精品解析：湖北省荆州市2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年度第一学期期中质量监测 八年级数学试卷 （本试卷共4页，满分120分，考试时间共120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分） 1. 2025年10月19日至10月24日，国际军体第54届海军五项世锦赛在武汉举行．下列图案表示的运动项目标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中具有稳定性的是（ ） A. B. C. D. 3. 小芳有两根长度为和的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择木条的长度为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在下列条件中，不能判定的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 是锐角内部一点，且点到三条边的距离相等，过点作作边的平行线分别交，于点、，若的周长为，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．七边形的三角剖分方法有（ ）种． A 14 B. 42 C. 28 D. 35 8. 如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 9. 如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，在中，，D是边上的点，过点D作交于点F，交的延长线于点E，连接，，则下列结论：①；②点D为的中点；③是等边三角形；④若，则；⑤若，则． 其中结论正确有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 命题“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是_____． 12. 已知三角形三个内角度数之比为2：3：4，则与之对应的三个外角度数之比为_____________. 13. 如图，在中，是的垂直平分线．若，的周长为13，则的周长为______． 14. 如图，已知：点在第一象限角平分线上，，角两边与x轴、y轴分别交于A点、B点，则的值为_______． 15. 如图，在等腰中，，平分交于点，点，分别是和上的动点，当，时，的最小值等于________． 三、解答题．（共9小题，共75分） 16. 已知三角形的三边分别为，和． （1）求的取值范围； （2）若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 17. 两个城镇A、B与两条公路位置如图所示，其中是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路的距离也必须相等，且在的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 18. 如图所示，为内一点，，求的度数． 19. 如图是等边三角形，是中线，延长到，使．求证：． 20. 如图，点E外部，点D在边上，交于点F，若，，求证： （1）； （2）． 21. 某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，求： （1）此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里； （2）小岛点P方圆3海里内有暗礁，如果轮船继续向东行驶，请问轮船有没有触礁危险？请说明理由． 22. 如图，在中，，平分，于E，F在上，．求证： （1）． （2）． 23. 综合与实践 【问题情境】如图1，，和的平分线交于点，过点作直线分别交，于，两点，若，求证：． 深入探究】当与不垂直，其它条件不变时，如图2，还成立吗？请判断并说明理由． 【拓展应用】当与不垂直，其它条件不变时，如图3，过点作，交于，若，，求的长． 24. 如图所示，直线交x轴于点，交y轴于点，且a，b满足． （1）如图1，若C的坐标为，且于点H，交于点P，试求点P的坐标； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，若D为的中点，M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于N，当点M在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中质量监测 八年级数学试卷 （本试卷共4页，满分120分，考试时间共120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分） 1. 2025年10月19日至10月24日，国际军体第54届海军五项世锦赛在武汉举行．下列图案表示的运动项目标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 2. 下列图形中具有稳定性的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是掌握三角形具有稳定性这一特性． 判断各选项图形是否由三角形构成，依据三角形具有稳定性来确定具有稳定性的图形． 三角形具有稳定性，而四边形等多边形不具有稳定性． 【详解】解：A、由两个矩形组成，矩形属于四边形，不具有稳定性； B、由一个三角形和一个矩形组成，矩形部分不具有稳定性； C、由多个三角形组成，三角形具有稳定性； D、由四边形组成，四边形不具有稳定性． 所以具有稳定性的是选项C． 故选：C． 3. 小芳有两根长度为和的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择木条的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设木条的长度为xcm，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】设木条的长度为xcm，则10-5＜x＜10+5，即5＜x＜15． 故选D． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 4. 如图，在下列条件中，不能判定的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，三角形判定定理中，最容易出错的是“边角边”定理，这里强调的是夹角，不是任意角．已知条件是两个三角形有一公共边，只要再加另外两边对应相等或有两角对应相等即可，如果所加条件是一边和一角对应相等，则所加角必须是所加边和公共边的夹角对应相等才能判定两个三角形全等．根据三角形全等的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，，，符合，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意； B、，，，符合，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意； C、，，，符合，和不是两条边夹角，不能判断两个三角形全等，故该选项符合题意； D、，，，符合，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标平面内的轴对称变换．利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而求出即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故选：A． 6. 是锐角内部一点，且点到三条边的距离相等，过点作作边的平行线分别交，于点、，若的周长为，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，平行线的性质以及等腰三角形等角对等边，根据角平分线的判定定理、平行线的性质以及等腰三角形的等角对等边得出，，即可得出答案，熟练掌握以上知识点的性质是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵点到三条边的距离相等， ∴点是的内角平分线的交点， ∴，， ∵， ∵，， ∴，， ∴，， ∵的周长为，， ∴， ∴的周长， 故选：． 7. 把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．七边形的三角剖分方法有（ ）种． A. 14 B. 42 C. 28 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查图形的分割．根据题意列举即可． 【详解】解：如图，共有42种： 故选：B． 8. 如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过D作于F，由角平分线的性质定理即可求出，再计算出，最后根据，即可求出的值． 【详解】解：过D作于F， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∵的面积为7， ∴ 即， 解得：， 故选：A． 9. 如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰． 【详解】解：如图：分情况讨论： ①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个； ②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个． 故共有3个点， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 10. 如图，在中，，D是边上的点，过点D作交于点F，交的延长线于点E，连接，，则下列结论：①；②点D为的中点；③是等边三角形；④若，则；⑤若，则． 其中结论正确的有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，以及直角三角形的性质．由在中，，，证得，继而可得，再由，可得D为中点，由于无法得到，，的关系，故不能证得是等边三角形，由若，求得，则可证得，继而证得，在此条件下，利用即可证明，从而判断结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，； ∴，故①正确； ∵， ∴，即D为中点，故②正确； 但不能判定是等边三角形；故③错误； ∵若， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．故④正确． ∵若，是等边三角形， 在和中， ， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有①②④⑤，共4个， 故选：C． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 命题“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是_____． 【答案】如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等 【解析】 【分析】把原命题的题设和结论交换即可得到其逆命题． 【详解】解：因为“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”它的逆命题是“如果两个实数平方相等，那么这两个实数相等”． 故答案为：如果两个实数平方相等，那么这两个实数相等； 【点睛】要根据逆命题的定义，和平方的有关知识来填空，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题． 12. 已知三角形三个内角度数之比为2：3：4，则与之对应的三个外角度数之比为_____________. 【答案】7：6：5 【解析】 【分析】由一个三角形的三个内角度数之比为2：3：4，根据三角形内角和定理，即可求得此三角形三个内角的度数，继而求得与之对应的三个外角度数，则可求得答案． 【详解】解：∵一个三角形的三个内角度数之比为2：3：4， ∴三个内角分别为，，， ∴与之对应的三个外角度数分别为， ∴与之对应的三个外角度数之比为7：6：5， 故答案为7：6：5 【点睛】本题考查了三角形内角和定理与三角形外角的性质，注意掌握三角形内角和等于180°． 13. 如图，在中，是的垂直平分线．若，的周长为13，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由线段的垂直平分线的性质可得，从而可得答案． 【详解】解： 是垂直平分线．， 的周长 故答案为： 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 14. 如图，已知：点在第一象限角平分线上，，角两边与x轴、y轴分别交于A点、B点，则的值为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．根据角平分线的性质定理可得关于m的方程，解方程即可求得点P的坐标，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，证明即可． 【详解】解：∵点在第一象限角平分线上， ∴， 解得：， 则点P的坐标为， 过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 由点P的坐标知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 15. 如图，在等腰中，，平分交于点，点，分别是和上的动点，当，时，的最小值等于________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短的性质，等腰三角形的性质．在上取一点，使，连接， 过点作于，易得，根据垂线段最短可知，利用三角形的面积求出，从而得解． 【详解】解：如图，在上取一点，使，连接，过点作于， 是的平分线，， ， ， ， ， ∴， ，， ， 解得， ∴的最小值是5． 故答案为：5． 三、解答题．（共9小题，共75分） 16. 已知三角形的三边分别为，和． （1）求的取值范围； （2）若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质． （1）根据第三边大于已知两边的差，小于已知两边的和列不等式组求解即可； （2）根据第三边的取值范围确定等腰三角形的另一边，再求周长即可． 小问1详解】 解：∵两边为和， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， 当时，该三角形为等腰三角形， 该三角形周长为． 17. 两个城镇A、B与两条公路位置如图所示，其中是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路的距离也必须相等，且在的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 【答案】画图见解析 【解析】 【分析】连接，作的中垂线和的角平分线，它们的交点，即为所求的点． 【详解】解：如图所示，点C即为所求． 【点睛】本题主要考查线段的中垂线和角的角平分线的尺规作图，尺规作图时，保留作图痕迹，是解题的关键． 18. 如图所示，为内一点，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用外角性质求角度，涉及三角形外角性质等知识，延长交于，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出的度数．数量掌握三角形外角性质，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：延长交于，如图所示： 分别为的外角， ∴，， ∴， ∴． 19. 如图是等边三角形，是中线，延长到，使．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到是正确解答本题的关键．根据等边三角形的性质得到，，再根据角之间的关系求得，根据等角对等边即可得到． 【详解】证明：是等边三角形，是中线， ．（等腰三角形三线合一）． 又， ． 又， ． ． ． 20. 如图，点E在外部，点D在边上，交于点F，若，，求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据，，利用三角形内角和定理计算证明即可． （2）根据，得到即再证明即可． 本题考查了三角形内角和定理，对顶角性质，三角形全等的判定，熟练掌握判定是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， 故． 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 21. 某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，求： （1）此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里； （2）小岛点P方圆3海里内有暗礁，如果轮船继续向东行驶，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由． 【答案】（1）BP=7海里；（2）没有危险，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）由方向角求出∠PAB和∠PBD，再根据外角的性质求出∠APB，可证明△APB是等腰三角形，即可求解． （2）过P作AB的垂线PD，在直角△BPD中可以求出∠PBD的度数是30°，从而根据30°角的性质求出PD的长，再把PD的长与3海里比较大小． 【详解】解：（1）∵∠PAB=90﹣75=15°，∠PBD=90°﹣60°=30° ∴∠APB=∠PBD﹣∠PAB=30°﹣15°=15°， ∴∠PAB=∠APB ∴BP=AB=7（海里） （2）过点P作PD垂直AC， 则∠PDB=90° ∴PD=PB=3.5＞3 ∴没有危险 22. 如图，在中，，平分，于E，F在上，．求证： （1）． （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定． （1）先证明得到，再证明即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，再由线段的和差关系证明即可． 【小问1详解】 证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 23. 综合与实践 【问题情境】如图1，，和的平分线交于点，过点作直线分别交，于，两点，若，求证：． 【深入探究】当与不垂直，其它条件不变时，如图2，还成立吗？请判断并说明理由． 【拓展应用】当与不垂直，其它条件不变时，如图3，过点作，交于，若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）2 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是作出合适的辅助线，并熟练应用角平分线的性质解决问题． （1）作于点E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结论； （2）延长交于点F，根据角平分线的性质和平行线的性质得，再得即可得证； （3）根据平行线的性质得，则，同理得，再由，得，则有，由此求出． 【详解】（1）证明：作于点E． ∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交于点P， ∴， ∴； （2）解：成立．理由如下： 延长交于点F． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵平分， ∴． 在和中 ， ∴． ∴； （3）解：∵， ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． 同理． ∴． 由（2）可知，， ∴． ∴． ∴． 24. 如图所示，直线交x轴于点，交y轴于点，且a，b满足． （1）如图1，若C的坐标为，且于点H，交于点P，试求点P的坐标； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，若D为的中点，M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于N，当点M在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】（1）； （2）证明见详解； （3）的值不发生改变，等于9，理由见详解； 【解析】 【分析】（1）先依据非负数的性质求得a、b的值，从而可得到，然后再，，最后，依据可证明，得出，从而得出点P的坐标； （2）过O分别作于M点，作于N点，利用证明，得出，再根据角平分线得到判定即可得出平分，从而求出；（3）连接，易证，从而有，由此可得； 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵C坐标为， ∴； 【小问2详解】 证明：过O分别作于M点，作于N点， ， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴； 【小问3详解】 解：的值不发生改变，等于9，理由如下： 如图：连接， ∵，，D为的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∵即， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、二次根式及完全平方式的非负性等知识，在解决第（2）小题的过程中还用到了等积变换，而运用全等三角形的性质则是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $