方案一”的解答过程，按“方案二”完成后面的解答过程． 【拓展训练三 新定义问题】 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）（新定义）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，，所以． (1)计算：，． (2)若s，t都是“相异数”，其中，（，都是正整数），规定：，当时，求k的最大值． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期中）有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x，y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的整体思想． 解决问题： （1）已知二元一次方程组，则________，_______； （2）“战疫情，我们在一起”，爱心公社计划为老年公寓捐赠一批防疫物资．已知购买20瓶消毒液、3支测温枪、2套防护服共需1180元；购买30瓶消毒液、2支测温枪、8套防护服共需2170元，若该公益组织实际捐赠了100瓶消毒液、10支测温枪、20套防护服，则购买这批防疫物资共需多少元？ （3）对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，那么求的值．                                                            3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)某旅行团组织游客乘船夜游松花江，要购买一些船票，若买4张过江船票，2张观光船票共需72元；买7张过江船票，3张观光船票共需111元，则购买15张过江船票，7张观光船票共需多少元？ (3)对于实数，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求______． 【拓展训练四 二元一次方程组实际综合应用】 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图，有一条三角形的环路，A至B 段是上坡路，B至C段是下坡路，A至C段是平路，A至B、B至C、C至A三段距离的比是，小琼和小芳同时从A出发，小琼按顺时针方向行走，小芳按逆时针方向行走，2个半小时后在上的D 点相遇，已知两人上坡速度是4千米/小时，下坡速度是6千米/小时，在平路上的速度是5千米/小时．问C至D段是多少千米？ 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）用二元一次方程（组）解决问题：为了防治“新型冠状病毒”，某小区准备用3500元购买医用口罩和消毒液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则钱还缺100元；若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完． (1)求医用口罩和消毒液的单价； (2)由于实际需要，除购买医用口罩和消毒液外，还需购买单价为6元的口罩m个．若需购买医用口罩和口罩共1000个，剩余的钱恰好可以买n瓶消毒液，若，则 ． 3．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为1的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求出每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起，此时高度是 ； (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）某船顺流航行用了，逆流航行，用了，则水流速度为 ，船在静水中的速度为 A．2，10 B．2，15 C．10，2 D．15，2 2．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段练习）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现在拿斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）学校计划采购一批足球和篮球，若购买3个足球和2个篮球，共需270元；若购买2个足球和3个篮球，共需280元．通过设适当的未知量可列出方程组若用可得，下列关于“”的意义解释正确的是（   ） A．每个篮球比足球便宜10元 B．每个篮球比足球贵10元 C．足球比篮球多买了10个 D．足球比篮球少买了10个 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）王林、李华和张明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则张明的得分是（   ） A．18分 B．20分 C．21分 D．23分 5．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，长方形中有6个形状、大小完全相同的小长方形，其余为阴影部分，根据图中所标尺寸，图中阴影部分的面积之和为（   ） A．12 B．18 C．24 D．28 6．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）一次测验中共有20道题，规定答对一题得5分，答错得负2分，不答得0分．某同学在这次测验有两题没有答，共得分69分．则该生答对 题． 7．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）小丹准备购进两种类型的便携式风扇出售．已知2台型风扇和1台型风扇进价共36元，3台型风扇和2台型风扇进价共62元，则型风扇进货的单价是 元，型风扇进货的单价是 元． 8．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问：恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？若设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为 ． 9．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是，则可列方程组： ． 10．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）如图，将张相同的长方形纸片不重叠的放在长方形内，已知小长方形纸片的长为，宽为，且，若未被覆盖的两个长方形周长相等，则与的数量关系用等式可表示为 ． 11．（25-26七年级上·安徽六安·阶段练习）有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为7．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为1300．求原来的两位数． 12．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）列二元一次方程组解下列问题 (1)某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需430元，购买3个篮球和2个足球共需420元，求每个篮球和每个足球的售价． (2)、两地相距36千米，若甲、乙两人都从地去地，乙比甲先出发2小时，甲出发4小时后追上乙；若甲、乙分别从、两地出发，相向而行，乙比甲早出发1.5小时，两人在甲出发后3小时相遇．求甲、乙两人的速度． 13．（24-25七年级上·安徽池州·期中）某电商销售长征系列画册和红色经典故事两种图书，它们的进价和售价如表： 种类 长征系列画册 红色经典故事 进价元/套 300 x 售价元/套 y 100 该电商销售6套长征系列画册和5套红色经典故事，盈利800元；销售10套长征系列画册和15套红色经典故事，盈利1600元利润=售价-进价求表中x、y的值． 14．（2025·安徽六安·模拟预测）小唯为了减轻父母的负担，计划自己攒存读高中的生活费，从年1月份开始，每月月初一次性给储蓄盒内存入相同数额的零用钱．已知2月初存款后清点储蓄盒内有存款元，2月中旬将元压岁钱也存入其中，4月初存款后清点储蓄盒内有存款元． (1)求小唯1月份存款前，储蓄盒内已有存款多少元？ (2)小唯准备将这元参加教育储蓄（教育储蓄不收利息税），已知教育储蓄一年期的利率为，三年期的年利率为．有两种储蓄方式： 方式一：先存一年期，第二年将本息和自动转存一年，第三年继续将本息和自动转存一年； 方式二：直接存三年期． 请你帮小唯计算一下，小唯应选择哪一种储蓄方式更合算？ 15．（2025·安徽·模拟预测）某校进行校本课程时，要求学生们围桌而坐，桌子及座位（长方形表示桌子，黑点表示座位）摆放有以下两种方式可供选择： 请根据上述信息，解决下列问题： (1)若有5张桌子，按第一种方式摆放，最多可坐 人． (2)若有n张桌子，按第二种方式摆放，最多可坐 人． (3)无人机兴趣小组共有32名同学．分成2个小组，现有10张桌子，请你设计出一种座位恰好坐满的摆放方式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二元一次方程组及三元一次方程组的应用重难点题型专训 （3个知识点+12大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 方案问题 题型二 行程问题 题型三 工程问题 题型四 数字问题 题型五 年龄问题 题型六 分配问题 题型七 销售、利润问题 题型八 和差倍分问题 题型九 几何问题 题型十 图表信息题 题型十一 古代问题 题型十二 三元一次方程组的应用 拓展训练一 根据实际问题列二元一次方程组 拓展训练二 根据几何图形列二元一次方程组 拓展训练三 新定义问题 拓展训练四 二元一次方程组实际综合应用 知识点一：列方程组解应用题的基本思路 列方程组解应用题就是把实际问题抽象为方程组模型，关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。一般地，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足： （1）方程两边表示的是同类量； （2）同类量的单位要统一； （3）方程两边的数值要相等。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽池州·期末）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 所列方程组为：． 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）为处理甲、乙两种玩具，商场决定打折销售，已知甲、乙两种玩具的原单价的和是880元，现在甲玩具打八折，乙玩具打七折，结果新单价的和是684元，设甲玩具的单价为x元，乙玩具的单价为y元，根据题意，列出的二元一次方程组是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组． 设甲玩具的单价为x元，乙玩具的单价为y元，满足等量关系：①甲、乙两种玩具的原单价的和是880元，②打折后两种玩具的单价共为684元，由此列出方程组即可． 【详解】解：设甲玩具的单价为x元，乙玩具的单价为y元， 根据题意，得： 故答案为： 知识点二：列二元一次方程组解应用题的一般步骤 （1）审题：分析题中已知什么、求什么、明确各数量之间的关系； （2）设未知数：一般求什么，就设什么为； （3）找等量关系； （4）列方程组：根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方程组； （5）解：解所列方程组，求出未知数的值； （6）检验：检验所求未知数的值是否符合方程组，是否符合实际； （7）答：写出答案。 【即时训练】 1．（2025七年级·安徽安庆·模拟预测）有一个两位数，两个数位上的数字之和为，已知比的3倍大除以的商是5，余数是5，则这样的两位数（    ）． A．只有一个 B．有两个 C．有无数个 D．不存在 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答此题的关键是明确列二元一次方程组解集实际问题的一般步骤． 根据已知列方程组得，解得，验证，即可解答． 【详解】由题意可得， 解得，而， ∴这样的两位数x不存在． 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货26吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货 吨． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，根据3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货26吨，列出二元一次方程组，求出，即可得出结论． 【详解】解：设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨， 根据题意得：， ①+②得， ， 即4辆大货车与3辆小货车一次可以运货24吨， 故答案为：24 ． 知识点三：列二元一次方程组解应用题的常见类型 （1）和差倍分问题：增长量=原有量×增长率；较大量=较小量+多余量；总量=倍数×倍量； （2）产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是加工总量成比例； （3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；各部分工作量之和=总量； （4）利润问题：商品售价=标价×折扣率；商品利润=商品售价-商品进价；利润率=； （5）行程问题：速度×时间=路程；顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度； （6）方案问题：在解决问题时，常常需合理安排，需要从几种方案中选择最佳方案，方案选择题的题干较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方案。