第十三章 三角形 单元测试培优卷2025-2026学年人教版数学八年级上册

认识三角形单元测试培优卷 一.选择题（共10小题） 1.用三角尺作ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是() B 2.在ABC中，∠C=80°，∠B=56°，则∠A的度数为() A.34° B.44 C.54° D.124° 3.如图所示，AD是ABC中BC边上的中线，E,F分别是AD,BE的中点，若△BFD的 面积是6cm2,则ABC的面积等于() A.18cm2 B.24cm2 C.48cm2 D.72cm2 4.下列长度的三条线段，能组成三角形的是(). A.2,2,3 B.5,6,11 C.3,4,8 D.10,5,5 1 2x-5y=6 5.ABC的两边分别为方程组 3 的解，第三边能被3整除，这样的三角形有() 1 2-y=-4 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.已知n是正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2,n+6,3n则测满足条件的n的值有 () A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 试卷第1页，共3页 7.如图，在ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,D是LACF与∠ABC的平分线的 交点，若∠B0C=120°，则∠D的度数为() B A.15 B.20° C.25° D.30° 8.在ABC,AB=20,BC=18,BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为45，△BCD 的周长是() A.47 B.43 C.38 D.25 ,9.下列命题是真命题的是() A.两直线平行，同位角相等B.如果4>0，那么a>0,b>0 C.三角形三条中线不一定交于一点D.所有合数都是偶数 10.对于平面直角坐标系内的任意两点P(x,y),Q(x2,2)定义它们之间的一种“距离”为 dpo=x2-x+2-.己知不同三点A,B,C满足dAc=d4B-dc,下列四个结论中，不 正确的结论是() A.A,B,C三点可能构成锐角三角形 B.A,B,C三点可能构成直角三角形 C.A,B,C三点可能构成钝角三角形 D.A,B,C三点可能构成等腰三角形 二.填空题（共8小题） 11.ABC的边长如图所示，写出一个符合条件的m的值」 2 m B 5 12.一个三角形的三条边的长都是整数，其中两条边的长是1和3，则第三条边的长是 13.如图，在ABC中，若AB=3,BC=6,则ABC的高AD与CE的比值是__ 试卷第1页，共3页 E ■ B D 14.如图，己知AD是ABC的中线，若aACD的周长比△ABD的周长长3cm,则 AC-AB= cm. 15.如图，在ABC中，已知D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且ABC的面积为50 平方厘米，则阴影部分的面积为平方厘米. A 16.如图，在ABC中，BE,CE,CD分别平分LABC,LACB,LACF,AB∥CD,有下 列结论：①∠BAC=∠ABC;②2∠BDC=∠BAC;③EC⊥CD;④LBEC=90°+LABD,其 中正确的有 (填序号即可). 17.如图，若∠BFE=120°，则∠A,∠B,∠C,∠D,∠E之间的关系为 D 18.在ABC中，点D是BC边上一点，且CD:BD=I:2,连接AD,点F为AD中点，连 接BF并延长，交AC于点E.若SAEF=4cm2,则S。Bc=cm2. 试卷第1页，共3页 E D 三.解答题（共8小题） 19.若a、b、C分别为ABC三边，化简：a-b-c-a+b-c. 20.如图，在平面直角坐标系中，ABC三个顶点的坐标分别为A(1,4),B(-3,4, C(3,-2. 4 3 2 -5-4-3-2-10 12345x -2 -3 -5 (I)画出ABC和AB边上的高CD;(不用写结论) (2)点D的坐标为 ；(直接写出答案) (3)求ABC的面积 21.如图，在8×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A,B,C都是格点（小正方形 的顶点)，完成下列画图. 试卷第1页，共3页 C B B (I)画出ABC的重心P. (2)在已知网格中找出一个格点D,使△BCD与ABC的面积相等. 22.如图，点E、F分别在CD、AB上，连接BE、CF、DF,BE⊥DF于点G,LC=∠1. E (I)求∠CFD的度数； (2)若∠2+∠D=90°，求证：AB∥CD. 23.两根木棒的长分别是m和m-4(m>4),要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉成一个 三角形.张同学手里长为6的木棒可以完成任务，但李同学手里长为10的木棒却无法完成 任务.问第一根木棒的长度m在什么范围？ 试卷第1页，共3页 24.阅读下面的材料，并解决问题. A 3 图1 图2 图3 图4 A 2 B 图5 图6 (1)已知在ABC中，∠A=60°，图1-3的ABC的内角平分线或外角平分线交于点O,请 直接求出下列角度的度数 如图1，∠0=-；如图2，L0=-;如图3，∠0=-： 如图4，∠ABC,∠ACB的三等分线交于点O,Q,连接O,02,则∠B0O,=- 2)如图5，点0是4BC两条内角平分线的交点，求证：∠0=90°+∠A. (3)如图6，ABC中，ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点Q,O,若 ∠1=115°，∠2=135°，求∠A的度数。 试卷第1页，共3页 25.如图，在ABC中，点D是BC上的一点，点E是AB上的一点，AD、CE相交于一点 F B B 图1 图2 备用图 (1)如图1，若LB=30°，∠BAD=28,∠BCE=40°，求∠AFC的度数； (2)如图1，若AD为ABC的中线.CF=3EF,S。4Fc=12,求SABc的值： (③)如图2，若AD、CE是ABC的角平分线.P、Q分别是线段AB、BC上的点，射线CF 分别与直线PQ交于点M,与∠BPQ的平分线所在的直线相交于点H(不与点P重合)，设. ∠PHC=a,∠AFC=B,∠CMQ=0.当∠BQP=60°时，请自行补全图形，求出、B、0之 间的数量关系 26.【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么我们称 这样的三角形为“完美三角形”.例如三个内角分别为130°，40°，10°的三角形是“完美三角形” M D B N 图① 图② 【简单应用】如图①，∠MON=72°，在射线OM上找一点A,过点A作AB⊥OM交射线 ON于点B,以A为端点作射线AD,交线段OB于点C(点C不与点O,B重合). 试卷第1页，共3页 1)∠AB0=°，∠AOB=°，AOB “完美三角形”（填“是”或“不是”）； (2)若∠ACB=90°，求证：△AOC是“完美三角形”； 【应用拓展】如图②，点D在ABC的边AB上，连接DC,DE平分∠ADC,DE∥BC.若 △BCD是“完美三角形”，请直接写出∠B的度数. 试卷第1页，共3页 认识三角形单元测试培优卷 __ 一．选择题（共10小题） 1．用三角尺作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查了三角形的高线，熟练掌握三角形高线的定义是解答本题的关键．三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做这个三角形的高． 根据高线的定义作答即可． 【详解】 A． 不是的边上的高； B． 是的边上的高； C． 不是的边上的高； D． 不是的边上的高； 故选：B． 2．在中，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形的内角和定理，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的内角和为，求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选B． 3．如图所示，是中边上的中线，，分别是的中点，若的面积是，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形中线的性质，根据三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形进行求解即可． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵是中边上的中线， ∴． 故选：C． 4．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ）． A．2，2，3 B．5，6，11 C．3，4，8 D．10，5，5 【答案】A 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形三边的关系． 根据三角形三边之间的关系，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．2，2，3，最长的边为，，能组成三角形，符合题意； B．5，6，11，最长的边为，，不能组成三角形，不符合题意； C．3，4，8，最长的边为，，不能组成三角形，不符合题意； D．10，5，5，最长的边为，，不能组成三角形，不符合题意． 故选：A． 5．的两边分别为方程组的解，第三边能被3整除，这样的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】加减消元法、确定第三边的取值范围 【分析】此题主要考查了三角形三边关系，二元一次方程组的求解，首先利用加减消元法求出x，y的值，再根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：方程组 ，整理得：， 解得：， 的两边分别为4，6， 设第三边长为a，则， 第三边能被3整除， 或6或9， 所以这样的三角形有3个． 故选：C． 6．已知是正整数，若一个三角形的三边长分别是，，则满足条件的的值有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【知识点】求不等式组的解集、确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形的三边关系，不等式（组）的应用． 根据三角形三边关系，分最大边为和两种情况讨论，列出不等式组求解，再合并所有符合条件的正整数解． 【详解】解：由得 ①当最大边为时，有 ， 解得， 三角形三边需满足： 解得， ∴， ∵是正整数， ∴． ②当最大边为时，有 ， 解得， 三角形三边需满足： ， 解得， ∴， ∵是正整数， ∴． 综上所述，符合条件的为2、3、4、5、6、7，共6个． 故选C. 7．如图，在中，的平分线交于点是与的平分线的交点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质定理，解题的关键是掌握角平分线的定义． 根据角平分线得出相等的角，求出，再利用三角形外角的性质定理进行求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 8．在，，，是边上的中线，若的周长为45，的周长是（   ） A．47 B．43 C．38 D．25 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查三角形的中线以及三角形的周长，掌握三角形的中线的定义是解题的关键．根据的周长为45，可得，再结合三角形中线的定义，即可求解． 【详解】解：的周长为45， ， 是边上的中线， ， ， ， ， 的周长是． 故选：B． 9．下列命题是真命题的是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．如果，那么 C．三角形三条中线不一定交于一点 D．所有合数都是偶数 【答案】A 【知识点】两直线平行同位角相等、重心的概念、判断命题真假 【分析】本题考查命题的真假判断，根据平行线的性质、不等式的性质、偶数和三角形中线判断即可． 【详解】解：A．两直线平行，同位角相等，故此选项是真命题，符合题意； B．如果，那么或，故此选项是假命题，不符合题意； C．三角形三条中线一定交于一点，故此选项是假命题，不符合题意； D．合数不一定是偶数，如9，故此选项是假命题，不符合题意； 故选A． 10．对于平面直角坐标系内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”为．已知不同三点A，B，C满足，下列四个结论中，不正确的结论是（       ） A．A，B，C三点可能构成锐角三角形 B．A，B，C三点可能构成直角三角形 C．A，B，C三点可能构成钝角三角形 D．A，B，C三点可能构成等腰三角形 【答案】A 【知识点】绝对值的几何意义、坐标与图形、三角形的分类、等腰三角形的性质和判定 【分析】不妨设，，，则，，，讨论，的值即可判定． 【详解】解：不妨设，，，则，，， 由，可知，即； A.当时，无解，则不可能是锐角三角形，故A错误； B.当，时，成立，此时为直角三角形，故B正确； C.当时，为钝角，且成立，故C正确； D.当，时，成立，此时为等腰三角形，故D正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了以命题的真假为载体，考查新定义，解题的关键是理解新的定义，同时考查了学生的推理能力． 二．填空题（共8小题） 11．的边长如图所示，写出一个符合条件的m的值 ． 【答案】4（答案不唯一） 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求得m的取值范围即可求解． 【详解】解：由图可得，即， 则符合条件的m值可以为4， 故答案为：4（答案不唯一）． 12．一个三角形的三条边的长都是整数，其中两条边的长是1和3，则第三条边的长是 ． 【答案】3 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，求出第三边的取值范围是解题的关键．首先根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，然后从中取整数即可． 【详解】解：∵两条边长分别是和， ∴第三边的取值范围是第三边， ∵三边均为整数， ∴第三边的长为3， 故答案为：3． 13．如图，在中，若，，则的高与的比值是 ． 【答案】/0.5 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】此题考查三角形的面积，掌握三角形的等面积法是解题的关键．根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：∵在中，若，， 与是的高， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，已知是的中线，若的周长比的周长长，则 ． 【答案】3 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查三角形中线，掌握相关知识是解决问题的关键．利用中线的性质将的周长与的周长差转化为与长度差即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长长， ∴ ． 故答案为：3． 15．如图，在中，已知D、E、F分别为的中点，且的面积为50平方厘米，则阴影部分的面积为 平方厘米． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形中线的性质． 由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则利用点为的中点得到平方厘米，再利用点为的中点得到平方厘米，平方厘米，所以平方厘米，然后利用点为的中点得到． 【详解】解：∵点为的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴平方厘米，平方厘米， ∴平方厘米， ∵点为的中点， ∴平方厘米． 故答案为：． 16．如图，在中， 分别平分，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （填序号即可）． 【答案】①②③④ 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【详解】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，三角形外角的性质等知识的综合运用，灵活运用角平分线的性质与判定及三角形外角的性质求解角的关系是解题的关键 根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【解答】解：∵平分，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即， 故②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 故③正确； ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴，故①正确； 故答案为：①②③④． 17．如图，若，则，，，，之间的关系为 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】设的交点为M，的交点为Q，连接并延长到点N， ，利用三角形外角性质表示，的关系，解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：设的交点为M，的交点为Q，连接并延长到点N， 则，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 18．在中，点是边上一点，且，连接，点为中点，连接并延长，交于点．若，则 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形的中线，连接，利用三角形的中线平分面积，同高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵点F为中点， ∴，， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 19．若、、分别为三边，化简：． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系，化简绝对值，先结合两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得，再化简，即可作答． 【详解】解：∵、、分别为三边， ∴， ∴， 则 ． 20．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出和边上的高；（不用写结论） (2)点D的坐标为________；（直接写出答案） (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)12 【知识点】坐标系中描点、写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离、画三角形的高 【分析】本题主要考查了坐标与图形： （1）在坐标系中描出点A，B，C即可解答； （2）直接写出点D的坐标即可； （3）直接根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：如图，和高即为所求； （2）解：点D的坐标为； 故答案为： （3）解：的面积为． 21．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心P． (2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、重心的概念 【分析】本题考查了作图—应用与设计，三角形的面积，三角形的重心等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）重心是三角形中线的交点，作的中线，交于点，点即为所求； （2）根据等高模型解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：如图，点或（）即为所求， ． 22．如图，点分别在上，连接，于点，． (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】垂线的定义理解、内错角相等两直线平行、直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用 【分析】（）由垂直的定义得，即得，进而得到，即可求解； （）利用余角性质可得，再根据平行线的判定即可求证； 本题考查了垂直的定义，直角三角形两锐角互余，平行线的判定等，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：由（）知：， ∵， ∴， ∴． 23．两根木棒的长分别是m和，要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉成一个三角形．张同学手里长为6的木棒可以完成任务，但李同学手里长为10的木棒却无法完成任务．问第一根木棒的长度m在什么范围？ 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、构成三角形的条件、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形的三边关系，求不等式组的解集，设第三根木棒的长为x，根据三角形的三边关系，得到，再根据题意，得到，求解即可． 【详解】解：设第三根木棒的长为x， ∵两根木棒的长分别是m和， ∴， ∴． ∵由张同学手里长为6的木棒可以完成任务，但李同学手里长为10的木棒却无法完成任务， ∴， ∴． 24．阅读下面的材料，并解决问题． (1)已知在中，，图1﹣3的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1， ；如图2， ；如图3， ； 如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ． (2)如图5，点O是两条内角平分线的交点，求证：． (3)如图6，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数． 【答案】(1)，，，； (2)证明见解析 (3) 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理，以及基本图形是解题的关键． （1）由的度数，在中，可得与的和，又、是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案； （2）由的度数，在中，可得与的和，又、是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论； （3）先分别求出与的度数，即可求得的度数． 【详解】（1）解：如图1， ，， ， ，分别平分和 ， ， ， 如图2， 是的外角， ， ，分别平分和， ，， 是的外角， ， ， 如图3， 是的外角， ， 平分，平分， ，， ， ， 如图4， ，的三等分线交于点，， ，， 平分，平分， 平分， ， ， ， 故答案为：，，，； （2）证明：平分，平分， ，， ； （3）解：是△的外角， ， ，， ， 、是的三等分线， ，， ， 是的平分线， ， ． 25．如图，在中，点D是上的一点，点E是上的一点，相交于一点F． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，若为的中线．求的值； (3)如图2，若是的角平分线． P、Q分别是线段上的点，射线分别与直线交于点M，与的平分线所在的直线相交于点H (不与点P重合)，设． 当时，请自行补全图形， 求出之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】根据三角形中线求面积、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形中线的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由三角形外角的性质可得的度数，进而可得的度数； （2）连接，根据，可得，设，，则，由三角形中线的性质得到，则，即可得到，解方程即可得到答案； （3）设，由三角形内角和定理和角平分线的定义可得，再分点P在点E下方和点P在点E上方，两种情况画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴， 设，， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在点E下方时， ∵， ∴，， ∵的平分线所在的直线与射线交于H， ∴， ∴ ， ∴， 即； 如图所示，当点P在点E上方时， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 即； 综上所述，或． 26．【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么我们称这样的三角形为“完美三角形”．例如三个内角分别为的三角形是“完美三角形”．    【简单应用】如图①，，在射线上找一点A，过点A作交射线于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与点O，B重合）． （1）______°，______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，求证：是“完美三角形”； 【应用拓展】如图②，点在的边上，连接平分，．若是“完美三角形”，请直接写出的度数． 【答案】[简单应用]（1）18，72，是；（2）见解析 [应用拓展]或 【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解、根据平行线的性质探究角的关系、三角形角平分线的定义 【分析】（1）利用垂直得出直角三角形，求出各角的度数，根据“完美三角形”的定义进行判断即可； （2）利用垂直得出直角三角形，求出各角的度数，根据“完美三角形”的定义进行判断即可； （3）利用角平分线的定义和平行线的性质得出，然后分两种情况进行讨论，根据“完美三角形”的定义求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； ； ∵， ∴是“完美三角形”； 故答案为：18，72，是； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴是“完美三角形”； （3）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据“完美三角形”的定义得， 当时，， ∴； 当时，， ∴， ∴； ∴的度数为或． 【点睛】本题主要考查了垂直的定义，直角三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握以上性质，并理解新定义． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $