专题04 二元一次方程组及三元一次方程组解法重难点题型专训（3个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪科版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题04 二元一次方程组及三元一次方程组解法重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 二元一次方程的定义 题型二 判断是否是二元一次方程组 题型三 判断是否是二元一次方程组的解 题型四 代入消元法 题型五 加减消元法 题型六 三元一次方程组的定义及解 题型七 二元一次方程组的特殊解法 题型八 构造二元一次方程组求解 题型九 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型十 二元一次方程组的错解复原问题 拓展训练一 已知二元一次方程组的解求参数 拓展训练二 方程组同解问题 拓展训练三 二元一次方程组的新定义问题 知识点一：二元一次方程（组）的概念 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 【即时训练】 1．（2025七年级上·安徽安庆·模拟预测）解为的方程组是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解，将代入各个选项中的二元一次方程组验证等式是否成立即可得到答案，熟记二元一次方程组解的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、将代入，两个方程都成立，符合题意； B、将代入，其中，不符合题意； C、将代入，其中，不符合题意； D、将代入，其中，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）请任写一个方程与方程－2=10组成一个二元一次方程组 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二元一次方程组的定义，写出一个含有字母为的二元次一次方程即可求解． 【详解】解：根据题意，与组成一个二元一次方程组的方程可以是： 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个这样的整式方程．像这样的方程组叫做二元一次方程组． 知识点二：二元一次方程（组）的解 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 2、 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）用代入消元法解方程组，将①代入②可得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代入消元法，根据代入消元法的定义，把①代入②就是把②中的y换成用x表示，即可求解． 【详解】解：将①代入②可得， 故选B． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是在二元一次方程中，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数．将x看作已知数，即可求解． 【详解】解：已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则， 故答案为：． 知识点三：二元一次方程组的解法 1.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 2.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）已知方程组的解为，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组解的定义及利用方程组的解求未知参数，解题的关键是理解方程组的解能使方程组中每个方程都成立，将解代入含未知参数的方程求解． 根据二元一次方程组解的定义，方程组的解满足其中每个方程，将代入含有的方程，得到关于的一元一次方程，求解该方程即可得到的值． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴该解满足方程， 将，代入 得：， 化简得：， 解得：， 故选：A． 2．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段练习）若是方程的一个解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解．将代入方程得到关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， 解得：， 故答案为：． 知识点四：三元一次方程（组）的概念与解法 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）已知，，则y与x的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知两等式相加消去k即可得到y与x的关系式． 【详解】解：联立得：， ①+②得：x+y=5． 故选：C． 【点睛】此题考查了解三元一次方程，利用了消元的思想，消去k是解本题的关键． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·课前预习）类比学习，探究新知：三元一次方程组解法的基本指导思想是 ，方法有 ． 【答案】 消元 代入法、加减法 【解析】略 【经典例题一 二元一次方程的定义】 【例1】（24-25七年级上·安徽池州·期中）下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的概念：含有两个未知数，最高次数为1的整式方程，熟记二元一次方程的概念是做题关键． 根据二元一次方程的概念即可判断出答案． 【详解】解：、是一元一次方程，故本选项不符合题意； 、，含有三个未知数，故本选项不符合题意； 、是二元一次方程，故本选项符合题意； 、，最高次数为2，故本选项不符合题意； 故选：． 1．（24-25七年级上·安徽六安·期末）若关于，的二元一次方程的解是，则这个二元一次方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的解．将代入方程检验即可得到结果． 【详解】解：由可得： A、，等式左右两边相等，故该选项符合题意； B、，等式左右两边不相等，故该选项不符合题意； C、，等式左右两边不相等，故该选项不符合题意； D、，等式左右两边不相等，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）如果是二元一次方程，则＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程，只含有个未知数且含有未知数的项的最高次数为一次的整式方程是二元一次方程，据此解答即可求解，掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知是关于、的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义求出、的值后即可求解． 【详解】解：是关于、的二元一次方程， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程的定义，解一元一次方程，已知字母的值，求代数式的值，解题关键是熟练掌握二元一次方程的定义． 4．（24-25七年级上·安徽·期末）新定义：形如关于x，y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中． (1)请写出方程的共轭二元一次方程； (2)若方程中x，y的值满足下面的表格，求这个方程的共轭二元一次方程． x 2 y 2 1 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，新定义方程及方程组，正确进行计算是解题关键． （1）根据共轭二元一次方程的定义解答； （2）将与的对应值代入中求出原方程，即可得到此方程的共轭二元一次方程。 【详解】（1）（1）由共轭二元一次方程的定义可得，方程的共轭二元一次方程是， 故答案为：； （2）（2）在方程中，当时，； 当时，， 所以，解得 所以方程为， 它的共轭二元一次方程为． 【经典例题二 判断是否是二元一次方程组】 【例2】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的识别，解题关键是理解二元一次方程组的定义． 根据二元一次方程组的定义，对四个方程组逐一分析作出判断． 【详解】解：方程组为，两个方程均只含未知数和，次数均为1，且为整式方程，符合二元一次方程组的条件，它是二元一次方程组，故A符合； 方程组为，含三个未知数、、，不符合“二元”要求，它不是二元一次方程组，故B不符合； 方程组为，第一个方程含二次项，次数为2，不符合“一次”要求，它不是二元一次方程组，故C不符合； 方程组为，第二个方程化简为，含二次项，次数为2，不符合“一次”要求，它不是二元一次方程组，故D不符合， 故选：A． 1．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，不是二元一次方程组，故不符合题意； B、是二元一次方程组，故符合题意； C、未知数的最高次数是2次，不是二元一次方程组，故不符合题意； D、未知数的最高次数是2次，不是二元一次方程组，故不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，由两个只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的方程组成的方程组叫做二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：∵方程组 是二元一次方程组， ∴， 故答案为：0． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是 （写出所有正确的序号）． 【答案】①②④ 【分析】含有两个未知数，且未知数的最高次数是1，这样的整式方程组是二元一次方程组，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：① ，符合二元一次方程组定义； ② ，符合二元一次方程组定义； ③ ，未知数x的最高次数是2，不符合二元一次方程组定义； ④ ，符合二元一次方程组定义； 所以符合二元一次方程组定义的是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，熟记定义是解本题的关键． 4．（2025七年级上·安徽安庆·模拟预测）如果两个二元一次方程只有一个未知数的系数不同，那么由这两个方程构成的二元一次方程组叫做和谐方程组．如：，就是和谐方程组． (1)下列方程组是和谐方程组的是（    ） A．；B．；C．． (2)请你补全和谐方程组，并求解． 【答案】(1)C (2)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了“和谐方程组”的概念，以及加减消元法解二元一次方程组． （1）根据“和谐方程组”的概念进行判断； （2）根据“和谐方程组”的概念进行填空． 【详解】（1）解：A．中的常数项不同，不是和谐方程组，故不符合题意； B．中另一个未知数的系数和常数项均不同，不是和谐方程组，故不符合题意； C．符合和谐方程组的概念，故符合题意． 故答案为：C． （2）解：根据题意知，符合题意，（答案不唯一）． 解这个方程组可得：． 【经典例题三 判断是否是二元一次方程组的解】 【例3】（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）下列方程中，解为的二元一次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解．将代入方程，判断两边是否相等，相等则为方程的解． 【详解】解：A：∵， ∴不是方程的解； B：∵， ∴是该方程的解； C：∵， ∴不是方程的解； D：∵， ∴不是方程的解； 故选：B． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）若二元一次方程，的部分解分别为表1、表2： 表1： 5 2 4 18 表2： 2 6 4 则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解需同时满足两个方程，即寻找两个方程解集的公共解，找到两个方程的公共解是是解此题的关键．根据方程组的概念进行求解即可得． 【详解】解：由表格数据可得两个方程的公共解是， 则方程组的解为， 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）写出一个解是的二元一次方程组： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据题意写出两个解为的二元一次方程，并把这两个方程组成方程组即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴符合题意的二元一次方程组可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的二元一次方程组的解是 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，利用整体思想求解是关键．把和看作整体，可得，解方程组解即可得出答案． 【详解】解：若关于x，y的二元一次方程组的解是， 则关于x，y的二元一次方程组有， 关于x，y的二元一次方程组的解是． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）有这样一道题：判断是不是二元一次方程组的解．小恒的解答过程：将代入方程中，等式成立，所以是该方程组的解．小恒的解答过程是否正确？若不正确，请说明理由． 【答案】小恒的解答过程是错误的，见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先明确二元一次方程组解的定义，在指出小恒的错误，最后将给定的解带入方程组的两个方程进行检验. 【详解】解：小恒的解答过程是错误的． 理由如下： 将代入方程中， 左边=，右边， 左边=右边； 将代入方程中， 左边=，右边=5. 左边≠右边； 不是方程组的解． 【经典例题四 代入消元法】 【例4】（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）属于二元一次方程组解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，熟练掌握代入消元法是解题的关键．将第二个方程代入第一个方程，解出y的值，再回代求x的值，验证各选项是否符合. 【详解】解： 把②代入①，可得， 解得， 把代入②，解得， ∴原方程组的解是． 故选：B． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）把方程改写成用含的式子表示的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数，解题的关键是将看作已知数求出即可． 【详解】解：， 解得：． 故选：A． 2．（25-26七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）已知，则用含的式子表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，解题关键是熟练掌握根据二元一次方程，用一个未知数表示另一个未知数． 根据，把用表示出来，然后再把代入进行化简即可． 【详解】， 将①变形为③， 将③代入②中， 即， 所以， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）用代入消元法解方程组把方程 代入方程 ，可以消去未知数 ，方程 变为 ，解得 ，将求得的结果代入方程 ，解得 ，所以原方程组的解为 ． 【答案】 ① ② ② ① 【分析】本题主要考查了利用代入消元法解方程组的解题步骤．熟悉代入法解二元一次方程组是本题的关键。 【详解】解：用代入消元法解方程组把方程代入方程，可以消去未知数，方程变为，解得，将求得的结果代入方程，解得，所以原方程组的解为． 故答案为：①① ②② ③ ④② ⑤ ⑥ ⑦① ⑧ ⑨. 4．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段练习）阅读下列解题过程，完成相应任务． 解方程组：． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，．．．第一步 去括号，得，．．．第二步 解得．．．．第三步 将代入③，得．．．．第四步 所以原方程组的解为．．．．第五步 任务一：（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做________． A．代入消元法 B．加减消元法 任务二：（2）第__________步开始出现错误，这步的正确格式应为___________； 任务三：（3）直接写出该方程组的正确解：__________． 【答案】（1）A；（2）二，；（3） 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由解答过程可知在去括号时出现错误，题中所给过程中去括号时没有变号，进而问题可求解； （3）根据代入消元法可进行求解方程． 【详解】解：（1）由题意可知这种求解二元一次方程组的方法叫做代入消元法； 故选A； （2）由题中所给过程可知：在第二步开始出现错误，这步正确的格式为； 故答案为二，； （3）． 由①，得，③ 把③代入②，得， 去括号，得， 解得， 将代入③，得， 所以原方程组的解为； 故答案为． 【经典例题五 加减消元法】 【例5】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题． 利用不含参的两个方程联立方程组求解，再代入含参方程列二元一次方程组后两式相加即可． 【详解】解：由题可列方程组， 解得， 把代入得， ①+②得， ， ． 故选：B． 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减法解答即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ①②，得， ∴， 把代入②，得， ∴， ∴方程组的解为， 故选：． 2．（24-25七年级上·安徽·期末）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组中． 将与组成方程组，解方程组可得x，y的值，然后代入中，解方程即可． 【详解】解：由题意知， 解得， 将代入，得：， 解得， 故答案为：． 3．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）若二元一次方程组的解为则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值，利用加减消元法求出方程组的解，进而即可求解． 