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）根据所给信息，请你求出每只玩具小猫和玩具小狗的价格（单位：元）分别为（    ） A．20，10 B．15，20 C．10，30 D．8，26 【答案】C 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，确定相等关系是解本题的关键，根据题意可知，本题中的相等关系是“1猫+2狗=70元”和“2猫+1狗=50”，列方程组求解即可． 【详解】解：设每只小猫为x元，每只小狗为y元， 由题意得． 解之得． 答：每只小猫为10元，每只小狗为30元． 故选C 2．（25-26七年级上·安徽安庆·随堂练习）某人要在规定时间内由甲地赶往乙地，如果他以的速度行驶，就会迟到；如果他以的速度行驶，就可提前到达乙地．则甲、乙两地之间的距离为 ． 【答案】120 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，并进行求解，设已知甲乙两地间距离为千米，从甲地到乙地的规定时间为小时，根据题意列出二元一次方程组求解即可，注意时间单位统一． 【详解】解：设甲乙两地间距离为千米，从甲地到乙地的规定时间为小时， 根据题意，得， 解得， 甲、乙两地之间的距离为． 故答案为：120． 【经典例题一 方案问题】 【例1】（2025·安徽安庆·模拟预测）为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛．学校准备为在比赛中获得一、二等奖的学生购买奖品，其中一等奖奖品每份50元，二等奖奖品每份30元．若学校计划购买两种奖品共100份，购买总费用为3 800元，则购买一、二等奖奖品分别是多少份？ 【答案】购买一等奖奖品40份，购买二等奖奖品60份． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设购买一等奖奖品x份，购买二等奖奖品y份，根据两种奖品共100份，购买总费用为3800元，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】设购买一等奖奖品x份，购买二等奖奖品y份， 根据题意得： ，                  … 解得： ， ∴购买一等奖奖品40份，购买二等奖奖品60份． 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）在抗击疫情网络知识模拟预测中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用180元购买A、B、C三种奖品（三种都买），A种每个10元，B种每个20元，C种每个40元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，共有几种购买方案（    ） A．8种 B．9种 C．10种 D．11种 【答案】C 【分析】有两个等量关系：购买A种奖品钱数购买B种奖品钱数购买C种奖品钱数；C种奖品个数为1或2个．设两个未知数，得出二元一次方程，根据实际含义确定解． 【详解】解：设购买A种奖品m个，购买B种奖品n个， 当C种奖品个数为1个时， 根据题意得， 整理得：， ∵m、n都是正整数，， ∴，2，3，4，5，6； 当C种奖品个数为2个时， 根据题意得， 整理得：， ∵m、n都是正整数，， ∴，2，3，4； ∴有种购买方案，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．要注意题中未知数的取值必须符合实际意义． 2．（2025·安徽滁州·模拟预测）小明为全班六一儿童节的活动准备奖品，A奖品每个2元，B奖品每个7元，购买A奖品个，B奖品个，共76元． （1）若，则 ； （2）若同时购买两种奖品，则小明共有 种不同的选购方案． 【答案】 8 5 【分析】（1）根据题意可得A奖品的总价格为，B奖品的总价格为，故可得，把代入方程，即可解答； （2）将变形为，根据实际意义可得为正整数，即可解答． 【详解】解：（1）根据题意可列方程， 当时，可得方程，解得， 故答案为：8； （2）将变形为， 为正整数， 观察式子，可得只能取偶数，且， 可解得，，，，， 故有5种不同的选购方案， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，根据为正整数来思考是解题的关键． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）中国-中亚峰会在西安成功举办，是千年古都的光荣使命、千万市民的骄傲与自豪．某校开展了以“美丽西安，我为家乡代言”为主题的演讲活动，计划拿出2000元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件250元，乙种奖品每件100元，问该校共有多少种购买方案？ 【答案】该校共有3种购买方案：①购买6件甲种奖品，5件乙种奖品；②购买4件甲种奖品，10件乙种奖品；③购买2件甲种奖品，15件乙种奖品 【分析】设该校购买件甲种奖品，件乙种奖品，列出二元一次方程，求方程的整数解即可得到方案． 本题考查了二元一次方程的应用，正确求得方程的整数解是解题的关键． 【详解】解：设该校购买件甲种奖品，件乙种奖品， 依题意得：， . 又，均为正整数， 或或 该校共有3种购买方案： ①购买6件甲种奖品，5件乙种奖品； ②购买4件甲种奖品，10件乙种奖品； ③购买2件甲种奖品，15件乙种奖品． 4．（24-25七年级上·安徽池州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 设计奖项设置和奖品采购的方案 某学校举办七年级数学知识模拟预测，分别设置一等奖、二等奖和三等奖若干名，需考虑获奖人数以及奖品购买方案． 素材1 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元． 素材2 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品． 素材3 （1）1盒水笔有12支，1包笔记本有16本． （2）计划设置一等奖a人，二等奖32人，三等奖b人，且． （3）一等奖：1支水笔和一本笔记本，二等奖：一支水笔，三等奖：一本笔记本． 问题解决 任务1 确定单价 求一盒水笔和一包笔记本各多少元？ 任务2 确定购买数量 将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？ 任务3 确定购买人数 任务2中购买的奖品刚好全部发完，则　　，　　． 【答案】任务1：一盒水笔120元，一包笔记本80元；任务2： ①水笔2盒，笔记本8包；②水笔4盒，笔记本5包；③水笔6盒，笔记本2包；任务3：16，64 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键． 任务1：设一盒水笔元，一包笔记本元，根据购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元．列出二元一次方程组，解方程组即可； 任务2：设购买水笔盒，笔记本包，根据将880元全部用完，列出二元一次方程，求出正整数解即可； 任务3：由题意可知，共需笔记本为本，水笔支，根据任务2中购买的奖品刚好全部发完，分别列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：任务1：设一盒水笔元，一包笔记本元， 由题意得：， 解得：， 答：一盒水笔120元，一包笔记本80元； 任务2：设购买水笔盒，笔记本包， 由题意得：， 整理得：， 、均为正整数， 或或， 有3种购买方案： ①购买水笔2盒，笔记本8包； ②购买水笔4盒，笔记本5包； ③购买水笔6盒，笔记本2包； 答：将880元全部用完，可以购买水笔2盒，笔记本8包或水笔4盒，笔记本5包或水笔6盒，笔记本2包； （3）由题意可知，共需笔记本为本，水笔支， 方案①中，水笔为：(支，笔记本为：(本， 由题意得：， 解得：(不符合题意，舍去)； 方案②中，水笔为：(支，笔记本为：(本， 由题意得：， 解得：，符合题意； 方案③中，水笔为：(支，笔记本为：(本， 由题意得：， 解得：(不符合题意，舍去)； 综上所述，，， 故答案为：16，64． 【经典例题二 行程问题】 【例2】（2025·安徽淮北·模拟预测）平泽唯搭乘电车外出游玩，电车正要经过一条1000m长的桥，电车从车头上桥到车尾离桥共用时，整列电车完全在桥上的时间为，求电车的行驶速度． 【答案】电车的行驶速度为 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设电车的行驶速度为，电车的长为，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设电车的行驶速度为，电车的长为，由题意，得： ，解得：； 答：电车的行驶速度为． 1．（2025·安徽阜阳·模拟预测）从甲地到乙地的路有一段上坡，一段平路，如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需要，从乙地到甲地需．则从甲到乙地的全程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，根据时间等于路程除以速度建立方程组，解方程组求出的值，由此即可得． 【详解】解：设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，则从乙地到甲地的下坡长为，平路长为， 由题意得：， 解得， 则甲地到乙地全程是， 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）甲驾驶一艘小船在河中匀速行驶，已知顺水行驶120千米，用时6小时；在同样的水流速度下，逆水行驶80千米用时8小时．则甲驾驶这艘小船在静止水面上行驶150千米需要 小时． 【答案】10 【分析】设静水速度为，水流速度为，根据题意，得，后计算即可． 本题考查了顺水航行，逆水航行问题，熟练掌握航行时，三种速度的关系是解题的关键． 【详解】解：设静水速度为，水流速度为， 根据题意，得， 解得， 故（小时）． 故答案为：10． 3．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）新情境  高铁是当代重要的交通工具．如图，某列复兴号动车组由2节车头和若干节车厢组成，车头的长度相等，每节车厢长度也相等．李华在观测点进行测量记录，该动车组若挂6节车厢以41米/秒的速度通过观测点需5秒，该动车组若挂14节车厢以45米/秒的速度通过观测点需9秒，求该动车组每节车头及每节车厢的长度分别为多少米？ 【答案】该动车组每节车头的长度为27.5米，每节车厢的长度为25米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每节车头的长度为米，每节车厢的长度为米，利用该动车组若挂6节车厢以41米/秒的速度通过观测点需5秒，该动车组若挂14节车厢以45米/秒的速度通过观测点需9秒，再进一步建立方程组解题即可. 【详解】解：设每节车头的长度为米，每节车厢的长度为米， 根据题意，得， 解得， 答：该动车组每节车头的长度为27.5米，每节车厢的长度为25米． 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另收费．甲说：“我乘坐这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“我乘坐这种出租车走了23千米，付了35元”． (1)请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？ (2)若小明乘坐这种出租车付了47元钱，则他这次乘车走了多少千米？ 【答案】(1)起步价5元，每千米1.5元 (2)31千米 【分析】此题考查二元一次方程组和一元一次方程的应用，解题的关键是正确分析等量关系． （1）设出租车的起步价是x元，超过3千米后，每千米的车费是y元，根据题意得到关于x、y的方程组，解方程组即可得； （2）设他这次乘车走了m千米，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）设出租车的起步价是x元，超过3千米后，每千米的车费是y元，由题意得： ， 解得：， 答：出租车的起步价是5元，超过3千米后，每千米的车费是1.5元； （2）设他这次乘车走了m千米 根据题意得， 解得 答：他这次乘车走了31千米． 【经典例题三 工程问题】 【例3】（2025·安徽合肥·模拟预测）某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由． 【答案】无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务，理由见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩，根据题意列出方程组并接方程组即可． 【详解】解：设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩， 根据题意得：， 解得：， 所以无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务． 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）某污水处理厂库池里现有待处理的污水m吨．另有从城区流入库池的待处理污水（新流入污水按每小时n吨的定流量增加）．