第16讲 实际问题与一元一次方程（知识点+15考点+过关检测）（暑假预习讲义）新七年级数学新教材沪科版

第16讲 实际问题与一元一次方程 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：15大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.能够从题目中找到对应的数量关系. 2.尝试利用一元一次方程解决实际问题. 知识点 1 实际问题与一元一次方程 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数； ③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数. 列：根据题中相等关系，列出一元一次方程； 解：解所列出的一元一次方程； 验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 答：写出答案，包括单位. 1．（24-25七年级上·北京·期中）我校师生计划去参观大运河博物馆．若每位老师带名学生，则剩名学生，若每位老师带名学生，则有位老师差名学生，设此次带队的有 位老师，则可列方程为 ． 2．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是，卡车的行驶速度是，客车比卡车早经过B地，则A，B两地间的路程是 千米． 3．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）小明与他的爸爸一起做“投篮球”游戏．两人商定规则为：小明投中1个得4分，小明爸爸投中1个得2分．______，经计算、发现两人的得分恰好相等，他们两人各投中几个？ 解：设小明投中x个，根据题意，得： （1）根据上面的解题过程，上面横线处空缺的条件应是 ； （2） ． 4．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）两个圆柱形容器A、B，容器B的内部底面积是容器A的，将一个底面积为的圆柱形铁块放入容器A中，一个与它等底等高的圆锥形铁块放入容器B中，再以每分钟0.5升的速度分别向两个容器中同时匀速注水，当容器B中的水面到达圆锥的顶端时，容器A的水面正好和容器B的水面一样高；现将两个铁块交换位置，容器B的水面就上升了20厘米，圆锥的体积是 （取放铁块时流失水量忽略不计）；再继续按照原速向两个容器注水，当容器B中水面又上升20厘米时，容器A正好满了．容器A的容量是 ． 5．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）有一个五位正整数，在它的某位数字前面加上一个小数点，再和这个五位数相减，得数是，则这个五位数是 ． 6．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）如图，每一幅图中有若干个大小不同的四边形，第1幅图中有1个四边形，第2幅图中有3个四边形，第3幅图中有5个四边形，，若第幅图中有2025个四边形，则的值为 ． 7．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）某车间有技工85人，平均每人每天能生产甲种零件16个或乙种零件10个．已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，通过合理安排，分配恰当的人数生产甲或乙种零件，可以使得每天生产的配套零件最多，则每天最多生产 套． 8．（24-25七年级上·广西南宁·期中）如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，满足．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点，同时出发，点与点之间的距离为4个单位长度时， ． 9．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若顺流航速为26千米/小时，水速为2千米/时，则A港和B港相距 千米． 10．（24-25七年级上·山西大同·期末）整理一批数据，由1人完成需要．先安排一些人整理，再增加4人一起整理，可完成这项工作的，假设这些人的工作效率相同，则先安排整理的人数为 人． 【题型 1行程问题】 1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）一条公路上有相距的两地，甲、乙、丙三人都在这条公路上行驶．根据他们三人对话的信息，解决丙提出的问题． 甲：我从地出发匀速前往地，速度为． 乙：甲出发1小时后，我也从地出发匀速前往地，出发半小时后追上了甲，到达地后停止不动． 丙：我与甲同时出发，但我是从地匀速前往地，当我与甲相遇时，甲与乙相距．我出发后 小时与乙相遇． 2．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）一艘轮船从港顺流行驶到港，比从港返回港少用2小时，已知水流的速度为，轮船在静水中航行的速度为，则A港和B港相距 ． 3．（2024七年级上·河南郑州·专题练习）某跑道一圈长400米，若甲、乙运动员从同一地点同时出发（甲的速度大于乙的速度）．方向相反时，每32秒钟相遇一次，方向相同时，每80秒钟相遇一次．求甲、乙两人的速度． 4．（24-25七年级上·河北唐山·期末）以下是两张不同类型火车（“Dxxx次”表示动车，“Gxxx次”表示高铁）的车票： A地售A地B地02车12号 2025年1月1日20：00 ￥360元 限乘当日当次车 A地售A地B地03车13号 2025年1月1日21：00 ￥560元 限乘当日当次车 (1)根据车票中的信息填空：该列动车和高铁______（填“相向”或“同向”）而行，该列动车比高铁发车早______h． (2)已知该列动车和高铁的平均速度分别为、，两列火车的长度不计，高铁比动车早到，求、两地之间的距离． (3)在（2）的条件下，求高铁出发多少小时后两车相距？ 【题型 2销售问题】 1．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）一件夹克衫先按成本价提高标价，再将标价打8折出售，结果获利56元，这件夹克衫的成本价是 元． 2．（24-25七年级上·山东济宁·期末）一商店以每件元的价格卖出两件商品，其中一件商品亏损，另一件商品盈利，则商店卖出这两件商品共盈利 元（如果亏损，亏损额用负数表示）． 3（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）制作一张餐桌要用一个桌面和4条桌腿．某家具公司的木工师傅用木材可制作15个桌面或300个桌腿，公司现有的木材． (1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿配套？ (2)家具公司欲将制作餐桌全部出售，一张餐桌可获利，全部出售后销售额为144000元．求每张餐桌的进价是多少？ 【题型 3工程问题】 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，则这次小峰打扫的时间是 h． 2．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）一项工程甲单独做需要天，乙单独做需要天，甲先做天后，乙加入一起工作，则还需要 天完成此项工程． 3．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）某中学利用暑假对教室进行修缮，现有甲、乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天粉刷2个教室，乙工程队每天能粉刷3个教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要多用20天，在粉刷过程中，该学校要付给甲工程队每天1600元，付给乙工程队每天2600元． (1)求该中学一共有多少个教室？ (2)若先由甲、乙两个工程队合作一段时间后，甲工程队停工了，乙工程队单独完成剩余部分，且乙工程队的全部工作时间比甲工程队的工作时间的2倍还多8天，乙工程队共粉刷多少天？此时学校需要分别付给甲、乙工程队多少元？ 【题型 4配套问题】 1．（24-25七年级上·广西北海·阶段练习）某瓷器厂共有名工人，每名工人天能做只茶杯或只茶壶，且只茶杯和只茶壶为套．要使每天生产的茶杯和茶壶配套，应安排 人生产茶壶， 人生产茶杯． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排 名工人生产螺钉，其余的工人生产螺母，才能使每天生产的产品刚好配套． 3．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面或400条桌腿，现有木材． (1)应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子呢？ (2)这样制作，一共能制作多少套？ 4．（23-24七年级上·西藏拉萨·期末）一套仪器由两个A部件和三个B部件构成，用钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？ 【题型 5几何问题】 1．（24-25七年级上·山西临汾·期末）在课题学习中，老师要求用长为12cm，宽为8cm的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．某同学在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．若盒子底面的四边形是长方形，且，则这位同学所折成的无盖长方体纸盒的容积是 ． 2．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）已知数轴上两点，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是2，点在数轴上，且满足点到点的距离是点到点的距离的2倍，则点在数轴上表示的数是 ． 3．（24-25七年级上·山东聊城·期末）一家住房的地面结构如图所示，请根据图中的数据，解答下列问题： (1)用含的代数式表示地面总面积； (2)已知客厅面积比卫生间面积多．这家房子的主人打算把厨房和卫生间都铺上地砖，已知铺地砖的平均费用为60元，铺地砖的总费用为多少元？ 【题型 6和差倍分问题】 1．（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人．现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍多3人，则应调往甲处 人． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）小刚有中国邮票和外国邮票共张，中国邮票的张数比外国邮票的张数的倍少张，则小刚有中国邮票 张，外国邮票 张． 3．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）某校男生人数的等于女生人数的，男生人数的比女生人数的少4人，这个学校共有学生多少人？ 【题型 7比赛问题】 1．（24-25七年级上·江西上饶·期末）足球比赛积分规则如下：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分，一个队进行了14场比赛，其中负5场，共得分19分．若设胜场数为x，则列方程为 ． 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）某校组织科技知识竞赛，共有25道选择题，各题分值相同．每题必答，答对得分，不答或答错倒扣分．下表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 25 0 100 24 1 94 23 2 88 参赛者说他得70分，他答对了 道题． 3．（24-25七年级上·江西南昌·期末）在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． (1)若这支球队9场比赛得到的积分是21分，求这9场比赛中的胜场数和平场数； (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？ 【题型 8数字问题】 1．（24-25七年级上·山西朔州·阶段练习）有一个两位数，个位上的数字是十位上数字的倍，若将它个位上的数字与十位上的数字对调，所得到的新数比原数大，则这个两位数是 ． 2．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和相等．如图是幻方的一部分，请推算出 ． 3．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，如果将这两个数字的位置互换，那么所得的新的两位数与原来的两位数的和是143，求原来的两位数． 【题型 9数学文化问题】 1．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问车有几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，则剩余1辆车无人乘坐；若每3人共乘一车，则剩余9个人无车可乘，问共有多少辆车？ 设共有x辆车，则可列方程为 ． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）据《汉书·律历志》记载，铢、两、斤、钧、石是5个称物的质量单位，1斤等于16两，据介绍，十六两秤又名十六金星秤，它是由北斗七星、南斗六星外加福星、禄星、寿星组成的十六两的秤星，意在告诫做买卖的人要诚实守信、不欺不瞒．古人在生活中也用到很多与数学相关的知识，例如三兄弟分家，商量后决定留下10两白银给父母，则兄弟三人每人可分得5两白银．设家里一共有a斤白银（16两为1斤），则可列方程： ． 3．（24-25七年级上·重庆江津·期末）《九章算术》是我国古代数学专著，其中第七章“盈不足”问题第一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文为：“今有若干人一起买物品，若每人出8钱，则多3钱；若每人出7钱，则还差4钱，问共有多少人，物价多少钱？”有一位同学“设共有人，物价钱”，并列出4个等式“①，②，③，④”，其中正确的是 ．（填序号） 4．（24-25七年级上·浙江金华·期末）相传有神龟出于洛水，其背上有此图案（图1），史称“洛书”，图2是洛书的数字表示．这也就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，图3，图4的幻方均满足此规律． (1)请填出图3幻方空格中的数． (2)求图4幻方中的值． 5．（24-25七年级上·四川成都·期末）隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？(选自《算法统宗》) 题目大意：几个人分银子，若每人分两，则剩余两；若每人分两，则差两问：有多少个人？ 有多少两银子？ (1)设人数为，请求解此题； (2)设银子总数为两，请求解此题． 【题型 10日历问题】 1．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17）．照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为40，则这5个数中的最大数为 ． 2．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）如图是某年7月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数，对于框架框住的五个数字之和，小明的计算结果有45，50，60，100，小华说有结果是错误的．通过计算，可知小明的计算结果中错误的是 ． 一 二 三 四 五 六 1 2 4 5 6 7 8 9 11 12 13 15 18 19 20 21 23 25 26 27 29 3．（24-25七年级上·吉林白城·期末）如图，表中给出的是2024年11月的月历，任意选取“H”型框，框中含有7个数（如阴影部分所示），如果设“H”型框中的正中间的数为x，则： (1)求这7个数的和为多少？ (2)这张月历中这7个数的和可能是49吗？说明理由． 【题型 11 方案选择问题】 1．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）暑假期间，某校组织学生到北京研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50人时，研学社给出两种优惠方案（只选其中一种方案）： 方案一：研学团队先交1600元后，每人再收费320元； 方案二：其中5人免费，其余每人收费打九折． 当参加研学的总人数是时． (1)请用含的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元； (2)当两种方案的收费相同时，求该校参加研学的总人数． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）某农产品基地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为100元；经粗加工后销售，每吨利润可达450元；经精加工后销售，每吨利润涨至750元．现收获这种蔬菜140吨，该基地加工能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨，但两种加式方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案． 方案一：将蔬菜全部进行粗加工； 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上直接销售； 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成． 你认为选择哪种方案获利 3．（24-25七年级上·吉林松原·期中）某校七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票价为每人20元，由各班班长负责买票．“下面是1班班长与售票员咨询的对话：” (1)1班学生人数为44，选择了方案一购票，1班购票需要______元； (2)2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)3班买票时方案一和方案二的购票费用相同，3班有多少人？ 【题型 12分段计费问题】 1．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）为增强居民节约用电意识，某市对居民用电实行“阶梯收费”，具体收费标准如下表所示： 一户居民一个月用电量 电费价格（元/千瓦时） 不超过千瓦时的部分 超过千瓦时的部分 某居民五月份用电千瓦时，缴纳电费元． (1)求x和超出部分的电费单价． (2)若该户居民六月份缴纳电费元，求该户居民六月份的用电量． 2．（24-25七年级上·吉林·期末）某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过12吨的部分 超过12吨但不超过18吨的部分 超过18吨的部分 收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00 (1)若小明家3月份用水量是15吨，则需交水费 元； (2)若小明家3月份用水a吨（其中），则应交水费 元（用含a的代数式表示）； (3)若小明家3月份交水费60元．求小明家3月份的用水量是多少吨？ 【题型 13年龄问题】 1．（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·期中）已知兄弟俩的对话如下：弟弟对哥哥说：“我俩的年龄加起来是妈妈年龄的一半”，哥哥对弟弟说：“现在我比你大4岁，再过18年，我们的年龄加起来就等于妈妈的年龄了”，则哥哥今年的年龄是 岁． 2．（24-25七年级上·江苏南通·期末）小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经是116岁的老寿星了，哈哈！”则小明的爷爷现在 岁． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的七分之一，他结婚了；再过5年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他年龄的一半；儿子死后，他在极度痛苦中度过了四年，与世长辞了．”求他去世时的年龄是多少． 【题型 14比例问题】 1．（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）在《国家空间科学中长期发展规划（2024-2050年）》中，明确了我国空间科学发展目标，提出我国拟突破的“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”、“太空格物”5大科学主题．某班老师在进行相关科普时，让48名学生从这5大科学主题中各自选择一个喜欢的主题，最终选择“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”、“太空格物”的人数比是，那么喜欢“宜居行星”主题的人数是多少？ 2．（2024七年级上·全国·专题练习）曙光学校高中学生总人数是初中学生总人数的，高中毕业班人数是初中毕业班人数的．高、初中毕业班学生毕业后，高、初中留下的人数都是1800人．高、初中毕业班学生一共有多少人？ 3．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）【分数、比的应用】甲、乙两个仓库存化肥的质量比是12∶11，后来乙仓库又运来24吨，这时甲仓库存化肥比乙仓库少 ，乙仓库原来存化肥多少吨？ 【题型 15动点问题】 1．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，数轴上A、B两点所对应的数分别为，A、B两点各自以一定的速度同时运动，且点A运动的速度为2单位长度/秒． (1)若A、B两点相向而行，在原点O处相遇，求点B的速度； (2)若A、B两点从开始位置上同时按照（1）中的速度向数轴正方向运动，多少秒后，点A、B与原点距离相等． 2．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离． 【问题解决】 （1）在数轴上，点表示的数是2，点表示的数是，则点与点之间的距离________． （2）如果点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为4，点与点之间的距离为5，那么________． （3）若，则的最小值为________，此时正整数的值为________． 【关联运用】 （4）点、、是数轴上的三个点，点表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是8，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 3．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）定义：若为数轴上三个不同的点，若点到点的距离和点到点的距离的2倍的和为10，我们就称点C是的美好点，例如：点M、N、P表示的数分别为、2、0．则点P到点M的距离是6，到点N的距离是2，那么点P是的美好点，而点P就不是的美好点． (1)若点表示的数分别为，则 是[ ， ]的美好点．（空格内分别填入） (2)若点表示的数分别为，且是的美好点，求点表示的数． (3)如图，数轴上三点分别表示的数为、、，点从点出发以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，在点出发的同时，点从点出发以每秒2个单位长度向右匀速运动，当点到达点时，点停止运动．直接写出为何值时，点恰好为的美好点？ 1．（24-25七年级上·河北沧州·期末）北京市为了能够成功举办2022年冬季奥运会．市政府要求各项工程在确保质量的前提下完成任务．其中有一项工程，请甲工程队独做要3个月完成，每月耗资12万元，若请乙工程队独做要6个月完成，每月耗资5万元，那么请甲，乙两工程队合做要几个月完成？耗资多少万元？ 2．（24-25七年级上·四川成都·期末）某商场将某种服装按照成本价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍然获利15元． (1)这种服装每件的成本是多少元？ (2)本商场为了在新年前吸引更多的顾客，进一步推出如下优惠活动：一、本商场所有商品一律按照标价进行八折优惠；二、打八折以后，每满1000再减100元，即若打八折后售价不足1000元就不再减价，打八折后大于等于1000元且小于2000就再减100元，打八折后大于等于2000且小于3000就再减200元，以此类推．小聪、小慧两位的妈妈，分别选中了标价1200和1500元的两件商品． ①若两人一起参加优惠活动并一起支付，比两人分开支付的总和便宜多少元？ ②请问小智的妈妈再选一件标价至少为多少元的商品和她们两人一起参加优惠活动并一起支付，能比三人分别支付的总和便宜200元． 3．（24-25七年级上·四川广安·期末）近年来，网络消费成为消费市场的主力军，直播带货成为网络销售的主要渠道，是助力农业增效、农民增收的新业态、新模式．某地培育出了适合网络销售的特色水果，为方便运输及减少运输途中的损耗，需要工人对农产品进行单独包装并装箱，且每箱包装的果子数都相同．已知甲工人用时3小时包装的果子数比4箱少16个；乙工人用时4小时包装的果子数比4箱多8个．甲工人每小时比乙工人每小时多包装6个果子．甲、乙两工人共同包装一天（8小时）可包装几箱果子？ 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）泗洲商场经销甲、乙两种商品，平时甲种商品每件售价80元，每件的利润为30元；乙种商品每件进价40元，售价60元．在“元旦”期间，同时对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动：①购物总金额不超过300元的商品不优惠；②购物总金额超过300元，但不超过500元的商品打九折；③购物总金额超过500元的商品打八折． (1)甲种商品每件的进价为______元，若活动期间一次性购物总金额是400元，实际应付______元； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件，总进价用去2600元，求商场在平时可以盈利多少元？ (3)按“元旦”期间优惠条件，小明一次性购买了乙种商品，实际付款是432元，求商场实际利润是多少元？ 5．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）为了丰富学生的课余活动，学校准备购买10副羽毛球拍和x只羽毛球不少于已知某商店每副羽毛球拍定价60元，每只羽毛球定价5元，优惠方案如图所示两种优惠方案不可混用 (1)分别用含有x的代数式表示两种方案购买所需的费用； (2)当购买多少只羽毛球时，两种方案所需费用相同？ (3)当购买100只羽毛球时，哪种购买方案比较优惠？请说明理由． 6．（24-25七年级上·云南昆明·期末）数轴是一个非常重要的数学工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．在数轴上，A，b，满足，点C表示数1． (1)求代数式的值； (2)动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴的正方向运动，设运动时间为t秒，当点P到原点的距离等于点B到点C的距离时，求t的值． 7．（24-25七年级上·辽宁·期末）学校准备利用寒假进行校舍维修，如果甲工程队单独进行维修需要10天，乙工程队单独进行维修需要15天，学校经过与甲、乙两个工程队协商后，决定让乙工程队先维修5天，然后甲，乙两个工程队合作完成剩下的维修任务． (1)甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要多少天？ (2)乙工程队每天的工程费为1700元，甲工程队每天的工程费比乙多300元，校舍维修完成后，学校需支付给甲、乙两个工程队共多少工程费？ 8．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，需要经过分类加工再上市销售．该公司如果对这种蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，且每天只能采取一种加工方式．该公司运来140吨这种蔬菜进行加工销售，受季节等条件限制，将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，恰好15天加工完这批蔬菜．该公司对这批蔬菜进行了几天精加工？几天粗加工？ 65．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，点，在同一数轴上，数轴的单位长度为1，且点，表示的数互为相反数． (1)求的长度； (2)点，为同一数轴上两个动点，两点同时出发．点从点出发，向右以1（单位长度/秒）的匀速移动秒；点从点出发，向左以2（单位长度/秒）的匀速移动． （ⅰ）用含的代数式表示点，表示的数； （ⅱ）若，求的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 实际问题与一元一次方程 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：15大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.能够从题目中找到对应的数量关系. 2.尝试利用一元一次方程解决实际问题. 知识点 1 实际问题与一元一次方程 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数； ③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数. 列：根据题中相等关系，列出一元一次方程； 解：解所列出的一元一次方程； 验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 答：写出答案，包括单位. 1．（24-25七年级上·北京·期中）我校师生计划去参观大运河博物馆．若每位老师带名学生，则剩名学生，若每位老师带名学生，则有位老师差名学生，设此次带队的有 位老师，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设此次带队的有位老师，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设此次带队的有位老师， 由题意得，， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是，卡车的行驶速度是，客车比卡车早经过B地，则A，B两地间的路程是 千米． 【答案】450 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用的知识，解答本题的关键是根据两车所用时间之差为列出方程． 设A、B两地间的路程为x千米，根据题意分别求出 客车所用时间和卡车所用时间，根据两车时间差为 即可列出方程，求出x的值． 【详解】解：设A、B两地路程为x千米， 由题意列方程为：， 解得：， ∴A，B两地间的路程是450千米． 故答案为：450． 3．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）小明与他的爸爸一起做“投篮球”游戏．两人商定规则为：小明投中1个得4分，小明爸爸投中1个得2分．______，经计算、发现两人的得分恰好相等，他们两人各投中几个？ 解：设小明投中x个，根据题意，得： （1）根据上面的解题过程，上面横线处空缺的条件应是 ； （2） ． 【答案】 两人共投中了30个 10 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）根据列出的方程补充信息即可； （2）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，得：两人共投中了30个， 故答案为：两人共投中了30个； （2）去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 故答案为：10． 4．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）两个圆柱形容器A、B，容器B的内部底面积是容器A的，将一个底面积为的圆柱形铁块放入容器A中，一个与它等底等高的圆锥形铁块放入容器B中，再以每分钟0.5升的速度分别向两个容器中同时匀速注水，当容器B中的水面到达圆锥的顶端时，容器A的水面正好和容器B的水面一样高；现将两个铁块交换位置，容器B的水面就上升了20厘米，圆锥的体积是 （取放铁块时流失水量忽略不计）；再继续按照原速向两个容器注水，当容器B中水面又上升20厘米时，容器A正好满了．容器A的容量是 ． 【答案】 500 3500 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设容器A的底面积为，则容器B的内部底面积是，圆锥和圆柱的高为，根据以每分钟0.5升的速度分别向两个容器中同时匀速注水，当容器B中的水面到达圆锥的顶端时，容器A的水面正好和容器B的水面一样高，列出方程，解方程求出x的值，再根据将两个铁块交换位置，容器B的水面就上升了，列出关于h的方程，求出，再求出圆锥的体积，根据再继续按照原速向两个容器注水，当容器B中水面又上升20厘米时，容器A正好满了，求出容器A的容积即可． 【详解】解：设容器A的底面积为，则容器B的内部底面积是，圆锥和圆柱的高为，根据题意得： ， 解得：， ∵将两个铁块交换位置，容器B的水面就上升了， ∴， 解得：， ∴圆锥的体积为：； 又注入容器B中水的体积为：， ∵注水速度相同， ∴又注入容器A中水的体积为：， ∴容器A的容积为： ． 故答案为：500；3500． 5．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）有一个五位正整数，在它的某位数字前面加上一个小数点，再和这个五位数相减，得数是，则这个五位数是 ． 【答案】20121 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据原数是一个五位整数，在它的某位数字前加上一个小数点，再和这个五位数相减，得数是，小数点后面有两位小数，得出一定是在百位和十位之间加的小数点．也就是所得的数的小数点向左移动了两位，即缩小了100倍．设这个五位数是x，则在它的某位数字前面加上一个小数点，得出的数为，根据这两个数的差为，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这个五位数是x，则在它的某位数字前面加上一个小数点，得出的数为，根据题意得： ， 解得：， 故答案为：20121． 6．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）如图，每一幅图中有若干个大小不同的四边形，第1幅图中有1个四边形，第2幅图中有3个四边形，第3幅图中有5个四边形，，若第幅图中有2025个四边形，则的值为 ． 【答案】1013 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，一元一次方程的应用．根据所给图形，依次求出图形中四边形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1幅图中，四边形的个数为：； 第2幅图中，四边形的个数为：； 第3幅图中，四边形的个数为：； …， 所以第n幅图中，四边形的个数为个， 令， 解得， 即第1013幅图中，四边形的个数为2025个． 故答案为：1013． 7．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）某车间有技工85人，平均每人每天能生产甲种零件16个或乙种零件10个．已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，通过合理安排，分配恰当的人数生产甲或乙种零件，可以使得每天生产的配套零件最多，则每天最多生产 套． 【答案】200 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确用代数式表示生产的甲种零件的个数和乙两种零件的个数及所配成的套数是解题的关键． 设分配x人生产甲种零件，则分配人生产乙种零件，可生产甲种零件个，乙种零件个，由每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套列方程求解即可． 【详解】解：设分配x人生产甲种零件，则分配人生产乙种零件，可生产甲种零件个，乙种零件个， 根据题意得：， 解得：， 所以每天最多生产的配套零件的套数为：套． 故答案为：200． 8．（24-25七年级上·广西南宁·期中）如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，满足．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点，同时出发，点与点之间的距离为4个单位长度时， ． 【答案】2或 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据，求得，，用含t的代数式表示出P、Q，列出方程即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴ ∴， 设运动时间为秒，则P表示的数为，Q表示的数为， ∴， 即， 解得或， 故答案为：2或． 9．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若顺流航速为26千米/小时，水速为2千米/时，则A港和B港相距 千米． 【答案】 【分析】本题主要考查用一元一次方程解实际应用，准确理解等量关系是解题的关键．根据题意找到等量关系列出方程进行计算即可． 【详解】解：设A港和B港相距千米， ， 解得， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·山西大同·期末）整理一批数据，由1人完成需要．先安排一些人整理，再增加4人一起整理，可完成这项工作的，假设这些人的工作效率相同，则先安排整理的人数为 人． 【答案】2 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 设先安排人进行整理数据，把总工作量设为1，则人均效率（一个人完成的工作量）为，人先整理完成的工作量为，增加4人后再整理完成的工作量为，这两个工作量之和应等于总工作量的，据此列出方程求解． 【详解】解：设先安排整理的人数为x人，根据题意，得 ， 解得：， ∴先安排整理的人数为2人． 故答案为：2 【题型 1行程问题】 1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）一条公路上有相距的两地，甲、乙、丙三人都在这条公路上行驶．根据他们三人对话的信息，解决丙提出的问题． 甲：我从地出发匀速前往地，速度为． 乙：甲出发1小时后，我也从地出发匀速前往地，出发半小时后追上了甲，到达地后停止不动． 丙：我与甲同时出发，但我是从地匀速前往地，当我与甲相遇时，甲与乙相距．我出发后 小时与乙相遇． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的四则混合运算，正确理解题意是解题的关键． 设丙出发与乙相遇，求出乙的速度为；当丙与甲相遇时，①若甲在乙前面，可求得丙速度为，故，②若乙在甲前面，求出丙的速度为，故，分别解方程可得答案． 【详解】解：设丙出发与乙相遇， 根据题意可得：乙的速度为 当丙与甲相遇时， ①若甲在乙前面，则此时乙在A地，甲刚好出发，行驶了， ∴丙速度为， ∴， 解得：； ②若乙在甲前面， ∵， ∴此时乙出发了，所走路程为，甲所走路程为 ∴丙的速度为， ∴， 解得， 综上所述，丙出发或与乙相遇， 故答案为：或． 2．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）一艘轮船从港顺流行驶到港，比从港返回港少用2小时，已知水流的速度为，轮船在静水中航行的速度为，则A港和B港相距 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键． 根据逆流速度等于静水速度减水流速度，顺流速度等于静水速度加水流速度，表示出逆流速度与顺流速度，根据题意列出方程，求出方程的解，即可得到答案． 【详解】解：设港和港相距，根据题意得： ， 解得：， 则港和港相距， 故答案为：． 3．（2024七年级上·河南郑州·专题练习）某跑道一圈长400米，若甲、乙运动员从同一地点同时出发（甲的速度大于乙的速度）．方向相反时，每32秒钟相遇一次，方向相同时，每80秒钟相遇一次．求甲、乙两人的速度． 【答案】甲的速度是，乙的速度是． 【分析】本题考查了一元一次方程与行程问题，追及问题，相遇问题，熟练掌握时间，路程，速度三者的关系是解题的关键．分别求出两人的速度和，以及速度差，不妨设甲的速度为，那么乙的速度为，根据两人的速度差列出方程，然后解方程即可． 【详解】解：由题意可知，两人速度和为：（米） 两人速度差为：（米） 不妨设甲的速度为，那么乙的速度为， 解得： 那么乙的速度为： 答：甲的速度是，乙的速度是． 4．（24-25七年级上·河北唐山·期末）以下是两张不同类型火车（“Dxxx次”表示动车，“Gxxx次”表示高铁）的车票： A地售A地B地02车12号 2025年1月1日20：00 ￥360元 限乘当日当次车 A地售A地B地03车13号 2025年1月1日21：00 ￥560元 限乘当日当次车 (1)根据车票中的信息填空：该列动车和高铁______（填“相向”或“同向”）而行，该列动车比高铁发车早______h． (2)已知该列动车和高铁的平均速度分别为、，两列火车的长度不计，高铁比动车早到，求、两地之间的距离． (3)在（2）的条件下，求高铁出发多少小时后两车相距？ 【答案】(1)同向，1 (2) (3)当高铁出发或或后两车相距100km 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题意，正确的列出方程，是解题的关键． （1）根据票面信息作答即可； （2）设A，B两地之间的距离为，根据题意，列出方程进行求解即可； （3）设高铁出发小时后两车相距100km，分高铁未追上动车时，追上动车之后，到达目的地后，三种情况列出方程求解即可． 【详解】（1）根据车票中的信息可知，该列动车和高铁同向而行，该列动车比高铁发车1h； （2）设A、B两地之间的距离为． 根据题意得 解得 答：A、B两地之间的距离为． （3）设高铁出发y小时后两车相距， ①当高铁还未追上动车时，， 解得； ②当高铁追上动车后，， 解得； ③当高铁到达B地后，， 解得； 答：当高铁出发或或后两车相距． 【题型 2销售问题】 1．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）一件夹克衫先按成本价提高标价，再将标价打8折出售，结果获利56元，这件夹克衫的成本价是 元． 【答案】200 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这件夹克衫的成本价是x元，利用利润售价成本价，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这件夹克衫的成本价是x元，根据题意得： ， 解得：， ∴这件夹克衫的成本价是200元． 故答案为：200． 2．（24-25七年级上·山东济宁·期末）一商店以每件元的价格卖出两件商品，其中一件商品亏损，另一件商品盈利，则商店卖出这两件商品共盈利 元（如果亏损，亏损额用负数表示）． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意列出方程是解题关键. 设盈利商品的进价为x元，亏损商品的进价为y元，根据利润等于售价减去进价列出两个方程，分别解出x和y，再利用总售价与总进价相比即可得. 【详解】设盈利商品的进价为x元，亏损商品的进价为y元 由题意得： 解得： 则总的盈亏情况是：（元） 即商店卖这两件商品总的盈亏情况是亏损12元 故答案为：． 3（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）制作一张餐桌要用一个桌面和4条桌腿．某家具公司的木工师傅用木材可制作15个桌面或300个桌腿，公司现有的木材． (1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿配套？ (2)家具公司欲将制作餐桌全部出售，一张餐桌可获利，全部出售后销售额为144000元．求每张餐桌的进价是多少？ 【答案】(1)安排木材制作桌面，则安排制作桌腿 (2)每张餐桌的进价是500元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）设安排木材制作桌面，则安排制作桌腿，根据一个桌面配4个桌腿列出方程求解即可； （2）设每张餐桌的进价是y元，则每张餐桌的售价为元，再根据销售额等于售价乘以销售量建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排木材制作桌面，则安排制作桌腿， 由题意得， 解得， ∴， 答：安排木材制作桌面，则安排制作桌腿； （2）解；设每张餐桌的进价是y元， 由题意得，， 解得， 答：每张餐桌的进价是500元． 【题型 3工程问题】 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，则这次小峰打扫的时间是 h． 【答案】2 【分析】本题是一道工程问题的应用题．设小峰打扫了，爸爸打扫了，根据总工作量=各部分的工作量之和列出一元一次方程，然后求解即可． 【详解】解：设总工作量为1，小峰打扫了，爸爸打扫了，则小峰打扫任务的工作效率为，爸爸打扫任务的工作效率为， 由题意，得：， 解得：， 故答案为：2． 2．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）一项工程甲单独做需要天，乙单独做需要天，甲先做天后，乙加入一起工作，则还需要 天完成此项工程． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，易得甲、乙工作效率分别为、，设还需天完成此项工程，根据“甲前天单独做的工作量+甲、乙一起做天的工作量”列出方程，求解即可．解题的关键是熟知工作量、工作时间和工作效率之间的关系：工作量=工作效率×工作时间；工作时间=工作量÷工作效率；工作效率=工作量÷工作时间． 【详解】解：一项工程甲单独做需要天，乙单独做需要天，则甲、乙工作效率分别为、， 设还需天完成此项工程， 根据题意得：，． 解得：， ∴还需天完成此项工程． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）某中学利用暑假对教室进行修缮，现有甲、乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天粉刷2个教室，乙工程队每天能粉刷3个教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要多用20天，在粉刷过程中，该学校要付给甲工程队每天1600元，付给乙工程队每天2600元． (1)求该中学一共有多少个教室？ (2)若先由甲、乙两个工程队合作一段时间后，甲工程队停工了，乙工程队单独完成剩余部分，且乙工程队的全部工作时间比甲工程队的工作时间的2倍还多8天，乙工程队共粉刷多少天？此时学校需要分别付给甲、乙工程队多少元？ 【答案】(1)该中学一共有120个教室 (2)乙工程队共粉刷32天，学校需要付给甲工程队的费用为19200元，付给乙工程队的费用为元 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解． （1）设该中学一共有x个教室，根据“甲工程队比乙工程队要多用20天”，列出方程求解即可； （2）设乙工程队共粉刷y天，则甲工程队粉刷了，根据（1）中求出的教室总数，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该中学一共有x个教室， ， 解得：， 答：该中学一共有120个教室． （2）解：设乙工程队共粉刷y天，则甲工程队粉刷了， ， 解得：， ∴乙工程队共粉刷32天，学校需要付给乙工程队的费用为：（元）； 甲工程队共粉刷天，学校需要付给甲工程队的费用为：（元）． 答：乙工程队共粉刷32天，学校需要付给甲工程队的费用为19200元，付给乙工程队的费用为元． 【题型 4配套问题】 1．（24-25七年级上·广西北海·阶段练习）某瓷器厂共有名工人，每名工人天能做只茶杯或只茶壶，且只茶杯和只茶壶为套．要使每天生产的茶杯和茶壶配套，应安排 人生产茶壶， 人生产茶杯． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设安排人生产茶杯，则人生产茶壶，可得，解方程得出生产茶杯的人数，进而求得生产茶壶的人数，即可求解． 【详解】解：设安排人生产茶杯，则人生产茶壶，根据题意， 得， 解得． 人生产茶壶 故答案为：，． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排 名工人生产螺钉，其余的工人生产螺母，才能使每天生产的产品刚好配套． 【答案】10 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，掌握列一元一次方程的方法； 设安排x人生产螺母，则人生产螺钉，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：设安排x人生产螺母，则人生产螺钉，由题意得： ， 解得：， ， 则应安排10人生产螺钉， 故答案为：10． 3．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面或400条桌腿，现有木材． (1)应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子呢？ (2)这样制作，一共能制作多少套？ 【答案】(1)应用木材作桌面，木材作桌腿，才能尽可能多的制作桌子 (2)这样制作，一共能制作200套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系列方程． （1）设共做了x张桌子，则需要的桌面的材料为，桌腿需要木材为，根据等量关系列方程求解即可得； （2）根据题意求出木材可制作200个桌面，进而求解即可． 【详解】（1）解：设共做了x张桌子，则需要的桌面的材料为，桌腿需要木材为 根据题意得， 解得， ∴， ． 答：应用木材作桌面，木材作桌腿，才能尽可能多的制作桌子； （2）解：∵木材可制作20个桌面 ∴木材可制作200个桌面 ∴这样制作，一共能制作200套． 4．（23-24七年级上·西藏拉萨·期末）一套仪器由两个A部件和三个B部件构成，用钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？ 【答案】应用钢材做A部件，钢材做B部件，恰好配成这种仪器96套． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 根据题意设应用钢材做A部件，可知用钢材做B部件，再根据一套仪器由A，B部件的个数相等列出方程，求出解即可． 【详解】解：设应用钢材做A部件，钢材做B部件，根据题意得，， 解得， ， 套． 答：应用钢材做A部件，钢材做B部件，恰好配成这种仪器96套． 【题型 5几何问题】 1．（24-25七年级上·山西临汾·期末）在课题学习中，老师要求用长为12cm，宽为8cm的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．某同学在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．若盒子底面的四边形是长方形，且，则这位同学所折成的无盖长方体纸盒的容积是 ． 【答案】48 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和立体图形展开图，设，再根据展开图列出方程求出长方体的棱长即可． 【详解】解：设，根据题意列方程得， ， 解得，， 则，长方体的高为， 这位同学所折成的无盖长方体纸盒的容积是， 故答案为：48． 2．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）已知数轴上两点，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是2，点在数轴上，且满足点到点的距离是点到点的距离的2倍，则点在数轴上表示的数是 ． 【答案】或10 【分析】本题考查数轴上两点间的距离、一元一次方程的几何应用，正确列出方程是解答的关键．设点P在数轴上表示的数是x，根据数轴上两点距离公式，结合题中距离关系列方程求解即可． 【详解】解：设点P在数轴上表示的数是x， 根据题意，得， 则或， 解得或， ∴点在数轴上表示的数是或10． 故答案为：或10 3．（24-25七年级上·山东聊城·期末）一家住房的地面结构如图所示，请根据图中的数据，解答下列问题： (1)用含的代数式表示地面总面积； (2)已知客厅面积比卫生间面积多．这家房子的主人打算把厨房和卫生间都铺上地砖，已知铺地砖的平均费用为60元，铺地砖的总费用为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式以及整式加减的应用，根据数量关系列出代数式（或一元一次方程）是解题的关键． （1）根据地面总面积客厅面积厨房面积卧室面积卫生间面积，代入数据即可得出结论； （2）根据客厅面积比卫生间面积多，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再根据铺地砖的总费用厨房与卫生间的面积和每地砖的平均费用，代入数据即可得出结论． 【详解】（1）解：由图可知：地面的总面积为： ， 答：该住房的地面总面积为； （2）解：由题意得：， 解得：， ∴铺地砖的总费用为（元）． 答：铺地砖的总费用为960元． 【题型 6和差倍分问题】 1．（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人．现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍多3人，则应调往甲处 人． 【答案】18 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设应调往甲处x人，则调往乙处人，根据题意列方程，解方程即可． 【详解】解：设应调往甲处x人，则调往乙处人，根据题意列方程得 ， 解得， 答：应分别调往甲处18人． 故答案为：18． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）小刚有中国邮票和外国邮票共张，中国邮票的张数比外国邮票的张数的倍少张，则小刚有中国邮票 张，外国邮票 张． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出题中的等量关系． 根据等量关系：中国邮票数外国邮票数总票数列出方程，解答即可． 【详解】解：设外国邮票为张，则中国邮票为张，由题意得： ， 解得：， 所以（张）， 所以外国邮票有张，中国邮票有张， 故答案为：；． 3．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）某校男生人数的等于女生人数的，男生人数的比女生人数的少4人，这个学校共有学生多少人？ 【答案】310人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设这个学校男生的人数为人，则女生的人数为人，根据题意建立方程，解方程求出的值，由此即可得． 【详解】解：设这个学校男生的人数为人，则女生的人数为人， 由题意得：， 解得， 则这个学校学生的总人数为（人）， 答：这个学校共有学生310人． 【题型 7比赛问题】 1．（24-25七年级上·江西上饶·期末）足球比赛积分规则如下：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分，一个队进行了14场比赛，其中负5场，共得分19分．若设胜场数为x，则列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设胜场数为x，则平的场数场，再根据总得分为19分，列出方程即可． 【详解】解：设胜场数为x，则平的场数场， 由题意得，， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）某校组织科技知识竞赛，共有25道选择题，各题分值相同．每题必答，答对得分，不答或答错倒扣分．下表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 25 0 100 24 1 94 23 2 88 参赛者说他得70分，他答对了 道题． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据参赛者A，B的得分情况，可求出答对一题及答错一题的得分情况；设参赛者答对x道题，则答错道题，根据得分为70分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（分），（分）， 则每答对一道题得4分，每答错一道题扣2分； 设参赛者D答对x道题，则答错道题， 依题意，得：， 解得：． 则参赛者D答对了20道题， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江西南昌·期末）在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． (1)若这支球队9场比赛得到的积分是21分，求这9场比赛中的胜场数和平场数； (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？ 【答案】(1)这9场比赛中胜6场，平3场 (2)这支球队9场比赛的胜场总积分不能等于它的平场总积分 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． （1）设该队共胜了场，则平了场，根据共得20分，列方程求解； （2）由题意得，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设该队共胜了场，则平了场， 根据题意列出方程为， 解得． 答：这9场比赛中胜6场，平3场； （2）解：由题意得， 解得不符合实际意义， ∴这支球队9场比赛的胜场总积分不能等于它的平场总积分． 【题型 8数字问题】 1．（24-25七年级上·山西朔州·阶段练习）有一个两位数，个位上的数字是十位上数字的倍，若将它个位上的数字与十位上的数字对调，所得到的新数比原数大，则这个两位数是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列方程是解题的关键； 设原来的两位数十位数字为，则其个位数字为，原来的两位数为，把原数的个位上的数与十位上的数对调得到的新数为，然后根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设原来的两位数十位数字为，则其个位数字为， 则原来的两位数为， 把原数的个位上的数与十位上的数对调得到的新数为， 由题可得， 解得， 而， 因此原来的两位数为； 故答案为：． 2．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和相等．如图是幻方的一部分，请推算出 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，则当共用一个数时，另外两数之和相等，由此列方程即可求解． 【详解】解：设最左上角的数为a， 则， 解得， 设最中间的数为b， 则， 解得， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，如果将这两个数字的位置互换，那么所得的新的两位数与原来的两位数的和是143，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设原来两位数的十位数字为，则个位数字为，根据新的两位数与原来的两位数的和是143，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设原来两位数的十位数字为，则个位数字为，由题意，得： ， 解得：， ∴， ∴原来的两位数为； 答：原来的两位数为． 【题型 9数学文化问题】 1．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问车有几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，则剩余1辆车无人乘坐；若每3人共乘一车，则剩余9个人无车可乘，问共有多少辆车？ 设共有x辆车，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键；设共有x辆车，根据“每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘”即可解答． 【详解】解：设共有x辆车，根据题意得：， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）据《汉书·律历志》记载，铢、两、斤、钧、石是5个称物的质量单位，1斤等于16两，据介绍，十六两秤又名十六金星秤，它是由北斗七星、南斗六星外加福星、禄星、寿星组成的十六两的秤星，意在告诫做买卖的人要诚实守信、不欺不瞒．古人在生活中也用到很多与数学相关的知识，例如三兄弟分家，商量后决定留下10两白银给父母，则兄弟三人每人可分得5两白银．设家里一共有a斤白银（16两为1斤），则可列方程： ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用，先统一单位为两，再依题意列方程即可，正确找到等量关系列出方程是解决此题的关键． 【详解】解： 依题意得，， 故答案为： ． 3．（24-25七年级上·重庆江津·期末）《九章算术》是我国古代数学专著，其中第七章“盈不足”问题第一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文为：“今有若干人一起买物品，若每人出8钱，则多3钱；若每人出7钱，则还差4钱，问共有多少人，物价多少钱？”有一位同学“设共有人，物价钱”，并列出4个等式“①，②，③，④”，其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①④ 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确找出等量关系是解题关键． 根据人数=总钱数÷每人所出钱数可判定①②，根据物品的钱数不变可判定③④． 【详解】解：设共有x人，根据题意可得：，故①正确②错误， 设物价是y钱，根据题意可得：，故③错误④正确． 故答案为：①④． 4．（24-25七年级上·浙江金华·期末）相传有神龟出于洛水，其背上有此图案（图1），史称“洛书”，图2是洛书的数字表示．这也就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，图3，图4的幻方均满足此规律． (1)请填出图3幻方空格中的数． (2)求图4幻方中的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型：数字的变化类． （1）由第3列上的3个数之和及每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，即可求出其他方格中的数，将其填入图3中即可； （2）由对角线及第1列上的3个数之和相等，可求出第2行第1个方格中的数，利用两对角线上的3个数之和相等，可求出第1行第3个方格中的数，再结合对角线及第1列上的3个数之和相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵第3列上的3个数之和为， ∴第1行第2个方格中的数为， 第2行第1个方格中的数为， 第2行第2个方格中的数为， 第3行第2个方格中的数为， 将图3中的数据补充完整，如图所示； （2）解：第2行第1个方格中的数为， 第1行第3个方格中的数为， 根据题意得：， 解答：． 答：图4幻方中x的值为． 5．（24-25七年级上·四川成都·期末）隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？(选自《算法统宗》) 题目大意：几个人分银子，若每人分两，则剩余两；若每人分两，则差两问：有多少个人？ 有多少两银子？ (1)设人数为，请求解此题； (2)设银子总数为两，请求解此题． 【答案】(1)有人，两银子 (2)有人，两银子 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设人数为，利用银子的两数不变，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值即人数，再将其代入中，即可求出银子的两数； （2）设银子总数为两，利用分银子的人数不变，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值即银子的总数，再将其代入即可求出人数． 【详解】（1）解：设人数为， 根据题意得：， 解得：， （两）． 答：有人，两银子； （2）设银子总数为两， 根据题意得： 解得：， （人）． 答：有人，两银子． 【题型 10日历问题】 1．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17）．照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为40，则这5个数中的最大数为 ． 【答案】27 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设中间这个数为，则：最小数为，最大数为，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设中间这个数为，则：最小数为，最大数为，由题意，得： ， ∴， ∴最大数为：； 故答案为：27 2．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）如图是某年7月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数，对于框架框住的五个数字之和，小明的计算结果有45，50，60，100，小华说有结果是错误的．通过计算，可知小明的计算结果中错误的是 ． 一 二 三 四 五 六 1 2 4 5 6 7 8 9 11 12 13 15 18 19 20 21 23 25 26 27 29 【答案】50 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确设立未知数，并建立方程是解题关键． 设框架框住的中间的数为，则其他四个数分别为，再根据小明的计算结果分别建立方程，解方程求出的值，结合日历表即可得出答案． 【详解】解：设框架框住的中间的数为，则其他四个数分别为， 所以这五个数字之和为， 当计算结果是45时，则，解得：，符合题意； 当计算结果是50时，则，解得：，从日历表可知不能框出这五个数，不符合题意； 当计算结果是60时，则，解得：，符合题意； 当计算结果是100时，则，解得：，符合题意； 所以小明的计算结果中错误的是50， 故答案为：50． 3．（24-25七年级上·吉林白城·期末）如图，表中给出的是2024年11月的月历，任意选取“H”型框，框中含有7个数（如阴影部分所示），如果设“H”型框中的正中间的数为x，则： (1)求这7个数的和为多少？ (2)这张月历中这7个数的和可能是49吗？说明理由． 【答案】(1) (2)这张月历中这7个数的和不可能是49 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数之间的关系，用含的代数式表示出另外6个数；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）根据各数之间的关系，用含的代数式表示出另外6个数，再将7个数相加，即可用含的代数式表示出这7个数的和； （2）假设这张月历中这7个数的和能是49，根据这7个数的和是49，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，将其代入中，可得出，不符合题意，进而可得出假设不成立，即这张月历中这7个数的和不可能是49． 【详解】（1）解：∵“H”型框中的正中间的数为， ∴另外6个数分别为， ∴这7个数的和为； （2）解：这张月历中这7个数的和不可能是49，理由如下： 假设这张月历中这7个数的和能是49， 根据题意得：， 解得：， ∴，不符合题意，舍去， ∴假设不成立， ∴这张月历中这7个数的和不可能是49． 【题型 11 方案选择问题】 1．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）暑假期间，某校组织学生到北京研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50人时，研学社给出两种优惠方案（只选其中一种方案）： 方案一：研学团队先交1600元后，每人再收费320元； 方案二：其中5人免费，其余每人收费打九折． 当参加研学的总人数是时． (1)请用含的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元； (2)当两种方案的收费相同时，求该校参加研学的总人数． 【答案】(1)当参加研学的总人数是时，方案一收费元，方案二收费元 (2)85 【分析】本题考查了列代数式，以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据两种方案的优惠方法列出关于的代数式即可； （2）根据采用两种方案的收费列方程求解即可． 【详解】（1）解：方案一共收费：元， 方案二共收费：元， 答：当参加研学的总人数是时，方案一收费元，方案二收费元； （2）解：当时， 解得， 答：当参加研学的总人数是85人时，采用两种方案的收费是一样的． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）某农产品基地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为100元；经粗加工后销售，每吨利润可达450元；经精加工后销售，每吨利润涨至750元．现收获这种蔬菜140吨，该基地加工能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨，但两种加式方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案． 方案一：将蔬菜全部进行粗加工； 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上直接销售； 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成． 你认为选择哪种方案获利 【答案】方案三获利最多 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．此题中的数量关系较多，正确理解题意是解决此题的重点．根据题中方案列式进行计算即可． 【详解】解：方案一：（元），即将食品全部进行粗加工后销售， 则可获利润万元；     方案二：（元）， 即将食品尽可能多的进行精加工，没来得及加工的在市场上直接销售， 则可获利润元； 方案三：设粗加工吨食品，则精加工吨食品， 由题意可得：， 解得， ，        这时利润为：（元）， ∵， ∴方案三获利最多 ． 答：方案三获利最多 ． 3．（24-25七年级上·吉林松原·期中）某校七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票价为每人20元，由各班班长负责买票．“下面是1班班长与售票员咨询的对话：” (1)1班学生人数为44，选择了方案一购票，1班购票需要______元； (2)2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)3班买票时方案一和方案二的购票费用相同，3班有多少人？ 【答案】(1)704； (2)44人； (3)45人． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，方案选择问题，有理数乘法的实际应用，找准题目间等量关系是解题的关键． （1）用人数44乘以票价20再乘以即可； （2）设2班有x人，列方程，求解即可得到答案； （3）设3班有a人，列方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：（元）， 答：1班购票需要704元； （2）解：设2班有人，由题意得， 解得， 答：2班有44人； （3）解：设3班有人，由题意得， 解得， 答：3班有45人． 【题型 12分段计费问题】 1．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）为增强居民节约用电意识，某市对居民用电实行“阶梯收费”，具体收费标准如下表所示： 一户居民一个月用电量 电费价格（元/千瓦时） 不超过千瓦时的部分 超过千瓦时的部分 某居民五月份用电千瓦时，缴纳电费元． (1)求x和超出部分的电费单价． (2)若该户居民六月份缴纳电费元，求该户居民六月份的用电量． 【答案】(1)，元/千瓦时 (2)该户居民六月份的用电量为千瓦时 【分析】本题考查一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键； （1）根据题意列方程求解，进而求解超出部分的电费单价； （2）设该户居民六月份的用电量为千瓦时，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 所以超出部分的电费单价是 (元千瓦时)； （2）解：因为， 所以该户居民六月份的用电量超过千瓦时； 设该户居民六月份的用电量为千瓦时， 根据题意，得， 解得， 故该户居民六月份的用电量为千瓦时． 2．（24-25七年级上·吉林·期末）某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过12吨的部分 超过12吨但不超过18吨的部分 超过18吨的部分 收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00 (1)若小明家3月份用水量是15吨，则需交水费 元； (2)若小明家3月份用水a吨（其中），则应交水费 元（用含a的代数式表示）； (3)若小明家3月份交水费60元．求小明家3月份的用水量是多少吨？ 【答案】(1) (2) (3)25吨 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的加减和乘法混合运算，解题要先把区间划分出来，先计算出极限数值，这样有利于解题． （1）根据收费标准列式求解即可； （2）根据收费标准列式求解即可； （3）首先判断出3月份的用水量超过了18吨，设小明家3月份用水量为x吨，依题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：元， 即需交水费元； 故答案为： （2）解：根据题意得：元， 即需交水费元； 故答案为： （3）解：如果一个月用水12吨，则需水费：（元）； 如果一个月用水18吨，则需水费：（元）； ∵ ∴3月份的用水量超过了18吨． 设小明家3月份用水量为x吨，依题意可得： ， 解得：． 答：小明家3月份用水量为25吨． 【题型 13年龄问题】 1．（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·期中）已知兄弟俩的对话如下：弟弟对哥哥说：“我俩的年龄加起来是妈妈年龄的一半”，哥哥对弟弟说：“现在我比你大4岁，再过18年，我们的年龄加起来就等于妈妈的年龄了”，则哥哥今年的年龄是 岁． 【答案】11 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设哥哥今年的年龄是x岁，则弟弟今年的年龄是岁，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设哥哥今年的年龄是x岁，则弟弟今年的年龄是岁， 根据题意得， 解得 ∴哥哥今年的年龄是11岁． 故答案为：11． 2．（24-25七年级上·江苏南通·期末）小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经是116岁的老寿星了，哈哈！”则小明的爷爷现在 岁． 【答案】64 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设小明的年龄为x岁，则小明爷爷比小明大岁，小明爷爷的年龄为岁，根据“小明到爷爷的年龄时，爷爷已经116岁了”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，进一步计算即可求出结论． 【详解】解：设小明的年龄为x岁，则小明爷爷比小明大岁，小明爷爷的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， ∴（岁）， ∴小明爷爷的年龄为64岁． 故答案为：64． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的七分之一，他结婚了；再过5年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他年龄的一半；儿子死后，他在极度痛苦中度过了四年，与世长辞了．”求他去世时的年龄是多少． 【答案】他去世时的年龄为84岁 【分析】本题考查列一元一次方程解决实际问题，设他去世时的年龄是x岁，根据丢番图的墓碑上的记载，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可解答． 【详解】解：设他去世时的年龄为x岁，根据题意，得 ， 解得：； 答：他去世时的年龄为84岁． 【题型 14比例问题】 1．（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）在《国家空间科学中长期发展规划（2024-2050年）》中，明确了我国空间科学发展目标，提出我国拟突破的“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”、“太空格物”5大科学主题．某班老师在进行相关科普时，让48名学生从这5大科学主题中各自选择一个喜欢的主题，最终选择“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”、“太空格物”的人数比是，那么喜欢“宜居行星”主题的人数是多少？ 【答案】喜欢“宜居行星”主题的人数是16 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据喜欢5大科学主题的人数为48列方程求解即可． 【详解】解：设喜欢“太空格物”主题的人数为，则喜欢“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”主题的人数分别为：、、、． 由题意列方程为： 得：． 答：喜欢“宜居行星”主题的人数是16． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）曙光学校高中学生总人数是初中学生总人数的，高中毕业班人数是初中毕业班人数的．高、初中毕业班学生毕业后，高、初中留下的人数都是1800人．高、初中毕业班学生一共有多少人？ 【答案】1500人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．设初中毕业班人数为人，则高中毕业班人数为人，根据“高中总人数初中总人数”列出方程并解答． 【详解】解：设初中毕业班人数为人，则高中毕业班人数为人， 依题意，得． 解得． ∴． ∴（人． 答：高、初中毕业班学生一共有1500人． 3．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）【分数、比的应用】甲、乙两个仓库存化肥的质量比是12∶11，后来乙仓库又运来24吨，这时甲仓库存化肥比乙仓库少 ，乙仓库原来存化肥多少吨？ 【答案】吨 【分析】本题考查了一元一次房产的应用，根据比例设未知数，由乙仓库又运来24吨，这时甲仓库存化肥比乙仓库少 ，列方程即可求解. 【详解】解：设甲仓库存化肥的质量为吨；乙仓库存化肥的质量为吨；依题意得： ， 解得：， 乙仓库存化肥的质量为吨， 答：乙仓库原来存化肥吨 【题型 15动点问题】 1．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，数轴上A、B两点所对应的数分别为，A、B两点各自以一定的速度同时运动，且点A运动的速度为2单位长度/秒． (1)若A、B两点相向而行，在原点O处相遇，求点B的速度； (2)若A、B两点从开始位置上同时按照（1）中的速度向数轴正方向运动，多少秒后，点A、B与原点距离相等． 【答案】(1)1单位长度秒； (2)或12 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，难度较大，做题时要认真分析各个点的运动方向，找出等量关系． （1）设B点的运动速度为，A、B两点同时出发相向而行，则他们的时间相等，列出等量关系∶ （2）此问分两种情况讨论∶设经过时间为t后，分两种情况讨论；列出方程解出t即可； 【详解】（1）解：设B点的运动速度为，A、B两点同时出发相向而行，则他们的时间相等， A、B两点运动的路程分别是8、4个单位长度， 列方程得， 解得， 所以点B的速度为1单位长度秒； （2）解：设经过时间为，则在原点左侧时，两点表示的数互为相反数， 得， 解得，； 两点重合时，两点表示的数相等， 得， 解得，； 综上所述，或12秒时，点A、B与原点距离相等． 2．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离． 【问题解决】 （1）在数轴上，点表示的数是2，点表示的数是，则点与点之间的距离________． （2）如果点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为4，点与点之间的距离为5，那么________． （3）若，则的最小值为________，此时正整数的值为________． 【关联运用】 （4）点、、是数轴上的三个点，点表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是8，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【答案】（1）5；（2）或9；（3）3，1或2；（4）不会改变，值为5 【分析】（1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，或，计算求解即可； （3），表示数轴上表示的点到数轴上表示和 2 的点之间的距离和，由，即可求解； （4）由题意知，秒钟时，运动后的点表示的数分别为，则；，由题意知，，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：5； （2）解：由题意知，或， 故答案为：或9； （3）解：，表示数轴上表示的点到数轴上表示和 2 的点之间的距离和， ∵， ∴当表示和 2 之间的点时，有最小值 3 ， ∴此时正整数的值为 1 或 2 ； 故答案为：3，1或2． （4）解：不变，理由如下： 由题意知，秒钟时，运动后的点表示的数分别为， ， 由题意知，， ∴的值不会随着时间的变化而改变，其值为5． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，列代数式，整式的加减等知识．熟练掌握数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，列代数式，整式的加减是解题的关键． 3．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）定义：若为数轴上三个不同的点，若点到点的距离和点到点的距离的2倍的和为10，我们就称点C是的美好点，例如：点M、N、P表示的数分别为、2、0．则点P到点M的距离是6，到点N的距离是2，那么点P是的美好点，而点P就不是的美好点． (1)若点表示的数分别为，则 是[ ， ]的美好点．（空格内分别填入） (2)若点表示的数分别为，且是的美好点，求点表示的数． (3)如图，数轴上三点分别表示的数为、、，点从点出发以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，在点出发的同时，点从点出发以每秒2个单位长度向右匀速运动，当点到达点时，点停止运动．直接写出为何值时，点恰好为的美好点？ 【答案】(1) (2)或2 (3)或 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式，以及新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行判断即可； （2）设点表示的数为，根据新定义，列出方程进行求解即可； （3）先求出点，点表示的数，再根据新定义，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：点、、表示的数分别为3、6、7． 点到点的距离是4，到点的距离是3， ∴点是的美好点． 故答案为： （2）设点表示的数为， 点表示的数分别为， 点到点的距离是2，到点的距离是， 点是的美好点， ， 或2； （3）由题意，得：点表示的数为，点表示的数为． 点表示的数为2， ，， 点恰好为的美好点， ． 当时，； 解得：； 当时，． 解得：． 1．（24-25七年级上·河北沧州·期末）北京市为了能够成功举办2022年冬季奥运会．市政府要求各项工程在确保质量的前提下完成任务．其中有一项工程，请甲工程队独做要3个月完成，每月耗资12万元，若请乙工程队独做要6个月完成，每月耗资5万元，那么请甲，乙两工程队合做要几个月完成？耗资多少万元？ 【答案】甲、乙两工程队合做要2个月完成，耗资34万元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设甲、乙两工程队合做要x个月完成，再结合合作的工作量为1建立方程求解，进一步求解费用即可． 【详解】解：设甲、乙两工程队合做要x个月完成， 依题意可得： 解得：， 耗资：（万元）． 答：甲、乙两工程队合做要2个月完成；耗资34万元． 2．（24-25七年级上·四川成都·期末）某商场将某种服装按照成本价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍然获利15元． (1)这种服装每件的成本是多少元？ (2)本商场为了在新年前吸引更多的顾客，进一步推出如下优惠活动：一、本商场所有商品一律按照标价进行八折优惠；二、打八折以后，每满1000再减100元，即若打八折后售价不足1000元就不再减价，打八折后大于等于1000元且小于2000就再减100元，打八折后大于等于2000且小于3000就再减200元，以此类推．小聪、小慧两位的妈妈，分别选中了标价1200和1500元的两件商品． ①若两人一起参加优惠活动并一起支付，比两人分开支付的总和便宜多少元？ ②请问小智的妈妈再选一件标价至少为多少元的商品和她们两人一起参加优惠活动并一起支付，能比三人分别支付的总和便宜200元． 【答案】(1)这种服装每件的成本是125元 (2)①若两人一起参加优惠活动并一起支付，比两人分开支付的总和便宜100元；②小智的妈妈再选一件标价至少为1050元的商品和她们两人一起参加优惠活动并一起支付，能比三人分别支付的总和便宜200元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设这种服装每件的成本是x元，利用利润=售价﹣进价，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）①根据给出的优惠方案，可求出两人分开支付时两位妈妈分别支付的钱数及两人一起参加优惠活动并一起支付时支付的钱数，再利用节省的钱数=两人分开支付时两位妈妈分别支付的钱数之和﹣两人一起参加优惠活动并一起支付时支付的钱数，即可求出结论； ②设小智的妈妈再选一件标价至少为y元的商品，根据一起参加优惠活动并一起支付比三人分别支付的总和便宜200元（即三人分开支付时支付的费用之和为3000元），可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设这种服装每件的成本是x元， 根据题意得：， 解得：． 答：这种服装每件的成本是125元； （2）解：①∵（元），（元），（元）， ∴两人分开支付时，小聪的妈妈需支付960元，小慧的妈妈需支付1100元， ∵（元），（元）， ∴两人一起参加优惠活动并一起支付时共需支付1960元， ∴（元）． 答：若两人一起参加优惠活动并一起支付，比两人分开支付的总和便宜100元； ②设小智的妈妈再选一件标价至少为y元的商品， 根据题意得：， 解得：． 答：小智的妈妈再选一件标价至少为1050元的商品和她们两人一起参加优惠活动并一起支付，能比三人分别支付的总和便宜200元． 3．（24-25七年级上·四川广安·期末）近年来，网络消费成为消费市场的主力军，直播带货成为网络销售的主要渠道，是助力农业增效、农民增收的新业态、新模式．某地培育出了适合网络销售的特色水果，为方便运输及减少运输途中的损耗，需要工人对农产品进行单独包装并装箱，且每箱包装的果子数都相同．已知甲工人用时3小时包装的果子数比4箱少16个；乙工人用时4小时包装的果子数比4箱多8个．甲工人每小时比乙工人每小时多包装6个果子．甲、乙两工人共同包装一天（8小时）可包装几箱果子？ 【答案】18箱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键；根据甲工人每小时比乙工人每小时多包装6个果子列方程求解即可． 【详解】解：设每箱可装个果子． 由题意，得：， 解得， 所以甲工人每小时可包装的果子数为（个）， 乙工人每小时可包装的果子数为（个）， 所以（箱）． 答：甲、乙两工人共同包装一天（8小时）可包装18箱果子． 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）泗洲商场经销甲、乙两种商品，平时甲种商品每件售价80元，每件的利润为30元；乙种商品每件进价40元，售价60元．在“元旦”期间，同时对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动：①购物总金额不超过300元的商品不优惠；②购物总金额超过300元，但不超过500元的商品打九折；③购物总金额超过500元的商品打八折． (1)甲种商品每件的进价为______元，若活动期间一次性购物总金额是400元，实际应付______元； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件，总进价用去2600元，求商场在平时可以盈利多少元？ (3)按“元旦”期间优惠条件，小明一次性购买了乙种商品，实际付款是432元，求商场实际利润是多少元？ 【答案】(1)50，360； (2)商场在平时可以盈利1400元； (3)商场实际利润是72或112元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用甲种商品每件的进价=甲种商品每件的售价-每件的利润，可求出甲种商品每件的进价，由，利用实际付款金额=一次性购物总金额，即可求出实际付款金额； （2）设该商场购进x件甲种商品，则购进件乙种商品，利用进货总价=进货单价购买数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论； （3）设小明一次性购买了y件乙种商品，根据实际付款是432元，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：甲种商品每件的进价为元， ， 活动期间一次性购物总金额是400元，实际应付元 故答案为：50；360． （2）解：设该商场购进x件甲种商品，则购进件乙种商品， 根据题意得：， 解得：， 元 答：商场在平时可以盈利1400元． （3）解：设小明一次性购买了件乙种商品， 根据题意得：或， 解得：或， 当时，元 当时，元 答：商场实际利润是72或112元． 5．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）为了丰富学生的课余活动，学校准备购买10副羽毛球拍和x只羽毛球不少于已知某商店每副羽毛球拍定价60元，每只羽毛球定价5元，优惠方案如图所示两种优惠方案不可混用 (1)分别用含有x的代数式表示两种方案购买所需的费用； (2)当购买多少只羽毛球时，两种方案所需费用相同？ (3)当购买100只羽毛球时，哪种购买方案比较优惠？请说明理由． 【答案】(1)选择方案一购买所需的费用为元；选择方案二购买所需的费用为元 (2)当购买80只羽毛球时，两种方案所需费用相同 (3)选择方案二比较优惠 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式： 利用总价单价数量，结合该商店给出的两种优惠方案，即可用含x的代数式表示出选择两种方案购买所需的费用； 根据两种方案所需费用相同，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； 代入，可求出选择两种方案购买所需的费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）根据题意得： 选择方案一购买所需的费用为元； 选择方案二购买所需的费用为元； （2）根据题意得：， 解得： 答：当购买80只羽毛球时，两种方案所需费用相同； （3）选择方案二比较优惠，理由如下： 当时，选择方案一所需的费用为元； 选择方案二所需的费用为元 ， 选择方案二比较优惠． 6．（24-25七年级上·云南昆明·期末）数轴是一个非常重要的数学工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．在数轴上，A，b，满足，点C表示数1． (1)求代数式的值； (2)动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴的正方向运动，设运动时间为t秒，当点P到原点的距离等于点B到点C的距离时，求t的值． 【答案】(1) (2)1或9 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、偶次方的非负性以及绝对值的非负性，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出a，b的值；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用绝对值及偶次方的非负性，可求出a，b的值，再将其代入中，即可求出结论； （2）先求出点B与点C的距离，再求出当运动时间为t秒时，点P表示的数为，根据点P到原点O的距离等于点B到点C的距离，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知点A和点B在数轴上表示的数分别为， ∵点C表示的数为1， ∴， ∵动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴的正方向运动，设运动时间为t秒， ∴点P表示的数为， ∵点P到原点的距离等于点B到点C的距离， ∴， ∴或， 解得或． 7．（24-25七年级上·辽宁·期末）学校准备利用寒假进行校舍维修，如果甲工程队单独进行维修需要10天，乙工程队单独进行维修需要15天，学校经过与甲、乙两个工程队协商后，决定让乙工程队先维修5天，然后甲，乙两个工程队合作完成剩下的维修任务． (1)甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要多少天？ (2)乙工程队每天的工程费为1700元，甲工程队每天的工程费比乙多300元，校舍维修完成后，学校需支付给甲、乙两个工程队共多少工程费？ 【答案】(1)甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要4天； (2)校舍维修完成后，学校需支付给甲、乙两个工程队共23300元工程费 【分析】本题考查了工程问题，解题的关键是将工作总量看成单位 “1”，并根据工作时间、工作效率和工作总量的关系来求解。 （1）设甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要天，依据题意列出方程求解即可； （2）根据甲乙各自工作时间和每天工程费求出总工程费。 【详解】（1）解：设甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要天，根据题意得， ， 解方程，得， 答：甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要4天； （2）解：（元）， 答：校舍维修完成后，学校需支付给甲、乙两个工程队共23300元工程费 8．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，需要经过分类加工再上市销售．该公司如果对这种蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，且每天只能采取一种加工方式．该公司运来140吨这种蔬菜进行加工销售，受季节等条件限制，将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，恰好15天加工完这批蔬菜．该公司对这批蔬菜进行了几天精加工？几天粗加工？ 【答案】该公司对这批蔬菜进行了10天精加工，5天粗加工 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该公司对这批蔬菜进行了天精加工，则天粗加工，根据 “精加工的蔬菜吨数+粗加工的蔬菜吨数=140吨”作为相等关系列方程组求解即可． 【详解】解：设该公司对这批蔬菜进行了天精加工，则天粗加工． 根据题意，得． 解得． 所以粗加工（天）． 答：该公司对这批蔬菜进行了10天精加工，5天粗加工． 65．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，点，在同一数轴上，数轴的单位长度为1，且点，表示的数互为相反数． (1)求的长度； (2)点，为同一数轴上两个动点，两点同时出发．点从点出发，向右以1（单位长度/秒）的匀速移动秒；点从点出发，向左以2（单位长度/秒）的匀速移动． （ⅰ）用含的代数式表示点，表示的数； （ⅱ）若，求的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）表示的数为，表示的数为；（ⅱ） 【分析】本题考查的数轴，相反数的定义，绝对值的含义，一元一次方程的应用； （1）由数轴上的位置可得； （2）（ⅰ）根据向右移动用加法，向左移动用减法表示即可；（ⅱ）结合（ⅰ）得：，，利用，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：（ⅰ）∵，点，表示的数互为相反数． ∴表示，表示， ∵点从点出发，向右以1（单位长度/秒）的匀速移动秒；点从点出发，向左以2（单位长度/秒）的匀速移动． ∴表示的数为，表示的数为； （ⅱ）结合（ⅰ）得：，， ∵， ∴， ∴或， 解得：或（舍去）， 综上：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$