【详解】解： 得，， 解得， 将代入得，， 解得， 该方程组的解为， ∴，， ， 故答案为：1． 4．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）用适当的方法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）将方程组整理后，运用加减消元法求解即可； （2）将方程组化简后，运用代入消元法求解即可； （3）运用换元法求解即可； （4）将方程组化简后，运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 整理，得， ，得， 解得， 将代入①，得， ∴方程组的解为； （2）解：， 方程组可化为， 由②得，③， 把③代入①，得， 解． 把代入③得，， 则方程组的解为． （3）解： 令，， 方程组可化为， 化简为， ，得， 解得， 把代入②，得， 解得 ∴， 解得． （4）解： 将原方程组化简，得 ，得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∴方程组的解为． 【经典例题六 三元一次方程组的定义及解】 【例6】（24-25七年级上·安徽宣城·期中）解方程组时，要使解法较为简便，应（    ） A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数 【答案】B 【分析】观察方程组各未知数的系数，消去的计算量比较小， 本题考查了，消元法解方程组，解题的关键是：熟练掌握，消元法解方程组． 【详解】解：， ②③，即可消去，转化成关于、的二元一次方程组， 故选：． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握加减消元法是解本题的关键，先消去未知数可得，从而可得答案． 【详解】解：， ②③得：即， ③①得：， ∴， 故选A 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）已知方程组的解满足方程，则 ． 【答案】 【分析】解出已知方程组中x，y的值代入方程即可． 【详解】解：∵， 解得：， 代入方程， 得， 解得：， 故答案为： 【点睛】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．需要对三元一次方程组的定义有一个深刻的理解．方程组有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，叫三元一次方程组．通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元． 3．（2025·安徽·模拟预测）实数满足．则 ． 【答案】 【分析】由得：，，由得：，从而得到，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∴， 由得：， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了求代数式的值，三元一次方程组，根据题意得到，是解题的关键． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）在等式中，当时，，当时，，当时，；试求当时，的值． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，掌握三元一次方程组通过消元法转化成二元一次方程组再进行求解是解题的关键． 把三组，值分别代入得到三元一次方程组，求得a、b、c的值，从而可得，再把代入即可求得y值． 【详解】解：把当时，，当时，，当时，分别代入得： ， 解得： 则， 把代入上式得： ． 【经典例题七 二元一次方程组的特殊解法】 【例7】（24-25七年级上·安徽亳州·期中）关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解二元一次方程组和一元一次方程的能力及二元一次方程的解的概念．由题意联立，求出的值并代入即可得出的值． 【详解】解：二元一次方程组的解满足， 联立，解得， 把代入，可得， 解得． 故选：D． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，根据题意得出求解即可． 【详解】解：∵方程组的解是，方程组， ∴， ∴． 故选：C． 2．（2025七年级上·安徽蚌埠·模拟预测）已知x，y，z满足，，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查换元法解二元一次方程组，运用换元法是解题的关键．将题干中两个方程联立方程组，令，，化为关于m和n的二元一次方程组求出m，n的值，从而得解． 【详解】解：将原方程联立方程组得到：， 即， 令，， 则原方程组可化为：， 解得：，即， ∴， 故答案为：1． 3．（24-25七年级上·安徽池州·期中）已知关于、的二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．整理方程组为，观察方程组可知把第二个方程组中的，看做整体，那么，的值分别为第一个方程组的解中的值，据此求解即可． 【详解】解：方程组整理得， 方程组的解为， 方程组的解为，即， 方程组的解为． 故答案为：． 4．（2025七年级上·安徽安庆·模拟预测）阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元法，那将比较繁杂，而采用下面的解法则比较简便． 解：①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是 (1)请用上述方法解方程组： (2)直接写出关于的二元一次方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据例题进行解题即可；（2）根据例题进行解题即可． 【详解】（1）解： ①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是； （2）解： ①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是. 【点睛】本题考查了特殊方法和加减消元法解二元一次方程组，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 【经典例题八 构造二元一次方程组求解】 【例8】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）对定义一种新运算“※”，规定：（其中均为非零实数），若，，则的值是（   ） A．13 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．根据题意联立二元一次方程组，解出的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 整理得， 得：， 把代入②得：， ∴， 则， 故选：B． 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数． 结论Ⅰ：的值是一个定值16； 结论Ⅱ：若m的值为6，则x的值是1； 上述结论正确的是（    ） A．结论Ⅰ B．结论Ⅱ C．两个结论都正确 D．两个结论都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了了解二元一次方程组，根据题意得出，，，则可求出，即可判定结论Ⅰ，若m的值为6，则，则可得，解方程组即可判定结论Ⅱ． 【详解】解∶根据题意，得，，， ∴， ∴，故结论Ⅰ错误； 若m的值为6，则， ∴， 解得，故结论Ⅱ正确， 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期末）已知，则 ． 【答案】34 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，联立方程组是解题的关键．通过联立已知的两个方程，可以解出a和b的具体值，再代入计算的值 【详解】解：联立方程组 解这个方程组，得， 将代入，得： ， 故答案为：34． 3．（24-25七年级上·安徽池州·期中）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个的表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方．如下，这是一个三阶幻方，则的值为 ；的值为 ． 4 3 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组． 由题意得解出x，y的值，即可解答． 【详解】解：由题意得 ， 即， ∴，． 故答案为，． 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”．