专题03 用一元一次方程解决问题重难点题型专训（1个知识点+14大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪科版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题03 用一元一次方程解决问题重难点题型专训 （1个知识点+14大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 行程问题 题型二 配套问题 题型三 工程问题 题型四 销售盈亏问题 题型五 比赛积分问题 题型六 方案选择问题 题型七 数字问题 题型八 几何问题 题型九 动点问题 题型十 和差倍分问题 题型十一 电费和水费问题 题型十二 比例分配问题 题型十三 日历问题 题型十四 古代问题 拓展训练一 一元一次方程与数轴综合应用 拓展训练二 一元一次方程实际综合应用 拓展训练三 一元一次方程的应用规律问题 知识点一：用一元一次方程解决问题 1. 列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审：弄清题意和题目中的数量关系。 （2） 设：用字母表示题目中的一个未知量。 （3） 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 （4） 列：根据这个相等关系列出方程。 （5） 解：解所列的方程，求出未知数的值。 （6） 验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。 （7） 答：写出答案。 2．设未知数的三种方法： （1） 直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。 （2） 间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。 （3） 设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。 一元一次方程应用题的常见类型 类型 内容 题中涉及的数量关系及公式 等量关系 注意事项 和、差、倍、分 问题 增长量=原有量×增长率 现有量=原有量增长量 现有量=原有量－降低量 由题可知 弄清“倍数”关系及“多”“少”关系等 行 程 问 题 相遇问题 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离 相向而行，注意出发时间、 地点 追及问题 快车行驶路程-慢车行驶距离=原距离 同向而行，注意出发时间、 地点 调配问题 从调配后的数量关系中找等量关系 调配对象流动的方向和数量 工程问题 工作量=工作效率×工作时间 工作效率=工作量÷工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般情况下，把总工作量设为1 销售打折问题 商品利润=售价-进价（成本价） 由题可知 打几折就是按售价的十分之几销售 数字问题（包括日历中的数字规律） 设、分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为 由题可知 ①对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律； ②设间接未知数 阶梯付费问题 由题可知 注意付费特点是阶梯式的 方案选择问题 由题可知 方案选择问题一般比较之后选最优的方案。 【即时训练】 1．（2025·安徽·模拟预测）已知在长的公路两端有两辆汽车，其中车的速度为，车的速度为，两辆汽车相向而行．已知车先开始行驶，车在车开始行驶后一个小时才开始行驶，设车行驶后与车相遇，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·安徽滁州·阶段练习）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，在如图1所示的幻方中，9个格中的数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为，在如图2所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，则的值为 ． 【经典例题一 行程问题】 【例1】（24-25七年级上·安徽宣城·期中）一艘轮船从甲码头顺流航行到达乙码头，又从乙码头逆流航行返回甲码头，已知这艘轮船在静水中的速度是，求水流的速度及甲乙两地的距离？ 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）王先生计划骑车以每小时千米的速度由A地到B地，这样便可在规定时间到达地，但他因事将原计划的出发时间推迟了分钟，便只好以每小时千米的速度前进，结果比规定时间早分钟到达地，如果设A、B两地间的路程为千米，则下列方程中正确的是( ) A． B． C． D． 2．（2025七年级上·安徽安庆·模拟预测）（1）环形跑道400米，小明跑步每秒行9米，爸爸骑车每秒行16米，两人同时同地反向而行，经过 秒两人相遇； （2）如果两人同时同地同向而行，经过 秒两人第一次相遇． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）一支长千米的队伍正在前进，在队尾的李明要送信给队首的首长，他跑步用了6分钟赶到队首将信送给首长，为了返回队尾，他原地等待了24分钟．如果他以原速度跑回队尾，要多长时间？ 4．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）滴滴快车是一种便捷的出行工具，属于共享经济理念的出行服务．某地滴滴快车计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/公里 元/分钟 元/公里 注：1．车费=里程费+时长费+远途费，其中里程费按行车的实际里程计算； 2．时长费按行车的实际时间计算； 3．远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收元． (1)已知小张从学校乘坐滴滴快车回家，乘车时长为10分钟，没有产生远途费的情况下支付了元车费．试求小张家到学校的里程． (2)星期六早上，小张和聪聪两人从该地出发，各自乘坐滴滴快车去省城参加无人机航展大赛，行车时间分别为分钟、分钟．已知聪聪比小张的行车里程多8公里，两人所付车费、计费项目都相同．设，试求出的值． 【经典例题二 配套问题】 【例2】（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母22个或螺栓16个．为使每天生产的螺栓和螺母恰好配套．应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 1．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）包装厂有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120张，或长方形铁片80张．将圆形铁片2张和长方形铁片1张可配套做成一个密封圆桶．问如何安排工人生产圆形铁片或长方形铁片，能合理的将铁片配套？设安排人生产圆形铁片，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期中）光明服装厂要生产一批某种型号的工作服，已知3米长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套．若计划用600米长的这种布料生产工作服，则用其中 米布料生产裤子，才能恰好配套． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿．现有木材用来制作桌子． (1)设用木材用来制作桌面，剩余的木材用来制作桌腿，可制作桌面_____个，制作桌腿______个； (2)最多可以制作多少张桌子？ (3)由1人制作这些桌子需要完成．现计划由一部分人先做，然后增加2人与他们一起合作，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人工作？ 4．（24-25七年级上·安徽六安·期中）七年级四班共有学生48人，其中男生人数比女生人数多2人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底26个 (1)七年级四班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【经典例题三 工程问题】 【例3】（2025·安徽宣城·模拟预测）轻音部的活动室因为一项维修工作暂时停用了，这项维修工作一个人做需要花费16个小时，现在安排一部分人先做2小时，后续又增加了2人，在3小时后完成了任务，假如这些人的工作效率都相同，则最开始应安排多少人工作？ 1．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）整理一批数据，由一个人做要40小时完成，计划安排5人完成此项工作，在工作一段时间后需提前按完成任务，因此增加了3人和他们一起又做了30分钟，完成这项任务．假设这些人的工作效率相同，设实际完成这项工作花了x小时，可列方程为（　　） A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）甲组有20人，乙组有15人．现在另增调19人加入到甲组和乙组，要使甲组人数是乙组人数的2倍，则应调入甲组 人． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）一项工程，若由甲队单独做需要10天完成，若由乙队单独做需要20天完成． (1)若甲乙两队先一起施工5天，然后余下的工程由乙队单独完成，则乙队还需要几天能够完成任务？ (2)在（1）的条件下，若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程的总报酬为12万元，求甲队和乙队各得报酬多少万元？ 4．（24-25七年级上·安徽六安·期末）为了美化环境，建设生态城市，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择．已知甲队先做了2天，然后乙队加入一起完成剩下的工作．设工作总量为1，工作进度如下表， 时间 第1天 第3天 工作进度 (1)甲队单独完成这项工作需要 天，乙队单独完成这项工作需要 天． (2)完成这项工作共需要几天？（要求利用方程求解） 【经典例题四 销售盈亏问题】 【例4】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）一网络商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的八折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低10元销售9件的销售额相等．求这种服装每件的标价． 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）商店元旦促销，某款衣服打8折销售．每件比标价少35元，仍获利15元．下列说法正确的是（    ） A．标价为每件170元 B．促销单价为135元 C．进价为每件125元 D．不打折时利润为每件45元 2．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以八折（即按标价的80%）优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？解：如果设每件服装的成本价为元，那么每件服装的标价为 元，每件服装的实际售价为 元，每件服装的利润为 元． 由此列出方程 ，解得 ． 因此每件服装的成本价是 元． 列方程解应用题的关键： ． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）服装厂要生产一批某型号套装，已知每5米长的布料可做上衣2件或裤子5条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用米长的这种布料生产套装． (1)请问用多少米的布料做上衣，用多少米的布料做裤子？ (2)某商场以每套元的价格购进了这批服装，定价为每套元，但在运输的过程中，由于司机的疏忽丢失了一包服装，共计套，商场想尽快卖完这批服装，计划打折出售，全部售出后利润率是，求商场计划打几折出售？ 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）商场经销的两种商品，A种商品每件售价为60元，利润率为；种商品每件进价为50元，售价为80元． (1)A种商品每件进价为_______元，每件B种商品利润率为_______． (2)商场同时购进两种商品共50件，售完之后恰好总利润为1300元，求购进A种商品多少件？ (3)在“春节”期间，该商场只对两种商品进行如下的优惠促销的活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于400元 不优惠 超过400元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分打八折优惠，超过600元的部分打七五折优惠 若小明两次购买商品分别付款360元和540元，若两次合并成一次性付款可以比两次购物分别付款节省多少元？ 【经典例题五 比赛积分问题】 【例5】（24-25七年级上·安徽淮北·期末）足球比赛的规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场是0分．某队踢了17场比赛，负了5场，共得28分，那么这个队胜了多少场？ 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）足球比赛记分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分，某队进行了14场比赛，其中负5场，共得分19分，若设胜场次数为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期末）某校组织学生参加奥运知识问答，问答活动共设有道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了两名学生的得分情况： 参赛学生 答对题数 答错题数 得分 请结合表中所给数据，回答下列问题： 本次知识问答中，每答对一题加 分，每答错一题减 分． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）12月4日为安徽安庆法制宣传日．阳光中学组织4名学生参加法制知识模拟预测，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中2名学生的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 小宇 20 0 100 小辰 16 4 72 根据以上信息，请你解答下列问题： (1)答对一题得________分，答错一题得________分； (2)若参赛学生小浩得了65分，他答对了几道题？（要求∶列方程解答） 4．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）2024年7月到8月，某市举办足球联赛，共有20支足球队参赛，经过前三轮（每个足球队比赛三场）比赛之后，A、B、C三支足球队积分如下表： 足球队 比赛场数 胜场 平场 负场 积分 A 3 3 0 0 9 B 3 2 1 0 7 C 3 1 1 1 4 思考：根据上表，我们可以得到本次足球联赛积分规则：胜利一场积 分；平一场积 分，负一场积 分； 探究： （1）若一支足球队共进行了场比赛，胜利场，负的场数比胜利场数少5场，用含，的代数式表示这支足球队的总积分； （2）列方程解决问题：东方足球队是20支足球队中的一员，经过18轮激战，保持连续不败，共积分48分，那么东方足球队共胜利了多少场? 拓展：雄鹰足球队共进行了16场比赛，其中负了1场，那么雄鹰足球队的胜场总积分能等于它的平场总积分吗?为什么? 【经典例题六 方案选择问题】 【例6】（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）某中学七（2）班的同学举行“重走长征路”的野外考察活动，需要租用一辆大客车一天，现有甲、乙两辆客车的租用方案：甲车每天租金180元，另按实际路程每千米加收2元；乙车每天租金140元，另按实际路程每千米加收2.5元．当实际路程为多少千米时，两种方案的费用一样？ 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）某超市推出如下优惠方案： （1）一次性购物不超过100元不享受优惠； （2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律九折； （3）一次性购物超过300元一律八折； 兰兰两次购物分别付款80元，252元．如果兰兰一次性购买和上两次相同的物品应付款（    ） A．288元 B．288元或332元 C．332元 D．288元或316元 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为（4a＋1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b＋3）小时．该企业计划将5吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工．若分配到A生产线1.8吨，分配到B生产线3.2吨，两条生产线同时开工，则该企业的加工时间为 小时；若要使该企业加工这5吨原材料的时间最短，则分配到A生产线 吨．说明：该企业的加工时间为从由生产线开始加工到两条生产线都停止加工的时间． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）我校第31届校运会即将举行，七年级1班和2班联合组成一个方阵进行开幕式节目表演．现有两种排列方案，方案一：每排站10人，则多出4人；方案二：每排站11人，则最后一排缺6人．已知两种方案的方阵排数相同，均为排． (1)方案一可得总人数为________人，方案二可得总人数为________人（用含的式子表示）； (2)求两种站法的排数是多少排？ (3)表演时每名学生需要一个4元的道具，问七年级1班和2班一共需要花费多少元购买道具？ 4．（24-25七年级上·安徽安庆·随堂练习）某市水果批发部门欲将A市的一批水果运往本市销售，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为200元/时．其他主要参考数据如下表所示： 运输工具 途中平均速度/（千米/时） 运费（元/千米） 装卸费用/元 火车 100 15 2000 汽车 80 20 900 (1)如果选择汽车运输的总费用比选择火车运输的总费用多1100元，你知道本市与A市之间的路程是多少千米吗？（总运费=运费+装卸费用+损耗） (2)设A市与本市之间的距离为s千米，假如你是A市水果批发部门的经理，若要将这批水果运往本市销售，你会选择哪种运输方式． 【经典例题七 数字问题】 【例7】（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是6，若把个位上的数字与十位上的数字调换位置，那么所得的新数比原数的三倍多6，求原来的两位数． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）幻方最早起源于中国，在《自然科学大事年表》中，对幻方做了特别的述说：“公元前一世纪，《大戴礼》记载，中国古代有象征吉祥的河图、洛书、纵横图，即为九宫算，被认为是现代组合数学最古老的发现”．请将，，，，，，，，分别填入如图所示的幻方中，要求同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽六安·模拟预测）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”． 如图1，计算47×51，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得2397． 如图2，用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则a的值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）将奇数1至2025按照顺序排成下表： 记表示第m行第n个数，如表示第2行第3个数是17 (1)______； (2)若，推理______；______； (3)将表格中的4个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的4个数之和能否等于100，若能，求出4个数中的最大数；若不能，请说明理由． (4)用m、n的式子表示=______ 4．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）主题《神奇的幻方》 【阅读】幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．如图1，把洛书用今天的数学符号翻译出来就是图2的三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为15． 【实践】（1）将这9个数中，除，1，2，4外的数填入图3中其余的方格中，使其成为一个三阶幻方． 【提升】（2）图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，可知的值为___________． 【拓展】（3）将幻方迁移到月历：图5是某月的月历，小河同学说：带阴影的方框中的9个数的和可以是243．小河的说法对吗？请判断并说明理由． 【经典例题八 几何问题】 【例8】（2025七年级上·安徽安庆·模拟预测）将内径为，高为的圆柱形水桶盛满水后全部倒入一个长方体水箱中，水占水箱容积的．若水箱的长，宽分别为，，则水箱的高约为多少厘米？（取，结果精确到） 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求小长方形的宽．若，依题意可得方程（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）如图1，有一块长是，宽是的长方形纸板，现将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．如果无盖长方体盒子底面长是宽的3倍，则无盖长方体盒子的容积是 ． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）为践行劳动教育，学校特意划出一块长方形土地供学生劳作．如图，长方形土地一面靠墙，现将不靠墙的三面向内推进x米修建小路，在小路内侧用篱笆围出一块长方形菜地． (1)当时，篱笆的长度为 米． (2)用x的代数式表示篱笆的长度．（列式并化简） (3)若篱笆长度为36米，求小路的宽度． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）学校建花坛余下长的漂亮小围栏，经总务处同意，七年级（1）班同学准备在自己教室后的空地上一边靠墙、三边利用这些小围栏，建一个长方形的小花圃，已知墙面长，若要使花圃的长比宽多，求花圃的面积．如下是小强同学的解答，请将其补充完整． 解：设花圃的宽为，则花圃的长为__________m． 因为不知较长边平行于墙还是较短边平行于墙，所以此题应分类讨论，考虑两种情形： ①当较长边平行于墙时，可列方程为_______________…… ②当较短边平行于墙时，可列方程为_______________…… 【经典例题九 动点问题】 【例9】（25-26七年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在数轴上点表示数6，B点表示数3，C点表示数，点P为数轴上异于的动点． （1）若将数轴对折，使得对折后点与重合，此时点与也重合，则点表示的数为 ； （2）若将数轴从点P处对折，使得对折后，则点P表示的数为 （写出两个即可）． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）小丽在纸上画了一条数轴后．折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，数轴上点A，B表示的数分别是和6，O为原点．点A，B分别以3个单位长度/秒和2个单位长度/秒的速度匀速相向而行，点P从原点O以1个单位长度/秒的速度匀速向右运动，遇到点B后立即向左运动．若A，B，P三个点同时开始运动，当A，B两点相遇时所有点停止运动．在此运动过程中，设运动时间为t秒，若，则t的值是 ． 3．（25-26七年级上·安徽安庆·阶段练习）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足． (1)______，______，______； (2)若点A、点B和点C分别以每秒1个单位长度、4个单位长度和2个单位长度的速度在数轴上同时向右运动． ①假设t秒钟后，A，B，C三点中其中一点是另外两点的中点，求此时t的值； ②假设t秒钟后，用表示A、B两点的距离，用表示A、C两点的距离，是否存在常数m，使的值为定值？若存在，求m的值，并写出该定值；若不存在，请说明理由． 4．（25-26七年级上·安徽池州·期中）如图，已知数轴上三点A，O，B对应的数分别为，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．在数轴上，若点M，N表示的数分别为m，n，我们把m，n之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即． (1)若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是_____； (2)当_____时，点P到点A、点B的距离之和是6； (3)若点P以每秒3个单位长度的速度从点O向左运动，同时点E以每秒1个单位长度的速度从点A向左运动，点F以每秒4个单位长度的速度从点B也向左运动．设运动时间为t秒，那么当点P到点E，点F的距离相等时，求t的值． 【经典例题十 和差倍分问题】 【例10】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）学校开展植树活动，甲班和乙班共植树31棵，其中乙班植树棵数比甲班植树棵数的2倍多1，求两班各植树多少棵（用方程求解）． 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）小明到某文具店购买铅笔和中性笔．设购买铅笔的金额为x元，根据表格，下列方程错误的是（ ） 商品 单价（元/支） 购买数量/支 购买金额/元 铅笔 中性笔 总计 13 34 A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）新年联欢，老师为同学们准备了A、B两种礼物，A礼物单价a元，重m千克，B礼物单价元，重千克，为了增加趣味性，老师把礼物随机组合装在盲盒里，每个盲盒里均放两个，装好后，称重盲盒，发现： 称重情况 重量最大的盲盒 重量介于最大和最轻之间 重量最轻的盲盒 盲盒个数 12个 20个 8个 若这些礼物共花费836元，则 元． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）习近平总书记指出，要培养“德智体美劳”全面发展的社会主义建设者和接班人．良好的身体素质是所有的前提保障，体育锻炼是增强体质最有效的手段，某校决定购买一些羽毛球拍和羽毛球，其中每副羽毛球拍的价格比一桶羽毛球贵12元，购买5副羽毛球拍和4桶羽毛球一共需要330元． (1)每副羽毛球拍和每桶羽毛球的价格分别是多少元？ (2)该校一共购买了羽毛球拍和羽毛球152件，体育教研组决定为兴趣组的同学每人配1副羽毛球拍和3桶羽毛球，刚好够分，请问学校购买了多少副羽毛球拍，多少桶羽毛球？ 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）2024年12月4日，我国申报的“春节—中国人庆祝传统新年的社会实践”在联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上通过评审，成功列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．某工厂为迎接新春蛇年，妙趣打造全新2025蛇年新春限定盲盒系列，以纯真趣意致敬源远流长的中华文化．该工厂将一批新春限定盲盒分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人．用一元一次方程解答下列问题： (1)若该工厂生产A种盲盒的人数比生产B种盲盒的人数的2倍少200人，分别求出该工厂生产A种盲盒和B种盲盒工人的人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产新春限定盲盒大礼包，该大礼包由2个A种盲盒和3个B种盲盒组成．已知每个工人平均每天可以生产20个A种盲盒或10个B种盲盒，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产A种盲盒，多少名工人生产B种盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【经典例题十一 电费和水费问题】 【例11】（25-26七年级上·安徽淮北·期中）出租车行驶5公里收费10元，超过部分每公里2元．若小明付费18元，他乘坐了多少公里？ 1．（2025七年级·安徽安庆·模拟预测）保险公司的汽车保险，汽车修理费是按分段赔偿，具体赔偿细则如下表．某人在汽车修理后在保险公司得到的赔偿金额是2000元，那么此人的汽车修理费是（    ）元． 汽车修理费x元 赔偿率 0＜x≤500 60% 500＜x≤1000 70% 1000＜x≤3000 80% … … A．2687 B．2687.5 C．2688 D．2688.5 2．（24-25七年级上·安徽六安·期中）为响应国家号召，引导节能低碳行为，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯用电”制度，下表是我市每月的电费标准： 阶梯 电量x/千瓦时 电费/（元/千瓦时） 第一档 0.5元/千瓦时 第二档 0.6元/千瓦时 第三档 0.8元/千瓦时 已知小丽家2024年2月份缴纳电费216元，则小丽家该月用电量为 千瓦时． 3．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）某市为鼓励居民节约用电，对居民生活用电实行阶梯收费，居民用电价格改革方案已出台，如下表： 用电量的范围 不超过的部分 超过的部分 价格/﹝元/（﹞ 0.5 0.6 小芳家二月份用电，交电费105元，则的值为 ． 4．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）为了促进节能减排，倡导节约用电，某地居民的阶梯电价分夏季与非夏季标准执行：每年的月执行夏季标准，其余月份执行非夏季标准．两种阶梯电价计费方案如表： 阶梯电价 夏季标准 非夏季标准 第一档 用电量 千瓦时 千瓦时 电价 元/千瓦时 第二档 用电量 千瓦时 千瓦时 电价 元/千瓦时 第三档 用电量 601千瓦时及以上 401千瓦时及以上 电价 元/千瓦时 执行阶梯电价后，若某用户6月份用电量为700千瓦时，则应缴纳的电费为： （元）． (1)甲用户4月份的用电量为500千瓦时，该用户应缴纳的电费为多少元？ (2)乙用户4月份缴纳的电费为元（）． ①该用户的用电量是__________千瓦时（用含的代数式表示）； ②若乙用户6月份缴纳的电费也是元，求该用户6月份比4月份可多用电多少千瓦时？ (3)丙用户4月份和6月份共用电500千瓦时，电费之和为315元．已知该用户4月份用电量小于400千瓦时，请直接写出丙用户4月份的用电量． 【经典例题十二 比例分配问题】 【例12】（2025七年级上·安徽安庆·模拟预测）我校食堂买来900千克大米，6天吃了180千克，照这样计算，剩下的还能吃几天？（用比例的知识解答） 1．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）美食俱乐部共有58名成员，每个成员不是胖子就是瘦子．一次聚会时每个胖子带来15个包子分给瘦子，每个瘦子带来14个包子分给胖子．已知，每个胖子分到的包子一样多，每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完）．那么成员中胖子的人数是（　　） A．27 B．28 C．27或30 D．28或29 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）茶百道生产的一种由A、B两种原料按一定比例配制而成的奶茶，其中A原料成本价为10元/千克，B原料成本价为15元/千克，按现行价格销售每千克奶茶可获得4.8元的利润．由于物价上涨，A原料上涨20%，B原料上涨10%，配制后的总成本增加．茶百道为了拓展市场，打算再投入现总成本的10%做广告宣传，使得销售成本再次增加，如果要保证每千克的利润不变，则此时这种奶茶每千克的售价与原售价之差为 元 3．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，初三年级准备制作一个长的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距，试求横幅字距是多少？ 4．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件，其中A种产品的件数比B种产品件数的3倍少20件． (1)求工厂计划生产A、B两种新春产品各多少件？ (2)现在工厂需要购买甲、乙两种材料生产新春产品．甲种材料的单价为每千克5元，乙种材料的单价为每千克3元，采购员小李分两次购买完所需的材料，第一次购买两种材料共200千克，受市场价格影响，第二次购买时甲材料的单价为每千克4元，乙材料的单价不变． ①设采购员第一次购买甲种材料千克，完成下列表格： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 380 乙材料 180 ②若第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元，求采购员第一次购买甲种材料多少千克？ 【经典例题十三 日历问题】 【例13】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）在一张普通的月历中，相邻三行里同一列的三个日期数之和能否为51？如果能，这三个数分别是多少？ 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）2025年12月份月历表如下图，任意框出表中竖列上三个相邻的数，则这三个数的和可能是（　 　） A．28 B．65 C．54 D．75 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）某月有五个星期二，已知这五个日期的和为，则这月中最后一个星期二是 号． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图是某年11月份的月历，用一个小正方形在任意圈出其中的9个数，设圈出的9个数中最中心的数为x． (1)用含x的式子表示圈出的9个数的和． (2)若圈出的9个数的和为，求圈出的最大数是多少？ 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）在月历中，每个字母都代表某个具体日期 日 一 二 三 四 五 六 a e c x d f b 表（1） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 表（2） (1)在表（1）中任意框出五个数，则 ，这5个数的和为 （都用含的式子表示）； (2)在表（1）中，的和与的关系是什么？通过计算说明； (3)已知表（2）是某个月的月历，如果用框出的5个数的和为80，求中间的那个数． 【经典例题十四 古代问题】 【例14】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，李白在郊外春游时，做出这样一条约定：每遇见1个朋友，就到酒馆里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，若遇见第3个朋友后，正好喝光了壶中的酒，壶中原来有酒多少什？ 1．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：“用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个？”若设买甜果个，则买苦果个，可列出符合题意的方程．根据已有信息，题中用“…，…”表示缺失的条件可能为（   ） A．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 B．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 2．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和均相等，例如下图（1）就是一个幻方，图（2）是一个未完成的幻方，则的值是 ． 4 9 2 16 3 5 7 11 15 8 1 6 12   图（1）                 图（2） 3．（24-25七年级上·安徽安庆·假期作业）《算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，其中有一首“以碗知僧”，大意是：山上有一古寺叫都来寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗．请问都来寺里有多少个和尚．利用方程知识可以解决这个有趣的问题，我们试一下吧！ 以碗知僧 魏巍古寺在山中，不知寺内几多僧，三百六十四只碗，恰合用尽不差争， 三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，请问先生能算者，都来寺内几多僧． --摘自（明）程大位著《算法统宗》 4．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）在利用一元一次方程解决问题时，借助表格和示意图可以直观分析问题，使问题中的数量关系更加清晰，实际上，借助图表直观分析数量关系，往往是解决问题的一种重要策略． 【题目】我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）一书中有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．” 译文是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？ 【直观分析】（1）设快马天可以追上慢马，请你将如下的线段图补充完整： 【解决问题】（2）根据（1）中线段图所反映的数量关系，列方程解决问题． 【拓展训练一 一元一次方程与数轴综合应用】 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知数轴上点对应的数是，点对应的数是．若点从点出发以每秒个单位的速度运动，与此同时，点从点出发以每秒个单位的速度运动，设运动时间为秒． (1)若点与相向运动，当，相遇时，求运动时间； (2)若点与同时向左运动，当与相距个单位长度时，求运动时间； (3)若点与相向运动，点对应的数是，当时，求的值． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，已知数轴上有、两点，点在原点的右侧，到原点的距离为，点在点的左侧，．动点、分别从、两点同时出发，在数轴上匀速运动，它们的速度分别为个单位长度秒、个单位长度秒，设运动时间为秒． (1)点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)若动点、均向右运动．当时，点对应的数是 ，、两点间的距离为 个单位长度．请问当为何值时，点追上点，并求出此时点对应的数； 3．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图（1），已知A，B为数轴上的两点，点O表示原点，点A表示的数为．动点C从A出发做匀速运动，动点D从B出发做匀速运动． (1)若动点C向右运动，动点D向左运动，且两点同时出发，它们运动的时间、在数轴上的位置所表示的数记录如下表．请将表格补充完整． 时间（秒） 0 1 2 C点在数轴上的位置所表示的数 D点在数轴上的位置所表示的数 3 2 (2)若点C和点D同时开始运动，它们以（1）中各自的速度和方向运动，求两点相遇时的位置所表示的数． (3)在（2）的条件下，点C在与点D相遇后立即朝反方向运动（点D仍按原先方向运动），在整个运动过程中，求两点出发后经过多少时间，点C和点D之间的距离为4． 