若该厂同时开动2台机组，需30小时处理完污水；若同时开动3台机组，需15小时处理完污水．若5小时处理完污水，则需同时开动的机组数为（    ） A．6台 B．7台 C．8台 D．9台 【答案】B 【分析】设同时开动x台机组，每台机组每小时处理a吨污水，根据“如果同时开动2台机组要30小时刚好处理完污水，同时开动3台机组要15小时刚好处理完污水”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值（用含a的代数式表示），再由5小时内将污水处理完毕，即可得出关于关于x的一元一次方程，解之可得出结论． 【详解】解：设同时开动x台机组，每台机组每小时处理a吨污水， 依题意，得， 解得：， ∵5ax=30a+5a， ∴x=7． 答：要同时开动7台机组． 故选：B． 【点睛】本题考查的是用二元一次方程组来解决实际问题，正确的理解题意是解题的关键． 2．（24-25七年级上·安徽·阶段练习）甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，其中甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地．已知甲、乙、丙每小时分别能植树10棵，8棵，12棵．若乙在A地植树12小时后立即转到B地，则两块地同时开始同时结束；若要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，则乙应在A地植树 小时后立即转到B地． 【答案】17 【分析】先设A地需要植树棵，B地需要植树棵，根据题意可建立方程，化简可得，再设乙应在A地植树小时后立即转到B地，要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，可构建方程，求 即可得出答案． 【详解】设A地需要植树棵，B地需要植树棵，由题可得： ， ， 设乙应在A地植树小时后立即转到B地，由题可得： ， 化简得：， 解得：． 故答案为：17． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，恰当设出未知数，解题关键在于根据题意找出等量关系式进行求解． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）某中学为了增加操场面积，租用了土地10亩，现在平整操场需要运走36800吨泥土，现有租用A型车和B型车，已知：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)已知A型车每天能运20次，B型车每天能运16次．学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满，请找出该校的租车方案； 【答案】(1)1辆A型车满载货物一次可以运10吨，1辆B型车载满货物一次可以运15吨 (2)学校共有2种租车方案：①租用A型车8辆，B型车1辆；②租用A型车2辆，B型车6辆 【分析】本题考查二元一次方程与二元一次方程组解决实际问题，分析题意，找出数量关系，正确列出方程及方程组是解题的关键． （1）设1辆A型车满载货物一次可以运x吨，1辆B型车载满货物一次可以运y吨，根据“：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨”列出方程组，求解即可； （2）设该校租用A型车m辆，B型车n辆，根据“学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满”列出方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车满载货物一次可以运x吨，1辆B型车载满货物一次可以运y吨，根据题意，得 ，解得， 答：1辆A型车满载货物一次可以运10吨，1辆B型车载满货物一次可以运15吨． （2）解：设该校租用A型车m辆，B型车n辆，根据题意，得 ， 整理，得， ∵m，n为正整数， ∴或， ∴学校共有2种租车方案： ①租用A型车8辆，B型车1辆； ②租用A型车2辆，B型车6辆． 4．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）某市在创建安徽安庆卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治．现有一段300米长的河道的整治任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治20米，乙工程队每天整治30米，共用时13天．问河道整治任务完成后，甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： ①小明：设河道整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得 ②小华：设河道整治任务完成后，表示_____，表示_____． 根据题意，可列方程组 请你补全小明、小华两位同学的解题思路． (2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程． 【答案】(1)①，；②甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数 (2)见解析，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．根据甲、乙两队共完成米的整治河道任务且共同时天，即可得出关于，的二元一次方程组；小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出，表示的意义； （2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）解：①小明：设河道整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米，根据题意，得， 故答案为：，； ②小华：设河道整治任务完成后，表示甲工程队工作的天数，表示乙工程队工作的天数． 根据题意，可列方程组 故答案为：甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数； （2）解：选择① 解：①小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．则 ， 解得， 经检验，符合题意． 答：甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 选择② 设甲工程队工作的天数是天，乙工程队工作的天数是天．则 ， 解得， 经检验，符合题意． 甲整治的河道长度：(米)；乙整治的河道长度：(米)． 答：甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 【经典例题四 数字问题】 【例4】（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）有一个两位数比它个位数上的数字与十位上的数字的和的5倍大2；若将它个位数字与十位上的数字互换位置，则原来的数比新数小9，求这个两位数． 【答案】这个两位数是67 【分析】设这个两位数十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出方程组，求解即可． 【详解】解：设这个两位数十位数字为x，个位数字为y， 由题意得， 解得：， ∴这个两位数是67． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确表示出两位数是解题的关键． 1．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，方格中的任一行、任一列及对角线上的数的和都相等，则m等于（　　） A．14 B．10 C．13 D．9 【答案】D 【分析】如图，根据题意得，求出，根据16+m+y=12+11+16，求出答案． 【详解】如图，由题意得， 解得， ∵16+m+y=12+11+16， ∴16+m+14=39， 解得m=9， 故选：D． ． 【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，根据题意设出未知数列方程组解决问题是解题的关键． 2．（25-26七年级上·安徽安庆·随堂练习）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字，，，，0，1，2，3，4分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都是同一个值，则的值是 ． 2 m n 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，解二元一次方程组．由，，可知每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都是0，如图1，由，解得，，解得，，解得，，解得，，解得，如图2，由题意知，，整理得，，，整理得，，联立，解得，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都是0， 如图1， a 2 m b c d e n ∵，解得， ∵，解得， ∵，解得， ∵，解得， ∵，解得， 如图2， 1 2 m n 由题意知，，整理得，， ，整理得，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 3．（2025·安徽阜阳·模拟预测）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数中，个位数字是十位数字的2倍，若把个位数字与十位数字对调，所得的新的三位数比原三位数大36，请帮小明求出这个三位数． 【答案】648 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设这个三位数的十位数字为a，个位数字为b，根据算盘可知这个三位数的百位数字为6，则这个三位数为，十位数字与个位数字互换后的三位数为，再根据新的三位数比原三位数大36，个位数字是十位数字的2倍建立方程组求解即可． 【详解】解：设这个三位数的十位数字为a，个位数字为b， 由题意得，， 解得， 答：这个三位数为648． 4．（24-25七年级上·安徽六安·期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)如图1所示幻方，求x的值； (2)如图2所示幻方，求a，b的值； (3)如图3所示幻方，若m，n为正整数，直接写出一共有多少种填法，并把其中一种幻方填写完整． 【答案】(1) (2) (3)一共有3种填法；填写见解析 【分析】（1）根据题意列出关于x的方程，解方程即可； （2）根据题意列出关于a、b的方程组，解方程组即可； （3）根据题意列出关于m、n的二元一次方程，求出整数解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：根据题意得：， 解得：； （3）解：根据题意得：， 即， ∵m，n为正整数， ∴，，， ∴共有3种填法；    【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据表格列出方程或方程组． 【经典例题五 年龄问题】 【例5】（24-25七年级上·安徽池州·期中）在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁， 根据题意得： 解得： ∴当奶奶岁时，小花的年龄为， ∴小花岁时将为奶奶贺白寿， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（    ） A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10 【答案】A 【分析】设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁，抓住年龄差不变，根据此等量关系可列方程组求解． 【详解】解：设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁， 由题意可得：， 解得：． 故老师现在的年龄是24岁，学生现在的年龄是12岁． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解． 2．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是 岁． 【答案】70 【分析】设爷爷是x岁，小民是y岁，根据题意描述的关系，得出二元一次方程组，求解即可． 【详解】设爷爷现在x岁，小民现在y岁， 根据题意：， 解得：， 故答案为：70． 【点睛】本题考查二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）今年小明的年龄是小华的，前年小华的年龄是小明的2倍，他俩今年年龄各是多少？ 【答案】小华今年是10岁，小明今年是6岁 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 设小华今年的年龄是，则小明今年的年龄为，根据“前年小华的年龄是小明的倍”列出方程并解答． 【详解】解：设小华今年的年龄是，则小明今年的年龄为， 由题意得：， 解得：，则， 答：小华今年是岁，小明今年是岁． 4．（2025·安徽宣城·模拟预测）已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差． 【答案】5岁． 【分析】假设甲、乙现在的年龄分别是x岁和y岁，利用年龄差不变可以列出等式构造二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：假设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得： 即由此可得：， ∴，即甲比乙大5岁． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用中的年龄问题，理解年龄差不会随年龄的变化而变化是解本题的关键． 【经典例题六 分配问题】 【例6】（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）一家眼镜厂，有25名工人加工镜片和镜架，每人每天可加工镜架72副或镜片96片，为了使每天加工的镜架和镜片能配套，应如何分配工人？ 【答案】分配15名工人加工镜片，10名工人加工镜架 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设分配x名工人加工镜片，分配y名工人加工镜架，根据题意列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设分配x名工人加工镜片，分配y名工人加工镜架， 由题意，得，解得， 答：分配15名工人加工镜片，10名工人加工镜架． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）有大、小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货17t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货39t，则3辆大货车与3辆小货车一次可以运货（   ） A．22t B．18t C．20t D．23t 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．设每辆大货车一次运货吨，每辆小货车一次运货吨，根据题意列出方程组并求解即可． 【详解】解：设每辆大货车一次运货吨，每辆小货车一次运货吨， 即3辆大货车与3辆小货车一次可以运货吨， 根据题意，得方程组：， 得， 即3辆大货车与3辆小货车一次可以运货吨， 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）某车间有660名工人，生产某种由一个螺栓和两个螺母构成的配套产品，每人每天平均生产螺栓14个或螺母20个，应安排 人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套． 【答案】385 【分析】设安排x人生产螺栓，y人生产螺母，根据一个螺栓两个螺母构成的配套产品，列方程组求解． 【详解】解：设安排x人生产螺栓，y人生产螺母， 由题意得，， 解得：， 答：安排275人生产螺栓，385人生产螺母． 故答案是：385． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元． (1)求大、小两种垃圾桶的单价； (2)该校购买10个大垃圾桶和26个小垃圾桶共需多少元？ 【答案】(1)大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元 (2)3360元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、有理数混合运算的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和算式是解题的关键． （1）设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元，根据“购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元”列出关于x，y的二元一次方程组求解即可； （2）利用总价、单价、数量列式计算即可． 【详解】（1）解：设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元， 根据题意得：，解得： 答：大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元． （2）解：根据题意得：元 答：该校购买10个大垃圾桶和26个小垃圾桶共需3360元． 4．（25-26七年级上·安徽滁州·期中）某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． (1)应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； (2)为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？ 【答案】(1)生产镜架10人，生产镜片12人 (2)6人 【分析】题目主要考查一元一次方程和二元一次方程的应用，理解题意列出方程和方程组是解题关键． （1）设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架，根据题意列出方程求解即可； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴生产镜架10人，生产镜片12人； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片， 根据题意得：， 解得：， ∴分出6人生产B镜片． 【经典例题七 销售、利润问题】 【例7】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）列方程组，解应用题： 商场用36000元购进甲、乙两种玩具，全部销售完后共获利6000元．甲种玩具进价为120元/个，售价为138元/个：乙种玩具进价为100元/个，售价为120元/个，该商场购进甲、乙两种玩具各多少个？ 【答案】甲种玩具200个，乙种玩具120个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设甲种玩具x个，乙种玩具y个，获利＝单件利润×销售数量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 【详解】解：设甲种玩具x个，乙种玩具y个， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种玩具200个，乙种玩具120个． 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）打折前，买件商品和件商品用了元，买件商品和件商品用了元．打折后，买件商品和件商品用了元，则打折比不打折少花（      ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】设A商品的单价为x元，B商品的单价为y元，根据买件商品和件商品用了元，买件商品和件商品用了元列出方程组求出A、B商品的单价，进而求出不打折购买件商品和件商品需要的费用即可得到答案． 【详解】解：设A商品的单价为x元，B商品的单价为y元， 由题意得，， 解得， ∴A商品的单价为16元，B商品的单价为4元， ∴不打折购买件商品和件商品需要元， ∴打折比不打折少花元， 故选C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程组求解是解题的关键． 2．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）小林在某商场先后三次购买商品A和B，只有其中一次购买时遇到商场有优惠活动，商品A和B同时按标价打折出售，其余两次均按标价购买，三次购买A，B商品的数量和总费用如下表所示： A商品（个） B商品（个） 总费用（元） 第1次 6 5 1140 第2次 3 7 1110 第3次 9 8 1047 （1）在这三次购物中，第 次购物享受了优惠； （2）若在本次优惠活动中商品B打五折优惠，则商品A享受打 折出售的优惠政策． 【答案】 3 7 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，根据已知列方程是解题的关键． （1）根据图表可得小明以折扣价购买商品A、B是第三次购物． （2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据图表列出方程组求出x和y的值． 【详解】解：（1）∵第三次购买的数量最多，总费用最少， ∴小林以折扣价购买商品A、B是第三次购物． （2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据题意，得： ， 解得：， ∴商品A的标价为90元，商品B的标价为120元， 设商品A享受打m折优惠，根据题意得： ， 解得：． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）某水果店购进苹果与提子共60千克进行销售，这两种水果的标价如下表所示，如果店主将这些水果按标价的8折全部售出，总售价为400元，求该水果店购进苹果和提子分别是多少千克? 标价（元/千克） 苹果 8 提子 10 【答案】 该水果店购进苹果50千克，购进提子10千克 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设该水果店购进苹果x千克，购进提子y千克，根据该水果店购进苹果与提子共60千克且总售价为400元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设该水果店购进苹果x千克，购进提子y千克， 根据题意得：， 解得：． 答：该水果店购进苹果50千克，购进提子10千克． 4．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）某班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳，经班长统计共需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学． (1)请根据图中班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价； (2)由于足球和跳绳的需求量增大，该体育用品商店的老板计划再次购进足球个和跳绳根，恰好用了1800元，其中足球每个的进价为80元，跳绳每根的进价为15元，则有哪几种购进方案？ (3)若依据（2）中的购进方案，假如所购进的足球和跳绳全部售出，销售获利为元，请用含，的代数式表示；应选择哪种购进方案获利最多？ 【答案】(1)足球和跳绳的单价分别为100元，20元 (2)共有两种方案：方案一，购进足球18个，跳绳24根；方案二，购进足球21个，跳绳8根 (3)，选择方案一获利最多． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，列代数式，正确的列出方程组和代数式，是解题的关键： （1）设足球和跳绳的单价分别为元和元，根据对话信息，列出方程组进行求解即可； （2）根据题意，列出二元一次方程，求出其整数解即可； （3）根据总利润等于足球和跳绳的利润之和，列出代数式，将（2）种方案分别代入计算，即可得出结果． 【详解】（1）解：设足球和跳绳的单价分别为元， 由题意得，，解得， ∴足球和跳绳的单价分别为100元，20元； （2）解：由题意知，， 当全买足球时，可买足球的数量为， ∴， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，（舍去）； ∴共有两种方案：方案一，购进足球18个，跳绳24根；方案二，购进足球21个，跳绳8根； （3）由题意，得：； 方案一的利润为：（元）， 方案二的利润为：（元）， ∵， ∴应该选择方案一，购进足球18个，跳绳24根． 【经典例题八 和差倍分问题】 【例8】（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）某中学为了七年级学生在体育“足球”项目测试中取得优异的成绩．现决定从商场购买A、B两种足球共100个，已知购买A品牌足球比购买B品牌足球少花2800元，其中A品牌足球每个进价是50元，B品牌足球每个进价是80元．请同学们计算一下购买A、B两种品牌足球各多少个？ 【答案】A品牌足球40个，B品牌足球60个 【分析】设该中学购买品牌足球个，品牌足球个，利用总价单价数量，结合“该中学共购买、两种足球共100个，且购买品牌足球比购买品牌足球少花2800元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设该中学购买品牌足球个，品牌足球个， 根据题意得：， 解得：． 答：该中学购买品牌足球40个，品牌足球60个． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）汽车运输公司有A，B两种车型的旅游大客车，已知两种车型的座位数不同，1辆A型车和1辆B型车可乘坐105人，2辆A型车和1辆B型车可乘坐150人，则A，B两种车型大客车的座位数分别为（    ） A．45，60 B．65，45 C．40，65 D．60，45 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系是本题的关键．根据题意，设A型车每辆座位数为x个，B型车每辆座位数为y个，根据1辆A型车和1辆B型车可乘坐105人，2辆A型车和1辆B型车可乘坐150人，列出二元一次方程组，解出答案即可． 【详解】解：设A型车每辆座位数为x个，B型车每辆座位数为y个， 根据题意得：， 解得： 则A型车每辆座位数为45个，B型车每辆座位数为60个， 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）阅读是人类进步的阶梯，现在的中小学生是祖国的未来，“用阅读点燃中国梦”，某校为更丰富读书内容，又新购进书册若干件，为让同学更早更快阅读，初二年级组织了86名同学搬书．为便于管理，把其中50名同学分成A、B两组，另外的36名同学分成C、D两组．A、C两组把书搬到甲地点，B、D两组把书搬到乙地点，A组搬书的人均件数比B组的人均件数多2件，C、D两组人均件数相同，且是B组搬书的人均件数的2.5倍，甲、乙两个地点的人均搬书件数相同，且比A组搬书的人均件数高25%，已知搬书的人均件数为整数．则这次该校又新购进书册共 件． 【答案】860 【分析】可设组分得人，则组分得人，全部人均搬书件，则组人均搬书件，组人均搬书件，、两组人均搬书件，根据组搬书的件数组搬书的件数、两组搬书的件数一共搬书的件数，列出方程，再根据整数的性质即可求解． 【详解】解：设组分得人，则组分得人，全部人均搬书件，则组人均搬书件，组人均搬书件，、两组人均搬书件，依题意有， ， 整理得：， 则， 书的件数是正整数， ，是正整数，是5的倍数， ，是正整数， ，， （件． 故一共有书860件． 故答案为：860． 【点睛】考查了二元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 3．（2025·安徽滁州·模拟预测）某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A型号的新能源汽车比购进1辆B型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A型号和2辆B型号的新能源汽车共92万元．求A，B两种型号的新能源汽车的单价． 【答案】A型号的新能源汽车的单价是20万元，B型号的新能源汽车的单价是36万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设A型号的新能源汽车的单价是m万元，B型号的新能源汽车的单价是n万元，根据“购进2辆A型号的新能源汽车比购进1辆B型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A型号和2辆B型号的新能源汽车共92万元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设A型号的新能源汽车的单价是m万元，B型号的新能源汽车的单价是n万元， 根据题意得：， 解得：． 答：A型号的新能源汽车的单价是20万元，B型号的新能源汽车的单价是36万元． 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）杂交水稻的发展对解决世界粮食不足问题有着重大的贡献，某超市购进A、B两种大米销售，其中两种大米的进价、售价如下表： 类型 进价（元/袋） 售价（元/袋） A种大米 20 30 B种大米 30 45 (1)该超市在3月份购进A、B两种大米共70袋，进货款恰好为1800元，求这两种大米各购进多少袋； (2)据3月份的销售统计，两种大米的销售总额为1500元，求该超市3月份已售出大米的进货款为多少元． (3)为刺激销量，超市决定在4月份增加购进C种大米作为赠品，进价为每袋10元，并推出两种促销方案甲方案：“买3袋A种大米送1袋C种大米”；乙方案：“买3袋B种大米送2袋C种大米．”若进货款为2100元，4月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进三种大米各多少袋？ 【答案】(1)购进A种大米30袋，B种大米40袋 (2)该超市3月份已售出大米的进货款为1000元 (3)有两种购买方案：方案一：A种：57袋，B种：21袋，C种：33袋；方案二：A种：24袋，B种：42袋，C种：36袋． 【分析】（1）①分别设A、B种大米为a袋、b袋，根据大米总袋数和金额列方程进行计算； （2）列出方程后利用总货款数与总袋数呈倍数关系，将总袋数的代数式整体代入货款的方程中计算； （3）设购进A种大米袋，B种大米袋，可得购进C种大米为袋，根据金额列出方程，利用袋数为整数的条件求出x、y的值，再根据x、y的值算出各种大米数量． 【详解】（1）解：设购进A种大米a袋，B种大米b袋，则题意列方程得 ， 解得 答：购进A种大米30袋，B种大米40袋； （2）解：设售出A种大米m袋，B种大米n袋， 则， 化简得， 进货款（元） 答：该超市3月份已售出大米的进货款为1000元； （3）解：设购进A种大米袋，购进B种大米袋，则购进C种大米为袋． 由题意得：． 解得， 为正整数， ∴或， 则有① ， ② ∴有两种购买方案： 方案一：A种：57袋，B种：21袋，C种：33袋； 方案二：A种：24袋，B种：42袋，C种：36袋． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，利用方程中代数式恰好呈倍数和未知数只能取整数巧妙解方程是解题关键． 【经典例题九 几何问题】 【例9】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，由七个完全一样的小长方形组成大长方形，，求每个小长方形的长和宽． 【答案】小长方形长为5，宽为2 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题．设小长方形的长为x，宽为y．根据可得长与宽的和为7，由图可发现2个小长方形的长与5个小长方形的宽相等，据此可列得方程组求解即可． 【详解】设小长方形长为x，宽为y．根据题意，得 ， 解得， ∴小长方形长为5，宽为2． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块儿的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设桌子的高度是，长方体木块截面的长比宽多 ，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设桌子的高度是，长方体木块截面的长比宽多， 依题意，得， 解得：， 故桌子的高度是． 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）如图（一）所示的这种拼图（宽度设为）我们小时候可能都玩过，已知有若干片相同的拼图，且拼图依相同方向排列时可紧密拼成一行，如图（二）所示，当4片拼图紧密拼成一行时长度为 ；如图（三）所示，当10片拼图紧密拼成一行时长度为，则这样一片拼图的宽度a为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知求出，的值． 根据“当4片拼图紧密拼成一行时长度为，当10片拼图紧密拼成一行时长度为”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之求得，的值，进而得到结论． 【详解】设小半圆半径为b， 则由题意得：依题意得：， 解得：， ∴这样一片拼图的宽度a为， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）阅读材料：小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 ； (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 【答案】(1)每个小长方形的面积为60 (2)它的高度约是 (3)46 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出每个小长方形的面积； （2）通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即单独一个纸杯的高度个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高的高度，单独一个纸杯的高度个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高的高度．根据这两个等量关系可列出方程组； （3）设小长方形的长为x，宽为y，根据长方形的长为17，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：，解得：， ∴． 故每个小长方形的面积为60； （2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为， 根据题意，得，解得， 则． 即小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是； （3）解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得， 解得， ∴． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）综合与实践：设计制作纸盒方案 素材一：如图1，现将300张纸板裁剪成材料，1张纸板可以裁成4个正方形或3个长方形，并用这些材料制作两种无盖纸盒（如图2），横式无盖纸盒需要2个正方形和3个长方形，竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形．    素材二：①所有纸板都要裁剪，且每张纸板只能裁剪一种材料． ②制作纸盒后没有剩余材料． （1）问题解决：为方便解决问题，设制作了横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个． 问题一：初探材料用量，请完善下表： 纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数） m个横式无盖纸盒 n个竖式无盖纸盒 n 问题二：再探关系，请完善下表： 需裁成正方形的纸板数（张） 需裁成长方形的纸板数（张） 合计 300 问题三：写出m，n之间满足的关系式： ； （2）方案选择：用这300张纸板制作两种纸盒，并且材料没有剩余，得到的横式无盖纸盒的数量能否为竖式无盖纸盒数量的二倍，请你做出判断，写出详细的解答过程． 【答案】（1）问题一：见表格；问题二：见表格；问题三： 300；（2）不能，理由见解析； 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用； （1）问题1：根据横式无盖纸盒需要2个正方形和3个长方形，竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形，列出代数式即可． 问题2：根据横式无盖纸盒与竖式无盖纸盒所需，和1张纸板可以裁成4个正方形或3个长方形，列出代数式即可． 问题3：根据纸板总用量为300张，得到m，n之间满足的关系式； （2）假设能得到的横式无盖纸盒的数量为竖式无盖纸盒数量的二倍，再根据（1）中问题3得到的二元一次方程，列出二元一次方程组，根据解的情况即可作出判断． 【详解】（1）问题一：初探材料用量，请完善下表： 纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数） m个横式无盖纸盒 n个竖式无盖纸盒 n 问题二：再探关系，请完善下表： 需裁成正方形的纸板数（张） 需裁成长方形的纸板数（张） 合计 300 问题三：； （2）解：不能 假设能得到的横式无盖纸盒的数量为竖式无盖纸盒数量的二倍， 则可得方程组：， 解得， 为纸盒的数量， 为正整数， ∴不符合题意， ∴假设错误． 答：不能得到的横式无盖纸盒的数量为竖式无盖纸盒数量的二倍． 【经典例题十 图表信息题】 【例10】（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，在的方格内，填写了一些代数式和数．在图中各行、各列及斜对角上的三个数之和都相等，请你求出x，y的值及左下角的方格内应填的数． 【答案】，，左下角的方格内应填的数为0 【分析】根据图中各行、各列及斜对角上的三个数之和都相等，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用左下角的方格内应填的数=第一行三个数之和-2-y，即可求出结论． 【详解】解：依题意得：， 解得：， ∴左下角的方格内应填的数为2x+3+2-2-y=2×（-1）+3+2-2-1=0． 答：x的值为-1，y的值为1，左下角的方格内应填的数为0． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即三块巧克力的质量＝两个果冻的质量，一块巧克力的质量+一个果冻的质量＝50克．根据这两个等量关系式可列一个方程组． 【详解】解：设每块巧克力的重量为x克，每块果冻的重量为y克． 由题意列方程组得：， 解方程组得：． 答：每块巧克力的质量是20克． 故选：C． 【点睛】本题考查二元一次方程的应用，根据等量关系列方程是关键． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，测得一定温度下声音传播的速度如下表．如果用v表示声音在空气中的传播速度，表示温度，则，满足公式：，为已知数，则表中 ． 气温 速度米秒 【答案】 【分析】根据题意将；代入公式，进而得出 【详解】解：将；代入： 解得：， ∴， 当时，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确读懂表格中的数据是解题的关键． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示： 进货批次 甲种水果质量（单位：千克） 乙种水果质量（单位：千克） 总费用（单位：元） 第一次 60 40 1520 第二次 30 50 1360 求甲、乙两种水果的进价． 【答案】甲种水果的进价为12元，乙种水果的进价为20元 【分析】设甲种水果的进价为x元，乙种水果的进价为y元，根据表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设甲种水果的进价为x元，乙种水果的进价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：甲种水果的进价为12元，乙种水果的进价为20元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·假期作业）在某学校组织的“科学艺术节”活动中，掷飞镖游戏规则如下：如图，掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外部分，若掷在圆周上或大圆外重新掷一次，掷中一次记一个点．有效次数共八次．现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下图，那么小明的得分是多少？请写出解答过程． 【答案】76分 【分析】设掷中A区得x分，掷中B区得y分，根据小华和小芳的得分列出二元一次方程组，再通过变形直接得到小明的得分． 【详解】解：设掷中A区得x分，掷中B区得y分， 依题意，得， ，得． 答：小明的得分为76分． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际问题，解决此题的关键是读懂题目，理清数量之间的关系． 【经典例题十一 古代问题】 【例11】（2025·安徽亳州·模拟预测）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：四只雀、六只燕共重一斤：雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少斤？ 【答案】雀的重量为斤，燕的重量为斤 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 设雀重斤，燕重斤，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设雀重斤，燕重斤，根据题意得， 解得：， 答：雀重斤，燕重斤． 1．（25-26七年级上·安徽安庆·单元测试）明代程大位有一首类似二元一次方程组的饮酒数学诗：肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇，醇酒二瓶醉五客，薄酒三瓶醉二人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？大意是：好酒二瓶，可以醉倒5位客人；薄酒三瓶，可以醉倒2位客人，如果33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒瓶，薄酒瓶，依题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．直接利用“好酒二瓶，可以醉倒5位客人；薄酒三瓶，可以醉倒二位客人，如果33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒”，分别得出等式即可． 【详解】解：∵好酒二瓶，可以醉倒5位客人；薄酒三瓶，可以醉倒2位客人， ∴每瓶好酒可以醉倒2.5位客人；每瓶薄酒可以醉倒位客人，根据题意，可列方程组为：． 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有这样一道题：甲、乙两人一同放牧，两人暗地里在数羊的数量．如果乙给甲9只羊，则甲的羊数量为乙的两倍；如果甲给乙9只羊，则两人的羊数量相同．则乙的羊数量为 只． 【答案】45 【分析】设甲放只羊，乙放只羊，根据“如果乙给甲9只羊，则甲的羊数量为乙的两倍；如果甲给乙9只羊，则两人的羊数量相同”列出方程组解答即可． 【详解】解：设甲放只羊，乙放只羊， 由题意得：， 解得：， 即：乙的羊数量45只． 故答案为：45． 【点睛】此题考查二元一次方程组的实际运用，根据数量的变化，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 【答案】， 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键，根据题干中给出的方程组，获取信息，列出图2所表示的方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得方程组 ，得③ ，得． 把代入②，得 ， ． ∴这个方程组的解是 4．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）《九章算术》在“方程”章中记载有“方程术”，“方”指数据左右并排，其行方正，“成”指考查相关数据构成的比率关系．具体何谓“方程术”呢？请欣赏《九章算术》中的问题：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两，问牛、羊每头各值金多少？ (1)列二元一次方程组解决以上问题； (2)依“方程术”解，将“牛5头，羊2头，共值金10两”列在右方，“牛2头，羊，5头共值金8两”，列在左方，用右牛数遍乘左方各数（“遍乘”），将所得左方新数连续减去右方对应数的适当倍数，直到左方头位数为零为止（“直除”），如图1所示．左方未尽之数，用上面的数做除数，下面的数做被除数，所得商即为每头羊值金数，（羊1头，值金两） ①上述“方程术”推算“羊值金几何”的过程中，“遍乘”和“直除”体现了解二元一次方程组的 思想； ②依“方程术”解，采用“遍乘”和“直除”推算“牛值金几何”如图2所示，在图中填写数据，直接写出牛值金 两． 【答案】(1)牛值金两，羊值金两 (2)①消元；②见解析， 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及消元思想，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设牛值金x两，羊值金y两，根据有牛5头、羊2头，共值金10两；牛2头、羊5头，共值金8两；列出二元一次方程组，解方程即可； （2）①根据题意即可得出结论；②用右羊数遍乘左方各数，得到遍乘后左边的数，再根据左右两边羊的数量，用左边的数减去右边羊的5倍可得直除后左边牛和金的数量，据此可得答案． 【详解】（1）解：设牛值金x两，羊值金y两， 由题意列方程组得：， 解得， 答：牛值金两，羊值金两； （2）解：①由题意得，“遍乘”和“直除”体现了解二元一次方程组的消元思想； ②因为右方羊的数量是2，左方羊的数量是5，所以用右羊数遍乘左方各数． 左方原来牛2、羊5、金8，遍乘后：牛4，羊10，金16，右方数据不变（牛5、羊2、金10）． 然后进行直除，要消去羊，右方羊是2，左方羊是10，用左方各数减去右方对应数的5倍．牛：；羊：0；金： ．所以最终图填写如下： ∴牛值金两． 【经典例题十二 三元一次方程组的应用】 【例12】（24-25七年级上·安徽安庆·单元测试）某车间共有职工63人，加工一件产品需经三道工序，平均每人每天在第一道工序里能加工300件，在第二道工序里能加工500件，在第三道工序里能加工600件，为使每天能生产出更多的产品，应如何安排各工序里的人数？ 【答案】第一道工序里有30人，第二道工序里有18人，第三道工序里有15人 【分析】本题主要考查三元一次方程组的运用，根据题意，设第一道工序里有x人，第二道工序里有y人，第三道工序里有z人，由数量关系列式求解即可． 【详解】解：设第一道工序里有x人，第二道工序里有y人，第三道工序里有z人，依题意，得     ， 解得 ， 答：第一道工序里有30人，第二道工序里有18人，第三道工序里有15人． 1．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）一件工程，甲乙合作天可以完工，乙丙合作天，可以完成全工程的；丙甲合作天后，剩余工程由丙单独去做天即可完工，那么由丙单独完成全部工程需要的天数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用．根据题意正确的列方程组是解题的关键． 设工程总量为，甲、乙、丙单独完成全部工程需要的天数分别为、、，则可得甲的速度为，乙的速度为，丙的速度为，由题意得：，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：设工程总量为，甲、乙、丙单独完成全部工程需要的天数分别为、、， 则可得甲的速度为，乙的速度为，丙的速度为， 由题意得：， 解得：， ∴丙单独完成全部工程需要的天数为天． 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需 元 【答案】30 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，根据题意可得方程组，利用加减消元法可得，据此可得答案． 【详解】解：设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元， 由题意得， 得：， ∴， ∴购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需30元， 故答案为：30． 3．（25-26七年级上·安徽池州·期中）某次数学模拟预测前70名获奖，原定一等奖10人，二等奖20人，三等奖40人，现调整为一等奖15人，二等奖25人，三等奖30人．调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分，如果原来二等奖比三等奖平均分数多6分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分？ 【答案】分． 【分析】此题主要考查了三元一次方程组的应用，关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出方程，求出一等奖比二等奖平均分多的分数． 先设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，由于总分不变，列出方程组，求出一等奖比二等奖平均分多的分数，最后根据调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分列出代数式，即可求出答案． 【详解】解：设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，由于总分不变，得： 整理得：① ∵原来二等奖比三等奖平均分数多6分， ∴，即② 将②代入①得到，， ∵调整后一等奖平均分为分，二等奖平均分为分， ∴， 即调整后一等奖比二等奖平均分数多分． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知方程组，求的值． 小军在解决这个问题时，他采用了如下方法： ，消去z，得 他发现无法求出方程组确定的解．但注意到问题要求的是整体的值， 可以在上式中“分离”出， 即 可以把代入两式中的任意一式，得到的值：也可将，消去“多余部分”，即，得到结果．用到的都是代数式整体的消元、转化的思想方法． (1)直接写出小军得到的的值． (2)请利用小军的方法解决下面的问题： 甲、乙两人去文具店购买文具，甲买了支钢笔、本笔记本、个文件夹，共花费元；乙买了支钢笔、本笔记本、个文件夹，共花费元．丙打算三种文具各买件，请问丙需要花费多少元？ 【答案】(1)； (2)丙需要花费元． 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，掌握解三元一次方程组是解题的关键． （）利用，可求出的值； （）设每支钢笔元，每本笔记本元，每个文件夹元，根据题意，得，按照题例解题即可． 【详解】（1）解：， ，得：； （2）解：设每支钢笔元，每本笔记本元，每个文件夹元， 根据题意，得， ，得， 原方程组可化为， 把代入，得， ∴． 答：丙需要花费元． 【拓展训练一 根据实际问题列二元一次方程组】 1．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）根据题意列方程组： (1)某活动小组购买了4个篮球和5个足球，共花费435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，篮球的单价和足球的单价各是多少元？ (2)将一批图书分给了若干名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本．共有多少本图书、多少名学生？ 【答案】(1)篮球的单价为50元，足球的单价为47元 (2)有310本图书、45名学生 【分析】本题主要考查了利用二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是理解题意，找准等量关系，列出方程组． （1）设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，根据花费的钱数和球的数量关系，列出方程组进行求解即可； （2）设有x本图书、y名学生，根据两种分书的方式，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，根据题意得， 解得， ∴篮球的单价为50元，足球的单价为47元； （2）解：设有x本图书、y名学生，根据题意得， 解得 ∴有310本图书、45名学生． 2．（2025七年级上·安徽安庆·模拟预测）黄河是我国的母亲河，为打造黄河风光带，现有一段长为的河道整治任务由，两个工程队先后接力完成．工程队每天整治，工程队每天整治，共用时天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出的方程组如下： 甲：乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义． 甲：表示___________，表示___________； 乙：表示___________，表示___________； (2)从甲、乙两名同学所列的方程组中选择一种，求，两个工程队分别整治河道多少米． 【答案】(1)A工程队用的时间，工程队用的时间；工程队整治河道的长度，工程队整治河道的长度 (2)A工程队整治河道工程队整治河道 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握工作时间、工作效率、工作总量的关系是解题的关键． （1）分析甲、乙方程组中未知数的意义，结合工作时间、工作效率、工作总量的关系判断． （2）选择甲的方程组，通过消元法求解． 【详解】（1）解：甲：表示工程队用的时间，表示工程队用的时间； 乙：表示工程队整治河道的长度，表示工程队整治河道的长度． （2）解：选甲同学所列方程组解得 所以． 答：工程队整治河道工程队整治河道． 选乙同学所列方程组 解得 答：工程队整治河道工程队整治河道． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）苗苗同学在学习了二元一次方程组相关知识后，对汽车的轮胎磨损问题进行了探究． 根据资料显示，汽车的前轮胎比后轮胎磨损更为严重，如果只更换前轮胎，那么行驶时的安全性会下降，但是如果一起更换轮胎，汽车的维护成本将会提高．所以为了解决这个问题，我们可以定期交换前后轮胎． 某种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，而后轮胎行驶6万公里时报废．轮胎报废的时候磨损程度为1． (1)该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为________； (2)假设该种汽车行驶x万公里之后，将前轮胎交换到了后轮的位置，然后继续行驶了y万公里后，该轮胎报废，此时轮胎的磨损程度为1．请依据上述信息，列一个关于x，y的方程； (3)当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是多少万公里？ 【答案】(1) (2) (3)万公里 【分析】本题主要二元一次方程组的应用： （1）根据“汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，”即可得到答案； （2）根据用汽车行驶x万公里之后前轮的磨损程度加上继续行驶了y万公里后前轮的磨损程度为1，即可求解； （3）根据用汽车行驶x万公里之后后轮的磨损程度加上继续行驶了y万公里后后轮的磨损程度为1，再结合（2）中的方程，得到方程组即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为； 故答案为： （2）解：根据题意得：， （3）解：根据题意得： ，解得：， 答：当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是万公里． 【拓展训练二 根据几何图形列二元一次方程组】 1．（24-25七年级上·安徽六安·期末）数学活动实践课上，小辰先画了一个长为，宽为的长方形，然后又在该长方形中面了5个相同大小的小长方形（阴影部分），如图所示，求图中空白部分的面积．（列方程组解） 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据图形找出等量关系列方程组可得，求解得出长方形的长和宽，再求出空白部分的面积即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据图形找出等量关系列方程组可得 ①－②，得， 解得， 将代入②，得， 解得， 所以这个方程组的解是， 所以图中空白部分的面积是：． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）列二元一次方程组解决问题：据统计，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是，如图所示，现要把一块长200米宽70米的长方形土地（），分为两块小长方形土地，上方小长方形种植甲种作物，下方小长方形种植乙种作物，怎样设计和的长度，使得甲、乙两种作物的总产量的比是？ 【答案】米，米 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设甲种作物种植x平方米，乙种作物种植y平方米，根据题意，列出二元一次方程组，解二元一次方程组，进而根据矩形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：设甲种作物种植x平方米，乙种作物种植y平方米， 由题意得：， 解得：， 长方形土地的长为200米， （米），（米）， 当米，米时，使得甲、乙两种作物的总产量的比是． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）阅读材料并回答问题 课本再现 探究2 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长、宽的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是？ 方案一 如图1，过长边上一点，作交于点，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形和长方形．设，，依题意列方程组，解得， 过长方形土地的长边上离一端______处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大一块土地种植______种作物，较小一块土地种植______种作物． 方案二 如图2，过短边上一点，作交于点，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形和长方形． …… (1)完成方案一中的三个填空； (2)请你参考“方案一”的解答过程，按“方案二”完成后面的解答过程． 【答案】(1)（或），甲，乙 (2)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的列式、求解等知识点，理解题意是解题的关键．根据方案一的解法，可得，，再根据题干中甲的单位面积产量低于乙的单位面积产量，进而判断不同面积的区域的分配；模仿方案一的解题方式，进行列式求解即可． 【详解】（1）解：由方案一的解题过程，可得，， ∴过长方形土地的长边上离一端处或处，作垂直即可． 故答案为（或）． ∵甲、乙两种作物的单位面积产量的比是， 但要满足甲、乙两种作物的总产量的比是， ∴应将面积较大的区域分配给甲种作物，而面积较小的区域分配给乙种作物． （2）解：设，，， 由题意得：，解得， 即，， ∴过长方形土地的短边上离一端（或）处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地．较大一块土地种植甲种作物、较小一块土地种植乙种作物． 【拓展训练三 新定义问题】 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）（新定义）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，，所以． (1)计算：，． (2)若s，t都是“相异数”，其中，（，都是正整数），规定：，当时，求k的最大值． 【答案】(1)， (2)k的最大值为 【分析】本题考查了新定义运算和二元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列式计算和列出关于未知数的方程． （1）根据“相异数”的定义列式计算即可； （2）由，，结合，即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根据“相异数”的定义结合 的定义式，即可求出、的值，将其代入，即可得出k值． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：∵s，t都是“相异数”，其中， ， ， ， ， ， ，都是正整数， ∴或或或或或或， 是“相异数”，，， 是“相异数”，，， 所以满足条件的有或或或， 所以或或或． 因为，所以的最大值为． 故答案为：． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期中）有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x，y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的整体思想． 解决问题： （1）已知二元一次方程组，则________，_______； （2）“战疫情，我们在一起”，爱心公社计划为老年公寓捐赠一批防疫物资．已知购买20瓶消毒液、3支测温枪、2套防护服共需1180元；购买30瓶消毒液、2支测温枪、8套防护服共需2170元，若该公益组织实际捐赠了100瓶消毒液、10支测温枪、20套防护服，则购买这批防疫物资共需多少元？ （3）对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，那么求的值． 【答案】（1），5；（2）购买这批防疫物资共需6700元；（3）-11 【分析】（1）直接把两个方程相加或相减，即可求出答案； （2）根据题意，列出方程组，然后利用整体思想代入计算，即可得到答案； （3）根据题意，利用新定义进行计算，然后利用整体的思想即可求出的值． 【详解】解：（1）， 由②-①得：，①+②得：， ∴， 答案：，5；                      （2）设的消毒液单价为m元，测温枪的单价为n元，防护服的单价为p元， 由题意得：，                            由①+②得：， ∴， 答：购买这批防疫物资共需6700元；                       （3）由题意得：，                   由3×①-2×②可得：， ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解二元一次方程的方法，以及利用整体的思想进行解题，解题的关键是熟练掌握利用整体思想进行解题． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)某旅行团组织游客乘船夜游松花江，要购买一些船票，若买4张过江船票，2张观光船票共需72元；买7张过江船票，3张观光船票共需111元，则购买15张过江船票，7张观光船票共需多少元？ (3)对于实数，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求______． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）分别①②，①②即可求出； （2）设一张过江船票为元，一张观光船票为元，根据题意列出方程组即可得到答案； （3）根据题意列出三元一次方程组，计算即可． 【详解】（1）解：， ①②：， 解得； ①②：， 解得， 故； （2）解：设一张过江船票为元，一张观光船票为元， 依题意得：， 则购买15张过江船票，7张观光船票即为， ，得：， 解得， 故购买15张过江船票，7张观光船票共需元； （3）解：由题意得：①， ②， ， 可得， 解得． 故 【拓展训练四 二元一次方程组实际综合应用】 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图，有一条三角形的环路，A至B 段是上坡路，B至C段是下坡路，A至C段是平路，A至B、B至C、C至A三段距离的比是，小琼和小芳同时从A出发，小琼按顺时针方向行走，小芳按逆时针方向行走，2个半小时后在上的D 点相遇，已知两人上坡速度是4千米/小时，下坡速度是6千米/小时，在平路上的速度是5千米/小时．问C至D段是多少千米？ 【答案】2千米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设，根据时间路程速度，结合2个半小时后在上的D 点相遇，列出方程组求解即可． 【详解】解：设， 由题意得， 解得， 答：的实际距离为2千米 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）用二元一次方程（组）解决问题：为了防治“新型冠状病毒”，某小区准备用3500元购买医用口罩和消毒液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则钱还缺100元；若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完． (1)求医用口罩和消毒液的单价； (2)由于实际需要，除购买医用口罩和消毒液外，还需购买单价为6元的口罩m个．若需购买医用口罩和口罩共1000个，剩余的钱恰好可以买n瓶消毒液，若，则 ． 【答案】(1)医用口罩：1.5元/个，消毒液：20元/瓶 (2)120或160 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． （1）设医用口罩和消毒液的单价分别为元/个和元/瓶，根据“某小区准备用3500元购买医用口罩和消毒液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则钱还缺100元；若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完”列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）由题意可得，整理可得，在结合，均为正整数，且即可得解． 【详解】（1）解：设医用口罩和消毒液的单价分别为元/个和元/瓶， 由题意可得：， 解得：， ∴医用口罩和消毒液的单价分别为元/个和元/瓶； （2）解：由题意可得：， 整理可得：， ∵，均为正整数，且， ∴为的倍数， ∴或． 3．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为1的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求出每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起，此时高度是 ； (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 【答案】(1)15 (2)20 (3)64 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出每个小长方形的面积； （2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，根据图示数据列二元一次方程组，求出a，b的值，即可求解； （3）设小长方形的长为x，宽为y，根据长方形的长为19，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 每个小长方形的面积为：； （2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为， 根据题意，得， 解得， 则13个纸杯整齐叠放在一起的高度为：， 故答案为：20； （3）解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得， 解得， ∴阴影部分的面积为：． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）某船顺流航行用了，逆流航行，用了，则水流速度为 ，船在静水中的速度为 A．2，10 B．2，15 C．10，2 D．15，2 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，正确列方程组是解题的关键；设水流速度为，船在静水中的速度为，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设水流速度为，船在静水中的速度为． 由题意，得， 解得， 水流速度为，船在静水中的速度为， 故选：． 2．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段练习）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现在拿斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据5斗酒和斗谷子列方程组即可得到答案； 【详解】解：设清酒斗，醑酒斗， 由题意可得，， 故选：A． 3．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）学校计划采购一批足球和篮球，若购买3个足球和2个篮球，共需270元；若购买2个足球和3个篮球，共需280元．通过设适当的未知量可列出方程组若用可得，下列关于“”的意义解释正确的是（   ） A．每个篮球比足球便宜10元 B．每个篮球比足球贵10元 C．足球比篮球多买了10个 D．足球比篮球少买了10个 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意和所列方程得到为每个足球的价格，为每个篮球的价格，进而得到的意义即可． 【详解】解：由题意和所列方程组可知：为每个足球的价格，为每个篮球的价格， ∴表示每个篮球比足球贵10元； 故选B． 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）王林、李华和张明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则张明的得分是（   ） A．18分 B．20分 C．21分 D．23分 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设投中外环得x分，投中内环得y分，则张明得分分，根据王林得23分和李华得19分，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入中即可求解． 【详解】解：设投中外环得x分，投中内环得y分，则张明得分分， 根据题意，得， 解得：， ∴， 即张明得分为21分， 故选：C． 5．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，长方形中有6个形状、大小完全相同的小长方形，其余为阴影部分，根据图中所标尺寸，图中阴影部分的面积之和为（   ） A．12 B．18 C．24 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 设小长方形的长为x，宽为y，根据图形中给定的长度，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用阴影部分的面积和大长方形的面积个小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 依题意得：， 解得：， 则图中阴影部分的面积之和为． 故选：B． 6．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）一次测验中共有20道题，规定答对一题得5分，答错得负2分，不答得0分．某同学在这次测验有两题没有答，共得分69分．则该生答对 题． 【答案】15 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．设该生答对x道，答错y道，根据总共20道题得分69分，列方程组求解． 【详解】解：设该生答对x道，答错y道，由题意得： ， 解得：； 则该生答对15道题． 故答案为：15． 7．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）小丹准备购进两种类型的便携式风扇出售．已知2台型风扇和1台型风扇进价共36元，3台型风扇和2台型风扇进价共62元，则型风扇进货的单价是 元，型风扇进货的单价是 元． 【答案】 10 16 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，明确题意，找出等量关系列出方程组是解题的关键． 根据题干信息，设、型风扇的进货的单价分别为、元，根据等量关系列二元一次方程组解答即可． 【详解】解：设型风扇的进货单价为元，型风扇的进货单价为元， 由题意，得： 解得： 故型风扇的进货单价为元，型风扇的进货单价为元． 故答案为：①10；②16． 8．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问：恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？若设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据“用块型钢板可制成块型钢板和块型钢板；用块型钢板可制成块型钢板和块型钢板,共需要块型钢板、块型钢板”列方程组即可． 【详解】解：设用A型钢板块，用型钢板块，根据题意，得： 故答案为： 9．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是，则可列方程组： ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组． 设甲的速度是km/h，乙的速度是km/h，根据路程=速度×时间结合两次运动的情形，即可得出关于的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设甲的速度是km/h，乙的速度是km/h， 依题意，得： 故答案为： 10．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）如图，将张相同的长方形纸片不重叠的放在长方形内，已知小长方形纸片的长为，宽为，且，若未被覆盖的两个长方形周长相等，则与的数量关系用等式可表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程的应用，如图所示，结合已知分别表示出长方形与长方形的周长，依据周长相等可得结果．弄清题意，依据等量关系列方程是解本题的关键． 【详解】解：依题意，小长方形纸片的长为，宽为， 如图所示， 长方形的周长为：， 长方形的周长为：， 长方形的周长与长方形的周长相等， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（25-26七年级上·安徽六安·阶段练习）有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为7．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为1300．求原来的两位数． 【答案】25或52 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意设出未知数，列出方程并求解． 设原来两位数十位上的数字为，则个位上的数字为，表示出原两位数和新两位数，根据它们的积为1300列方程求解． 【详解】解：设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为． 根据题意，得． 整理，得． 解得，． 当时，，原来的两位数为25； 当时，，原来的两位数为52． 答：原来的两位数为25或52． 12．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）列二元一次方程组解下列问题 (1)某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需430元，购买3个篮球和2个足球共需420元，求每个篮球和每个足球的售价． (2)、两地相距36千米，若甲、乙两人都从地去地，乙比甲先出发2小时，甲出发4小时后追上乙；若甲、乙分别从、两地出发，相向而行，乙比甲早出发1.5小时，两人在甲出发后3小时相遇．求甲、乙两人的速度． 【答案】(1)每个篮球的售价为80元，每个足球的售价为90元 (2)甲的速度为，乙的速度为 【分析】本题考查了方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键． （1）设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元，根据题意可列，解方程组即可； （2）设甲的速度为，乙的速度为，根据题意可列，解方程组即可． 【详解】（1）解：设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元， 所以根据题意列二元一次方程组得：， 解得， 答：每个篮球的售价为80元，每个足球的售价为90元． （2）设甲的速度为，乙的速度为， 由题意得：， 解得：． 答：甲的速度为，乙的速度为． 13．（24-25七年级上·安徽池州·期中）某电商销售长征系列画册和红色经典故事两种图书，它们的进价和售价如表： 种类 长征系列画册 红色经典故事 进价元/套 300 x 售价元/套 y 100 该电商销售6套长征系列画册和5套红色经典故事，盈利800元；销售10套长征系列画册和15套红色经典故事，盈利1600元利润=售价-进价求表中x、y的值． 【答案】x的值为60，y的值为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“该电商销售6套长征系列画册和5套红色经典故事，盈利800元；销售10套长征系列画册和15套红色经典故事，盈利1600元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得： 答：x的值为60，y的值为 14．（2025·安徽六安·模拟预测）小唯为了减轻父母的负担，计划自己攒存读高中的生活费，从年1月份开始，每月月初一次性给储蓄盒内存入相同数额的零用钱．已知2月初存款后清点储蓄盒内有存款元，2月中旬将元压岁钱也存入其中，4月初存款后清点储蓄盒内有存款元． (1)求小唯1月份存款前，储蓄盒内已有存款多少元？ (2)小唯准备将这元参加教育储蓄（教育储蓄不收利息税），已知教育储蓄一年期的利率为，三年期的年利率为．有两种储蓄方式： 方式一：先存一年期，第二年将本息和自动转存一年，第三年继续将本息和自动转存一年； 方式二：直接存三年期． 请你帮小唯计算一下，小唯应选择哪一种储蓄方式更合算？ 【答案】(1)小唯1月份存款前，储蓄盒内已有存款元 (2)小唯应选择方式二储蓄更合算，计算见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的应用及储蓄问题，读懂题意列出方程组并且掌握利息的计算公式是解题的关键， （1）设小唯每月存款x元，储蓄盒内原有存款y元，列出方程组，解得即可得到答案； （2）根据利息的计算公式分别计算两种存款方式最后本息和，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：设小唯每月存款x元，储蓄盒内原有存款y元，依题意得， 解得：， 答：小唯1月份存款前，储蓄盒内已有存款元； （2）解：由题意可得， 方式一：小唯三年后的本息和是：（元） 方式二：小唯三年后的本息和是：（元）， ∵， 答：小唯应选择方式二储蓄更合算． 15．（2025·安徽·模拟预测）某校进行校本课程时，要求学生们围桌而坐，桌子及座位（长方形表示桌子，黑点表示座位）摆放有以下两种方式可供选择： 请根据上述信息，解决下列问题： (1)若有5张桌子，按第一种方式摆放，最多可坐 人． (2)若有n张桌子，按第二种方式摆放，最多可坐 人． (3)无人机兴趣小组共有32名同学．分成2个小组，现有10张桌子，请你设计出一种座位恰好坐满的摆放方式． 【答案】(1)22 (2) (3)张桌子按照方式一摆放，张桌子按照方式二摆放， 【分析】本题考查图形类规律探究，二元一次方程组的实际应用，根据已有图形，找到规律，是解题的关键： （1）观察可知，按照第一种方式摆放，每多放一张桌子，就多坐4人，进行求解即可； （2）观察可知，按照第一种方式摆放，每多放一张桌子，就多坐2人，进行求解即可； （3）设张桌子按照方式一摆放，张桌子按照方式二摆放，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：观察可知，按照第一种方式摆放，只放1张桌子时，可坐6人，每多放一张桌子，就多坐4人， 故当有张桌子时，最多可坐人； ∴有5张桌子，按第一种方式摆放，最多可坐（人）； 故答案为：22； （2）观察可知，按照第二种方式摆放，只放1张桌子时，可坐6人，每多放一张桌子，就多坐2人， 故当有张桌子时，最多可坐人； 故答案为：； （3）设张桌子按照方式一摆放，张桌子按照方式二摆放， 由题意，得：， 解得：； 故张桌子按照方式一摆放，张桌子按照方式二摆放，即可满足题意． 学科网（北京）股份有限公司 $