例如：的交换系数方程为或． (1)方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3)2 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、代数式求值等知识，正确理解交换系数方程的定义是解题关键． （1）根据交换系数方程的定义建立方程组，利用加减消元法解方程组即可得； （2）根据交换系数方程的定义建立方程组，解方程组求出的值，再代入方程可得，，据此计算即可得； （3）根据交换系数方程的定义求出方程的交换系数方程，再分两种情况讨论，对比方程的各系数，解方程组求出，然后根据为整数求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：方程的交换系数方程为或， 则组成的方程组为或， 解得或． （2）解：方程与它的交换系数方程组成的方程组为①或②， 则方程组①的解为，当时，方程组①的解为， 方程组②的解为，当时，方程组②的解为， 由题意可知，恰好是关于的二元一次方程的一个解， 将代入得：， 所以，， 则 ． （3）解：方程的交换系数方程为或， ①当方程的交换系数方程为时， ∵是关于的二元一次方程的交换系数方程， ∴各系数与各系数相等， ∴， 解得， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵为整数， ∴，即， ∴； ②当方程的交换系数方程为时， ∵是关于的二元一次方程的交换系数方程， ∴各系数与各系数相等， ∴， 解得，不是整数，不符合题意，舍去； 综上，的值为2． 【经典例题九 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 【例9】（25-26七年级上·安徽安庆·单元测试）小明在解关于的二元一次方程组时，不小心滴上了墨水，无法做题，老师告诉他这个方程组中的值为3，则●和的值分别为（    ） A．2，2 B．2， C．8， D．8，2 【答案】A 【分析】根据确定，把未知数的值都代入方程中，解答即可．本题考查了解方程组，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：根据题意，将代入，则， 解得， 把，代入，得， 故选：A． 1．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）已知关于，的二元一次方程组（是常数），以下结论中：①若，则；②若，则；③无论取何值，的值不变；④，无自然数解．以上四个结论中，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及对解性质的分析．利用消元法解二元一次方程组，再根据各个结论逐一分析对错． 【详解】解： 解方程组 通过加减消元法解得： 结论①：当时，，，故①错误； 结论②：若，即，解得，故②正确； 结论③：由，可知，无论取何值，恒为定值，故③正确； 结论④：自然数要求为非负整数，若存在自然数解，则和需为非负整数，但需同时满足为整数，导致无法使得同时为自然数，故④正确． 综上，结论②、③、④正确，共3个． 故选：C ． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）已知，关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组；②①得，，结合题意得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：， ②-①得， ∵， ∴ 解得：, 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知关于的方程组，以下结论其中成立的是 ． ①存在实数k，使得；②不论k取何值，的值始终为；③当时，；④当时，方程组的解也是方程的解． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了含有参数的二元一次方程组的解法，解出关于和的方程组，将解用表示，再逐一代入选项验证即可． 【详解】解：解方程组，得方程组的解为， 当时，， 解得， 故存在实数k，使得， 故结论①正确； ∵，与无关，始终为1， 故结论②错误， 若，代入得：， 解得， 故结论③正确； 当时，，， 则， 故当时，方程组的解也是方程的解， 故结论④正确； 故答案为：①③④． 4．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）小宇、小恒两名同学共同解关于的方程组解完以后有下面一段对话．阅读对话内容，求出的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组解的意义，代数求值，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键． 根据二元一次方程组解的意义，将其代入原方程组求解的值，再代入代数式求解即可． 【详解】解：把，代入②，得， 解得． 把代入①，得， 解得， 所以． 【经典例题十 二元一次方程组的错解复原问题】 【例10】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了，解得，则、、正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键是理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a，b，c的值，即可求出所求． 【详解】解：把代入方程组得： ， 把代入得：， 联立得：，解得：， 由，得到， 故选：A． 1．（24-25七年级上·安徽池州·期末）已知关于，的方程组，甲同学看错了字母解得；乙同学看错了字母解得，则该方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，把甲的结果代入求出b的值，把乙的结果代入求出a的值，然后把a、b的值代入组成方程组求解即可． 【详解】解：根据题意可知，将代入， 得， 解得：， 将代入， 得， 解得：， 将，代入原方程组， 得， 解得：， ∴原方程组正确的解是． 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）在解方程时，小明把看错了，得而他看后面正确的答案是，则 ， ， ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解及解二元一次方程组的应用． 根据题意得出，，，先求出，然后联立，再解出，的值即可． 【详解】解：∵解方程时，小明把看错了，得， ∴， ∵正确的答案是， ∴，， 解得：，联立， 解得：， 故答案为：，，． 3．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）小明，小琪两人一起解方程组，由于小明看错了方程①中的，得到的方程组的解为．小琪看错了方程②中的，得到的方程组的解为，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查二元一次方程组中的看错问题，将解代入到未看错的方程中求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意，是方程的解，是方程的解， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：2． 4．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）下面是两位同学解方程组的做法， 芊芊的做法如下： 由方程①得③ 将方程③代入②得 解得 把代入③ ∴方程组的解为 浩浩的做法如下： 由①×2得③ 由②＋③得 解得 把代入①得 ∴方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题． (1)芊芊的消元方法是 ；浩浩的消元方法是 ． (2)判断 （选填“芊芊”或“浩浩”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 【答案】(1)代入消元法；加减消元法 (2)浩浩；，见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）由加减消元法和代入消元法的步骤判断即可； （2）浩浩的做法中，由①2得③，错了．由加减消元法和代入消元法的步骤分别求解即可． 【详解】（1）解：芊芊的消元方法是代入消元法；浩浩的消元方法是加减消元法． 故答案为：代入消元法，加减消元法． （2）解：浩浩. 正确解答如下： 由①2得③． 由②③得． 解得． 把代入①得． 方程组的解为． 【拓展训练一 已知二元一次方程组的解求参数】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）甲、乙两人同时解关于x，y的二元一次方程组时，甲看错了方程①中的，得到方程组的解为乙看错了方程②中的，得到方程组的解为试计算的值． 【答案】9 【分析】根据甲看错方程①的，但方程②的不受影响，所以用甲的解代入方程②可求；乙看错方程②的，但方程①的不受影响，用乙的解代入方程①可求，最后计算 ．本题主要考查二元一次方程组的解的概念，熟练掌握方程组的解能使方程左右两边相等，利用错解求正确的未知参数是解题的关键． 【详解】解：把代入方程②，得， 解得． 把代入方程①，得，解得． 所以． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“郡一”方程组． (1)下列方程组是“郡一”方程组的是___________（只填写序号）； ①②③． (2)若关于的方程组是“郡一”方程组，求的值； (3)若对于任意的无理数，关于的方程组都是“郡一”方程组，求的值． 【答案】(1)②③/③② (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键． （）根据“郡一”方程组的定义，逐项判断即可求解； （）先求出原方程组的解，再代入，即可求解； 【详解】（1）解：①， 解得， 此时， 不是“郡一”方程组； ②， 解得， 此时， 是“郡一”方程组； ③， 解得， 此时， 是“郡一”方程组； 故答案为：②③； （2）， ①，得③， ②-③，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是， 关于的方程组是“郡一”方程组， ， 即， 解得或； （3）若对于任意的无理数，关于，的方程组都是“郡一”方程组， 则， 联立得：， 解得或， 把代入中， 得， ， 为任意无理数， ， 解得：， ； 把代入中， 得， ， 为任意无理数， ， 解得：， ； 综上所述，的值为或． 3．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）某数学兴趣小组在一次探究性学习中，研究了“寻找无数组整数x，y，使得”的问题，指导教师将学生的发现进行整理，设计了如下数表，部分信息如下： x … 5 11 （_______） … y … 1 （_______） … (1)观察表格，根据规律请在表格的横线上填空； (2)由上面的规律可知，若表中某一列的两个整数依次是m和n，这表中相邻的下一列的两个数分别是_______和_______（分别用m和n表示）； (3)有同学根据上面的探究得出结论“对于任何正整数k，都存在无数组整数m，n，使得成立”．请对该结论判断正误并简述理由． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)结论正确，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的解． （1）观察表格，找到规律，即可填空； （2）根据规律求解即可； （3）假设是方程的一个解，令，，代入求解即可证明结论正确． 【详解】（1）解：观察规律，x每次增加6，y每次减少5， 所以，填写表格如下： x … 5 11 17 … y … 1 … （2）解：根据规律知，这表中相邻的下一列的两个数分别是和； 故答案为：，； （3）解：结论正确，理由如下， 5和3的最大公约数为1，能被1整除， ∵1能整除任意正整数k， ∴必有整数解， 假设是方程的一个解， ∴， 对于任意整数，令，， 代入方程左边得，， ∴是方程的解， 由于整数有无数个， ∴方程有无数组整数解， 综上，对于任何正整数k，都存在无数组整数m，n，使得成立． 【拓展训练二 方程组同解问题】 1．（24-25七年级上·安徽六安·期末）已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和求代数式的值等知识，能求出两方程组的相同的解是解此题的关键． （1）求出的解，即可解答； （2）将代入到中，求出a、b的值，再代入求值． 【详解】（1）解：由题意，得， ，得， ∴， 把代入①得， ∴， 它们的相同解为； （2）解：将代入，得， 解得． ， ． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想． （1）解方程组，利用加减消元法，很快可求得此方程组的解为______； （2）如何解方程组呢？我们可以把，看成一个整体，设，，很快可以求出原方程组的解为______； 由此请你解决下列问题： 若关于，的方程组与有相同的解，求、的值． 【答案】（1）；（2）；，． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法，理解同解方程组的意义，并利用整体思想解题是关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可得； （2）直接根据（1）的结论可得，由此即可得；根据两个方程组有相同的解求出，的值，继而求出的值即可得． 【详解】解：（1）， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 则方程组的解为， 故答案为：； （2）由（1）得：， 解得：， 即原方程组的解为， 故答案为：； ，的方程组与有相同的解， ， 解得：， 将代入方程得：，解得：， 将代入方程得：，解得：， 则，， 解得：，． 3．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)请求出这个相同的解； (2)求a，b的值； (3)请判断“无论m取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程的解”，这句话是否正确？并说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)正确，理由见解析 【分析】本题考查了同解方程组，解二元一次方程组． （1）联立，利用加减消元法解方程组即可； （2）将代入含有a，b的方程得到方程组再求解即可； （3）将代入原方程，可得恒等式，进而与m无关，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵关于x，y的方程组与有相同的解， ∴， 解得， 这个相同的解是； （2）解：将代入含有a，b的方程得： ， 解得：， ∴a，b的值分别为6，4； （3）解：正确，理由如下： 将代入中，得： ， ∴无论m取何值，都是方程的解． 【拓展训练三 二元一次方程组的新定义问题】 1．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）对x，y定义一种新运算“※”，规定：，（其中x，y均为非零常数），若，，求的值． 【答案】9 【分析】本题考查了解二元一次方程组，新定义，有理数的混合运算，根据新定义，得出方程组，利用加减消元法解方程组，得出m，n的值，然后再根据新定义，可得，把m，n的值代入即可得出答案． 【详解】解：由新定义，可得方程组为： ，得， 把代入①，得， 解得：． ． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】(1)1， (2)5 (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）阅读与思考 新定义：规定用一组有序数对表示一个点，通常用括号和逗号将两个数隔开来表示，第一个数叫做点的横坐标，第二个数叫做点的纵坐标．如点． ①已知点，且、为有理数． 当、满足时，就称点为“理想点”． 例如：点，令，得 不是“理想点”； 点，令，得 是“理想点”． ②已知点，且为有理数．当满足时，就称点为“开心点”．反之，当点为“开心点”时，则． 认真阅读上面材料，完成下面问题： (1)请仿照上述材料中①的方法判断点是否为“理想点”． (2)已知是二元一次方程组的解，若点是“开心点”，求的值． 【答案】(1)点不是“理想点” (2) 【分析】本题考查新定义，以及二元一次方程组的解法；解题关键是理解新定义以及样例的解法，解二元一次方程组时，先观察再选择合适方法求解． （1）仿照材料中①的方法，列出方程即可判断； （2）先解出二元一次方程组的解，再根据定义，列出求解． 【详解】（1）解：令得， ∵， ∴点不是“理想点”． （2）由①+②，得， 解得， 将代入②，得， ∴， ∵点是“开心点”， ∴， ∴， 解得． 答：的值为． 1．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）在①，②，③，④中，解是的有（    ） A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解．将代入各方程组，验证是否每个方程均成立，即可得出答案． 【详解】解：① 将代入第一个方程，，成立， 将代入第二个方程，，成立， 的解是； ② 将代入第一个方程，，不成立， 的解不是； ③ 将代入第一个方程，，不成立， 的解不是； ④ 将代入第一个方程，，成立， 将代入第二个方程，，成立， 的解是； 综上可知，解是的有①和④， 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）二元一次方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为（    ） A． B． C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键． 先把a看作已知数求出，然后结合方程组的解为整数即可求出a的值，进而可得答案． 【详解】解：对方程组， ②－①×2，得， ∴， ∵关于x、y的方程组的解为整数， ∴，即， ∴满足条件的所有a的值的和为． 故选：C． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）方程组的解满足互为相反数，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解求参数，相反数的定义． 根据相反数的定义得到，两方程相加得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】∵互为相反数， ∴， ， 得，即， ∴， 解得， 故选：A． 4．（2025七年级上·安徽池州·模拟预测）若小明在解关于x、y的二元一次方程组时，得到了正确结果，则♣、♥的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据方程组的解求参数，把方程组中的两个方程相加可消去y，进而解方程求出x的值，即可得到的值，再把x、y的值代入方程组中的对应方程中求出的值即可． 【详解】解： 得：，解得，即， ∴原方程组的解为， ∴， ∴， 故选：B． 5．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面写着1，2，3，⋯，49，50，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上，这五张卡片记为，下表是抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 两数的和 78 54 36 59 71 根据表格数据，可以确定的是（    ） A．卡片上的数最小 B．卡片上的数最小 C．卡片上的数比卡片上的数大 D．卡片上的数比卡片上的数大 【答案】A 【分析】本题主要考查代数方程的建立和求解，以及逻辑推理能力．通过设立方程组求解各卡片上的数值，再比较各数大小即可确定正确选项． 【详解】解：设五张卡片上的数分别， 根据题意列出方程：， 由方程①得，代入方程⑤得， 由方程②得，代入方程③得， 将和代入方程④：，解得：， 则， 比较各数大小：为最小值，故选项A正确． 其他选项中，非最小，，，均不成立． 故选：A． 6．（2025七年级上·安徽·模拟预测）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，将两个方程相加后，进行求解即可． 【详解】解： ，得, ∴ 故答案是：． 7．（25-26七年级上·安徽·阶段练习）已知方程是关于，的二元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，正确理解二元一次方程的定义是解题的关键．形如(且)的方程，只含有二个未知数，并且未知数的项的次数是1的整式方程，是二元一次方程，据此回答即可． 【详解】解：依题意，得， 解得，， 故答案为： 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知关于的方程组，如果它的解与互为相反数，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解求参数，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 根据方程组整理得到，再结合它的解与互为相反数，推出，解之，即可解题． 【详解】解：关于的方程组， 由①②得， 它的解与互为相反数， ， 解得； 故答案为：． 9．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）十八世纪伟大的数学家欧拉，他创造并推广了大量的数学符号，使数学表达更加简洁与方便．把关于的多项式用符号的形式来表示，把等于的多项式的值用来表示． 例如：当时，的值记为． （1）已知，则 ； （2）已知，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值、列二元一次方程组． （1）将代入计算即可； （2）根据得到关于a、b的方程组，解方程组得到，然后将代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 （从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）． 【答案】乙槽 【分析】设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根据题意，得，当时，x最大，为8，根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故第二次操作最小的是乙槽． 本题考查了方程的应用，特殊解，熟练掌握整数解是解题的关键． 【详解】设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根据题意，得，当时，x最大，为8，根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故第二次操作计分最低的是乙槽． 故答案为：乙槽． 11．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）利用加减消元法求出解即可； （2）利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）解： 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：． （2）解： 得：， 得：， 得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 12．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）已知是二元一次方程组的解，求的值． 【答案】3 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，熟练掌握方程组的解法是解题关键．先将代入方程组可得，则可得，再利用方程②减去方程①求解即可得． 【详解】解：∵是二元一次方程组的解， ∴， 整理得：， 由②①得：， 所以的值为3． 13．（2025七年级上·安徽安庆·模拟预测）二元一次方程组有可能无解．例如方程组无解，原因是将①×2，得，它与②式存在矛盾，导致原方程组无解．若关于的方程组无解，求必须满足的条件． 【答案】且 【分析】本题考查二元一次方程组的求解．根据题意可知，方程组无解，则方程组内左边相同，右边不同，据此即可解答． 【详解】解：， ，得， 由题意知，且，解得且． 14．（2025七年级上·安徽安庆·模拟预测）若是关于的二元一次方程，则（   ） A．        B． C．        D． 下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确答案，并说明理由． 解：因为2025是关于的二元一次方程， 所以． 解得．故选A． 【答案】马虎的解法不正确．正确选项为D，见解析 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解答本题的关键．方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程． 马虎的解法未考虑未知数的系数不能为0，故错误；根据二元一次方程的定义求解即可. 【详解】解：马虎的解法不正确．正确选项为D．理由如下： 因为是关于，的二元一次方程， 所以 解得 故选D． 15．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：， 所以的值为3． 【类比迁移】 （1）已知，求的值； 【实际应用】 （2），求的值； （3）试根据上面的方法解决下面的问题： 某校举办法治常识模拟预测，确定前60名参赛者获奖，原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人，最后调整为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人．调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分，已知原定二等奖的平均分比三等奖的高7分，问：调整后一等奖的平均分比二等奖的平均分高多少？ 【答案】（1）18；（3）3；（3）5分 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用以及整体思想的应用等知识，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． （1）由整体思想求值即可； （2）由整体思想求值即可； （3）先设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，由于总分不变，列出方程组，求出一等奖比二等奖平均分多的分数，最后根据调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分列出代数式，即可求出答案． 【详解】解：（1）， 得：， 得：， ∴的值为18； （2）， 得，， ∴， 得，， ∴； （3）设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分， 由于总分不变，得：， 由①得： ， 将②代入③得：， 解得：， 则原来一等奖比二等奖平均分多6分， 又调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分， 则调整后一等奖比二等奖平均分数多（分）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二元一次方程组及三元一次方程组解法重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 二元一次方程的定义 题型二 判断是否是二元一次方程组 题型三 判断是否是二元一次方程组的解 题型四 代入消元法 题型五 加减消元法 题型六 三元一次方程组的定义及解 题型七 二元一次方程组的特殊解法 题型八 构造二元一次方程组求解 题型九 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型十 二元一次方程组的错解复原问题 拓展训练一 已知二元一次方程组的解求参数 拓展训练二 方程组同解问题 拓展训练三 二元一次方程组的新定义问题 知识点一：二元一次方程（组）的概念 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 【即时训练】 1．（2025七年级上·安徽安庆·模拟预测）解为的方程组是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）请任写一个方程与方程－2=10组成一个二元一次方程组 ． 知识点二：二元一次方程（组）的解 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 2、 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）用代入消元法解方程组，将①代入②可得（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则 ． 