【拓展训练二 一元一次方程实际综合应用】 1．（2025·安徽马鞍山模拟预测）如图是由一些火柴棒搭成的图案： (1)摆第①个图案用____根火柴棒，摆第②个图案用____根火柴棒，摆第③个图案用____根火柴棒； (2)按照这种方式摆下去，摆第n个图案用_____根火柴棒； (3)计算一下摆根火柴棒时，是第几个图案？ 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价50元，售价80元，乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)乙种商品每件的利润率为______． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额不超过380元 优惠措施不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明这天只购买了甲种商品，实际付款432元，求小明这天在该商场购买甲商品多少件？ 3．（24-25七年级上·安徽六安·期中）如图，是两张不同类型火车的车票（ “次”表示动车，“次”表示高铁）： A地售    02车12号 2025年5月1日   10：00 ￥360元 限乘当日车次 A地售    03车13号 2025年5月1日   11：00 ￥560元 限乘当日车次 已知该动车和高铁的平均速度分别为，，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求A、两地之间的距离与两车何时到达终点地． 【拓展训练三 一元一次方程的应用规律问题】 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）如表，将正整数至按一定规律排列． (1)若用一个如表中所示的带有阴影的方框在此表格中移动，当方框中的数字总和为时，方框中间的数字是多少？ (2)若用该带有阴影的方框在此表格中移动，方框中的三个数的和能不能为？ 2．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b，且. (1)则a＝ ，b＝ ；两点之间的距离为 (2)有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度；然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度；在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，……按照如此规律不断地运动，当运动到次时，求点P所对应的有理数； (3)在（2）的条件下，点P在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍，请直接写出此时点P的位置，并指出是第几次运动. 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图是用棋子摆成的“上”字图案，按照这种规律继续摆下去，通过观察、对比、总结，找出规律，解答下列问题． (1)按图示规律填写下表： 图案编号 1 2 3 4 5 棋子枚数 6 10 14 (2)如果按照此规律继续摆下去，通过观察可以发现：第n个“上”字需用 枚棋子；（用含n的代数式表示，需化简） (3)七（1）班有46名学生，把每名学生看作一枚“棋子”，能否按照以上规律恰好站成一个“上”字？若能，计算最下面一“横”的学生人数；若不能，请说明理由． 1．（2025七年级上·安徽滁州·模拟预测）一列火车长 160 米，每秒行 20 米，全车通过 440 米的大桥，需要（    ）秒． A．8 B．22 C．30 D．无法确定 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）某商品因换季准备打折出售，如果按定价六折出售，将赔100元，而按定价的八折出售，将赚20元，则这种商品的定价是（   ）． A．400 B．600 C．800 D．1000 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟需付话费0.4元（这里均指市内电话），一个月内通话（   ）分钟时，两种通话方式的费用相同． A．100 B．150 C．200 D．250 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）一组有规律的图案如图所示，第1个图案有4个五角星，第2个图案有7个五角星，第3个图案有10个五角星，…，则有451个五角星的是（   ） A．第145个图案 B．第150个图案 C．第165个图案 D．第180个图案 5．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）如图，在大长方形（是宽）中放入6个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽．设，有下列分析思路：①以小长方形的长作相等关系可得方程；②以大长方形的长作相等关系可得方程．其中，正确的是（    ） A．①正确，②不完全正确 B．①不完全正确，②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 6．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）用一根绳子去量一根木头，绳子还剩余45cm；将绳子对折再量木头，木头还剩余10cm．木头长多少厘米？设木头长xcm，则可列方程为 ． 7．（25-26七年级上·安徽六安·期中）在同一条公路上有两辆卡车同向行驶，开始时甲车在乙车前4千米，甲车速度为每小时45千米，乙车速度为每小时60千米，那么乙车赶上甲车的前1分钟两车相距 米． 8．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段练习）金牛区举办了“金教杯”校园足球超级联赛：比赛规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得分．某校园足球队进行了9场比赛，其中负2场，共得13分，那么该足球队共胜了 场． 9．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）某商场分别购进了甲、乙两种扫地机器人40台与20台，甲种扫地机器人每台进价比乙种便宜10%，甲、乙两种扫地机器人每台标价分别为1100元、1500元．乙种扫地机器人按标价八折销售，甲种扫地机器人按原价销售．若两种扫地机器人销售一空，甲种扫地机器人利润是乙种扫地机器人利润的2倍，则乙种扫地机器人每台进价为 元． 10．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，八个形状、大小都相同的小长方形恰好能无缝拼接成长方形，如果长方形的周长是40，那么长方形的面积是 ． 11．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）一种药品现在的售价每盒20元，比原来降低了，问原售价多少元？ 12．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多．已知小康平均每小时采摘，小悦平均每小时采摘，那么两人采摘的时长是多少小时？ 13．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）某足球协会举办了一次足球比赛，其中得分规则及奖励方案如下表： 规则 胜一场 平一场 负一场 积分/分 3 1 0 人均奖金/元 1500 700 0 当队比赛完12场时，共积20分，并且没有负场． (1)队胜、平各几场？ (2)每赛1场，队每名队员均获得出场费500元，那么比赛完12场后，队的每名队员所得奖金与出场费共多少元？ 14．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如图①，将一张长为，宽为的长方形纸片，在四个角上分别剪去边长为的小正方形，将剩下部分折成如图②所示的一个无盖长方体盒子． (1)若，则长方体盒子的底面积为______． (2)若长方体盒子的底面的长是宽的2倍，求该盒子的体积． 15．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上一点，C在原点左侧，且，动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点C表示的数为______，并用含 t的代数式表示点P所表示的数为______； (2)设M是的中点，N是的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求线段的长度； (3)动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点R从点C出发，以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，若P、Q、R三点同时出发，在运动过程中，P到R的距离、P到Q的距离，这两段距离何时相等，请求出此时t的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 用一元一次方程解决问题重难点题型专训 （1个知识点+14大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 行程问题 题型二 配套问题 题型三 工程问题 题型四 销售盈亏问题 题型五 比赛积分问题 题型六 方案选择问题 题型七 数字问题 题型八 几何问题 题型九 动点问题 题型十 和差倍分问题 题型十一 电费和水费问题 题型十二 比例分配问题 题型十三 日历问题 题型十四 古代问题 拓展训练一 一元一次方程与数轴综合应用 拓展训练二 一元一次方程实际综合应用 拓展训练三 一元一次方程的应用规律问题 知识点一：用一元一次方程解决问题 1. 列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审：弄清题意和题目中的数量关系。 （2） 设：用字母表示题目中的一个未知量。 （3） 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 （4） 列：根据这个相等关系列出方程。 （5） 解：解所列的方程，求出未知数的值。 （6） 验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。 （7） 答：写出答案。 2．设未知数的三种方法： （1） 直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。 （2） 间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。 （3） 设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。 一元一次方程应用题的常见类型 类型 内容 题中涉及的数量关系及公式 等量关系 注意事项 和、差、倍、分 问题 增长量=原有量×增长率 现有量=原有量增长量 现有量=原有量－降低量 由题可知 弄清“倍数”关系及“多”“少”关系等 行 程 问 题 相遇问题 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离 相向而行，注意出发时间、 地点 追及问题 快车行驶路程-慢车行驶距离=原距离 同向而行，注意出发时间、 地点 调配问题 从调配后的数量关系中找等量关系 调配对象流动的方向和数量 工程问题 工作量=工作效率×工作时间 工作效率=工作量÷工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般情况下，把总工作量设为1 销售打折问题 商品利润=售价-进价（成本价） 由题可知 打几折就是按售价的十分之几销售 数字问题（包括日历中的数字规律） 设、分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为 由题可知 ①对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律； ②设间接未知数 阶梯付费问题 由题可知 注意付费特点是阶梯式的 方案选择问题 由题可知 方案选择问题一般比较之后选最优的方案。 【即时训练】 1．（2025·安徽·模拟预测）已知在长的公路两端有两辆汽车，其中车的速度为，车的速度为，两辆汽车相向而行．已知车先开始行驶，车在车开始行驶后一个小时才开始行驶，设车行驶后与车相遇，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 根据题意得到车行驶的时间为，由相遇问题得到，的路程与的路程和等于全程，由此列式求解即可． 【详解】解：车的速度为，车的速度为，设车行驶后与车相遇，车在车开始行驶后一个小时才开始行驶， ∴车行驶的时间为， ∴， 故选：A ． 2．（25-26七年级上·安徽滁州·阶段练习）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，在如图1所示的幻方中，9个格中的数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为，在如图2所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意得到，然后求解即可． 【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等， ∴， 解得． 故答案为：． 【经典例题一 行程问题】 【例1】（24-25七年级上·安徽宣城·期中）一艘轮船从甲码头顺流航行到达乙码头，又从乙码头逆流航行返回甲码头，已知这艘轮船在静水中的速度是，求水流的速度及甲乙两地的距离？ 【答案】水流的速度为，甲乙两地的距离为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意、找准等量关系列方程是解题关键． 设水流的速度为，根据甲码头到乙码头的路程是一定的等量关系，列方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设水流的速度为，则顺流航行的速度为，逆流航行的速度为， 根据题意，得：， 解得：， 则甲乙两地的距离为， 答：水流的速度为，甲乙两地的距离为． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）王先生计划骑车以每小时千米的速度由A地到B地，这样便可在规定时间到达地，但他因事将原计划的出发时间推迟了分钟，便只好以每小时千米的速度前进，结果比规定时间早分钟到达地，如果设A、B两地间的路程为千米，则下列方程中正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．设A、B两地间的路程为千米，根据“原计划时间-实际时间=15分钟”列出方程即可求解． 【详解】解：设A、B两地间的路程为千米， 根据题意，得． 故选：A 2．（2025七年级上·安徽安庆·模拟预测）（1）环形跑道400米，小明跑步每秒行9米，爸爸骑车每秒行16米，两人同时同地反向而行，经过 秒两人相遇； （2）如果两人同时同地同向而行，经过 秒两人第一次相遇． 【答案】 16 / 【分析】本题考查一元一次方程应用题-环形跑道问题，解题的关键是掌握环形跑道问题的等量关系，同时注意审题，相遇问题要找路程和，追及问题要找路程差． （1）设两人同时同地反向而行经过x秒，两人第一次相遇，根据爸爸和小明的总路程米，可以列出方程，解方程即可； （2）设两人同时同地同向而行经过y秒，两人第一次相遇，根据爸爸比小明的路程多400米，可以列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设两人同时同地反向而行经过x秒第一次相遇， 依据题意得：， 解得： （2）解：设两人同时同地同向而行，经过y秒，两人第一次相遇， 依据题意得：， 解得：， 故答案为：（1）16；（2）． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）一支长千米的队伍正在前进，在队尾的李明要送信给队首的首长，他跑步用了6分钟赶到队首将信送给首长，为了返回队尾，他原地等待了24分钟．如果他以原速度跑回队尾，要多长时间？ 【答案】4分钟 【分析】本题主要考查了利用一元一次方程解决行程问题，解题的关键是理解题意，找准等量关系． 求出队伍的速度，假设出李明的速度，根据追赶的路程列出方程求解，然后利用时间公式进行求解即可． 【详解】解：队伍的速度为：， 设李明的速度为，根据题意得， ， 解得， ∴， 所以，以原速度跑回队尾，要4分钟． 4．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）滴滴快车是一种便捷的出行工具，属于共享经济理念的出行服务．某地滴滴快车计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/公里 元/分钟 元/公里 注：1．车费=里程费+时长费+远途费，其中里程费按行车的实际里程计算； 2．时长费按行车的实际时间计算； 3．远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收元． (1)已知小张从学校乘坐滴滴快车回家，乘车时长为10分钟，没有产生远途费的情况下支付了元车费．试求小张家到学校的里程． (2)星期六早上，小张和聪聪两人从该地出发，各自乘坐滴滴快车去省城参加无人机航展大赛，行车时间分别为分钟、分钟．已知聪聪比小张的行车里程多8公里，两人所付车费、计费项目都相同．设，试求出的值． 【答案】(1)3公里 (2)52分钟 【分析】（1）设小张的乘车里程为公里，根据题意得，，解方程即可． （2）根据聪聪比小张的行车里程多8公里，大于7公里了，判定二人都有远途费，设小张行车里程为公里，则聪聪行车里程为公里，根据两人所付车费、计费项目都相同．建立等式解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握分层计价问题的计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：设小张的乘车里程为公里，根据题意得， ， ， 解得， 答：小张家到学校的里程为3公里． （2）解：聪聪比小张的行车里程多8公里，两人计费项目也相同 两人均是远途乘车，都产生远途费， 设小张行车里程为公里，则聪聪行车里程为公里， 依题意得 ， ， ， 答：的值为52分钟． 【经典例题二 配套问题】 【例2】（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母22个或螺栓16个．为使每天生产的螺栓和螺母恰好配套．应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 【答案】应安排生产螺栓和螺母的工人分别为11名和16名 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设安排人生产螺栓，根据螺母的数量是螺栓的数量的2倍，列出方程进行求解即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】解：设安排人生产螺栓，则安排人生产螺母，由题意，得： ， 解得：， ∴， 答：应安排生产螺栓和螺母的工人分别为11名和16名． 1．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）包装厂有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120张，或长方形铁片80张．将圆形铁片2张和长方形铁片1张可配套做成一个密封圆桶．问如何安排工人生产圆形铁片或长方形铁片，能合理的将铁片配套？设安排人生产圆形铁片，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设安排x人生产圆形铁片，则安排（42-x）人生产长方形铁片，根据生产的圆形铁片的数量是长方形铁片数量的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设安排x人生产圆形铁片，则安排（42-x）人生产长方形铁片， 依题意得：120x=2×80（42-x）． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期中）光明服装厂要生产一批某种型号的工作服，已知3米长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套．若计划用600米长的这种布料生产工作服，则用其中 米布料生产裤子，才能恰好配套． 【答案】 【分析】根据衣服裤子配套及数量相等即可列方程求解. 【详解】解：设x米用来生产裤子，则有米用来生产上衣，由题意可得， ， 解得： ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查一元一次方程解实际应用问题，解题关键是找到等量关系式． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿．现有木材用来制作桌子． (1)设用木材用来制作桌面，剩余的木材用来制作桌腿，可制作桌面_____个，制作桌腿______个； (2)最多可以制作多少张桌子？ (3)由1人制作这些桌子需要完成．现计划由一部分人先做，然后增加2人与他们一起合作，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人工作？ 【答案】(1)， (2)最多可以制作200张桌子 (3)应先安排2人工作 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，找出等量关系列出方程是解答本题的关键． （1）根据木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿列式即可； （2）设用木材用来制作桌面，根据制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿列方程求解； （3）设先安排y人工作，根据完成的工作量完成的工作量列方程计算即可． 【详解】（1）解：∵一共木材，设用木材用来制作桌面，剩余的木材用来制作桌腿， ∴用木材用来制作桌腿， ∴可制作桌面个，制作桌腿个． 故答案为：，． （2）解：设用木材用来制作桌面． 根据题意，得． 解这个方程，得． ∴．      答：最多可以制作200张桌子． （3）解：设先安排y人工作． 根据题意，得． 解这个方程，得． 答：应先安排2人工作． 4．（24-25七年级上·安徽六安·期中）七年级四班共有学生48人，其中男生人数比女生人数多2人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底26个 (1)七年级四班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男25人，女23人 (2)3人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． （1）设女生人数为x人，则男生人数为人，根据七年级四班共有学生48人列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． （2）设a名男生去支援女生，根据每个盒身匹配2个盒底为等量关系，列出关于a的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设女生人数为x人，则男生人数为人， 根据题意可得：， 解得： 则， 答：七年级四班有男生25人，女生23人． （2）解：设a名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意有：， 整理得：， 解得：， 答：需要3名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【经典例题三 工程问题】 【例3】（2025·安徽宣城·模拟预测）轻音部的活动室因为一项维修工作暂时停用了，这项维修工作一个人做需要花费16个小时，现在安排一部分人先做2小时，后续又增加了2人，在3小时后完成了任务，假如这些人的工作效率都相同，则最开始应安排多少人工作？ 【答案】最开始应安排2人工作 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，先设最开始应安排人工作，因为这项维修工作一个人做需要花费16个小时，得一个人一个小时的工作效率是，结合现在安排一部分人先做2小时，后续又增加了2人，在3小时后完成了任务，列式计算，即可作答． 【详解】解：设最开始应安排人工作， 依题意得， 解得， ∴最开始应安排2人工作． 1．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）整理一批数据，由一个人做要40小时完成，计划安排5人完成此项工作，在工作一段时间后需提前按完成任务，因此增加了3人和他们一起又做了30分钟，完成这项任务．假设这些人的工作效率相同，设实际完成这项工作花了x小时，可列方程为（　　） A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 【答案】B 【分析】根据题意找出等量关系式列式即可． 【详解】解：设实际完成这项工作花了x小时， 依题意，得：， 即． 故选：B． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系式列出方程． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）甲组有20人，乙组有15人．现在另增调19人加入到甲组和乙组，要使甲组人数是乙组人数的2倍，则应调入甲组 人． 【答案】16 【分析】根据乙组人数甲组人数的2倍，列出一元一次方程即可求解． 【详解】解：设乙组应调来人． 根据题意，得 解得． ∴应调入甲组 答：甲组应调来16人． 故答案为16． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是找等量关系． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）一项工程，若由甲队单独做需要10天完成，若由乙队单独做需要20天完成． (1)若甲乙两队先一起施工5天，然后余下的工程由乙队单独完成，则乙队还需要几天能够完成任务？ (2)在（1）的条件下，若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程的总报酬为12万元，求甲队和乙队各得报酬多少万元？ 【答案】(1)乙队还需要5天能够完成任务 (2)甲队的报酬为6万元，乙队的报酬为6万元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握工程问题的数量关系是解题的关键． （1）设甲乙两队同时施工5天后，余下的工程乙队还需要x天能够完成任务，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意分别算出甲乙两队工作量，由此即可求解． 【详解】（1）解：设甲乙两队同时施工5天后，余下的工程乙队还需要x天能够完成任务． 根据题意，列得方程． 解得． 答：乙队还需要5天能够完成任务． （2）解：甲队的工作量为，乙队的工作量为，（万元）， 答：甲队的报酬为6万元，乙队的报酬为6万元． 4．（24-25七年级上·安徽六安·期末）为了美化环境，建设生态城市，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择．已知甲队先做了2天，然后乙队加入一起完成剩下的工作．设工作总量为1，工作进度如下表， 时间 第1天 第3天 工作进度 (1)甲队单独完成这项工作需要 天，乙队单独完成这项工作需要 天． (2)完成这项工作共需要几天？（要求利用方程求解） 【答案】(1)12；8 (2)6 【分析】（1）根据工作总量÷工作时间=工作效率，即可求出甲队的工作效率，设乙队的工作效率为x，根据甲队2天的工作量+甲乙合作的工作量=，即可得出关于x的一元一次方程，求解即可． （2）根据甲队完成的工作量+乙队完成的工作量=总工作量，即可得出关于y的一元一次方程，求解即可． 本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握列方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系②列出方程③解出方程④作答． 【详解】（1）∵甲队先做了2天，然后乙队加入一起完成剩下的工作． ∴甲队的工作效率为 设乙队的工作效率为x，依题意得：， 解得：． ∴甲队单独完成这项工作需要（天）． 乙队单独完成这项工作需要（天）． （2）解：设完成这项工作共需要y天，依题意得：， 解得：． 答：完成这项工作共需要6天． 【经典例题四 销售盈亏问题】 【例4】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）一网络商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的八折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低10元销售9件的销售额相等．求这种服装每件的标价． 【答案】这种服装每件的标价为90元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 设这种服装每件的标价是x元，根据题意列出方程进行求解即可． 【详解】解：设这种服装每件的标价是x元． 根据题意，得， 解得． 答：这种服装每件的标价为90元 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）商店元旦促销，某款衣服打8折销售．每件比标价少35元，仍获利15元．下列说法正确的是（    ） A．标价为每件170元 B．促销单价为135元 C．进价为每件125元 D．不打折时利润为每件45元 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设衣服标价为x元，根据题意列出方程得出衣服的标价，再求出售价、进价和利润可得答案． 【详解】解：设衣服标价为x元， 根据题意得， 解得，所以衣服的标价为175元，故选项A说法错误； （元），所以衣服促销单价为140元，故选项B说法错误； （元），所以衣服的进价为每件125元，故选项C说法正确； （元），所以不打折时商店的利润为每件50元，故选项D说法错误． 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以八折（即按标价的80%）优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？解：如果设每件服装的成本价为元，那么每件服装的标价为 元，每件服装的实际售价为 元，每件服装的利润为 元． 由此列出方程 ，解得 ． 因此每件服装的成本价是 元． 列方程解应用题的关键： ． 【答案】 125 125 找出题目中的等量关系 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意可得每件衣服的标价、售价、利润关于x的代数式，根据售价-成本价=利润列出方程求解即可． 【详解】解：设每件服装的成本价为x元，那么每件服装的标价为，每件服装的实际售价为，每件服装的利润为，根据题意得： 解方程，得； 因此每件服装的成本价是125元． 列方程解应用题的关键：找出题中的等量关系． 故答案为：；；； ；125；125；找出题中的等量关系． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）服装厂要生产一批某型号套装，已知每5米长的布料可做上衣2件或裤子5条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用米长的这种布料生产套装． (1)请问用多少米的布料做上衣，用多少米的布料做裤子？ (2)某商场以每套元的价格购进了这批服装，定价为每套元，但在运输的过程中，由于司机的疏忽丢失了一包服装，共计套，商场想尽快卖完这批服装，计划打折出售，全部售出后利润率是，求商场计划打几折出售？ 【答案】(1) (2)九二折 【分析】本题考查一元一次方程的应用，打折销售，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设用x米的布料做上衣，米的布料做裤子，根据“一件上衣和一条裤子为一套”为等量关系列方程求解即可； （2）先计算出销售总额，再计算销售单价，然后求折扣率即可． 【详解】（1）解：设用x米的布料做上衣，米的布料做裤子， ， 解得， 米， 答：用400米的布料做上衣，160米的布料做裤子； （2）解：套， 成本：元， 销售额：元， 单价：元， ， 答：商场计划打九二折出售． 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）商场经销的两种商品，A种商品每件售价为60元，利润率为；种商品每件进价为50元，售价为80元． (1)A种商品每件进价为_______元，每件B种商品利润率为_______． (2)商场同时购进两种商品共50件，售完之后恰好总利润为1300元，求购进A种商品多少件？ (3)在“春节”期间，该商场只对两种商品进行如下的优惠促销的活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于400元 不优惠 超过400元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分打八折优惠，超过600元的部分打七五折优惠 若小明两次购买商品分别付款360元和540元，若两次合并成一次性付款可以比两次购物分别付款节省多少元？ 【答案】(1)， (2)购进种商品20件 (3)节省元或元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． （1）设种商品每件售价为元，根据的利润率为，列出方程求出的值，根据利润率利润成本计算可求每件种商品利润率； （2）设购进种商品件，则购进种商品件，再由总利润为1300元，列出方程求解即可； （3）先分别计算小明两次购买商品的实际金额，再分两种情况讨论，列式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：设种商品每件进价为元， 则， 解得：． 故种商品每件进价为40元； 每件种商品利润率为． 故答案为：，； （2）解：设购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得：， 解得， 答：购进种商品20件． （3）解：小明两次购买商品分别付款360元和540元， ∴小明第一次购买商品的实际金额为360元， 设小明第二次购买商品的实际金额为元， 当时，， 解得：， 当时，则， 解得：， 当小明两次购买商品实际金额为360元和600元， 两次合并成一次性付款为：（元）， ∴节省（元）； 当小明两次购买商品实际金额为360元和680元， 两次合并成一次性付款为：（元）， ∴节省（元）． 答：两次合并成一次性付款可以比两次购物分别付款节省元或元． 【经典例题五 比赛积分问题】 【例5】（24-25七年级上·安徽淮北·期末）足球比赛的规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场是0分．某队踢了17场比赛，负了5场，共得28分，那么这个队胜了多少场？ 【答案】这个队胜了8场 【分析】设这个队胜的场数是，根据题意列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个队胜的场数是， 根据题意可得： ， 解得：， 答：这个队胜了8场． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）足球比赛记分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分，某队进行了14场比赛，其中负5场，共得分19分，若设胜场次数为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一方程的实际应用，设该队胜了x场，根据题中的等量关系：平场得分胜场得分分，列出方程，即可解题 【详解】解：设该队胜了x场，则该队平了场， 胜场得分是分，平场得分是分． 根据等量关系列方程得：． 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期末）某校组织学生参加奥运知识问答，问答活动共设有道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了两名学生的得分情况： 参赛学生 答对题数 答错题数 得分 请结合表中所给数据，回答下列问题： 本次知识问答中，每答对一题加 分，每答错一题减 分． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设每答对一题加分，则答错一题减分，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每答对一题加分，则答错一题减分， 由题意得，， 解得， ∴， ∴每答对一题加分，答错一题减分， 故答案为：，． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）12月4日为安徽安庆法制宣传日．阳光中学组织4名学生参加法制知识模拟预测，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中2名学生的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 小宇 20 0 100 小辰 16 4 72 根据以上信息，请你解答下列问题： (1)答对一题得________分，答错一题得________分； (2)若参赛学生小浩得了65分，他答对了几道题？（要求∶列方程解答） 【答案】(1)5， (2)小浩答对了15道题 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，根据题意列方程求解是解题的关键． （1）根据表格中小宇答对20道得100分可求出答对一道的得分，再根据小辰的答题得分情况即可求出答错一题的得分； （2）设参赛学生答对了道题，则答错了道题，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：由表格知：答对一题得分， 答错一题得分， 故答案为：； （2）解：设参赛学生小浩答对了x道题，则答错了道题， 根据题意，得：， 解得：， 答：小浩答对了15道题． 4．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）2024年7月到8月，某市举办足球联赛，共有20支足球队参赛，经过前三轮（每个足球队比赛三场）比赛之后，A、B、C三支足球队积分如下表： 足球队 比赛场数 胜场 平场 负场 积分 A 3 3 0 0 9 B 3 2 1 0 7 C 3 1 1 1 4 思考：根据上表，我们可以得到本次足球联赛积分规则：胜利一场积 分；平一场积 分，负一场积 分； 探究： （1）若一支足球队共进行了场比赛，胜利场，负的场数比胜利场数少5场，用含，的代数式表示这支足球队的总积分； （2）列方程解决问题：东方足球队是20支足球队中的一员，经过18轮激战，保持连续不败，共积分48分，那么东方足球队共胜利了多少场? 拓展：雄鹰足球队共进行了16场比赛，其中负了1场，那么雄鹰足球队的胜场总积分能等于它的平场总积分吗?为什么? 【答案】思考：3，1，0；探究：（1）；（2）胜利了15场；拓展：雄鹰足球队的胜场总积分不能等于它的平场总积分 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是根据表格得出胜一场、负一场各自所得的积分，进一步利用题目蕴含的数量关系解决问题． 思考：由A队胜3场，积9分，设出未知数列出方程解答即可求出胜一场的得分；从B队胜 2场，平1场，一共积7分，设出未知数列出方程解答求出平一场的得分；从C队胜1场，平1场，负1场，一共积4分，而平一场积1分，胜一场积3分，即可求出负一场的得分； 探究：（1）根据题意可求出负的场数为和平的场数，再求积分即可； （2）设东方足球队共胜利了a场，根据题意得平场，由总积分48分列方程求解即可； 拓展：设一个球队胜b场，胜场总积分等于它的平场总积分列出方程，解方程求出b的值即可判断． 【详解】解：思考：设胜一场积x分，从A队积分得出 ， 解得， 即胜一场积3分； 设平一场积y分，从B队积分得出 ，解得， 即平一场积1分； 设负一场积z分，从C队积分得出 ， 解得，， 即负一场积0分； 故答案为3，1，0； 探究：（1）∵胜利场，负的场数比胜利场数少5场， ∴负的场数为， ∴平的场数为， ∴积分为： ； （2）设东方足球队共胜利了a场，则平场，根据题意得， ， 解得，， 答：东方足球队共胜利了15场； 拓展：设雄鹰足球队胜b场，则平了场，由题意，得 ， 解得，， 由于场数是整数，故不合题意， 所以雄鹰足球队的胜场总积分不能等于它的平场总积分． 【经典例题六 方案选择问题】 【例6】（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）某中学七（2）班的同学举行“重走长征路”的野外考察活动，需要租用一辆大客车一天，现有甲、乙两辆客车的租用方案：甲车每天租金180元，另按实际路程每千米加收2元；乙车每天租金140元，另按实际路程每千米加收2.5元．当实际路程为多少千米时，两种方案的费用一样？ 【答案】当实际路程为千米时，两种方案的费用一样 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设当实际路程为千米时，两种方案的费用一样，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设当实际路程为千米时，两种方案的费用一样， 由题意得：， 解得：， 答：当实际路程为千米时，两种方案的费用一样． 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）某超市推出如下优惠方案： （1）一次性购物不超过100元不享受优惠； （2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律九折； （3）一次性购物超过300元一律八折； 兰兰两次购物分别付款80元，252元．如果兰兰一次性购买和上两次相同的物品应付款（    ） A．288元 B．288元或332元 C．332元 D．288元或316元 【答案】D 【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物显然没有超过100，即是80元．第二次就有两种情况，一种是超过100元但不超过300元一律9折；一种是购物超过300元一律8折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三种方案计算即是他应付款数． 【详解】解：（1）第一次购物显然没有超过100， 即在第一次消费80元的情况下，他的实质购物价值只能是80元． （2）第二次购物消费252元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）： ①第一种情况：他消费超过100元但不足300元，这时候他是按照9折付款的． 设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.9=252，解得：x=280． ①第二种情况：他消费超过300元，这时候他是按照8折付款的． 设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.8=252，解得：x=315． 即在第二次消费252元的情况下，他的实际购物价值可能是280元或315元． 综上所述，他两次购物的实质价值为80+280=360或80+315=395，均超过了300元．因此均可以按照8折付款： 360×0.8=288元 395×0.8=316元 故选D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是第二次购物的252元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为（4a＋1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b＋3）小时．该企业计划将5吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工．若分配到A生产线1.8吨，分配到B生产线3.2吨，两条生产线同时开工，则该企业的加工时间为 小时；若要使该企业加工这5吨原材料的时间最短，则分配到A生产线 吨．说明：该企业的加工时间为从由生产线开始加工到两条生产线都停止加工的时间． 【答案】 9.4 2 【分析】（1）把a=1.8，b=3.2分别代入4a＋1和2b＋3，比较即可得答案； （2）设分配到A生产线x吨，则分配到B生产线（5-x）吨，要使加工这5吨原材料的时间最短，则两个生产线要同时停止加工，据此列方程求出x的值即可得答案． 【详解】（1）∵分配到A生产线1.8吨，分配到B生产线3.2吨， ∴A生产线加工时间为4×1.8+1=8.2（小时），B生产线加工时间为2×3.2+3=9.4（小时）， ∵8.2<9.4， ∴该企业的加工时间为9.4小时， 故答案为：9.4 （2）设分配到A生产线x吨，则分配到B生产线（5-x）吨， ∵加工这5吨原材料的时间最短， ∴两个生产线要同时停止加工， ∴4x+1=2(5-x)+3， 去括号得：4x+1=10-2x+3， 移项、合并得：6x=12， 解得：x=2， ∴分配到A生产线2吨， 故答案为：2 【点睛】本题考查代数式求值及一元一次方程的应用，正确理解题意，找出等量关系列方程是解题关键． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）我校第31届校运会即将举行，七年级1班和2班联合组成一个方阵进行开幕式节目表演．现有两种排列方案，方案一：每排站10人，则多出4人；方案二：每排站11人，则最后一排缺6人．已知两种方案的方阵排数相同，均为排． (1)方案一可得总人数为________人，方案二可得总人数为________人（用含的式子表示）； (2)求两种站法的排数是多少排？ (3)表演时每名学生需要一个4元的道具，问七年级1班和2班一共需要花费多少元购买道具？ 【答案】(1)； (2)10排 (3)416元 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用及费用计算，解题的关键是根据两种方案总人数相等的等量关系列出方程，求出排数后再计算总费用． （1）根据"每排人数 排数 剩余人数"和"每排人数排数缺少人数”列出总人数的代数式． （2）利用总人数相等建立一元一次方程，求解得出排数． （3）将排数代入总人数表达式求出总人数，再乘以道具单价得到总费用． 【详解】（1）方案一：每排站 10 人，共x 排，多出 4 人，总人数为 人． 方案二：每排站 11人，共x排，最后一排缺6人，总人数为人． 故答案为：； （2）解：∵两种方案的总人数相等， ∴可列方程： 移项得： 化简得： 答：两种站法的排数是10排． （3）解：由（2）可知排数，代入方案一的总人数表达式： 总人数为（人） 每名学生需要4元道具，总费用为：（元） 答：七年级 1 班和 2 班一共需要花费 416 元购买道具． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·随堂练习）某市水果批发部门欲将A市的一批水果运往本市销售，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为200元/时．其他主要参考数据如下表所示： 运输工具 途中平均速度/（千米/时） 运费（元/千米） 装卸费用/元 火车 100 15 2000 汽车 80 20 900 (1)如果选择汽车运输的总费用比选择火车运输的总费用多1100元，你知道本市与A市之间的路程是多少千米吗？（总运费=运费+装卸费用+损耗） (2)设A市与本市之间的距离为s千米，假如你是A市水果批发部门的经理，若要将这批水果运往本市销售，你会选择哪种运输方式． 【答案】(1)本市与A市之间的路程是400千米 (2)当时，选择火车运输合算；当时，选择汽车运输合算；当时，两种方式都一样 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解答本类问题的关键． （1）设路程为x千米，题中等量关系是：汽车的总支出费用比火车费用多1100元，列出方程求解即可； （2）分别算出的火车和汽车所需的运费，再进行比较即可求解． 【详解】（1）解：设本市与A市之间的路程是x千米， 根据题意得：， 解得：， 答：本市与A市之间的路程是400千米． （2）选择汽车运输的费用为：， 选择火车运输费用为：， 当两者相等时，， 解得：， 即当时，选择火车运输合算； 当时，选择汽车运输合算； 当时，两种方式都一样． 【经典例题七 数字问题】 【例7】（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是6，若把个位上的数字与十位上的数字调换位置，那么所得的新数比原数的三倍多6，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为15 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设十位上的数字为，根据个位上的数字与十位上的数字之和是6，新数比原数的三倍多6，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为，由题意，得： ， 解得：， ∴， ∴原来的两位数为15． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）幻方最早起源于中国，在《自然科学大事年表》中，对幻方做了特别的述说：“公元前一世纪，《大戴礼》记载，中国古代有象征吉祥的河图、洛书、纵横图，即为九宫算，被认为是现代组合数学最古老的发现”．请将，，，，，，，，分别填入如图所示的幻方中，要求同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，代数式求值．设如图所示的幻方中右边的方格中的数为，根据“同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0”可得，，，求出和的值，然后代入即可求出的值． 【详解】解：设如图所示的幻方中右边的方格中的数为， ∵同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0， ∴，解得：， 又∵，将代入得：， 又∵，将代入得：， ∴． 故选：B． 2．（2025·安徽六安·模拟预测）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”． 如图1，计算47×51，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得2397． 如图2，用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】本题一元一次方程得应用，能够理解新定义列出方程是解题关键． 根据“格子乘法”可得，解方程即可可得． 【详解】解：根据题意可得，如图 解得， 故答案为：2． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）将奇数1至2025按照顺序排成下表： 记表示第m行第n个数，如表示第2行第3个数是17 (1)______； (2)若，推理______；______； (3)将表格中的4个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的4个数之和能否等于100，若能，求出4个数中的最大数；若不能，请说明理由． (4)用m、n的式子表示=______ 【答案】(1)41 (2)169，5 (3)不能，理由见解析 (4) 【分析】（1）根据题意可知表示第4行第3个数，每行都有6个数，先求出对应的偶数，再得出奇数，然后即可计算出相应的值； （2）根据题意，可以得到，然后m为整数，，即可得到m、n的值； （3）设4个阴影格子中的数分别为,即可列出相应的方程，然后求解即可说明理由； （4）根据表格中的数据和发现，可以用含m、n的代数式表示出. 【详解】（1）解：由题意可得，， 故答案为：41； （2）解：， ∴， 即. ∵m是正整数，， ∴. 故答案为：169，5； （3）解：所覆盖的4个数之和不能等于100. 理由：设4个阴影格子中的数分别为, 由题意可得，, 解得， 为整数， 所覆盖的4个数之和不能等于100； （4）解：由题意可得，， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用、数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，找出等量关系，列出相应的方程． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）主题《神奇的幻方》 【阅读】幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．如图1，把洛书用今天的数学符号翻译出来就是图2的三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为15． 【实践】（1）将这9个数中，除，1，2，4外的数填入图3中其余的方格中，使其成为一个三阶幻方． 【提升】（2）图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，可知的值为___________． 【拓展】（3）将幻方迁移到月历：图5是某月的月历，小河同学说：带阴影的方框中的9个数的和可以是243．小河的说法对吗？请判断并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）3；（3）小河同学的说法不对，见解析 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练理解题意是解题的关键． （1）根据题意填入数字即可； （2）根据题意得到即可得到答案； （3）设方框正中心的数是y，根据题意列方程求出，然后根据27在最后一列求解即可． 【详解】解：（1）如图所示， 根据题意得，，解得； ，解得； ，解得； ，解得； ，解得； ∴如图所示， 3 2 5 1 0 4 （2）由题意知， 解得， 故答案为3． （3）小河同学的说法不对． 理由：设方框正中心的数是，则另外的数是， 根据题意得， 解得． 因为27在最后一列， 所以带阴影的方框中的9个数的和不可以是243， 所以小河同学的说法不对． 【经典例题八 几何问题】 【例8】（2025七年级上·安徽安庆·模拟预测）将内径为，高为的圆柱形水桶盛满水后全部倒入一个长方体水箱中，水占水箱容积的．若水箱的长，宽分别为，，则水箱的高约为多少厘米？（取，结果精确到） 【答案】131厘米 【分析】此类题目主要考查了一元一次方程在几何问题中的应用，此类题目往往需要结合几何的相关概念或定理，解题的关键是根据题目中的等量关系（如体积不变、周长不变等）列方程，从而通过解方程使问题得以解答． 设水箱的高为，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设水箱的高为， 依题意，得， 整理，得， 解得． 答：水箱的高约为131厘米． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求小长方形的宽．若，依题意可得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； 根据小长方形的长，且小长方形的长，列方程即可． 【详解】解：若， 依题意可得：， 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）如图1，有一块长是，宽是的长方形纸板，现将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．如果无盖长方体盒子底面长是宽的3倍，则无盖长方体盒子的容积是 ． 【答案】12000 【分析】本题考查一元一次方程的应用，求出无盖长方体盒子的长、宽、高是正确解答的关键． 求出无盖长方体盒子的长、宽、高，再由体积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：设无盖长方体盒子的宽为，则长为，由题意得， ， 解得， 即无盖长方体盒子的宽为，长为，高为， 所以无盖长方体盒子的容积是， 故答案为：12000． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）为践行劳动教育，学校特意划出一块长方形土地供学生劳作．如图，长方形土地一面靠墙，现将不靠墙的三面向内推进x米修建小路，在小路内侧用篱笆围出一块长方形菜地． (1)当时，篱笆的长度为 米． (2)用x的代数式表示篱笆的长度．（列式并化简） (3)若篱笆长度为36米，求小路的宽度． 【答案】(1)32 (2)米 (3)1米 【分析】（1）根据图形列式计算即可； （2）根据图形列出代数式即可； （3）根据篱笆长度为米列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：（米）， 答：篱笆的长度为米； （2）解：米， 答：篱笆的长度为米； （3）解：当篱笆长度是米时，根据解析（2）可得： ， 解得：， 答：小路的宽度为米． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的应用，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，数形结合，利用方程思想解决问题． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）学校建花坛余下长的漂亮小围栏，经总务处同意，七年级（1）班同学准备在自己教室后的空地上一边靠墙、三边利用这些小围栏，建一个长方形的小花圃，已知墙面长，若要使花圃的长比宽多，求花圃的面积．如下是小强同学的解答，请将其补充完整． 解：设花圃的宽为，则花圃的长为__________m． 因为不知较长边平行于墙还是较短边平行于墙，所以此题应分类讨论，考虑两种情形： ①当较长边平行于墙时，可列方程为_______________…… ②当较短边平行于墙时，可列方程为_______________…… 【答案】，①，②，解答见解析 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设花圃的宽为，则花圃的长为；①当较长边平行于墙时，利用周长公式列方程解答即可，②当较短边平行于墙时，利用周长公式列方程即可． 【详解】解：设花圃的宽为，则花圃的长为； ①当较长边平行于墙时，可列方程为； 解得， ， 此时平行于墙的较长边正好等于，符合题意， ∴花圃的面积为； ②当较短边平行于墙时，可列方程为 解得， ， 此时平行于墙的较短边小于，符合题意 ∴花圃的面积为； 答：花圃的面积为或． 【经典例题九 动点问题】 【例9】（25-26七年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在数轴上点表示数6，B点表示数3，C点表示数，点P为数轴上异于的动点． （1）若将数轴对折，使得对折后点与重合，此时点与也重合，则点表示的数为 ； （2）若将数轴从点P处对折，使得对折后，则点P表示的数为 （写出两个即可）． 【答案】 1 或11 【分析】本题考查了数轴、代数式等知识点，解题的关键在于读懂题意和灵活运用分类讨论的思想． （1）根据中点坐标公式即可得出答案； （2）根据题意先计算出，再根据分情况讨论点所在的位置即可 【详解】解：（1）点表示数6，B点表示数3，C点表示数，设P点表示数x， ∵将数轴对折，使得对折后A点与C点重合， ∴中点表示的数为：， ∵点B与点P也重合， ∴， ∴， 即点P所表示的数x为1． 【点睛】∵点表示数6，C点表示数， ∴， ∵从点P处对折，对折后， ∴． 设P表示的数为x（），则． ∴， 解得． 情况2：点P在B点右侧 设P表示的数为x（），则． ∴， 解得． 综上，点P表示的数可以是或11． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）小丽在纸上画了一条数轴后．折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用；设表示2的点与表示的点的连线段的中点表示的数为x，由数轴上两点之间的距离得，即可求解；能熟练利用数轴上两点之间的距离求解是解题的关键． 【详解】解：设表示2的点与表示的点的连线段的中点表示的数为x，则有： ， 解得：， 数轴上A、B两点之间的距离为8， ， 到表示的点的距离为4， 点表示的数为， 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，数轴上点A，B表示的数分别是和6，O为原点．点A，B分别以3个单位长度/秒和2个单位长度/秒的速度匀速相向而行，点P从原点O以1个单位长度/秒的速度匀速向右运动，遇到点B后立即向左运动．若A，B，P三个点同时开始运动，当A，B两点相遇时所有点停止运动．在此运动过程中，设运动时间为t秒，若，则t的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用；先求解，，再分两种情况：当时，，，当时，结合对应的数为，，，再结合建立方程求解即可． 【详解】解：∵数轴上点A，B表示的数分别是和6， ∴，，， 设运动时间为t，则对应的数为，对应的数为， 当，则， 当时， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 当时， ∴， 当时， ∴对应的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 故答案是：或． 3．（25-26七年级上·安徽安庆·阶段练习）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足． (1)______，______，______； (2)若点A、点B和点C分别以每秒1个单位长度、4个单位长度和2个单位长度的速度在数轴上同时向右运动． ①假设t秒钟后，A，B，C三点中其中一点是另外两点的中点，求此时t的值； ②假设t秒钟后，用表示A、B两点的距离，用表示A、C两点的距离，是否存在常数m，使的值为定值？若存在，求m的值，并写出该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；1；7 (2)①t的值为或15；②，的值为定值，其值为24． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式加减的应用，数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离． （1）利用非负数的性质求得得a，c的值，由b是最小的正整数，可得；然后求出对称点，即可得出结果； （2）①分三种情况讨论：B为中点；C为中点，点A不可能是的中点，由两点间的距离公式和线段中点的意义列出方程并解答即可； ②由，得到当时，求得的值为定值，其值为24． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∵b是最小的正整数， ∴． 故答案是：；1；7． （2）解：①∵，，， t秒钟后，点A表示的数为：， 点B表示的数为：， 点C表示的数为：， 若B为中点：， 解得：． 若C为中点：， 解得：； ∵点A总是A、B、C中最左边那个点， ∴点A 不可能是的中点； ∴t的值为或15； ②∵，， ∴ ， 若使的值为定值，则，即， 当时， ∴的值为定值，其值为24． 4．（25-26七年级上·安徽池州·期中）如图，已知数轴上三点A，O，B对应的数分别为，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．在数轴上，若点M，N表示的数分别为m，n，我们把m，n之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即． (1)若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是_____； (2)当_____时，点P到点A、点B的距离之和是6； (3)若点P以每秒3个单位长度的速度从点O向左运动，同时点E以每秒1个单位长度的速度从点A向左运动，点F以每秒4个单位长度的速度从点B也向左运动．设运动时间为t秒，那么当点P到点E，点F的距离相等时，求t的值． 【答案】(1) (2)2或 (3)或2 【分析】（1）分类讨论P在之间，在A的左侧、在B的右侧三种情况下点P到点A，点B的距离之和，进而可以得到答案； （2）结合（1）即可解答； （3）设运动的时间为t秒，则点P表示数、点E表示数、点F表示数，然后可得，进而问题可求解． 本题考查了解一元一次方程，列一元一次方程解应用题、数轴、绝对值、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，解题的关键是用代数式正确地表示运动过程中的点对应的数． 【详解】（1）解：由题意得，点P与点A、B之间的距离分别为， ①当时，点P在之间，则点P与点A、B的距离之和为； ②当时，点P在A的左侧， ； ③当时，P在B的右侧， 则； 综上，当时，点到点A、点的距离之和最小， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，当P在B的右侧或A的左侧时，点P到点A、点B的距离之和是6， 则或， 解得2或， 故答案为：2或； （3）解：设运动的时间为t秒，则点P表示数，点E表示数，点F表示的数是， ∴，， ∴， ∴或， 解得或． 【经典例题十 和差倍分问题】 【例10】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）学校开展植树活动，甲班和乙班共植树31棵，其中乙班植树棵数比甲班植树棵数的2倍多1，求两班各植树多少棵（用方程求解）． 【答案】甲班植树棵数为，乙班植树棵数为 【分析】本题考查一元一次方程解应用题，读懂题意，找准等量关系列出方程求解是解决问题的关键． 设甲班植树棵数为，则乙班植树棵数为，由甲班和乙班共植树31棵，列一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】解：设甲班植树棵数为，则乙班植树棵数为， ， 去括号得， 移项、合并同类项得， ， 则乙班植树棵数为， 答：甲班植树棵数为，乙班植树棵数为． 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）小明到某文具店购买铅笔和中性笔．设购买铅笔的金额为x元，根据表格，下列方程错误的是（ ） 商品 单价（元/支） 购买数量/支 购买金额/元 铅笔 中性笔 总计 13 34 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准数量关系，正确列出方程是解决本题的关键．根据题意填表，即可得到答案． 【详解】解：填表如下： 商品 单价（元/支） 购买数量/支 购买金额/元 铅笔 中性笔 总计 根据题意得：， 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）新年联欢，老师为同学们准备了A、B两种礼物，A礼物单价a元，重m千克，B礼物单价元，重千克，为了增加趣味性，老师把礼物随机组合装在盲盒里，每个盲盒里均放两个，装好后，称重盲盒，发现： 称重情况 重量最大的盲盒 重量介于最大和最轻之间 重量最轻的盲盒 盲盒个数 12个 20个 8个 若这些礼物共花费836元，则 元． 【答案】10 【分析】根据，A礼物重m千克，B礼物重千克，可知A礼物比B礼物1千克，又因为每个盲盒里均放两个，所以重量最大的盲盒是两个A礼物，重量最轻的盲盒是两个B礼物，重量介于最大和最轻之间的是1个A礼物和1个B礼物，再根据重量最大的盲盒12个，重量介于最大和最轻之间的盲盒20个，重量最轻的盲盒8个，由这些礼物共花费836元，可列方程求解． 【详解】解：∵A礼物重m千克，B礼物重千克， ∴A礼物比B礼物1千克， ∵每个盲盒里均放两样， ∴所以重量最大的盲盒是两个A礼物，重量最轻的盲盒是两个B礼物，重量介于最大和最轻之间的是1个A礼物和1个B礼物， 根据题意，得 ， 解得：， 故答案为：10． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题关键是能判断出重量最大的盲盒是两个A礼物，重量最轻的盲盒是两个B礼物，重量介于最大和最轻之间的是1个A礼物和1个B礼物． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）习近平总书记指出，要培养“德智体美劳”全面发展的社会主义建设者和接班人．良好的身体素质是所有的前提保障，体育锻炼是增强体质最有效的手段，某校决定购买一些羽毛球拍和羽毛球，其中每副羽毛球拍的价格比一桶羽毛球贵12元，购买5副羽毛球拍和4桶羽毛球一共需要330元． (1)每副羽毛球拍和每桶羽毛球的价格分别是多少元？ (2)该校一共购买了羽毛球拍和羽毛球152件，体育教研组决定为兴趣组的同学每人配1副羽毛球拍和3桶羽毛球，刚好够分，请问学校购买了多少副羽毛球拍，多少桶羽毛球？ 【答案】(1)每副羽毛球拍的价格为42元，每桶羽毛球的价格为30元 (2)学校购买了38副羽毛球拍，114桶羽毛球 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设每桶羽毛球的价格为元，则每副羽毛球拍的价格为元，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设学校购买了副羽毛球拍，则购买了桶羽毛球，根据题意列出方程，解出的值即可解答． 【详解】（1）解：设每桶羽毛球的价格为元，则每副羽毛球拍的价格为元， 由题意得，， 解得：， 则， 答：每副羽毛球拍的价格为42元，每桶羽毛球的价格为30元． （2）解：设学校购买了副羽毛球拍，则购买了桶羽毛球， 由题意得，， 解得：， 则， 答：学校购买了38副羽毛球拍，114桶羽毛球． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）2024年12月4日，我国申报的“春节—中国人庆祝传统新年的社会实践”在联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上通过评审，成功列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．某工厂为迎接新春蛇年，妙趣打造全新2025蛇年新春限定盲盒系列，以纯真趣意致敬源远流长的中华文化．该工厂将一批新春限定盲盒分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人．用一元一次方程解答下列问题： (1)若该工厂生产A种盲盒的人数比生产B种盲盒的人数的2倍少200人，分别求出该工厂生产A种盲盒和B种盲盒工人的人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产新春限定盲盒大礼包，该大礼包由2个A种盲盒和3个B种盲盒组成．已知每个工人平均每天可以生产20个A种盲盒或10个B种盲盒，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产A种盲盒，多少名工人生产B种盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【答案】(1)生产盲盒的工人人数为人，B种盲盒工人的人数为人 (2)该工厂应该安排名工人生产种盲盒，名工人生产种盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （）设生产B种盲盒的工人人数为人，则生产A种盲盒的工人人数为人，根据该工厂共有名工人，列出一元一次方程，解方程即可； （）设安排人生产盲盒，则安排人生产盲盒，根据盲盒大礼包由个盲盒和个盲盒组成．列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设生产B种盲盒的人数为人，则生产A种盲盒的人数为人， 于是 解得： （人） 答：生产A种盲盒的工人人数为人，B种盲盒的工人人数为人． （2）解：设安排人生产A种盲盒，则安排人生产B种盲盒， 于是 解得： （人） 答：该工厂应该安排名工人生产种盲盒，名工人生产种盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套． 【经典例题十一 电费和水费问题】 【例11】（25-26七年级上·安徽淮北·期中）出租车行驶5公里收费10元，超过部分每公里2元．若小明付费18元，他乘坐了多少公里？ 【答案】小明乘坐了9公里 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设出相应的未知数并列出方程是解决本题的关键． 设总路程为公里，根据题意可设出总费用的一元一次方程进行求解即可． 【详解】解：设总路程为公里，则 ， ， ， ， ， 解得， 答：小明乘坐了9公里． 1．（2025七年级·安徽安庆·模拟预测）保险公司的汽车保险，汽车修理费是按分段赔偿，具体赔偿细则如下表．某人在汽车修理后在保险公司得到的赔偿金额是2000元，那么此人的汽车修理费是（    ）元． 汽车修理费x元 赔偿率 0＜x≤500 60% 500＜x≤1000 70% 1000＜x≤3000 80% … … A．2687 B．2687.5 C．2688 D．2688.5 【答案】B 【分析】根据表可以首先确定此人的修理费应该大于1000元，并且小于3000元，则赔偿率是80%，则若修理费是x元，则在保险公司得到的赔偿金额是(x-1000) ×0.8+300+350元 ，就可以列出方程，求出x的值． 【详解】解：∵500×60%＝300（元）， （1000﹣500）×70%＝500×70%＝350（元）， （3000﹣1000）×80%＝2000×80%＝1600（元）， 且300＜2000，300+350＝650＜2000，300+350+1600＝2350＞2000， ∴此人的汽车修理费x的范围是：1000＜x≤3000， 可得，300+350+（x﹣1000）×80%＝2000， 解得x＝2687.5， ∴此人的汽车修理费是2687.5元， 故选：B． 【点睛】解决问题的关键是读懂题意，确定修理费的范围，正确表示出赔偿金额是解决本题的关键． 2．（24-25七年级上·安徽六安·期中）为响应国家号召，引导节能低碳行为，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯用电”制度，下表是我市每月的电费标准： 阶梯 电量x/千瓦时 电费/（元/千瓦时） 第一档 0.5元/千瓦时 第二档 0.6元/千瓦时 第三档 0.8元/千瓦时 已知小丽家2024年2月份缴纳电费216元，则小丽家该月用电量为 千瓦时． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．根据题意先判断出小丽家所用的电所在的档，再设小丽家2月份用电量为x千瓦时，根据价格表列出方程，求出x的值即可． 【详解】解：若一个月用电量为180千瓦时，电费为（元）， 若一个月用电量为350千瓦时，电费为（元）， ∵， ∴小丽家2月份用电量超过350千瓦时． 设小丽家2月份用电量为x千瓦时， 依题意得：， 解得：． 答：小丽家2月份的用电量为380千瓦时． 故答案为：380 3．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）某市为鼓励居民节约用电，对居民生活用电实行阶梯收费，居民用电价格改革方案已出台，如下表： 用电量的范围 不超过的部分 超过的部分 价格/﹝元/（﹞ 0.5 0.6 小芳家二月份用电，交电费105元，则的值为 ． 【答案】150 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用（分段计费问题）需判断用电量是否超过阶梯电量，再根据电费的计算方式列出方程求解． 【详解】解：首先，若全部按元收费，电费为元 由于实际交电费元，说明即用电量超过了． 根据分段计费规则： 不超过的部分，电费为元； 超过的部分为kW⋅h，电费为元； 总电费为元，因此列方程： 解得：． 故答案为：150． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用（分段计费问题），解题关键是判断用电量是否超过阶梯电量，再根据不同收费段的标准列出方程． 4．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）为了促进节能减排，倡导节约用电，某地居民的阶梯电价分夏季与非夏季标准执行：每年的月执行夏季标准，其余月份执行非夏季标准．两种阶梯电价计费方案如表： 阶梯电价 夏季标准 非夏季标准 第一档 用电量 千瓦时 千瓦时 电价 元/千瓦时 第二档 用电量 千瓦时 千瓦时 电价 元/千瓦时 第三档 用电量 601千瓦时及以上 401千瓦时及以上 电价 元/千瓦时 执行阶梯电价后，若某用户6月份用电量为700千瓦时，则应缴纳的电费为： （元）． (1)甲用户4月份的用电量为500千瓦时，该用户应缴纳的电费为多少元？ (2)乙用户4月份缴纳的电费为元（）． ①该用户的用电量是__________千瓦时（用含的代数式表示）； ②若乙用户6月份缴纳的电费也是元，求该用户6月份比4月份可多用电多少千瓦时？ (3)丙用户4月份和6月份共用电500千瓦时，电费之和为315元．已知该用户4月份用电量小于400千瓦时，请直接写出丙用户4月份的用电量． 【答案】(1)该用户应缴纳的电费为350元 (2)①②50 (3)丙用户4月份的用电量为100千瓦时或350千瓦． 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，代数式表示式，整式的加减运算，一元一次方程的应用以及分类讨论思想，关键是根据不同的用电量区间，按照对应的电价标准计算电费． （1）四月份执行非夏季标准，200千瓦时单价是0.6元/千瓦时，200千瓦时单价是0.7元/千瓦时，100千瓦时单价是0.9元/千瓦时，据此计算即可． （2）①由知用电量超过了500，4月份用电量为． ②由知用电量超过了600，6月份用电量为，与4月份用电量相减即可． （3）设4月份用电量为x千瓦时，分情况讨论必的取值范围，根据总电费列出方程求解． 【详解】（1）解：由题意得∶(元) 答∶该用户应缴纳的电费为350元． （2）解：①4月份用电量为： （千瓦时） 故答案为∶， ②6月份用电量为∶ （千瓦时） ∴（千瓦时） 则该用户6月份比4月份可多用电50千瓦时 （3）解：设丙用户4月份的用电量为千瓦时，则6月份用电量为千瓦时， 分两种情况讨论∶ 当时，， 6月份用电费用为：， 4月份用电费用为：， 则． 解得∶； 当时，， 若，由题意得： 即， 解得∶， 若，由题意得：，无解， 答∶丙用户4月份的用电量为100千瓦时或350千瓦． 【经典例题十二 比例分配问题】 【例12】（2025七年级上·安徽安庆·模拟预测）我校食堂买来900千克大米，6天吃了180千克，照这样计算，剩下的还能吃几天？（用比例的知识解答） 【答案】见解析 【分析】设剩下的还能吃x天，根据题意联立方程，求解即可． 【详解】解：设剩下的还能吃x天，由题意可得： ， ， ， 答：剩下的还能吃24天． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意联立方程是解题的关键． 1．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）美食俱乐部共有58名成员，每个成员不是胖子就是瘦子．一次聚会时每个胖子带来15个包子分给瘦子，每个瘦子带来14个包子分给胖子．已知，每个胖子分到的包子一样多，每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完）．那么成员中胖子的人数是（　　） A．27 B．28 C．27或30 D．28或29 【答案】B 【分析】设美食俱乐部有x名胖子，则有名瘦子（，且为整数），得出.由每个瘦子带来14个包子分给胖子，且每个胖子分到的包子一样多（都正好分完），得出必是15的倍数，求出或28或13，再由于每个胖子带来15个包子分给瘦子，且每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完），得出必是14的倍数，即可得出结论． 此题主要考查了整除问题，得出或30或45是解本题的关键． 【详解】解：设美食俱乐部有x名胖子，则有名瘦子（，且为整数）， 所以，， 因为每个瘦子带来14个包子分给胖子，且每个胖子分到的包子一样多（都正好分完）， 所以必是15的倍数， 所以或30或45， ∴或28或13， 又因为每个胖子带来15个包子分给瘦子，且每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完）， 所以必是14的倍数， 所以， 即美食俱乐部的成员中胖子的人数是28， 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）茶百道生产的一种由A、B两种原料按一定比例配制而成的奶茶，其中A原料成本价为10元/千克，B原料成本价为15元/千克，按现行价格销售每千克奶茶可获得4.8元的利润．由于物价上涨，A原料上涨20%，B原料上涨10%，配制后的总成本增加．茶百道为了拓展市场，打算再投入现总成本的10%做广告宣传，使得销售成本再次增加，如果要保证每千克的利润不变，则此时这种奶茶每千克的售价与原售价之差为 元 【答案】 【分析】设配制比例为，则原液上涨后的成本是元，原液上涨后的成本是元，配制后的总成本是，根据题意可得方程，解可得配制比例，然后计算出原来每千克的成本和售价，然后表示出此时每千克成本和售价，即可算出此时售价与原售价之差． 【详解】解：设配制比例为，由题意得： 解得x=， 则原来每千克成本为： ＝12（元）， 原来每千克售价为：（元） 此时每千克成本为：（元）， 此时每千克售价为：（元）， 则此时售价与原售价之差为：（元）． 故答案为：． 【点睛】此题考查一元一次方程的应用，解题关键是计算出配制比例，以及原售价和此时售价． 3．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，初三年级准备制作一个长的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距，试求横幅字距是多少？ 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据空宽：字宽：字距设边空宽为，字宽为，字距为.再根据长的横幅列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：因为边空宽：字宽：字距， 所以设边空宽为，字宽为，字距为. 由题意可得：， 解得. 答：横幅字距为． 4．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件，其中A种产品的件数比B种产品件数的3倍少20件． (1)求工厂计划生产A、B两种新春产品各多少件？ (2)现在工厂需要购买甲、乙两种材料生产新春产品．甲种材料的单价为每千克5元，乙种材料的单价为每千克3元，采购员小李分两次购买完所需的材料，第一次购买两种材料共200千克，受市场价格影响，第二次购买时甲材料的单价为每千克4元，乙材料的单价不变． ①设采购员第一次购买甲种材料千克，完成下列表格： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 380 乙材料 180 ②若第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元，求采购员第一次购买甲种材料多少千克？ 【答案】(1)工厂计划生产B种产品40件，则工厂计划生产A种产品100件 (2)①见解析；②采购员第一次购买甲种材料120千克 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，列代数式，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． （1）设工厂计划生产B种产品件，则工厂计划生产A种产品件，利用“某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件”，再建立方程求解即可； （2）①用两次购买的数量减去第一次的数量可得表格第二次购买的数量；②先表示两次购买的费用，再利用“第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元”，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设工厂计划生产B种产品件，则工厂计划生产A种产品件， 根据题意得：， 解得：， ， 工厂计划生产B种产品40件，则工厂计划生产A种产品100件； （2）①补充表格如下表： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 乙材料 ②第一次购买材料的费用为：（元）， 第二次购买材料的费用为：（元）， ，解得：， 答：采购员第一次购买甲种材料120千克． 【经典例题十三 日历问题】 【例13】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）在一张普通的月历中，相邻三行里同一列的三个日期数之和能否为51？如果能，这三个数分别是多少？ 【答案】能，这三个数分别是10，17，24． 【分析】设中间的数为x，其它两个为与，表示出之和，根据三个日期数之和为51，列出方程，如果求出的解符合题意，那么相邻三行里同一列的三个日期数之和能为51，否则不能． 【详解】设中间的数为x，其它两个为与， 根据题意得： ， 解得：， 则， 答：这三个数分别是10，17，24． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，关键是找出题目中的等量关系，列出方程，注意相邻三行里同一列的三个日期之间相差7． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）2025年12月份月历表如下图，任意框出表中竖列上三个相邻的数，则这三个数的和可能是（　 　） A．28 B．65 C．54 D．75 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设竖列上中间的数为，其它的两个数分别为，，表示出三数之和，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，结合月份月历表中数的特点可知、的值要在之内，即可得出结论． 【详解】解：设竖列上中间的数为，其它的两个数为，， 三个数之和为， A、当时，解得：， ∵为整数， ∴不合题意， ∴这三个数的和不可能是28； B、当时，解得：， ∵为整数， ∴不合题意， ∴这三个数的和不可能是65； C、当时，解得：， 则，，符合月历表中数的特点， ∴这三个数的和可能是54； D、当时，解得：， 则，，不符合月历表中数的特点， ∴这三个数的和不可能是75． 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）某月有五个星期二，已知这五个日期的和为，则这月中最后一个星期二是 号． 【答案】 【分析】此题主要考查一元一次方程的应用每个星期相差天，设最后一个星期二是号，则其他四个星期的号数分别为：，，，，由这五个日期的和为列方程解答即可，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设最后一个星期二是号，则其他四个星期的号数分别为：，，，， 根据题意列方程得，， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图是某年11月份的月历，用一个小正方形在任意圈出其中的9个数，设圈出的9个数中最中心的数为x． (1)用含x的式子表示圈出的9个数的和． (2)若圈出的9个数的和为，求圈出的最大数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式加减的应用和一元一次方程的应用． （1）根据题意列式求和即可； （2）根据（1）中得到的结果列方程，解方程得到，即可求出圈出的最大数是． 【详解】（1）解：设圈出的9个数中最中心的数为x，则由题意可得， ， 即圈出的9个数的和为． （2）由题意可得，， 解得， 圈出的最大数是． 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）在月历中，每个字母都代表某个具体日期 日 一 二 三 四 五 六 a e c x d f b 表（1） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 表（2） (1)在表（1）中任意框出五个数，则 ，这5个数的和为 （都用含的式子表示）； (2)在表（1）中，的和与的关系是什么？通过计算说明； (3)已知表（2）是某个月的月历，如果用框出的5个数的和为80，求中间的那个数． 【答案】(1)， (2) (3)中间那个数为 【分析】本题考查了整式的加减的应用、一元一次方程的应用． （1）表示出，，，，再求和即可得解； （2）表示出，，再求出即可得解； （3）由题意得出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得：在表（1）中任意框出五个数，则，，，， 故这5个数的和为； （2）解：由题意可得：，， ∴； （3）解：由题意可得：， 解得：， 故中间那个数为． 【经典例题十四 古代问题】 【例14】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，李白在郊外春游时，做出这样一条约定：每遇见1个朋友，就到酒馆里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，若遇见第3个朋友后，正好喝光了壶中的酒，壶中原来有酒多少什？ 【答案】壶中原来有酒升 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设壶中原来有酒升，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设壶中原来有酒x升，由题意可得 ， 解得， ∴壶中原来有酒升． 1．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：“用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个？”若设买甜果个，则买苦果个，可列出符合题意的方程．根据已有信息，题中用“…，…”表示缺失的条件可能为（   ） A．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 B．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确得出等量关系是解题的关键．根据所列方程得甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，即可求解． 【详解】解：∵方程 ∴题中用“…，…”表示缺失的条件可能为甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱， 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和均相等，例如下图（1）就是一个幻方，图（2）是一个未完成的幻方，则的值是 ． 4 9 2 16 3 5 7 11 15 8 1 6 12   图（1）                 图（2） 【答案】 【分析】设a下方的数为m，右上角的数为n，则第二横行三个数的和为，由第一竖列三个数的和为39，可知每一横行、每一竖列、每条对角线上的3个数之和均等于39，于是列方程得，求得，再由对角线三个数的和列方程得，求得，由第一行三个数的和列方程得，解方程求出a的值即得到问题的答案． 【详解】设a下方的数为m，右上角的数为n， ∵， ∴每一横行、每一竖列、每条对角线上的3个数之和均等于39， 根据题意得， 解得， ∴， 解得， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示第二横行三个数的和并且求出a下方的数是解题的关键． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·假期作业）《算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，其中有一首“以碗知僧”，大意是：山上有一古寺叫都来寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗．请问都来寺里有多少个和尚．利用方程知识可以解决这个有趣的问题，我们试一下吧！ 以碗知僧 魏巍古寺在山中，不知寺内几多僧，三百六十四只碗，恰合用尽不差争， 三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，请问先生能算者，都来寺内几多僧． --摘自（明）程大位著《算法统宗》 【答案】624个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 根据题意，设寺里有x个和尚；由“3个和尚合吃一碗饭”可知，一个和尚吃碗饭，则吃饭共用了只碗；由“4个和尚合分一碗汤” 可知，一个和尚喝碗汤，则喝汤共用了只碗；根据“一共用了364只碗”可得出等量关系：吃饭用碗的数量喝汤用碗的数量碗的总数，据此列出方程，并求解． 【详解】解：设都来寺里有x个和尚，根据题意得． ． 答：都来寺里有624个和尚． 4．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）在利用一元一次方程解决问题时，借助表格和示意图可以直观分析问题，使问题中的数量关系更加清晰，实际上，借助图表直观分析数量关系，往往是解决问题的一种重要策略． 【题目】我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）一书中有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．” 译文是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？ 【直观分析】（1）设快马天可以追上慢马，请你将如下的线段图补充完整： 【解决问题】（2）根据（1）中线段图所反映的数量关系，列方程解决问题． 【答案】（1）画图见解析；（2）快马20天可以追上慢马． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意画图表示即可； （2）设快马x天可以追上慢马，根据慢马先行的路程快慢马速度之差快马行走天数，即可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）如图所示： （2）设快马x天可以追上慢马， 由题意，得， 解得：． 答：快马20天可以追上慢马． 【拓展训练一 一元一次方程与数轴综合应用】 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知数轴上点对应的数是，点对应的数是．若点从点出发以每秒个单位的速度运动，与此同时，点从点出发以每秒个单位的速度运动，设运动时间为秒． (1)若点与相向运动，当，相遇时，求运动时间； (2)若点与同时向左运动，当与相距个单位长度时，求运动时间； (3)若点与相向运动，点对应的数是，当时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据题意分别表示出点所表示的数，根据题意，建立一元一次方程，解方程即可求解； （2）根据题意，分类讨论，当在点的左边时，，当在点的右边时，，分别解方程即可求解； （3）分别表示出、的长，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：点对应的数是，点对应的数是，点与相向运动， 依题意，秒后，点表示的数是，点表示是的数是， 当，相遇时，， 解得：； （2）解：依题意，点与同时向左运动，则点表示的数是，点表示是的数是， 当在点的左边时，， 解得：； 当在点的右边时，， 解得：； 综上所述，当或时，与Q相距个单位长度； （3）点表示的数为，点表示的数是，点表示的数是， ， ， ， 解得或． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解数轴上两点间的距离的表示方法并用含t的式子表示，根据题意列出方程是解题关键，解题时要注意多种情况分类讨论． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，已知数轴上有、两点，点在原点的右侧，到原点的距离为，点在点的左侧，．动点、分别从、两点同时出发，在数轴上匀速运动，它们的速度分别为个单位长度秒、个单位长度秒，设运动时间为秒． (1)点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)若动点、均向右运动．当时，点对应的数是 ，、两点间的距离为 个单位长度．请问当为何值时，点追上点，并求出此时点对应的数； 【答案】(1)， (2)；；； 【分析】本题考查了数轴，两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，学会用分类思想解决问题． （1）根据点B在原点的右侧，到原点的距离为2得点B表示的数为2，根据A在点B的左侧：，得点A表示的数； （2）根据题意得，当时，点对应的数是：，对应的数是：，进而求得两点距离；根据题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为，当点P追上点Q时，根据题意得，，即可得． 【详解】（1）解：点在原点的右侧，到原点的距离为， 点表示的数为． 点在点的左侧，， ． 点表示的数为：． 故答案为：，． （2）解：当时，，， 点向右运动了个单位长度，点向右运动了个单位长度． ，． 点对应的数是：，对应的数是：． ． 、两点间的距离为：个单位长度． 当点追上点时，可得点与点表示的数相同， ． ． ． 此时点对应的数为：． 当为时，点追上点，此时点对应的数为：． 3．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图（1），已知A，B为数轴上的两点，点O表示原点，点A表示的数为．动点C从A出发做匀速运动，动点D从B出发做匀速运动． (1)若动点C向右运动，动点D向左运动，且两点同时出发，它们运动的时间、在数轴上的位置所表示的数记录如下表．请将表格补充完整． 时间（秒） 0 1 2 C点在数轴上的位置所表示的数 D点在数轴上的位置所表示的数 3 2 (2)若点C和点D同时开始运动，它们以（1）中各自的速度和方向运动，求两点相遇时的位置所表示的数． (3)在（2）的条件下，点C在与点D相遇后立即朝反方向运动（点D仍按原先方向运动），在整个运动过程中，求两点出发后经过多少时间，点C和点D之间的距离为4． 【答案】(1)， (2)3秒 (3)2秒或5秒 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用， （1）利用表格得出点C，点D的运动速度，根据距离时间速度，求出距离，即可解题． （2）根据相遇时共走了个单位长度列方程求解即可； （3）分相遇前距离4个单位长度和相遇后距离4个单位长度列方程求解即可． 【详解】（1）解：点C向右运动的速度为：个单位/秒， 当时间为2秒时，C点在数轴上的位置所表示的数为：， 点D向左运动的速度为：个单位/秒， 当时间为0秒时，点D在数轴上的位置所表示的数为：， 故答案为：，； （2）解：设经过t秒相遇， 由题意，得， 解得； （3）解：设经过t秒点C和点D之间的距离为4． 相遇前：， 解得； 相遇后： ∵， ∴相遇后点C表示的数是，点D表示的数是， 则， 解得． 综上可知，当两点出发后经过2秒或5秒时，点C和点D之间的距离为4． 【拓展训练二 一元一次方程实际综合应用】 1．（2025·安徽马鞍山模拟预测）如图是由一些火柴棒搭成的图案： (1)摆第①个图案用____根火柴棒，摆第②个图案用____根火柴棒，摆第③个图案用____根火柴棒； (2)按照这种方式摆下去，摆第n个图案用_____根火柴棒； (3)计算一下摆根火柴棒时，是第几个图案？ 【答案】(1)5；9；13 (2) (3) 【分析】本题主要考查了规律型图形变化类和一元一次方程求解，准确计算是解题的关键． （1）分别算出前面几个图形中的根数即可； （2）由前面几个图形的过程即可得出规律； （3）根据（2）得出的结果计算即可； 【详解】（1）解：由题可得：第①个图案所用的火柴数：， 第②个图案所用的火柴数：， 第③个图案所用的火柴数：， 故答案为：5；9；13； （2）解：由（1）的方法可得：，，， 第个图案中所用的火柴数为：， 故答案为：； （3）解：根据（2）计算得到的规律可知：得，； 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价50元，售价80元，乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)乙种商品每件的利润率为______． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额不超过380元 优惠措施不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明这天只购买了甲种商品，实际付款432元，求小明这天在该商场购买甲商品多少件？ 【答案】(1) (2)购进甲种商品10件 (3)小明这天在该商场购买甲商品6件 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据乙种商品每件的进价为40元，售价为60元，列出算式，求解即可获得答案； （2）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据题意列出方程并求解，即可获得答案； （3）设小明购买了甲种商品件，可分小明购买甲种商品的原售价超过380元，但不超过500元和购买甲种商品的原售价超过500元两种情况，分别列方程并求解，并结合生活实际，即可获得答案． 【详解】（1）解：乙种商品每件的利润率为： ； （2）解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 根据题意，可得：， 解得 ， 答：购进甲种商品10件； （3）解：根据题意，小明购买了甲种商品，实际付款432元， 设小明购买了甲种商品件，可分为两种情况讨论， ①若小明购买甲种商品的原售价超过380元，但不超过500元， 则有， 解得 ， 检验：当时，购买甲商品的原售价为元，满足， 故符合题意； 即购买了甲种商品6件； ②若小明购买甲种商品的原售价超过500元， 则有， 解得 ，不合题意，舍去． 综上所述，小明购买了甲种商品6件． 3．（24-25七年级上·安徽六安·期中）如图，是两张不同类型火车的车票（ “次”表示动车，“次”表示高铁）： A地售    02车12号 2025年5月1日   10：00 ￥360元 限乘当日车次 A地售    03车13号 2025年5月1日   11：00 ￥560元 限乘当日车次 已知该动车和高铁的平均速度分别为，，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求A、两地之间的距离与两车何时到达终点地． 【答案】A、两地之间的距离为，两车到达终点地 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键 设A，两地之间的距离为，利用时间、路程、速度的关系以及动车比高铁多用小时，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，将其代入中，可求出动车到达地所需时间，再结合动车的出发时间，即可求出两车到达终点地的时间． 【详解】解：设A、两地之间的距离为， 根据题意得：， 解得：， (小时)， ． 答：A、两地之间的距离为，两车到达终点地． 【拓展训练三 一元一次方程的应用规律问题】 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）如表，将正整数至按一定规律排列． (1)若用一个如表中所示的带有阴影的方框在此表格中移动，当方框中的数字总和为时，方框中间的数字是多少？ (2)若用该带有阴影的方框在此表格中移动，方框中的三个数的和能不能为？ 【答案】(1)； (2)不能． 【分析】本题主要考查了探索数字的变化规律、一元一次方程的实际应用． （1）设方框中间的数字为，则另外两个数字分别为，，根据三个数字之和是，可列一元一次方程，解方程求出中间的数字是， （2）设中间的数字为，方框中的三个数字的和为，可列一元一次方程，解方程求出中间的数字是，然后根据排列规律进行检验即可． 【详解】（1）解：设方框中间的数字为，则另外两个数字分别为，， ， 整理得：， 解得：， ，， 三个数分别为：、、， 每行有个数字，， 是第行第列的数字， 经检验，满足题意，故方框中间的数字是； （2）解：设中间的数字为， 方框中的三个数字的和为， ， 整理得：， 解得：， ， 在表格中最右侧的一列数字中， 不可能为中间的数字， 用该带有阴影的方框在此表格中移动，方框中的三个数字的和不能为． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b，且. (1)则a＝ ，b＝ ；两点之间的距离为 (2)有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度；然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度；在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，……按照如此规律不断地运动，当运动到次时，求点P所对应的有理数； (3)在（2）的条件下，点P在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍，请直接写出此时点P的位置，并指出是第几次运动. 【答案】(1)；； (2) (3)和分别是点运动了第次和第6次到达的位置 【分析】本题考查数轴和一元一次方程的应用，熟练掌握数轴和一元一次方程的应用是解题的关键． （1）根据题意得到，，从而得到的值，进而得到两点之间的距离． （2）根据点P在数轴上运动的规律，可找到最后点P的位置，从而得到答案； （3）设点P所对应的有理数为，由题可分三种情况： ①当点在点的左侧时， ②当点在点和点之间时， ③当点在点的右侧时，分别计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴两点之间的距离． 故答案为：；7； ． （2）解：依题可得： ． ∴点P所对应的有理数为． （3）解：设点P所对应的有理数为， ①当点在点的左侧时：，， 由题可得：， 解得：， ②当点在点和点之间时：，， 由题可得：， 解得：， ③当点在点的右侧时：，， 由题可得：由题可得：， 解得：，这与点在点的右侧矛盾，故舍去， 综上所述，点所对应的有理数分别是和， ∴和分别是点运动了第次和第6次到达的位置． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图是用棋子摆成的“上”字图案，按照这种规律继续摆下去，通过观察、对比、总结，找出规律，解答下列问题． (1)按图示规律填写下表： 图案编号 1 2 3 4 5 棋子枚数 6 10 14 (2)如果按照此规律继续摆下去，通过观察可以发现：第n个“上”字需用 枚棋子；（用含n的代数式表示，需化简） (3)七（1）班有46名学生，把每名学生看作一枚“棋子”，能否按照以上规律恰好站成一个“上”字？若能，计算最下面一“横”的学生人数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)能，23人 【分析】本题考查图形类规律探究，一元一次方程的应用，找到图形中的规律，是解题的关键： （1）观察可知，后一个图形比前一个图形多4枚棋子，填表即可； （2）根据后一个图形比前一个图形多4枚棋子，列出代数式即可； （3）令，求出的值，再根据最下面一横中棋子的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：观察可知，后一个图形比前一个图形多4枚棋子， ∴第4个图案的棋子数为：，第5个图案的棋子数为：， 填表如下： 图案编号 1 2 3 4 5 棋子枚数 6 10 14 18 22 （2）由（1）可知，第n个“上”字需用个棋子； 故答案为：； （3）令， 解得：， 故能按照以上规律恰好站成一个“上”字， 观察最下一横上的棋子数为从3开始的连续的奇数， ∴第n个“上”字最下一横上的棋子数为， ∴最下面一“横”的学生人数为：（人）． 1．（2025七年级上·安徽滁州·模拟预测）一列火车长 160 米，每秒行 20 米，全车通过 440 米的大桥，需要（    ）秒． A．8 B．22 C．30 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设需要x秒，利用路程=速度×时间，结合路程为火车与大桥的长度之和，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设需要x秒， 根据题意得：， 解得：， ∴需要30秒． 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）某商品因换季准备打折出售，如果按定价六折出售，将赔100元，而按定价的八折出售，将赚20元，则这种商品的定价是（   ）． A．400 B．600 C．800 D．1000 【答案】B 【分析】本题主要了一元一次方程的应用，找到正确的数量关系、列出方程是解题的关键． 设这种商品的定价为x元，由“按定价的六折出售，将赔100元，而按定价的八折出售，将赚20元”，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设这种商品的定价为x元， 由题意可得：， 解得：． 所以这种商品的定价为600元． 故选：B． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟需付话费0.4元（这里均指市内电话），一个月内通话（   ）分钟时，两种通话方式的费用相同． A．100 B．150 C．200 D．250 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．一个月内通话x分钟时，两种通话方式的费用相同，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设一个月内通话x分钟时，两种通话方式的费用相同， 根据题意得：， 解得：， 答：一个月内通话250分钟时，两种通话方式的费用相同． 故选：D 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）一组有规律的图案如图所示，第1个图案有4个五角星，第2个图案有7个五角星，第3个图案有10个五角星，…，则有451个五角星的是（   ） A．第145个图案 B．第150个图案 C．第165个图案 D．第180个图案 【答案】B 【分析】本题考查图形的变化规律，由图形可知第1个图案有个五角星，第2个图案有个五角星，第3个图案有个五角星……以此类推可得第n个图案有个五角星，再列方程求解即可． 【详解】解：由图形可知： 第1个图案有个五角星， 第2个图案有个五角星， 第3个图案有个五角星， …… 第n个图案有个五角星． 所以有：， 解得， 故选为：B． 5．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）如图，在大长方形（是宽）中放入6个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽．设，有下列分析思路：①以小长方形的长作相等关系可得方程；②以大长方形的长作相等关系可得方程．其中，正确的是（    ） A．①正确，②不完全正确 B．①不完全正确，②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据小长方形的长相等或大长方形的长相等，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意找小长方形的长作为相等关系得； 找大长方形的宽相等关系得：． 故选：A． 6．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）用一根绳子去量一根木头，绳子还剩余45cm；将绳子对折再量木头，木头还剩余10cm．木头长多少厘米？设木头长xcm，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，关键是根据绳子长度不变这一等量关系，用含木头长度的式子表示出绳子的长度，进而列出方程． 【详解】解：设木头长厘米 用一根绳子去量一根木头，绳子还剩余，绳子长度为：厘米； 第二次将绳子对折再量木头时，根据将绳子对折再量木头，木头还剩余10cm可得对折后的绳长为cm，因此绳子总长为cm； 由于绳子的长度始终不变，则： 整理得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是抓住绳子长度不变这一等量关系，分别用含的式子表示出绳子的长度，进而建立方程． 7．（25-26七年级上·安徽六安·期中）在同一条公路上有两辆卡车同向行驶，开始时甲车在乙车前4千米，甲车速度为每小时45千米，乙车速度为每小时60千米，那么乙车赶上甲车的前1分钟两车相距 米． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设乙车用小时追上甲车，小时分钟，前1分钟就是第15分钟，据此进行列式计算即可． 【详解】解：设乙车用小时追上甲车，则 解得小时分钟， 则前1分钟就是第15分钟， ∴在乙车赶上甲车的前1分钟两车相距千米米， 故答案为： 8．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段练习）金牛区举办了“金教杯”校园足球超级联赛：比赛规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得分．某校园足球队进行了9场比赛，其中负2场，共得13分，那么该足球队共胜了 场． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程组的应用；设胜场数为，则平了场，根据总积分为分，列出方程．解方程组即可． 【详解】解：设胜场数为，则平了场，依题意得， 解得： 故答案为4． 9．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）某商场分别购进了甲、乙两种扫地机器人40台与20台，甲种扫地机器人每台进价比乙种便宜10%，甲、乙两种扫地机器人每台标价分别为1100元、1500元．乙种扫地机器人按标价八折销售，甲种扫地机器人按原价销售．若两种扫地机器人销售一空，甲种扫地机器人利润是乙种扫地机器人利润的2倍，则乙种扫地机器人每台进价为 元． 【答案】1000 【分析】设乙种扫地机器人每台进价为元，则甲种扫地机器人每台利润为元，乙种扫地机器人每台利润为元，根据“两种扫地机器人销售一空后，甲种扫地机器人利润是乙种扫地机器人利润的2倍”列方程并求解即可. 【详解】解：设乙种扫地机器人每台进价为元，根据题意得： 解得： 乙种扫地机器人每台进价为元. 故答案为： ． 【点睛】本题考查了列方程解应用题—销售问题，掌握“利润=售价进价”与等量关系是解题的关键. 10．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，八个形状、大小都相同的小长方形恰好能无缝拼接成长方形，如果长方形的周长是40，那么长方形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用一元一次方程组解决图形面积的问题，由图可得出小长方形的长是宽的三倍，再设小长方形的宽为，根据题意列出方程求解，即可解题． 【详解】解：由图可知：小长方形的长是宽的三倍，设小长方形的宽为，故小长方形的长为，可得：， 解得：， 小长方形的宽为2，长为， ，， 长方形的面积为， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）一种药品现在的售价每盒20元，比原来降低了，问原售价多少元？ 【答案】原售价为25元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设原售价为元，根据现在的售价原售价建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设原售价为元， 由题意得：， 解得， 答：原售价为25元． 12．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多．已知小康平均每小时采摘，小悦平均每小时采摘，那么两人采摘的时长是多少小时？ 【答案】两人采摘了1.2小时 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程；设两人采摘了x小时，根据小康采摘的草莓比小悦多列方程即可． 【详解】解：设两人采摘了x小时， 依题意：， 解得， 答：两人采摘了小时． 13．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）某足球协会举办了一次足球比赛，其中得分规则及奖励方案如下表： 规则 胜一场 平一场 负一场 积分/分 3 1 0 人均奖金/元 1500 700 0 当队比赛完12场时，共积20分，并且没有负场． (1)队胜、平各几场？ (2)每赛1场，队每名队员均获得出场费500元，那么比赛完12场后，队的每名队员所得奖金与出场费共多少元？ 【答案】(1)队胜4场，平8场． (2)队的每名队员所得奖金与出场费共17600元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，本题中根据总场数和总积分不变，设队胜x场，解决问题的关键是列出方程求解． （1）设A队胜x场，则平了场，根据总积分为20分列出方程即可求解； （2）根据（1）中求得胜场数和平场数计算每名队员的奖金和出场费的总和即可解题． 【详解】（1）解：设队胜场，则平场． 根据题意，得， 解得， 则． 故队胜4场，平8场． （2）解：（元）． 故队的每名队员所得奖金与出场费共17600元． 14．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如图①，将一张长为，宽为的长方形纸片，在四个角上分别剪去边长为的小正方形，将剩下部分折成如图②所示的一个无盖长方体盒子． (1)若，则长方体盒子的底面积为______． (2)若长方体盒子的底面的长是宽的2倍，求该盒子的体积． 【答案】(1)1500 (2) 【分析】（1）由题意知，无盖长方体盒子的长为，宽为，把代入求出长和宽，进而求出面积． （2）根据题意列方程得，求出x的值，进而求出长方体盒子的长宽高，然后由长方体的体积公式求其体积即可． 本题主要考查了一元一次方程的应用，展开图折叠成几何体，掌握长方体的体积计算公式是解决问题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，长方体盒子的底面的长为： ，宽为，面积为， 当时，． 故答案为：1500 （2）解：若长方体盒子的底面的长是宽的2倍，则 ， 解得， 则，， 该盒子的体积为：． 15．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上一点，C在原点左侧，且，动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点C表示的数为______，并用含 t的代数式表示点P所表示的数为______； (2)设M是的中点，N是的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求线段的长度； (3)动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点R从点C出发，以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，若P、Q、R三点同时出发，在运动过程中，P到R的距离、P到Q的距离，这两段距离何时相等，请求出此时t的值． 【答案】(1)； (2)点P在运动过程中，线段的长度不发生变化，其值为5 (3)t的值为1或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及数轴，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含t的代数式表示出运动时间为t秒时点P所表示的数；（2）根据各点之间的关系，用含t的代数式表示出点M，N表示的数；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设点C表示的数为x，根据，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出点C表示的数，根据点P的出发点、运动速度、运动方向及运动时间，即可用含t的代数式表示出运动时间为t秒时点P所表示的数； （2）当运动时间为t秒时，点P表示的数为，结合M是的中点，N是的中点，可得出点M表示的数为，点N表示的数为，再利用数轴上两点间的距离公式，可求出，进而可得出结论； （3）当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为，根据，可列出关于t的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设点C表示的数为x， 根据题意得：， 解得：， 数轴上点C表示的数为， 当运动时间为t秒时，点P表示的数为． 故答案为：，； （2）解：线段的长度不发生变化，其值为． 当运动时间为t秒时，点P表示的数为， 是的中点，N是的中点， 点M表示的数为，点N表示的数为， ， 点P在运动过程中，线段的长度不发生变化，其值为5； （3）解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：t的值为1或． 学科网（北京）股份有限公司 $