知识点三：二元一次方程组的解法 1.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 2.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）已知方程组的解为，则m的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段练习）若是方程的一个解，则 ． 知识点四：三元一次方程（组）的概念与解法 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）已知，，则y与x的关系是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·课前预习）类比学习，探究新知：三元一次方程组解法的基本指导思想是 ，方法有 ． 【经典例题一 二元一次方程的定义】 【例1】（24-25七年级上·安徽池州·期中）下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽六安·期末）若关于，的二元一次方程的解是，则这个二元一次方程可以是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）如果是二元一次方程，则＝ ． 3．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知是关于、的二元一次方程，则 ． 4．（24-25七年级上·安徽·期末）新定义：形如关于x，y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中． (1)请写出方程的共轭二元一次方程； (2)若方程中x，y的值满足下面的表格，求这个方程的共轭二元一次方程． x 2 y 2 1 【经典例题二 判断是否是二元一次方程组】 【例2】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是 （写出所有正确的序号）． 4．（2025七年级上·安徽安庆·模拟预测）如果两个二元一次方程只有一个未知数的系数不同，那么由这两个方程构成的二元一次方程组叫做和谐方程组．如：，就是和谐方程组． (1)下列方程组是和谐方程组的是（    ） A．；B．；C．． (2)请你补全和谐方程组，并求解． 【经典例题三 判断是否是二元一次方程组的解】 【例3】（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）下列方程中，解为的二元一次方程是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）若二元一次方程，的部分解分别为表1、表2： 表1： 5 2 4 18 表2： 2 6 4 则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）写出一个解是的二元一次方程组： ． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的二元一次方程组的解是 4．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）有这样一道题：判断是不是二元一次方程组的解．小恒的解答过程：将代入方程中，等式成立，所以是该方程组的解．小恒的解答过程是否正确？若不正确，请说明理由． 【经典例题四 代入消元法】 【例4】（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）属于二元一次方程组解的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）把方程改写成用含的式子表示的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）已知，则用含的式子表示为 ． 3．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）用代入消元法解方程组把方程 代入方程 ，可以消去未知数 ，方程 变为 ，解得 ，将求得的结果代入方程 ，解得 ，所以原方程组的解为 ． 4．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段练习）阅读下列解题过程，完成相应任务． 解方程组：． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，．．．第一步 去括号，得，．．．第二步 解得．．．．第三步 将代入③，得．．．．第四步 所以原方程组的解为．．．．第五步 任务一：（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做________． A．代入消元法 B．加减消元法 任务二：（2）第__________步开始出现错误，这步的正确格式应为___________； 任务三：（3）直接写出该方程组的正确解：__________． 【经典例题五 加减消元法】 【例5】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽·期末）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 3．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）若二元一次方程组的解为则的值为 ． 4．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）用适当的方法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【经典例题六 三元一次方程组的定义及解】 【例6】（24-25七年级上·安徽宣城·期中）解方程组时，要使解法较为简便，应（    ） A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）已知方程组的解满足方程，则 ． 3．（2025·安徽·模拟预测）实数满足．则 ． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）在等式中，当时，，当时，，当时，；试求当时，的值． 【经典例题七 二元一次方程组的特殊解法】 【例7】（24-25七年级上·安徽亳州·期中）关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·安徽蚌埠·模拟预测）已知x，y，z满足，，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽池州·期中）已知关于、的二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ． 4．（2025七年级上·安徽安庆·模拟预测）阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元法，那将比较繁杂，而采用下面的解法则比较简便． 解：①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是 (1)请用上述方法解方程组： (2)直接写出关于的二元一次方程组的解． 【经典例题八 构造二元一次方程组求解】 【例8】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）对定义一种新运算“※”，规定：（其中均为非零实数），若，，则的值是（   ） A．13 B． C．11 D． 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数． 结论Ⅰ：的值是一个定值16； 结论Ⅱ：若m的值为6，则x的值是1； 上述结论正确的是（    ） A．结论Ⅰ B．结论Ⅱ C．两个结论都正确 D．两个结论都不正确 2．（24-25七年级上·安徽池州·期末）已知，则 ． 3．（24-25七年级上·安徽池州·期中）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个的表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方．如下，这是一个三阶幻方，则的值为 ；的值为 ． 4 3 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”．例如：的交换系数方程为或． (1)方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值． 【经典例题九 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 【例9】（25-26七年级上·安徽安庆·单元测试）小明在解关于的二元一次方程组时，不小心滴上了墨水，无法做题，老师告诉他这个方程组中的值为3，则●和的值分别为（    ） A．2，2 B．2， C．8， D．8，2 1．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）已知关于，的二元一次方程组（是常数），以下结论中：①若，则；②若，则；③无论取何值，的值不变；④，无自然数解．以上四个结论中，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）已知，关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知关于的方程组，以下结论其中成立的是 ． ①存在实数k，使得；②不论k取何值，的值始终为；③当时，；④当时，方程组的解也是方程的解． 4．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）小宇、小恒两名同学共同解关于的方程组解完以后有下面一段对话．阅读对话内容，求出的值． 【经典例题十 二元一次方程组的错解复原问题】 【例10】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了，解得，则、、正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 1．（24-25七年级上·安徽池州·期末）已知关于，的方程组，甲同学看错了字母解得；乙同学看错了字母解得，则该方程组的解为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）在解方程时，小明把看错了，得而他看后面正确的答案是，则 ， ， ． 3．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）小明，小琪两人一起解方程组，由于小明看错了方程①中的，得到的方程组的解为．小琪看错了方程②中的，得到的方程组的解为，则的值是 ． 4．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）下面是两位同学解方程组的做法， 芊芊的做法如下： 由方程①得③ 将方程③代入②得 解得 把代入③ ∴方程组的解为 浩浩的做法如下： 由①×2得③ 由②＋③得 解得 把代入①得 ∴方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题． (1)芊芊的消元方法是 ；浩浩的消元方法是 ． (2)判断 （选填“芊芊”或“浩浩”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 【拓展训练一 已知二元一次方程组的解求参数】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）甲、乙两人同时解关于x，y的二元一次方程组时，甲看错了方程①中的，得到方程组的解为乙看错了方程②中的，得到方程组的解为试计算的值． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“郡一”方程组． (1)下列方程组是“郡一”方程组的是___________（只填写序号）； ①②③． (2)若关于的方程组是“郡一”方程组，求的值； (3)若对于任意的无理数，关于的方程组都是“郡一”方程组，求的值． 3．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）某数学兴趣小组在一次探究性学习中，研究了“寻找无数组整数x，y，使得”的问题，指导教师将学生的发现进行整理，设计了如下数表，部分信息如下： x … 5 11 （_______） … y … 1 （_______） … (1)观察表格，根据规律请在表格的横线上填空； (2)由上面的规律可知，若表中某一列的两个整数依次是m和n，这表中相邻的下一列的两个数分别是_______和_______（分别用m和n表示）； (3)有同学根据上面的探究得出结论“对于任何正整数k，都存在无数组整数m，n，使得成立”．请对该结论判断正误并简述理由． 【拓展训练二 方程组同解问题】 1．（24-25七年级上·安徽六安·期末）已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想． （1）解方程组，利用加减消元法，很快可求得此方程组的解为______； （2）如何解方程组呢？我们可以把，看成一个整体，设，，很快可以求出原方程组的解为______； 由此请你解决下列问题： 若关于，的方程组与有相同的解，求、的值． 3．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)请求出这个相同的解； (2)求a，b的值； (3)请判断“无论m取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程的解”，这句话是否正确？并说明理由． 【拓展训练三 二元一次方程组的新定义问题】 1．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）对x，y定义一种新运算“※”，规定：，（其中x，y均为非零常数），若，，求的值． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）阅读与思考 新定义：规定用一组有序数对表示一个点，通常用括号和逗号将两个数隔开来表示，第一个数叫做点的横坐标，第二个数叫做点的纵坐标．如点． ①已知点，且、为有理数． 当、满足时，就称点为“理想点”． 例如：点，令，得 不是“理想点”； 点，令，得 是“理想点”． ②已知点，且为有理数．当满足时，就称点为“开心点”．反之，当点为“开心点”时，则． 认真阅读上面材料，完成下面问题： (1)请仿照上述材料中①的方法判断点是否为“理想点”． (2)已知是二元一次方程组的解，若点是“开心点”，求的值． 1．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）在①，②，③，④中，解是的有（    ） A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④ 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）二元一次方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为（    ） A． B． C．8 D．10 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）方程组的解满足互为相反数，则为（   ） A． B． C． D． 4．（2025七年级上·安徽池州·模拟预测）若小明在解关于x、y的二元一次方程组时，得到了正确结果，则♣、♥的值分别是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面写着1，2，3，⋯，49，50，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上，这五张卡片记为，下表是抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 两数的和 78 54 36 59 71 根据表格数据，可以确定的是（    ） A．卡片上的数最小 B．卡片上的数最小 C．卡片上的数比卡片上的数大 D．卡片上的数比卡片上的数大 6．（2025七年级上·安徽·模拟预测）若，则 ． 7．（25-26七年级上·安徽·阶段练习）已知方程是关于，的二元一次方程，则的值为 ． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知关于的方程组，如果它的解与互为相反数，那么 ． 9．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）十八世纪伟大的数学家欧拉，他创造并推广了大量的数学符号，使数学表达更加简洁与方便．把关于的多项式用符号的形式来表示，把等于的多项式的值用来表示． 例如：当时，的值记为． （1）已知，则 ； （2）已知，若，，则 ． 10．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 （从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）． 11．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）解二元一次方程组： (1) (2) 12．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）已知是二元一次方程组的解，求的值． 13．（2025七年级上·安徽安庆·模拟预测）二元一次方程组有可能无解．例如方程组无解，原因是将①×2，得，它与②式存在矛盾，导致原方程组无解．若关于的方程组无解，求必须满足的条件． 14．（2025七年级上·安徽安庆·模拟预测）若是关于的二元一次方程，则（   ） A．        B． C．        D． 下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确答案，并说明理由． 解：因为2025是关于的二元一次方程， 所以． 解得．故选A． 15．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：， 所以的值为3． 【类比迁移】 （1）已知，求的值； 【实际应用】 （2），求的值； （3）试根据上面的方法解决下面的问题： 某校举办法治常识模拟预测，确定前60名参赛者获奖，原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人，最后调整为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人．调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分，已知原定二等奖的平均分比三等奖的高7分，问：调整后一等奖的平均分比二等奖的平均分高多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $