2025-2026学年高三上学期期中仿真模拟数学试卷01（新高考地区专用）

专题2.6 函数的图象（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 作出函数的图象】 2 【题型2 函数图象的识别】 7 【题型3 根据函数图象选择解析式】 10 【题型4 函数图象的变换】 12 【题型5 根据实际问题作函数图象】 15 【题型6 利用图象研究函数的性质】 18 【题型7 利用图象确定零点个数、解不等式】 20 【题型8 利用图象求参数的取值范围】 23 1、函数的图象 考点要求 真题统计 考情分析 (1)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数 (2)会画简单的函数图象 (3)会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题 2024年全国甲卷（文数）：第8题，5分 2024年全国甲卷（理数）：第7题，5分 2025年北京卷：第4题，4分 2025年天津卷：第3题，5分 函数图象是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，主要以考查函数图象的识别与变换为重点和热点，也可能考查利用函数图象研究函数性质、解不等式等问题，一般以单选题的形式出现，难度不大. 知识点1 函数的图象的作法与识别 1．作函数图象的一般方法 (1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 2．函数图象识别的解题思路 (1)抓住函数的性质，定性分析： ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从周期性，判断图象的循环往复； ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性. (2)利用函数的零点、极值点判断. (3)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 知识点2 函数图象的应用及其解题策略 1．利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系. 2．利用函数的图象解决方程和不等式的求解问题的解题策略 利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解.数形结合是常用的思想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题. 【题型1 作出函数的图象】 【例1】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数. (1)请画出函数的图象，并求的解集； (2)，，求的最大值. 【答案】(1)作图见解析， (2). 【解题思路】（1）分类讨论求得，即可作出图形； （2）由（1）知的图象与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最小值为，则，，即可求解. 【解答过程】（1）∵，∴. 函数图象如右所示： 由图可知的解集为. （2）由（1）知，的图象与轴交点的纵坐标为， 且各部分所在直线斜率的最小值为， 故当且仅当，时，恒成立， 此时有最大值. 即的最大值是. 【变式1-1】（24-25高一上·云南昭通·期中）已知函数的解析式为. (1)求，的值； (2)画出这个函数的图象，并写出的最大值. 【答案】(1)， (2)图象见解析，最大值为4 【解题思路】（1）根据自变量的取值，代入分段函数解析式即可； （2）根据图象最高点即可写出最大值. 【解答过程】（1）因为， 所以，，则. （2） 如图，由图象可知，最大值为4. 【变式1-2】（2025·四川乐山·三模）已知函数． (1)画出f（x）的图象，并写出的解集； (2)令f（x）的最小值为T，正数a，b满足，证明：． 【答案】(1)作图见解析， (2)证明见解析 【解题思路】（1）由绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号得分段函数解析式，然后分段作出函数图象，由图象得不等式的解集； （2）由（1）得最小值，然后用基本不等式得出的范围，再用基本不等式得，利用二次函数性质得的范围，从而可得不等式成立，注意等号取得的条件是否一致． 【解答过程】（1）由题，得，图象如图所示． 由图可知，的解集为． （2）由（1）知，函数f（x）的最小值为，则． 只需证明即可． 由已知，，，则，所以． 于是， 因为 ， 由于，则，即， 所以，当且仅当时，等号成立． 【变式1-3】（2024·陕西西安·三模）已知函数（其中）．    (1)在给定的平面直角坐标系中画出时函数的图象； (2)求函数的图象与直线围成多边形的面积的最大值，并指出面积最大时的值． 【答案】(1)作图见解析； (2)最大值为，. 【解题思路】（1）把代入，再画出函数图象即可. （2）作出函数与直线围成多边形，并求出面积表达式，再求出最大值即得. 【解答过程】（1）当时，， 在坐标平面内作出函数的图象，如图：    （2）依题意，，其图象如图：    令，得函数的图象与直线的两个交点， 直线与直线交于点， 显然，即点， 函数的图象与直线围成多边形为四边形，其面积为： ， 显然函数在上单调递增，当时，， 所以函数的图象与直线围成多边形的面积的最大值为，此时. 【题型2 函数图象的识别】 【例2】（2025·辽宁·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数解析式化简，应用奇函数定义及特殊值法分别判断各个选项. 【解答过程】由，可得的定义域为， 且，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除B项； ，排除C项； 当时，，排除A项. 故选：D. 【变式2-1】（2025·天津河北·二模）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据奇偶性的定义判断为奇函数，再结合的符合及排除法，即可得. 【解答过程】由，且定义域为R， 所以为奇函数，排除A、B； ，排除D. 故选：C. 【变式2-2】（2025·广东广州·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】先判断出为奇函数，排除BD；再根据当趋向于时，趋向于0，C错误，A正确. 【解答过程】恒成立，故的定义域为R， ， 故为奇函数，BD错误； 当趋向于时，的增长速度远大于的速度， 故趋向于0，C错误，A正确. 故选：A. 【变式2-3】（2025·云南玉溪·二模）已知函数与的图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数与的图象可知函数的定义域与奇偶性，即可选出求解. 【解答过程】由图可知函数的定义域为函数和函数的定义域的交集为， 故函数的图象不经过坐标原点，排除选项BC； 又因为函数是偶函数，函数是奇函数，所以函数是奇函数，排除选项D. 故选：A. 【题型3 根据函数图象选择解析式】 【例3】（2025·浙江台州·一模）函数的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定的函数图象，由推理排除CD；由①中函数当时，分析判断得解. 【解答过程】由图①知，，且当时，，由②知，图象过点，且当时，， 对于C，当时，，C不可能； 对于D，当时，，D不可能； 对于A，当时，，而当时，，则，A可能； 对于B，当时，，而当时，，则，B不可能. 故选：A. 【变式3-1】（2025·陕西·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合指数函数的图象与性质即可判断AB选项错误，对C代入判断C错误，则可得到D正确. 【解答过程】根据函数 的图象， 知 ， 而对A选项排除A； 对B选项，因为，则， 则，但图象中函数值可以大于 1 ， 排除B； 根据C选项的解析式， ， 而根据函数 的图象， 知 ， 排除 C. 故选：D. 【变式3-2】（2025·天津·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据排除A，根据定义域排除B，根据奇偶性排除C，进而可得答案. 【解答过程】对于A， 在处无意义，故A错误； 对于B：的定义域为，故B错误； 对于C：的定义域为， 且，则为偶函数，故C错误； 对于D，满足图中要求，故D正确. 故选：D. 【变式3-3】（2025·安徽·模拟预测）心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据奇偶性和最值排除错误答案即可. 【解答过程】A选项：，故A错误； B选项：记，则，故为奇函数， 不符合题意，故B错误； C选项：记，则， 故为偶函数， 当时，， 此函数在上单调递增，在上单调递减， 且，故C正确； D选项：记，则， 故既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误. 故选：C. 【题型4 函数图象的变换】 【例4】（2025高三·全国·专题练习）将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图象，即可判断平移之后的函数图象. 【解答过程】，可得函数的大致图象如图所示， 将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图象为C选项中的图象. 故选：C. 【变式4-1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解题思路】根据函数图象的变换得到答案. 【解答过程】将的图象向右平移1个单位长度，再向上平移一个单位，即可得到函数的图象. 故选：B. 【变式4-2】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数，与其相应的的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】找出与的关系，再将问题转化为求上某点的纵坐标即可. 【解答过程】函数是函数向左平移1个单位得到， 因函数的周期，则周期也为4， A选项：对应中的值，由图象知，错误； B选项：对应中的值，由图象知，错误； C选项：，则，又对应中的值， 由图象知，即，正确； D选项：，则，错误． 故选：C． 【变式4-3】（2025·辽宁本溪·模拟预测）函数的图象可看作是由函数的图象向左平移1个单位长度后得到的，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用平移变换可得，判断函数的奇偶性，结合赋值法可得结论. 【解答过程】因为，所以，其定义域为， 且，所以为偶函数，故排除BC； 又时，， 当时，，故排除A， 故选：D. 【题型5 根据实际问题作函数图象】 【例5】（2025·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分，，求出解析式，然后可知图象. 【解答过程】当时，，是一条过原点的线段； 当时，，是一段平行于轴的线段； 当时，，图象为一条线段. 故选：A． 【变式5-1】（24-25高一上·湖南邵阳·期末）如图，点在边长为1的正方形边上运动，是的中点，当点沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出点在对应线段上时的解析式，结合图象判断即可得. 【解答过程】当点在上时，， 当点在上时， ， 当点在上时，， 其中A选项符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正确. 故选：A. 【变式5-2】（2025·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解题思路】分析在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离的变化，可得出合适的选项. 【解答过程】由题图知，小李从点到点的过程中，的值先增后减， 从点到点的过程中，的值先减后增， 从点到点的过程中，的值先增后减，从点到点的过程中，的值先减后增， 所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离（即的值）的增减性为：增、减、增、减、增，D选项合乎题意， 故选：D. 【变式5-3】（24-25高一上·江西赣州·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意分析可得相遇时间为4小时，此时两车距离为0，排除B选项；再求出快车继续行驶到达乙地所需要的时间排除A选项；再分析可得当特快车停止行驶时，快车还在行驶，结合速度排除D选项. 【解答过程】当两车同时相向出发时，相遇时间小时， 此时两车距离为0，快车行驶时间为4小时，故排除B选项； 相遇时，快车已经行驶的路程为千米， 还需要行驶小时才能到达乙地，故排除A选项； 特快车相遇时已经行驶的路程为千米， 只需要再行驶小时才能到达甲地， 所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D选项. 故选：C. 【题型6 利用图象研究函数的性质】 【例6】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）如图所示是函数的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域中不单调 D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 【答案】C 【解题思路】由函数图象确定定义域和值域，单调性判断各项的正误. 【解答过程】由图知：的定义域为，值域为，A、B错； 显然在分别递增，但在定义域上不单调，C对； 显然，对应自变量x不唯一，D错. 故选：C. 【变式6-1】（2025高三下·全国·专题练习）函数的图象如图所示，其单调递增区间是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】直接根据题干图象求出单调递增区间即可. 【解答过程】由题图可知，函数的单调递增区间为. 故选：C. 【变式6-2】（24-25高一上·甘肃酒泉·期中）如图，给出了偶函数的局部图象，则，，的大小关系为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由函数为偶函数，得到，结合图象，即可求解. 【解答过程】由题意知，函数为偶函数，可得， 结合函数在上的图象，可得， 所以. 故选：A. 【变式6-3】（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知定义域为的奇函数在的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C．在定义域上不存在最小值 D．在的最大值与最小值之和为 【答案】C 【解题思路】利用为定义域在的奇函数，结合图象逐项进行判断即可. 【解答过程】对于A，由为定义域在的奇函数，则图象关于点对称，, 由图知，则，故A正确； 对于B，，为奇函数，则，故B正确； 对于C，由图知在的最大值为，则在的最小值为， 因此可得在定义域上存在最小值为，故C错误； 对于D，由在的最大值为，最小值为，则最大值与最小值之和为，故D正确. 故选：C. 【题型7 利用图象确定零点个数、解不等式】 【例7】（24-25高一上·天津滨海新·期中）已知函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题设，将不等式化为，结合奇函数对称性及图象确定其解集. 【解答过程】由题设，即， 当时，， 由图可知，时，时， 当时，， 根据奇函数的对称性，有时，时， 所以，不等式的解集为. 故选：D. 【变式7-1】（2025·贵州毕节·一模）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解题思路】由可得或，作出图形，结合图形即可求解. 【解答过程】由题意，令，解得或， 作出的图象，如图，    由图可知，直线与图象有3个交点， 直线与图象有4个交点， 所以原方程有7个解， 即函数有7个零点. 故选：C. 【变式7-2】（2025·河南商丘·三模）已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据奇函数的图象特征补全图象，再应用符号法列不等式组，进而应用数形结合求解不等式即可. 【解答过程】根据奇函数的图象特征，作出在上的图象如图所示， 由，得， 等价于或 解得或，或． 故不等式解集为． 故选：C. 【变式7-3】（2025·河北保定·一模）已知是定义在上的函数，且有，当时，，则方程的根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】由已知，讨论的范围，求出函数的解析式，画出函数的图象，然后判断方程根的个数即可． 【解答过程】是定义在上的函数，且有， 当时，， 则时，，则 时， 时， 时， 画出函数与函数的图象， 由图象可知方程的根的个数为3. 故选：C. 【题型8 利用图象求参数的取值范围】 【例8】（2025·内蒙古赤峰·三模）已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】转化为函数与的图象有3个交点，结合的图象可得答案. 【解答过程】若函数恰有3个零点， 即函数与的图象有3个交点， ， 当时，，当时，， 函数的图象如下， 结合图象可得. 故选：A. 【变式8-1】（2025·湖北·三模）已知，且，则下列可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】判断函数的奇偶性，再结合函数的图像，逐个判断即可. 【解答过程】函数的定义域为R， ， 所以函数为奇函数， 又， 所以函数在R上单调递增， 又， 所以可得： ， 画出的图像， 当，，时，不成立， 当时，可能成立， 故选：D. 【变式8-2】（2025·安徽池州·二模）已知函数，若有4个互不相同的根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求解方程，得到的表达式，再结合函数的图象，分析取不同值时方程根的个数，进而确定的取值范围. 【解答过程】令，则方程可转化为. 对进行因式分解可得，则，. 所以或. 当时，，因为指数函数在上单调递增，所以在上单调递增，且. 当时，，对其求导，. 令，即，解得（）. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在处取得极小值，也是最小值，. 对于： 当时，，即，，解得，有个根. 因为有个互不相同的根，已经有个根，所以需要有个不同的根. 结合的图象可知，当时，与有个不同的交点，即有个不同的根. 的取值范围为. 故选：B. 【变式8-3】（2025·四川南充·二模）已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用导数可得函数在,上的单调性及极值，作出函数的图象，由图象可得，再由对数函数的性质可得，结合，，是方程的三个根，可得，即可求得答案． 【解答过程】因为当时，， 所以， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，所以， 当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 作出函数的图象，如图所示： 由此可得， 当时，令，解得或， 所以， 又因为， 所以， 所以； 由题意可得，，是方程，即的三个根， 所以， 即， 所以， 即， 所以． 故选：． 一、单选题 1．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数与的图象的交点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【解题思路】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数. 【解答过程】函数与都是偶函数，其中，， 在同一坐标系中，作出函数与的图象，如下图， 由图可知，两函数的交点个数为6. 故选：D. 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数解析式确定函数的图像性质，进而确定. 【解答过程】由已知，定义域为，且， 所以函数为偶函数， 故图象关于轴对称， 又，排除B，D选项； 当时，，排除C，故A正确． 故选：A． 3．（2025·全国·模拟预测）函数的图象如图1所示，则如图2所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数的对称变换，伸缩变换，平移变换，即可求解． 【解答过程】函数的图象如图①关于轴对称可得，    再将的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得，    再将的图象向右平移2个单位得，即得    再将的图象沿轴翻折可得，即得图2． 故选：B． 4．（2025·全国·模拟预测）已知函数的图像如图所示，则此函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】通过函数的定义域排除AB，计算特殊值排除D，得到答案. 【解答过程】的定义域为，不符合函数图像，A不满足； 的定义域为，不符合函数图像，B不满足； ，，不符合函数图像，D不满足. 故选：C. 5．（2025·甘肃白银·一模）箕舌线是平面曲线的一种，因其状如舌而得名.若箕舌线的部分图象如图所示，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用排除法，结合奇偶性，单调性逐个判断即可. 【解答过程】，排除A. 既不是奇函数，也不是偶函数，排除D. 在上单调递减，排除C. 的图象符合题中图象，B正确. 故选：B. 6．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知定义在R上的偶函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用偶函数的图象特征，将不等式转化成或 【解答过程】根据偶函数的图象特征， 可知当时，，当时， 由，得， 等价于或 解得，或． 所以不等式解集为： 故选：D. 7．（2025·浙江·模拟预测）如图①，在矩形中，动点从点出发，沿的方向运动，当点到达点时停止运动．过点作交于点，设点的运动路程为，图②表示的是与的函数关系的大致图象，则矩形的面积是（    ） A．20 B．18 C．10 D．9 【答案】A 【解题思路】设，则，由正切值，代入数值后得出二次函数关系，再结合图象和对称轴，顶点坐标求出，最后求出面积即可. 【解答过程】由图②可知，，设，则， 如图，当点在上时， 则， 因为，所以， 即，化简为， 当时，代入上式并结合图②可得， 解得或（舍去），所以， 所以矩形的面积是， 故选：A. 8．（2025·河北·二模）已知函数，其中为常数，若函数 的图象如图所示，则（   ）    A．的图象与坐标轴有三个交点 B．的图象的对称轴在轴左侧 C．关于的方程有两个不等实根 D．在区间上单调递增 【答案】D 【解题思路】由指数型函数的性质图象求得参数，根据二次函数的性质，结合相关函数的单调性，逐项检验即得. 【解答过程】因，函数的图象在上为减函数，则，即得，又图象经过点，即，故得，解得， 于是，，易得该抛物线开口向上，顶点坐标为， 对于A，因函数在上单调递增， 则，即的图象与轴没有交点， 又的图象与轴有唯一交点，即的图象与坐标轴只有一个交点，故A错误； 对于C，关于的方程的实根个数，等于直线与曲线的交点个数， 由A项，因，则直线与曲线的交点个数为0，故C错误； 对于B，的图象的对称轴是直线，在轴右侧，故B错误； 对于D，因的图象对称轴：，在区间上单调递增，故D正确. 故选：D. 二、多选题 9．（2025·湖南娄底·模拟预测）下列函数，其图象平移后可得到函数的图象的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】利用函数图象变换依次判断可得出结论. 【解答过程】对于A，函数的图象向右平移1个单位长度可得到函数的图象，故A正确； 对于B，函数的图象向上平移2个单位长度可得到函数的图象，故B正确； 对于C，函数的图象上点的横坐标伸长为原来的2倍可得到函数的图象，故C错误； 对于D，函数，其图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，故D正确． 故选：ABD. 10．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）下列可能是函数（其中）的图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】BCD 【解题思路】根据题意，结合各选项中函数的定义域及函数图象与轴的交点，可得答案． 【解答过程】A选项中的图象关于y轴对称，是常函数但是不能是常函数，A选项错误； B选项中的图象关于原点对称，可得函数的定义域为，可得，函数满足题意，B选项正确； C选项中的图象，由定义域得，由图象在y轴截距为正得，当时，符合条件，C选项正确； D选项中的图象，由定义域得，由图象在y轴截距为零得，当时，符合条件，D选项正确； 故选：BCD. 11．（2026高三·全国·专题练习）（多选）函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解题思路】由函数的定义域可判断的符号，分别令可判断的符号. 【解答过程】函数的定义域为， 由图可知，则， 由图可知，所以， 由，得， 由图可知，得，所以， 综上，． 故选：AB. 三、填空题 12．（2025·全国·模拟预测）把函数的图象上各点的横坐标扩大到原来的倍，得到的图象对应的函数解析式是 ． 【答案】 【解题思路】利用指数函数图像平移的性质求解即可. 【解答过程】因为，所以，且设新函数为， 因为把函数的图象上各点的横坐标扩大到原来的倍， 所有，故新函数为，即. 故答案为：. 13．（24-25高一上·北京海淀·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为 . 【答案】 【解题思路】根据给定的图象，可得函数的单调性，再分段求解不等式. 【解答过程】观察图象知，奇函数在上单调递增，则在上单调递增，且， 不等式，当时，不等式成立； 当时，，解得； 当时，，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14．（2025·全国·模拟预测）如图，函数的图象为折线，且线段的中点坐标为，则不等式的解集是 ． 【答案】 【解题思路】先作函数图象，再求交点，最后根据图象确定解集. 【解答过程】根据题意有：， 在同一坐标中作出函数与的图象: 当时，，所以与的交点为， 由图可有的解集为：. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·山西晋中·期中）已知函数. (1)求； (2)若，求的值； (3)画出平面直角坐标系，作出函数的图象. 【答案】(1)0； (2)或或 (3)图像见解析 【解题思路】（1）由函数解析式即可求解； （2）由解析式分类讨论求解即可； （3）由解析式即可直接作图； 【解答过程】（1）， （2）， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上的值为：或或 （3） 16．（24-25高一上·全国·课前预习）给定函数，，． (1)在同一直角坐标系中画出函数，的图象； (2)，用表示，中的较大者，记为．请分别用图象法和解析法表示函数． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【解题思路】（1）根据一次函数和二次函数的图象特征画图即可； （2）根据题意可得的图象，再结合图象求解即可. 【解答过程】（1）同一直角坐标系中函数，的图象如下：    （2）结合的定义，可得函数的图象：    由，得，解得，或． 由图易知的解析式为. 17．（2025高三·全国·专题练习）如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C，D，A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数的解析式并画出的图象. 【答案】，作图见解析 【解题思路】由题意，分析点在正方形不同的边上运动时三角形的面积即可写出分段函数得解. 【解答过程】当点P在上运动，即时，； 当点P在上运动，即时，； 当点P在上运动，即时，. 综上可知，， 画出图象如下图所示： 18．（2025·上海金山·三模）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成． (1)已知，求的取值范围； (2)若方程存在实数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将点的坐标分别代入函数、的解析式，求出、的值，可得出函数的解析式，然后利用函数的定义域、单调性结合可得出关于的不等式组，由此可求得实数的取值范围； （2）分析可知的取值范围即为函数的值域，可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围. 【解答过程】（1）由题意可得，解得，故. 因为函数在上严格减， 由可得，解得， 因此，实数的取值范围是. （2）因为方程存在实数解，即方程存在实数解， 则的取值范围即为函数的值域， 由题图可知，函数的值域为，故函数的值域为， 所以，即，解得或， 因此，实数的取值范围是. 19．（24-25高一上·四川成都·期末）已知函数的图象由曲线段OA：（其中，且）和射线AB构成，如图所示． (1)求的解析式； (2)在同一坐标系中，作出函数的大致图象，并从“形”的角度直观判断方程的实根个数，再从“数”的角度加以严格验证． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）根据图象所过的点求不同区间上的解析式，进而写出函数的分段函数形式； （2）根据解析式画出函数大致图象判断实根个数，再讨论不同区间，应用方程思想及零点存在性定理确定各区间零点个数，即可得答案. 【解答过程】（1）在曲线段OA中，由，即 又，且，解得 设射线AB：．由，解得 故所求解析式为. （2）函数的大致图象如图 从“形”的角度直观判断： 因为函数与的图象有且仅有两个交点， 所以方程，即有且仅有个不等实根． 从“数”的角度严格论证如下： 显然，只考虑的情形． ①当时，函数在上单调递增． 而且，，所以在有且仅有一个零点． 所以方程，即在有且仅有个实根． ②当时，由，得，即． 解得，或（舍去）． 所以方程在有且仅有个实根． （或解：因为函数在上单调递增． 且，，所以在有且仅有一个零点． 综上所述，方程有且仅有个不等实根． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三数学上学期期中仿真模拟试卷01 （考试范围：集合与常用逻辑用语、复数、等式与不等式、函数与导数、平面向量、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何、统计概率） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，集合，则（　　） A. B. C. D. 2．已知复数为虚数单位，若为纯虚数，则（　　） A. B. 20 C. D. 6 3．已知，命题是一元二次方程的一个根，命题，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 5．已知随机事件互相独立，满足，，则（　　） A. B. C. D. 6．已知菱形的边长为2，，是菱形内一点， 若，则（ ） A B. C. D. 2 7．在锐角中，记内角A，B，C对边分别为a，b，c，若，则A的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8．已知实数满足，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则下列命题正确的是（　　） A. 若的最小正周期为2，则 B. 当时，将函数的图象向右平移个单位长度得函数的图象 C. 当时，在取区间上单调递减 D. 若在区间上恰有一个零点，则的取值范围是 10．已知函数，则（　　） A. 当时，在R上单调递增 B. 当时，有1个极值 C. 过点且与曲线相切的直线恰有两条 D. 恒成立 11．已知边长为2的菱形，且，沿对角线折起，使点不在平面内，为的中点，在翻折过程中，则（　　） A. 平面平面 B. 当时，直线与平面所成角的余弦值为 C. 当二面角的大小为时，点在三棱锥的表面上运动，且，则点运动轨迹长度为 D. 当二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知角满足，则__________． 13．已知不等式 的解集 若对，不等式 成立，则实数m的最大值为_____________ 14.设函数，，其中，．若，，则的最小值为______；若恒成立，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算过程． 15．（13分） 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A； （2）若边上中线的长度为，求面积的最大值. 16．（15分） 已知函数． （1）当时，求函数的最大值； （2）若函数的图像关于点中心对称，求实数的值． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，底面，，，，，，点M在侧棱上运动. （1）证明：平面平面； （2）当直线与直线所成的角最小时，求三棱锥的体积. 18．（17分） 某班准备在周六和周日两天分别进行一次环保志愿活动，分别由李老师和王老师负责通知，已知该班共60名学生，每次活动需40人参加，假设李老师和王老师通过“家校通”平台分别将通知独立、随机地发给60位学生家长中的40人，且保证所发通知都能收到． （1）求该班甲同学家长收到李老师或王老师通知的概率； （2）设该班乙同学家长收到通知的次数为，求的分布列及数学期望； （3）设两次都收到通知的人数为变量，则的可能取值有哪些？并求出取到其中哪一个值的可能性最大？请说明理由． 19．（17分） 设，是实数，函数． （1）当时， （ⅰ）讨论函数的单调性； （ⅱ）若在上恒成立，求的值． （2）当时，证明：函数有两个极值点，且． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.7 函数与方程（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 函数零点所在区间的判断】 2 【题型2 求函数的零点或零点个数】 4 【题型3 根据函数零点个数求参数】 6 【题型4 根据函数零点的分布范围求参数】 9 【题型5 求零点的和】 11 【题型6 复合函数的零点问题】 14 【题型7 用二分法求方程的近似解】 17 【题型8 函数零点的大小与范围问题】 19 1、函数与方程 考点要求 真题统计 考情分析 (1)理解函数的零点与方程的解的联系 (2)理解函数零点存在定理，并能简单应用 (3)了解用二分法求方程的近似解 2023年新课标I卷：第15题，5分 2024年新课标Ⅱ卷：第6题，5分 2025年天津卷：第7题，5分 2025年上海卷：第21题，18分 函数的零点问题是高考常考的重点、热点内容，从近几年的高考形势来看，一般以选择题与填空题的形式出现；函数与方程的综合应用也是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大，一般出现在压轴题位置. 知识点1 确定函数零点所在区间的方法 1．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 知识点2 函数的零点个数和求参问题 1．函数零点个数的判断方法 函数零点个数的判定有下列几种方法： (1)直接法：直接求零点，令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点. (2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点. (3)图象法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. (4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数. 2．已知函数零点求参数的方法 (1)已知函数的零点求参数的一般方法 ①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数； ②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； ③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解. (2)已知函数零点个数求参数范围的方法 已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围. 知识点3 嵌套函数的零点问题 1．嵌套函数的零点问题的解题策略 函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”,设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解. 【题型1 函数零点所在区间的判断】 【例1】（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【解答过程】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B. 【变式1-1】（2025·河北沧州·二模）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可. 【解答过程】因为与均在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， 又， ，， ， 又， 函数的零点所在区间是． 故选：B． 【变式1-2】（2025·广东·模拟预测）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题可得在上单调递增，后由零点存在性定理结合幂函数，指数函数单调性可判断选项正误. 【解答过程】注意到函数图象在上连续不间断，因为在上均单调递增，则在上单调递增. 对于A，.因函数在上单调递增，所以，则在上无零点，故A错误； 对于B，因为在上单调递减，则，结合，故在上存在零点，故正确； 对于CD，由于在上单调递增，，可知C､D都是错误的. 故选：B. 【变式1-3】（24-25高二下·云南·期中）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，确定函数单调性，利用零点存在性定理判断得解. 【解答过程】函数在上都单调递增，则函数在定义域上单调递增， 而，， 所以的零点所在区间为. 故选：C. 【题型2 求函数的零点或零点个数】 【例2】（2025·山东青岛·二模）函数的零点为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【解题思路】令，解出即可. 【解答过程】因为， 令，解得， 即函数的零点为1. 故选：B. 【变式2-1】（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）函数的零点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解题思路】当时，将函数的零点个数转化为函数与函数，在上的交点个数，利用数形结合即得；当时，解方程，即得. 【解答过程】当时，， 则函数的零点个数为函数与函数，的交点个数， 作出两个函数的图象如下图所示， 由图可知，当时，函数的零点有两个， 当时，，可得或(舍去) 即当时，函数的零点有一个； 综上，函数的零点有三个. 故选：C. 【变式2-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，则函数的零点为（    ） A．1 B．0 C．e D． 【答案】C 【解题思路】先根据函数解析式，求出的解析式，再由函数的零点定义，解对数方程即得. 【解答过程】由可得， 由可得，，解得. 故选：C. 【变式2-3】（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）设定义域为的函数，则关于的函数的零点的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解题思路】先求解方程，再根据图象确定零点个数. 【解答过程】方程的解为或，作出的图象，由图象可知零点的个数为6． 故选：C. 【题型3 根据函数零点个数求参数】 【例3】（2025·陕西西安·一模）已知函数，，若有一个零点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用零点的意义将问题转化为函数的图象与直线交点，再利用数形结合求出范围. 【解答过程】由，得，因此有一个零点， 当且仅当函数的图象与直线有且仅有一个公共点， 函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为R， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线的图象， 观察图象知，当时，函数的图象与直线有两个交点， 当时，函数的图象与直线有1个交点， 所以m的取值范围是. 故选：C. 【变式3-1】（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数，，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令，作出函数函数的大致的图象，结合图象得出关于x的方程根的情况，再根据一元二次方程根的分布情况分类讨论即可得解. 【解答过程】由题意，作出函数的大致图象，如图． 令，由图可知，当时，关于的方程有2个不同的实数根； 当时，关于的方程无实数根； 当或时，关于的方程只有1个实数根． 因为关于的方程有3个不同实数根， 所以关于的方程的一个根在内， 另一个根在内，或一个根为0，另一个根在内． 当为方程的根时，，且方程的另一根为． 当时，方程的另一个根为，不符合题意； 当时，方程的另一个根为，不符合题意． 当为方程的根时，有，则或． 当时，方程的另一个根为，不符合题意； 当时，方程的另一个根为，不符合题意． 所以关于的方程的一个根在内，另一个根在内． 令， 则即解得． 综上所述，实数的取值范围是． 故选：B. 【变式3-2】（2025·湖南·二模）若函数与直线恰有三个交点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】画出函数的图象，结合图像求解即可. 【解答过程】画出的图象， 由图象可知a的范围是. 故选：D. 【变式3-3】（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期中）已知函数若函数恰有3个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用函数零点的意义，将问题转化为曲线与曲线有三个交点，作出函数图象，数形结合求解. 【解答过程】令，得， 依题意，曲线与曲线有三个交点，如图， 当时，曲线与曲线只有一个交点，不符合题意； 当时，若使得曲线与曲线有三个交点， 则，解得，所以实数a的取值范围为. 故选：B. 【题型4 根据函数零点的分布范围求参数】 【例4】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】令，分析可知函数在上为增函数，且该函数在区间内有零点，可得出，即可解得实数的取值范围. 【解答过程】当时，由可得， 令， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 【变式4-1】（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数单调性结合零点存在性定理列式计算即可. 【解答过程】因为在上单调递增， 所以，即， 解得． 故选：D. 【变式4-2】（24-25高一上·河南开封·期末）已知是函数的零点，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结果. 【解答过程】因为函数、在上均为增函数，故函数在为增函数， 因为，，，则， 由零点存在定理可得，又因为，，故. 故选：B. 【变式4-3】（2025·四川巴中·一模）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（    ） A． B．或. C． D．或. 【答案】D 【解题思路】根据题意，分和，结合二次函数的性质，以及零点存在性定理，列出不等式，即可求解. 由函数， 【解答过程】由函数， 若，可得，令，即，解得，符合题意； 若，令，即，可得， 当时，即，解得，此时，解得，符合题意； 当时，即且，则满足， 解得且， 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 综上可得，实数的取值范围为或. 故选：D. 【题型5 求零点的和】 【例5】（2025·甘肃张掖·模拟预测）函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．-1 C． D．2 【答案】A 【解题思路】令，即，构造函数与函数，画出函数图象，可知两个函数图象相交于两点，设为，得，进而得到，即 【解答过程】由零点定义可知，函数的零点，就是方程的实数根，令， 则，显然，所以， 构造函数与函数，则方程的根， 可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点， 所以此方程有两个实数根，即函数有两个零点， 设为，所以，， 即， 另外发现，将代入，可得， 所以也是函数的零点，说明，即. 故选:A. 【变式5-1】（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知函数的零点分别为，，，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【解题思路】将问题转化为与、、的交点横坐标，结合指数函数与对数函数的对称性计算可得. 【解答过程】由题设，，，， 所以问题可转化为与、、的交点问题，函数图象如下： 因为与关于对称，而与互相垂直， 所以，，则. 故选：A. 【变式5-2】（2025·山东·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A． B．ln2 C．0 D．1 【答案】C 【解题思路】根据指数函数、反比例函数的性质及图象的平移变换可知：函数与函数的图象共有两个交点，不妨设两个交点的横坐标分别为，，则，是方程的解.根据是方程的解得，再由对称性可知是方程的解，即可求解. 【解答过程】∵， ∴函数的图象由的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的. 根据反比例函数的性质可知在和上单调递减，又在上单调递增， 故在同一平面直角坐标系下画出函数与函数的图象如下图所示. 由图可知：函数与函数的图象共有两个交点， 不妨设两个交点的横坐标分别为，，则，是方程的解. 若是方程的解，即. 又，∴是方程的解， ∴，则. 故选：C. 【变式5-3】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【解题思路】方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，作出函数与的图象，根据数形结合计算即可得出结果. 【解答过程】由题意得：为R上的增函数，且 当时，，， 当时，，， 方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点， 作出函数与的图象如下图所示： 由图可知与图象关于对称， 则两点关于对称，中点在图象上， 由，解得：. 所以. 故选：B. 【题型6 复合函数的零点问题】 【例6】（2025·山东临沂·三模）已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意对实数进行讨论，分，，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解. 【解答过程】⑴ 当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，函数图象如下： 令，，解得或， 即或，根据图象有2个解，有1个解， 所以此时有3个零点，不符合题意； 当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，在单调递减，函数图像如下： 令，，解得或或， 根据图象有2个解，有3个解， 又有8个零点，所以要有3个解， 即，解得， 故选：D. 【变式6-1】（2025·贵州毕节·一模）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解题思路】由可得或，作出图形，结合图形即可求解. 【解答过程】由题意，令，解得或， 作出的图象，如图，    由图可知，直线与图象有3个交点， 直线与图象有4个交点， 所以原方程有7个解， 即函数有7个零点. 故选：C. 【变式6-2】（2025·安徽池州·二模）已知函数，若有4个互不相同的根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求解方程，得到的表达式，再结合函数的图象，分析取不同值时方程根的个数，进而确定的取值范围. 【解答过程】令，则方程可转化为. 对进行因式分解可得，则，. 所以或. 当时，，因为指数函数在上单调递增，所以在上单调递增，且. 当时，，对其求导，. 令，即，解得（）. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在处取得极小值，也是最小值，. 对于： 当时，，即，，解得，有个根. 因为有个互不相同的根，已经有个根，所以需要有个不同的根. 结合的图象可知，当时，与有个不同的交点，即有个不同的根. 的取值范围为. 故选：B. 【变式6-3】（24-25高一上·河北邯郸·期末）为定义在上的偶函数，当时，，，若函数有4个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】画出函数，的图象，数形结合对分类讨论可得结果. 【解答过程】画出函数，的图象，的零点个数即为方程的根的个数，设，则， （1）当时，无实数根，则无实数根； （2）当时，有两个实数根，其中，，有一个实数根，无实数根，所以共有1个实数根； （3）当时，有三个实数根，，，其中，，，有一个实数根，有一个实数根，无实数根，所以共有2个实数根； （4）当时，有四个实数根，，，，其中，，，，有一个实数根，有一个实数根，有两个实数根，无实数根，所以共有4个实数根； （5）当时，有两个实数根，，其中，，有一个实数根，有一个实数根，所以共有两个实数根； （6）当时，无实数根，则无实数根；综上所述，实数的取值范围为. 故选：B． 【题型7 用二分法求方程的近似解】 【例7】（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】二分法每次取区间中点，区间长度变为原来的一半，由题可得区间初始长度为，则第一次使用二分法后区间长度变为，第二次使用二分法后区间长度变为，第三次使用二分法后区间长度变为，以此类推，当区间长度小于精确度时即可停止. 【解答过程】解：原始区间长度为， 第一次，区间长度减半，为， 第二次，区间长度减半，为， 第三次，区间长度减半，为， 第四次，区间长度减半，为， 故至少需要重复四次. 故选：B. 【变式7-1】（25-26高一上·全国·课后作业）用二分法求函数在区间上零点的近似解，经验证有．若给定精确度，取区间的中点，计算得，则此时零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，用二分法进行求解即可. 【解答过程】由题意可知，对于函数在区间上，有， 所以函数在上有零点．取区间的中点． 因为计算得，所以函数在上有零点，故． 故选：A. 【变式7-2】（2025高三下·全国·专题练习）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（   ） A．   B．     C．   D．   【答案】A 【解题思路】结合结论二分法只能求变号零点，结合图象确定正确选项. 【解答过程】根据二分法的概念可知二分法只能求变号零点， 观察选项A中的函数图象可知该函数没有变号零点，观察选项BCD中的函数图象可知对应的函数都存在变号零点， 所以选项A中函数不能用二分法求零点． 故选：A. 【变式7-3】（24-25高一·全国·课后作业）用二分法求方程的根的近似值时，令，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989 则由表中的数据，可得方程的一个近似解（误差不超过0.1）为（    ） A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875 【答案】B 【解题思路】由图表知，故由二分法思想再取的中点，当区间长度小于精确度时便得到近似解. 【解答过程】因为，故根据二分法的思想，知函数的零点在区间内， 但区间的长度为，因此需要取的中点1.312 5， 两个区间和中必有一个满足区间端点的函数值符号相异， 又区间的长度为，因此1.312 5是一个近似解． 故选：B. 【题型8 函数零点的大小与范围问题】 【例8】（2025·内蒙古赤峰·二模）设函数 的零点分别为a,b,c, 则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分析可知与的交点横坐标分别为a,b,c,结合图象分析判断大小. 【解答过程】令， 可得， 可知与的交点横坐标分别为a,b,c, 在同一坐标系内作出，的图象， 根据图象可知：与有2个交点，但均有， 所以. 故选：A. 【变式8-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若方程有四个根，且，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分析函数的性质，作出函数图象，再逐项判断即可. 【解答过程】函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 方程的根是直线与函数图象交点的横坐标， 方程有四个根，即直线与函数图象有4个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图， 观察图象知，，，AD正确； 显然，而，则，即，， ，B正确； 显然，，C错误. 故选：C. 【变式8-2】（24-25高一上·广东佛山·期末）已知函数. (1)讨论函数的零点个数； (2)若有两个零点有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）由函数的零点转化为方程的根，设，利用数形结合法求解； （2）先根据有两个零点和有两个零点，得到，然后由，，利用对数运算构造求解. 【解答过程】（1）解：函数的零点即方程的根， 设， 则函数的零点个数转化为方程根的个数. ， 显然在上单调递减，在上单调递增， 故. 所以，当时，没有零点； 当时，有1个零点； 当时，有2个零点. （2）由（1）知有两个零点，则， 有两个零点，则有两个根， 令，则有两个不同的交点， 如图所示： 则，综合可得. 结合（1）即，可知，即. 同理可求得， 所以， ， 当且仅当即取等号，所以. 因此的取值范围为. 【变式8-3】（2025·海南·模拟预测）已知函数． (1)若，判断并证明的单调性； (2)当时，若函数有两个不同的零点，． （ⅰ）求m的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)在上单调递增； (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【解题思路】（1）若时，，对其求导得，设，求导得，求其单调性再判断的单调性； （2）（ⅰ）当时，可化为，令，求导得，求其单调性，找到最小值，根据题意求m的取值范围即可； （ⅱ）要证明，即证，只需要证，即证，令，根据导函数求其单调性，然后证明即可. 【解答过程】（1）若时，，求导得， 设，求导得， 令，解得， 当时，，则即单调递减； 当时，，则即单调递增； 所以在处取得最小值， 因为，所以， 即在上恒成立，所以在上单调递增. （2）（ⅰ）当时，可化为， 令，求导得， 令，因为，所以，解得. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以的最小值为， 当时，；当时，. 函数有两个不同的零点，， 即与在上有两个不同交点， 所以的取值范围是； （ⅱ）由（ⅰ）可知，要证明，即证， 因为，且在上单调递增， 所以只需要证，又因为， 所以只需要证，即证， 即证，两边同时除以，得， 化简为，因为， 所以只需证，即证 令， 求导得， 令， 求导得在上恒成立， 所以在上单调递增， ， 即在上恒成立，所以在上单调递减， 所以， 即，故， 即，所以. 一、单选题 1．（2025·湖北十堰·模拟预测）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据零点存在性定理即可求解. 【解答过程】函数的定义域为，因为在上连续且为增函数． 且，则． 由零点存在定理可知，函数 的零点所在的区间是． 故选：C. 2．（2025·北京昌平·二模）已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．（，1） D． 【答案】B 【解题思路】将函数解析式化为分段函数，分、和三种情况讨论，结合函数的单调性，求出特殊点处的函数值，即可得到不等式组，从而确定的取值范围. 【解答过程】因为， 若时，，则有且仅有一个零点，不符合题意； 若 ，当时，， 则在上单调递增，且， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且， 要使恰有三个零点，则，解得； 若 ，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减，且， 当时，， 所以在上单调递增，且， 要使恰有三个零点，则，解得； 综上可得实数的取值范围是. 故选：B. 3．（2025高一·全国·专题练习）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【解题思路】根据二分法求方程的的近似解以及零点存在定理得出零点存在区间即可. 【解答过程】由表格可得，函数的零点在区间内. 结合选项可知，方程的近似解可取为1.8. 故选：C. 4．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】分析函数的性质并作出其图象，数形结合求出实数的取值范围. 【解答过程】当时，函数在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为； 当时，在上递增，函数值集合为R， 在直角坐标系内作出函数的图象与直线，    由图象知，当或时，直线与函数的图象有两个交点， 即方程有两个实数解. 故选：C. 5．（2025·浙江·二模）定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间内的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】由题设条件可得，从而可先分析在上的零点个数为1，再结合前者可得内的零点个数. 【解答过程】因为，故，故， 即， 而当时，， 故当时，，故， 故， 当时，， 而在上为减函数，在为增函数， 故在有有且只有一个实数解为； 当时，， 而，故，此时在上无解； 故当时，，则， 结合上的性质可得在上有且只有一个实数解， 且该实数解为，在无实数解， 而且， 故在上的实数解为，，， ，共4个实数解， 故共有4个不同的零点. 故选：B. 6．（2025·云南曲靖·一模）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（   ） A． B． C． D．2025 【答案】D 【解题思路】根据题意可得，利用函数得单调性可得，运算得解. 【解答过程】由题可得，可得， 因为函数在上单调递增， 所以，则. 故选：D. 7．（2025·北京门头沟·一模）已知函数，其中表示不超过的最大整数，例如，，则下列说法正确的是（   ） A．不存在，使得有无数个零点 B．有3个零点的充要条件是 C．存在，使得有4个零点 D．存在，使得有5个零点 【答案】D 【解题思路】由题意知，是函数的一个零点，时，，可得，令，分类讨论即可得出结论. 【解答过程】由题意知，是函数的一个零点， 时，，可得， 令，得到函数图象 当时；；； 当时；；； 由函数图象可知的值域为，注意到一定是函数的一个零点， 对于选项A，当时，有无数个零点，故A错误； 对于选项B，有3个零点的充要条件是，故B错误； 对于选项C，不存在，有4个零点，故C错误; 对于选项D，当时,有5个零点，D正确. 故选：D. 8．（2025·陕西西安·二模）已知函数，若函数的四个零点从小到大排列依次为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】条件可转化为以函数的图象与函数的图象有四个交点，作函数的图象，观察图象可得，，结合条件及对勾函数性质求的范围可得结论. 【解答过程】因为函数有四个零点，所以方程有四个根， 所以方程有四个根， 所以函数的图象与函数的图象有四个交点， 作函数的图象可得 观察图象可得，，且， 所以，所以， 所以，故， 令可得，，故， 所以， 所以， 因为函数在上单调递减， 所以，即， 又， 所以， 所以的取值范围为， 故选：D. 二、多选题 9．（2025·四川达州·模拟预测）若实数都是一次函数的零点，则下列不等关系中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】首先由条件转化为，再结合函数图象的交点情况，即可判断选项. 【解答过程】由题意可得，，即，在同一坐标系下作出的图象如图. 根据图象可知，时，，时，，有或，故B错误； 若，则，所以，故A正确； 若，则，所以，故D正确； 当时，单调递增，因为，所以，使得，所以，即，故C正确. 故选：ACD. 10．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，则（   ） A．的零点个数为2 B．当时，有2个不同的零点 C．当时，有4个不同的零点 D．是有1个零点的充要条件 【答案】BC 【解题思路】求出零点判断AB；令，利用韦达定理确定方程根的范围，结合函数图象判断CD. 【解答过程】对于A，当时，，当且仅当取等号， 当时，由，，解得，因此的零点个数为1，A错误； 对于B，当时，由，得或， 当时，在上单调递增，，， ，则由，得；由，得，有2个不同的零点，B正确； 对于C，令，由，得，， 当时，方程有两个不等实根，则， ，，因此，函数的图象，如图： 直线与的图象有两个交点，则方程有两个不等的负根， 直线与的图象有两个交点，则方程有两个不等的正根， 因此有4个不同的零点，C正确； 对于D，当时，由选项C知，方程有两个不等实根， 则，，，因此， 观察图象知，直线、与的图象没有交点，即无零点，D错误. 故选：BC. 11．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．6个零点之和是6 【答案】BD 【解题思路】根据题意，利用函数的图象变换，得到函数的图象关于直线对称，令，得到关于的方程，结合二次函数的图象与性质，即可求解. 【解答过程】由函数的图象，经过轴翻折变换，可得函数的图象， 再向右平移1个单位，可得的图象， 最终经过轴翻折变换，可得的图象，如图所示， 则函数的图象关于直线对称，令， 因为函数最小的零点为，且， 故当时，方程有4个零点， 所以要使函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则或， 由，可得或， 设的四个根从小到大依次为， 由函数的图象关于直线对称，可得， 所以的所有零点之和是6，故D正确； 关于的方程的两个实数根为和， 由韦达定理，得，所以B正确，A，C错误. 故选：BD. 三、填空题 12．（2025·山东·模拟预测）函数的零点为 . 【答案】5 【解题思路】令，得解出即可求解. 【解答过程】令，得，所以，解得或（舍去）. 故答案为：5. 13．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数是奇函数，则函数的零点个数为 ． 【答案】2 【解题思路】由函数奇偶性求得，再结合一元二次方程求解即可. 【解答过程】因为为奇函数， 所以， 联立解得：，经验证符合题意， 所以，， 令， 当时，得：，解得：， 当时，得：，解得：， 所以函数的零点个数为2. 故答案为：2. 14．（2025·北京海淀·三模）已知函数，若函数有三个零点，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】分离变量，转化成与的交点问题，作出的图像，即可得到答案. 【解答过程】易知为的零点，当时，令，得， 令，可得到，作出的图像， 如下图，依题意，只需与有两个交点即可. 由图可得. 故答案为：.    四、解答题 15．（2025·河南·模拟预测）设且，函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数在区间上有零点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）化简不等式为，按照和分类讨论，利用对数函数的单调性解不等式即可； （2）将零点问题转化为有解，设，则，利用函数的单调性求解参数范围即可. 【解答过程】（1）当时，不等式可化为， 若，则，解得， 所以不等式的解集为； 若，则，解得， 所以不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； （2）由题意可知， 令，即，因为，所以， 所以，所以， 设，则， 因为函数在上单调递减， 所以，所以. 16．（24-25高一上·江西萍乡·期末）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)用二分法求方程在区间上的一个近似解（精确度为0.1）． 【答案】(1)在单调递增，证明见解析 (2)2.6（内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解） 【解题思路】（1）根据题意结合单调性的定义分析证明； （2）根据单调性以及零点存在性定理可知在内有且仅有一个零点，结合二分法分析求解. 【解答过程】（1）在单调递增；证明如下： 任取，不妨设，， 因为，则，，， 可得，即， 所以在上单调递增. （2）因为函数在区间上是连续且单调的， 可知其在区间上的零点即为方程在区间上的解， 且，，可得在内有且仅有一个零点， 在区间上利用二分法列表如下： 区间 中点 中点函数值 区间长度 1 此时解在区间，此区间长度为，，满足精确度为0.1，故区间， 即内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解，比如2.6是方程在上的一个近似解． 17．（2025·河南·模拟预测）已知，函数. (1)若，求的值； (2)若分别为的零点，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据两函数值相等利用对数与指数运算的互化解方程即可得； （2）由零点定义代入函数表达式，再由对数函数单调性可知，即可得. 【解答过程】（1）由可得，即， 所以， 又，所以，因此； 因为，即， 解得； （2）因为分别为的零点，所以， 即，也即， 又因为，所以在上单调递增， 由可得， 与联立可得。 所以. 18．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数. (1)判断并用定义证明在上的单调性； (2)若函数恰有4个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据函数的单调性定义即可证明； （2）令可得或.由函数零点与方程根的关系结合函数的图象即可求解. 【解答过程】（1）在上单调递增. 证明如下：当时，.设， 则. 因为，所以，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）的图象如图所示. 因为函数恰有4个零点， 所以方程恰有4个解. 即或共有4个解. 由图知，且或或， 解得或或， 即实数的取值范围为. 19．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【答案】(1)不是； (2)； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）直接代入计算和即可； （2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案； （3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可. 【解答过程】（1）（1），，则不是中的元素. （2）法一：因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上也严格单调递增， 则，则， 令，解得，则， 则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点， 由图知，假设交点分别为，， 联立方程组得 （3）（3）对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.8 函数模型及其应用（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程】 2 【题型2 利用给定函数模型解决实际问题】 4 【题型3 二次函数模型的应用】 5 【题型4 分段函数模型的应用】 6 【题型5 幂函数模型的应用】 7 【题型6 指数、对数函数模型的应用】 8 【题型7 函数模型的选择问题】 9 1、函数模型及其应用 考点要求 真题统计 考情分析 (1)了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异 (2)理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义 (3)会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用 2020年新高考全国I卷：第6题，5分 2020年全国IⅡ卷：第4题，5分 2024年北京卷：第7题，5分 2025年北京卷：第9题，5分 函数模型是高考数学的重要内容之一，从近几年的高考形势来看，高考对函数模型的考查相对稳定，主要考察指、对数函数模型问题，一般以选择题的形式出现，难度不大；学生在复习中要加强对建模能力和应用能力的培养. 知识点1 几种常见的函数模型 1．一次函数模型 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. 2．二次函数模型 二次函数模型：f(x)=+bx+c(a,b,c为常数，a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值问题常用到二次函数模型. 3．幂函数模型 幂函数模型应用的求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. 4．指数函数模型 指数函数模型：(a,b,c为常数，a>0，且a≠1，b≠0). 5．对数函数模型 对数函数模型：(a,b,c为常数，a>0，且a≠1，b≠0). 6．分段函数模型 由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用. 7．“对勾”函数模型 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+(a>0,b>0)，当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用. 知识点2 判断函数图象与实际问题变化过程 1．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象. (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况. 知识点3 实际问题中函数建模的基本步骤 1．构造函数模型解决实际问题的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 【题型1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程】 【例1】（24-25高二下·北京大兴·阶段练习）水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度与时间的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·云南红河·期中）某企业员工小李的住处与他的办公室相距，某天下班后，小李发现有份重要材料丢在办公室，于是他从住处出发，先匀速跑步3min来到办公室，停留2min，然后匀速步行10min返回住处．在这个过程中，小李行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（    ） A．①④ B．②③ C．④① D．③② 【变式1-2】（24-25高一上·全国·课后作业）两车分别从甲乙两市同时出发，从甲市驶向乙市，从乙市驶向甲市，两车同时出发并匀速行驶，两车之间距离（单位：km）与行驶时间（单位：h）的关系如下图，已知的速度大于的速度，则下列说法中错误的是（    ）    A．甲市与乙市之间的距离为 B．两车在出发后相遇 C．点表示在出发后时到达了甲市 D．点表示在出发后时两车都到达了目的地 【变式1-3】（24-25高二下·山东滨州·期末）如图，等腰梯形ABCD 的上底CD=1，下底AB=3，高为1．记等腰梯形ABCD 位于直线x=t(0≤t≤3)左侧的图形的面积为 f(t)，则f(t)随t变化时的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【题型2 利用给定函数模型解决实际问题】 【例2】（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【变式2-1】（2025·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（   ）倍.（参考数据：，） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2-2】（2025·福建莆田·模拟预测）点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传播时，衰减量（单位：）与传播距离（单位：）的关系式为，其中为常数.当传播距离为时，衰减量为；当传播距离为时，衰减量为.若，则约为（   ）（参考数据：） A．6dB B．4dB C．3dB D．2dB 【变式2-3】（2025·北京海淀·二模）中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中，为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的最低一行“”形视标的笔划宽度（单位：毫米），为眼睛到视标的距离（单位：米），如图1所示，是与无关的常量．图2是标准视力表的一部分，一个右眼视力值为5.0的人在距离该视力表5米处进行检测，能分辨的最低一行视标为图2中虚线框部分．因条件所限，小明在距离该视力表3米处进行检测，若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为图2中虚线框部分，不考虑其它因素的影响，则与小明右眼的实际视力值最接近的为（    ）（参考数据：） A．4.5 B．4.6 C．4.8 D．5.0 【题型3 二次函数模型的应用】 【例3】（2025高三·全国·专题练习）某新能源汽车公司设计充电桩布局，要求每个充电区的长度为米，宽度为米.根据城市规划要求，米，且充电桩间隔距离需满足.为使充电区有效面积最大，应选择的尺寸是（　　） A．米，米 B．米，米 C．米，米 D．米，米 【变式3-1】（24-25高三上·全国·课前预习）小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分（如图所示），若命中篮环中心，则他与篮底的距离t是（   ） A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m 【变式3-2】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离（单位：）与速度（单位：）之间有如下关系式：，其中是比例系数，且是汽车质量（单位：）.若某辆卡车不装货物（司机体重忽略不计）以的速度行驶时，从踩刹车到停车需要走.当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，为保证安全，要在发现前面处有障碍物时能在离障碍物以外处停车，则最高速度应低于（假定司机发现障碍物到踩刹车需要经过）（    ） A．16 B．18 C．24 D．27 【变式3-3】（24-25高一上·河南·阶段练习）如图，动物园要靠墙（足够长）建造两间相邻的长方形禽舍，不靠墙的面以及两间禽舍之间要修建围墙，已有材料可供建成围墙的总长度为36米，若设禽舍宽为米，则当所建造的禽舍总面积最大时，的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型4 分段函数模型的应用】 【例4】（2025·湖北·一模）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式4-2】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，梯形是上底为，下底为，高为的等腰梯形，记梯形位于直线左侧的阴影部分的面积为，则的大致图象是（   ）      A．   B．     C．   D．   【变式4-3】（24-25高二下·北京朝阳·期末）某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药小时后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含药量不少于4毫克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为（    ） A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时 【题型5 幂函数模型的应用】 【例5】（2025·四川泸州·模拟预测）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（    ） A．10% B．20% C．22% D．32% 【变式5-1】（24-25高一上·湖北荆州·期中）为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了，如果按照此规律，设2024年的耕地面积为m，则2029年的耕地面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一上·青海西宁·期末）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ） A． B． C．2 D． 【题型6 指数、对数函数模型的应用】 【例6】（2025·甘肃平凉·模拟预测）我们曾学习过碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730年衰减为原来的一半），即经过年后，碳14的含量（为碳14的初始含量，为常数），则碳14含量由原来的衰减为大约需要经过（    ） （参考数据：） A．2292年 B．2456年 C．2674年 D．2838年 【变式6-1】（2025·广东广州·二模）声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：）.轻柔音乐的声强一般在之间，则轻柔音乐的声强级范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·广东汕头·模拟预测）某食品保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（，为常数）若该食品在的保鲜时间是168小时，在的保鲜时间是42小时，则该食品在的保鲜时间是（    ） A．21小时 B．22小时 C．23小时 D．24小时 【变式6-3】（2025·贵州六盘水·一模）20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是50，此时标准地震的振幅是0.002，则这次地震的震级为（   ）（精确到0.1，参考数据：） A．4.4 B．4.7 C．5 D．5.4 【题型7 函数模型的选择问题】 【例7】（2025·宁夏吴忠·模拟预测）从甲地到乙地的距离约为240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：L）与速度（单位：km/h）（）的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一上·全国·课后作业）2019年以来，我国国内非洲猪瘟疫情严重，引发猪肉价格上涨．因此，国家为保民生，采取宏观调控，对猪肉价格进行有效的控制．通过市场调查，得到猪肉价格在8～11月的市场平均价（单位：元/斤）与时间x（单位：月）的数据如下： x 8 9 10 11 28.00 33.99 36.00 34.02 现有三种函数模型：；；，找出你认为最适合的函数模型，并估计2019年12月份的猪肉市场平均价为（　　） A．28元/斤 B．25元/斤 C．23元/斤 D．21元/斤 【变式7-2】（24-25高一上·广东深圳·期末）近年来，我国自主研发芯片的市场需求增长迅速.某公司自2020年起，每年统计其芯片的年销售数量.将2020年记为第0年，统计数据如下表所示： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 时间年 0 1 2 3 4 年销售数量万片 100 150 225 337.5 506.25 (1)在平面直角坐标系中，以为横轴，为纵轴，根据表格中的数据画出散点图； (2)为了描述年销售数量与时间的关系，现有以下三种数学模型供选择： ①②③ （i）根据数据特点，选出最合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数解析式； （ii）根据（i）中所选模型，预测该公司芯片的年销售数量在哪一年会首次超过2000万片？（参考数据：） 【变式7-3】（24-25高一上·重庆·阶段练习）某电视台旗下的电商平台一“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售本地制造的优质产品及该地对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果“等农特产品在当地热销，通过对过去的一个月（以30天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现:每千克的销售价格（单位:元/千克）关于第天的函数关系近似满足.日销售量（单位:千克）关于第天的部分数据如下表所示: 9 14 18 22 29 54 59 63 59 52 (1)给出以下四种函数模型:①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式: (2)设该工艺品的日销售收入为函数（单位:元）:求函数的最小值. 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽安庆·期末）从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油（单位：）与速度（单位：的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（    ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃天水·三模）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（    ） A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg 3．（2025·内蒙古赤峰·一模）在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广西北海·模拟预测）Deep Seek是一款人工智能助手，其用户满意度评分随时间（单位：月）的变化满足对数型函数模型：，其中是常数．若Deep Seek在经过3个月后评分增长到70，则满意度评分为（   ） A．60 B．61 C．62 D．63 5．（2025·福建莆田·三模）沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过分钟时剩余的细沙量为，且（为常数），经过分钟时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（    ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 6．（2025·海南三亚·一模）夏季天气炎热，某教室上课关门窗开空调，造成二氧化碳含量增加，按照《中小学校教室换气卫生要求》（GB/T177226-2017）规定，中小学校教室内二氧化碳日均最高容许浓度不得超过0.10%，经检测，该教室某日刚下课时，空气中二氧化碳浓度为0.14%，记下课开窗通风分钟后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，%是二氧化碳初始浓度，，则该教室内的二氧化碳浓度不超过需要的时间的最小整数值为（    ） （参考数据：） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（2025·安徽合肥·模拟预测）在跳水运动中，水花半径（单位：米）与运动员入水速度、入水时身体倾斜角度（弧度）、入水截面积相关．实验表明，当入水速度时，水花半径满足公式：，其中为实验常数．某次比赛中一位运动员完成动作时，入水速度、入水时身体倾斜角度、入水截面积，则入水产生的水花半径是（   ）（注：结果保留3位小数，其中） A．0.026m B．0.027m C．0.028m D．0.029m 8．（2025·浙江杭州·模拟预测）在资源有限的情况下，种群数量随时间（单位：天）的变化满足逻辑斯蒂模型：，其中常数为环境容纳量，为种群初始数量，为比增长率生态学家高斯（）曾经做过单独培养大草履虫的实验：初始时，在培养液中放入个草履虫，观察到时，种群数量为；时，种群数量为.根据逻辑斯蒂模型，可估算大草履虫种群的比增长率为（    ） 参考数据： A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·辽宁·模拟预测）震级是以地震仪测定的每次地震活动释放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分9个等级，其中能量（单位：焦耳）与里氏震级的对应关系为，则（    ） A．若某次地震的震级不超过2级，则产生的能量低于焦耳 B．若某次地震的震级超过4级，则产生的能量高于焦耳 C．5级地震的能量是4级地震的能量的100倍 D．3级地震的能量是7级地震的能量的 10．（2025·甘肃定西·模拟预测）声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体､液体､气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强.但在实际生活中，常用声音的声强级来度量，声强级与声强的关系近似满足，经过多次测定，得到如下数据： 声强 声强级 10 20 30 已知烟花的噪声的声强级一般在，其声强为；鞭炮的噪声的声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在，其声强为，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025·重庆·二模）从2024年3月1日起，新的酒驾检验标准开始实施，只要每血液中乙醇含量大于或等于，就是酒驾，属于违法行为；而大于或等于则认定为醉驾，属于犯罪行为．张师傅某次饮酒后，若其血液中的乙醇含量（单位：）与酒后代谢时间（单位：）的数量关系满足．则张师傅此次饮酒后（    ） A．当代谢时间时，血液中的乙醇含量最低 B．血液中的乙醇含量开始是代谢时间的增函数，然后是代谢时间的减函数 C．若执意驾车，完全不可能被认定为酒驾违法行为，更不可能被认定为醉驾犯罪行为 D．若执意驾车，饮酒后接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾 三、填空题 12．（2025·云南·一模）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，若在前消除了的污染物，当污染物减少时，所需时间约为 （精确到，参考数据：，，）． 13．（2025·重庆·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定: 100ml 血液中酒精含量大于或者等于 且小于 认定为饮酒驾车，大于或者等于 80 mg 认定为醉酒驾车. 假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 . 如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 30%的速度减少，那么他至少经过 个小时后才能驾驶？（结果取整数. 参考数据:1g3 ≈ 0.48，1g7 ≈ 0.85） 14．（2025·湖北武汉·二模）为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型，其中N为饱和度，为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为，饱和度为1020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约 万块． （结果四舍五入保留到整数，参考数据：，，） 四、解答题 15．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）某企业于2024年在其基地投入150万元的研发资金用于养殖业发展，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长20%． (1)写出第年（2024年为第1年）该企业投入的研发资金（单位：万元）与的函数关系式，并指出函数的定义域； (2)该企业从哪一年开始投入的研发资金将超过600万元？ （参考数据：，，，，） 16．（2025·广东湛江·一模）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关研究在室温下泡制好的茶水要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事情.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是，室温是，那么后茶水的温度单位：，可由公式求得，其中是常数，为了求出这个的值，某数学建模兴趣小组在室温下进行了数学实验，先用的水泡制成的茶水，利用温度传感器，测量并记录从开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据： (1)请你利用表中的一组数据，求的值，并求出此时的解析式计算结果四舍五入精确到； (2)在室温环境下，王大爷用的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至时再饮用，根据（1）的结果，王大爷要等待多长时间计算结果四舍五入精确到分钟． 参考数据：，，是自然对数的底数， 17．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为，空气的温度为，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要. (1)求； (2)热水一般不适合冲泡奶粉，假若现在杯中的水温为，等待水温降温到，至少需要等待多少？ (3)某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于，电热水壶不加热，水的温度冷却到，电热水壶开始加热，直至水的温度达到才停止加热，且水的温度从加热到需要.现该电热水壶中水的温度为，经过后，此时壶中水的温度是多少？ 18．（24-25高一下·四川成都·期中）某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），若不开展促销活动，则年销量.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完. (1)求的值； (2)求下一年的利润（万元）关于促销费（万元）的函数； (3)该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？最大利润为多少？ （注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用） 19．（24-25高一上·云南·阶段练习）年冬天新冠疫情卷土重来，我国大量城市和地区遭受了奥密克戎新冠病毒的袭击.为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒个单位的消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于毫克立方米时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用. (1)一次喷洒个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？ (2)若第一次喷洒个单位的消毒剂，小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的小时中能够持续有效消毒，试求的最小值．（精确到，参考数据：取） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三数学上学期期中仿真模拟试卷01 （考试范围：集合与常用逻辑用语、复数、等式与不等式、函数与导数、平面向量、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何、统计概率） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据对数的性质化简集合A，结合一元二次不等式的解集及集合并集的概念即可求解. 【解析】∵， ， ∴. 故选：A. 2．已知复数为虚数单位，若为纯虚数，则（　　） A. B. 20 C. D. 6 【答案】B 【分析】根据复数的乘法运算化简复数，然后利用纯虚数的概念求得，进而由求解即可. 【解析】， 且为纯虚数，，， ，． 故选：B． 3．已知，命题是一元二次方程的一个根，命题，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分、必要性的定义判断命题间的推出关系，即可得答案. 【解析】对于命题，为方程的根，则，充分性成立； 对于命题，且，则必是题设方程的一个根，必要性成立； 所以是的充分必要条件. 故选：C 4．设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由题意得出，解出这个方程组可得出的值. 【解析】】由于函数是奇函数，函数为偶函数， 所以，，即，化简得 ， 解得. 故选：A. 5．已知随机事件互相独立，满足，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据独立性，则，结合得到，最后利用条件概率公式求解即可． 【解析】因为随机事件互相独立，所以， 则， , 解得，，， ． 故选：A． 6．已知菱形的边长为2，，是菱形内一点， 若，则（ ） A B. C. D. 2 【答案】D 【分析】易得为等边三角形，设点为的中点，根据，可得点为的重心，从而可求得的长度，再根据数量积的定义即可得解. 【解析】在菱形，，则为等边三角形， 因为， 所以， 设点为的中点， 则，所以， 所以三点共线，所以为的中线， 同理可得点的中线过点， 所以点为的重心， 故， 在等边中，为的中点，则， 所以. 故选：D. 7．在锐角中，记内角A，B，C对边分别为a，b，c，若，则A的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】利用余弦定理化简已知条件.结合正弦定理可得，结合两角和差的正弦公式化简可得：即可求解. 【解析】由已知及余弦定理，得，即. 由正弦定理，得，则， 即，即， 所以，或,即或（舍去）. 因为角A，B，C都为锐角，则，且，所以. 故选：B 8．已知实数满足，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【分析】通过不等式构造两个函数，分别分析两个函数的最值情况即可得答案. 【解析】由，变形为. 令，，.则不等式变为. 因，当，；当，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数. 又，当时，，；当，，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数. 又因为成立，且，. 所以只能是，所以，解得，所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则下列命题正确的是（　　） A. 若的最小正周期为2，则 B. 当时，将函数的图象向右平移个单位长度得函数的图象 C. 当时，在取区间上单调递减 D. 若在区间上恰有一个零点，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】选项A，直接运用余弦函数周期公式计算；选项B，根据函数平移 “左加右减” 原则，求出平移后的函数表达式，与目标函数对比判断；选项C，先确定的范围，再结合余弦函数在该区间的单调性判断；先确定时的范围，再根据零点个数确定该范围与余弦函数零点区间的关系，进而求解的范围. 【解析】选项A，若.则，所以A正确； 选项B，当时，，，所以B错误； 选项C，当时，由，得，则单调递减，所以C正确； 选项D，当时，.若恰有一个零点，设该零点为， 则，从而，即，所以D正确. 故选：ACD. 10．已知函数，则（　　） A. 当时，在R上单调递增 B. 当时，有1个极值 C. 过点且与曲线相切的直线恰有两条 D. 恒成立 【答案】AD 【分析】对于A，求导，利用导数确定单调性即可；对于B，时，易知有2个零点，再根据单调性可确定极值点个数；对于C，设切点，根据导数的几何意义写出切线方程，再代入点，得到方程，再确定方程解的个数即可判断；对于D，代入计算即可判断. 【解析】对于A，，， ，所以在R上单调递增，故A正确； 对于B，，，， 则有两个零点，不妨设为，， 所以当或时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以有两个极值，故B错误； 对于C，不妨设切点为，则 ， 切线方程为， 整理得，又过， 所以，即， 又，所以无根， 即只有一个解， 所以过点且与曲线相切的直线只有一条，故C错误； 对于D， ，故D正确. 故选：AD. 11．已知边长为2的菱形，且，沿对角线折起，使点不在平面内，为的中点，在翻折过程中，则（　　） A. 平面平面 B. 当时，直线与平面所成角的余弦值为 C. 当二面角的大小为时，点在三棱锥的表面上运动，且，则点运动轨迹长度为 D. 当二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ABD 【分析】对于A，根据线面垂直的判定定理先证明平面，从而得到平面平面；对于B，用等体积法可求得点A到平面的距离，从而求得直线与平面所成角的正弦值，由同角三角函数关系式可求得直线与平面所成角的余弦值；对于C，分析点在三棱锥的表面上运动时，则点在各个侧面的运动轨迹，并求其长度的和即可判断；对于D，根据题意列得关于三棱锥的外接球半径的方程组，求解可得外接球半径，从而得到外接球的表面积. 【解析】由题可知，，所以. 由，得， 所以，所以. 折起如图2. 对于选项A，由图1知，菱形中， 图2中平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面.所以选项A正确； 对于选项B，由题可知，是等边三角形， 取的中点E，连接，则，且. 因为平面， 所以平面， 又平面，所以. 所以. 因为，所以， 所以. 所以. 所以. 因为， 所以点A到平面的距离为. 所以直线与平面所成角的正弦值为， 所以直线与平面所成角的余弦值为.故选项B正确. 对于选项C，当二面角的大小为时，由选项A可知，. 因为，所以. 因为， 所以点C到平面的距离为，所以中，点运动轨迹为一个点； 点在三棱锥的侧面上运动，且时， 点运动轨迹分别为三棱锥的三个侧面上的三段圆弧. 中，，所以点运动轨迹长度为； 中，.所以， 所以，所以点运动轨迹长度小于； 同理中，， 所以，所以点运动轨迹长度小于； 所以点运动轨迹长度小于；所以选项C错误. 对于选项D，当二面角的余弦值为时，由选项A可知，. 所以，所以， 记棱的中点为F，则. 记三棱锥的外接球球心为T，因为O为的中点，且平面， 所以T在等腰三角形的中线上. 设三棱锥的外接球的半径为R， 则，解得. 所以三棱锥的外接球的表面积为.所以选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知角满足，则__________． 【答案】 【分析】利用三角函数的性质及两角和的正切公式，对已知条件进行化简变形求解． 【解析】，，不能同时为0， ， ． 故答案为：． 13．已知不等式 的解集 若对，不等式 成立，则实数m的最大值为_____________ 【答案】5 【分析】根据题意结合三个二次之间的关系列式求参数，恒成立问题结合二次函数的性质列式求的取值范围，即可得结果. 【解析】不等式的解集为，则方程的两根为，，且， 所以，解得， 不等式，即为， 故不等式对恒成立， ∵二次函数的对称轴为，则有： ①，解得；或②，无解； 综上所述：，所以实数的最大值为． 故答案为：5 14.设函数，，其中，．若，，则的最小值为______；若恒成立，则的最大值为______． 【答案】 ①. 0 ②. 【分析】若，，求导，利用导数判断的单调性和最值；若恒成立，即，结合图象可得，令，消去结合判别式运算求解即可. 【解析】若，，则，， 因为在内单调递减，且，， 可知在内存在唯一零点， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 且，所以的最小值为0； 若，即， 可知当时，在直线的上方，如图所示： 结合图象可得，即，可知， 设，即，可得， 因为该不等式组在内有解，则，解得， 所以当，时，取到最大值. 故答案为：0；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算过程． 15．（13分） 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A； （2）若边上中线的长度为，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）先利用诱导公式和两角和的正弦公式化简得，再利用辅助角公式求角即可； （2）由是中点可得，两边平方结合数量积公式和运算律可得，再利用均值不等式求出的最大值，代入三角形的面积公式即可. 【解析】（1）在中，， 代入整理得， 又因为，，所以， 所以，解得， 因为，所以，解得. （2）因为是中点，所以， 两边平方得， 所以，即， 又由均值不等式可得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，即面积的最大值为. 16．（15分） 已知函数． （1）当时，求函数的最大值； （2）若函数的图像关于点中心对称，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）先化简，再求导分析单调性，进而求出最大值； （2）利用中心对称的性质得出关于的等式，进而求出实数． 【解析】（1）当时，，求导得， 当时，，函数单调递增；当时，，单调递减， 函数在时取得最大值，即． （2）函数的图像关于点中心对称， 函数的定义域为，且关于点中心对称， ，即①， 为奇函数， ， ，整理得②． ①代入②得，即， ，当且仅当时，等号成立，即不恒为0， ，即， ． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，底面，，，，，，点M在侧棱上运动. （1）证明：平面平面； （2）当直线与直线所成的角最小时，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）根据面面垂直的判断定理即可得证； 建立空间直角坐标系，设（），得，设直线与所成的角为，利用夹角公式得， 由，进而得时，取最大值，即，则，从而点M到平面的距离为 ，最后利用体积公式即可求解. 【解析】（1）因为底面，又平面，则， 由，，所以，且， 在中，， 由余弦定理，得， 则，所以， 因为，平面， 所以平面因为平面，所以平面平面. （2）以C为原点，以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系. 则点，，，， 所以，，， 设（），则， 设直线与所成的角为， 所以， 设（）， 则， 所以当，即时，取最大值， 从而取最小值，即直线与所成的角取最小值， 此时，则. 因为，，则平面， 从而点M到平面的距离为， 所以. 18．（17分） 某班准备在周六和周日两天分别进行一次环保志愿活动，分别由李老师和王老师负责通知，已知该班共60名学生，每次活动需40人参加，假设李老师和王老师通过“家校通”平台分别将通知独立、随机地发给60位学生家长中的40人，且保证所发通知都能收到． （1）求该班甲同学家长收到李老师或王老师通知的概率； （2）设该班乙同学家长收到通知的次数为，求的分布列及数学期望； （3）设两次都收到通知的人数为变量，则的可能取值有哪些？并求出取到其中哪一个值的可能性最大？请说明理由． 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）取到27的可能性最大 【分析】（1）先求出甲同学家长未收到通知的概率，再利用对立事件概率公式求解； （2）确定的可能取值，分别计算各取值的概率，进而得到分布列和数学期望； （3）先确定的可能取值，再根据超几何概率公式，结合作商法确定单调性，即可分析取到最大值的情况． 【解析】（1）李老师通知40人，甲同学家长未收到李老师通知的概率为， 王老师通知40人，甲同学家长未收到王老师通知的概率也为， 因为李老师和王老师发通知是独立事件， 所以甲同学家长未收到李老师和王老师通知的概率为， 所以甲同学家长收到李老师或王老师通知的概率为； （2）表示乙同学家长收到通知的次数，的可能取值为0，1，2， ， ， ， 所以分布列为： 0 1 2 期望； （3）表示两次都收到通知的人数，的可能取值为20，21，22，…，40， 设，则， 所以， 令，解得， 所以时，单调递增， 时，单调递减， 又， 则， 所以时概率最大， 则取到27的可能性最大． 19．（17分） 设，是实数，函数． （1）当时， （ⅰ）讨论函数的单调性； （ⅱ）若在上恒成立，求的值． （2）当时，证明：函数有两个极值点，且． 【答案】（1）（i）答案见解析；（ii）0. （2）证明见解析. 【分析】（i）代入后求导得，再求出导函数为0时的根，最后分析其单调性即可； （ii）分，以及讨论即可； （2）二次求导得其单调性，再利用零点存在性定理证明极值点所在区间，再利用切线不等式 得，从而证明原不等式结论. 【解析】（1）（i）当时，， 则 对于开口向下的二次函数， 因，所以必有唯一正根． 因此当时，单调递增； 当时，单调递减． 综上：的单调增区间为，单调减区间为． （ii）在上恒成立等价于在上恒成立． 注意到． 则当时，，由第（i）问的单调性知在上恒成立． 当时，，此时当时，单调递增，，矛盾； 当时，，此时当时，单调递减，，矛盾． 综上所述，的值为0． （2）． 令， 令，得． 所以当时，单调递减； 当时，单调递增． 注意到，所以． 因为， 所以当时，， 故，从而存在，有， 当时，设，则恒成立， 则在上单调递增，则，即， 则在恒成立．从而． 所以． 故．从而存在，有． 当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以函数有两个极值点． 又， 所以，即． 结论得证． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.8 函数模型及其应用（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程】 2 【题型2 利用给定函数模型解决实际问题】 5 【题型3 二次函数模型的应用】 8 【题型4 分段函数模型的应用】 10 【题型5 幂函数模型的应用】 12 【题型6 指数、对数函数模型的应用】 14 【题型7 函数模型的选择问题】 16 1、函数模型及其应用 考点要求 真题统计 考情分析 (1)了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异 (2)理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义 (3)会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用 2020年新高考全国I卷：第6题，5分 2020年全国IⅡ卷：第4题，5分 2024年北京卷：第7题，5分 2025年北京卷：第9题，5分 函数模型是高考数学的重要内容之一，从近几年的高考形势来看，高考对函数模型的考查相对稳定，主要考察指、对数函数模型问题，一般以选择题的形式出现，难度不大；学生在复习中要加强对建模能力和应用能力的培养. 知识点1 几种常见的函数模型 1．一次函数模型 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. 2．二次函数模型 二次函数模型：f(x)=+bx+c(a,b,c为常数，a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值问题常用到二次函数模型. 3．幂函数模型 幂函数模型应用的求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. 4．指数函数模型 指数函数模型：(a,b,c为常数，a>0，且a≠1，b≠0). 5．对数函数模型 对数函数模型：(a,b,c为常数，a>0，且a≠1，b≠0). 6．分段函数模型 由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用. 7．“对勾”函数模型 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+(a>0,b>0)，当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用. 知识点2 判断函数图象与实际问题变化过程 1．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象. (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况. 知识点3 实际问题中函数建模的基本步骤 1．构造函数模型解决实际问题的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 【题型1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程】 【例1】（24-25高二下·北京大兴·阶段练习）水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度与时间的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】考查容器的形状来确定水的高度的变换规律，选择图形即可. 【解答过程】容器由下到上口径越来越大，水以恒速注入，则容器中水的高度增加的速度逐渐变慢，A符合； B选项容器中水的高度增加的速度逐渐变快； C选项容器中水的高度是匀速增加； D选项容器中水的高度增加的速度先增加较慢，后增加较快. 故选：A. 【变式1-1】（24-25高一上·云南红河·期中）某企业员工小李的住处与他的办公室相距，某天下班后，小李发现有份重要材料丢在办公室，于是他从住处出发，先匀速跑步3min来到办公室，停留2min，然后匀速步行10min返回住处．在这个过程中，小李行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（    ） A．①④ B．②③ C．④① D．③② 【答案】A 【解题思路】设行进的速度为，行走的路程为，得出关于的函数，关于的函数解析式，即可判断函数图象． 【解答过程】设行进的速度为，行走的路程为，则 且， 由速度函数及路程函数的解析式可知， 其图象分别为①④． 故选：A． 【变式1-2】（24-25高一上·全国·课后作业）两车分别从甲乙两市同时出发，从甲市驶向乙市，从乙市驶向甲市，两车同时出发并匀速行驶，两车之间距离（单位：km）与行驶时间（单位：h）的关系如下图，已知的速度大于的速度，则下列说法中错误的是（    ）    A．甲市与乙市之间的距离为 B．两车在出发后相遇 C．点表示在出发后时到达了甲市 D．点表示在出发后时两车都到达了目的地 【答案】C 【解题思路】根据给定的函数图象分析各项描述的正误. 【解答过程】由图知，两车开始出发时的距离就是两市之间的距离，A正确； 当时，，所以两车在出发后相遇，B正确； 由于的速度大于的速度，所以比先到达目的地， 所以在点处即在出发后时到达了乙市， 之后在点处即在出发后时到达了甲市，C错误，D正确． 故选：C. 【变式1-3】（24-25高二下·山东滨州·期末）如图，等腰梯形ABCD 的上底CD=1，下底AB=3，高为1．记等腰梯形ABCD 位于直线x=t(0≤t≤3)左侧的图形的面积为 f(t)，则f(t)随t变化时的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据面积公式得出每段的函数解析式，进而得出答案. 【解答过程】当时，，是过原点，且开口向上的抛物线的一部分，故排除D； 当时，，为单调递增的一次函数的一部分，故排除BC； 当时，，是开口向下的抛物线的一部分； 故选：A. 【题型2 利用给定函数模型解决实际问题】 【例2】（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【答案】B 【解题思路】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解. 【解答过程】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. 【变式2-1】（2025·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（   ）倍.（参考数据：，） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解题思路】依据香农定理，结合题中数据代入计算即可. 【解答过程】设原始状态信道容量为，提升后信道容量为， 由题意可得，即，解得， 同理，即，解得， 所以大约需将信号的信噪比提升至原来的6倍. 故选：B. 【变式2-2】（2025·福建莆田·模拟预测）点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传播时，衰减量（单位：）与传播距离（单位：）的关系式为，其中为常数.当传播距离为时，衰减量为；当传播距离为时，衰减量为.若，则约为（   ）（参考数据：） A．6dB B．4dB C．3dB D．2dB 【答案】A 【解题思路】利用函数值作差，再进行对数运算，即可求出近似值. 【解答过程】由， 因为，所以， 故选：A. 【变式2-3】（2025·北京海淀·二模）中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中，为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的最低一行“”形视标的笔划宽度（单位：毫米），为眼睛到视标的距离（单位：米），如图1所示，是与无关的常量．图2是标准视力表的一部分，一个右眼视力值为5.0的人在距离该视力表5米处进行检测，能分辨的最低一行视标为图2中虚线框部分．因条件所限，小明在距离该视力表3米处进行检测，若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为图2中虚线框部分，不考虑其它因素的影响，则与小明右眼的实际视力值最接近的为（    ）（参考数据：） A．4.5 B．4.6 C．4.8 D．5.0 【答案】C 【解题思路】根据已知视力值求出的值，再根据小明距离3米，求出其实际视力值. 【解答过程】已知当，时，代入，解得. 小明在距离该视力表3米处进行检测,即，代入，求解； 因为题中参考数据已知，； 所以. 所以. 故选：C. 【题型3 二次函数模型的应用】 【例3】（2025高三·全国·专题练习）某新能源汽车公司设计充电桩布局，要求每个充电区的长度为米，宽度为米.根据城市规划要求，米，且充电桩间隔距离需满足.为使充电区有效面积最大，应选择的尺寸是（　　） A．米，米 B．米，米 C．米，米 D．米，米 【答案】A 【解题思路】由题可得面积表达式。然后根据题意及二次函数单调性可得答案. 【解答过程】建立面积函数 ，通过消元法转化为，结合附加条件，得.注意到函数在上单调递减，则当时取最大值. 故选：A. 【变式3-1】（24-25高三上·全国·课前预习）小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分（如图所示），若命中篮环中心，则他与篮底的距离t是（   ） A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m 【答案】B 【解题思路】根据二次函数的性质，代入求解即可. 【解答过程】篮环的纵坐标为，令，得（舍去）． ． 故选：B. 【变式3-2】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离（单位：）与速度（单位：）之间有如下关系式：，其中是比例系数，且是汽车质量（单位：）.若某辆卡车不装货物（司机体重忽略不计）以的速度行驶时，从踩刹车到停车需要走.当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，为保证安全，要在发现前面处有障碍物时能在离障碍物以外处停车，则最高速度应低于（假定司机发现障碍物到踩刹车需要经过）（    ） A．16 B．18 C．24 D．27 【答案】B 【解题思路】设卡车本身的质量为（），速度为（），刹车滑行距离为（），依题意可得，卡车司机发现障碍物到踩刹车需要经过，可得，解不等式可得答案. 【解答过程】设卡车本身的质量为（），速度为（），刹车滑行距离为（），依题意可得，将，代入可得： . 又卡车司机发现障碍物到踩刹车需要经过， 这内卡车行驶的路程为：（）. 由 ， 所以 . 根据速度的意义，所以. 所以卡车行驶的速度应低于 . 故选：B. 【变式3-3】（24-25高一上·河南·阶段练习）如图，动物园要靠墙（足够长）建造两间相邻的长方形禽舍，不靠墙的面以及两间禽舍之间要修建围墙，已有材料可供建成围墙的总长度为36米，若设禽舍宽为米，则当所建造的禽舍总面积最大时，的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解题思路】根据题意，用表示禽舍的总长，从而得到禽舍的面积关于的表达式，利用配方法即可得解. 【解答过程】由题意，若把材料全部用完，则禽舍的总长为， 设所建造的禽舍总面积为， 则， 所以当所建造的禽舍总面积最大时，的值. 故选：D. 【题型4 分段函数模型的应用】 【例4】（2025·湖北·一模）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由已知可得，当和时分别求得最大值，即可求解. 【解答过程】由题意，新设备生产的产品可获得的年平均利润， 当时，，当且仅当时，等号成立， 则， 所以当时，取得最大值，且最大值为， 当时，， 所以函数在上单调递减， 所以当时，取得最大值，且最大值为， 故当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间. 故选：. 【变式4-1】（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解题思路】设年平均利润为，表示出，再结合基本不等式及二次函数的性质求出各段的最大值，即可得解. 【解答过程】依题意，设年平均利润为，则（）， 当时， 当且仅当，即时取等号； 当时，则当时取得最大值且， 又，所以当时年平均利润取得最大值. 故选：C. 【变式4-2】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，梯形是上底为，下底为，高为的等腰梯形，记梯形位于直线左侧的阴影部分的面积为，则的大致图象是（   ）      A．   B．     C．   D．   【答案】A 【解题思路】写出的表达式，再根据分段函数性质选出图象即可. 【解答过程】根据题意可知在梯形中，； 当时，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为； 当时，阴影部分为等腰直角三角形加上一个矩形， 其面积为； 当时，阴影部分面积为整个梯形面积减去右侧空白部分表面积， 即； 所以可得； 根据函数类型对比图象可得A正确. 故选：A. 【变式4-3】（24-25高二下·北京朝阳·期末）某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药小时后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含药量不少于4毫克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为（    ） A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时 【答案】A 【解题思路】首先求出函数解析式，再令求出相应的的取值范围，即可得解． 【解答过程】当时，则， 当时，设函数为， 将，代入可得，解得，所以， 所以， 要使，则或，解得或， 综上所述：， 所以有效所持续的时长为个小时． 故选：A． 【题型5 幂函数模型的应用】 【例5】（2025·四川泸州·模拟预测）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（    ） A．10% B．20% C．22% D．32% 【答案】B 【解题思路】设年平均增长率为，依题意列方程求即可. 【解答过程】由题意，设年平均增长率为，则， 所以，故年平均增长率为20%. 故选：B. 【变式5-1】（24-25高一上·湖北荆州·期中）为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了，如果按照此规律，设2024年的耕地面积为m，则2029年的耕地面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设某地的耕地面积每年减少,依题列出方程，再进行整体代入，即得2029年的耕地面积. 【解答过程】设某地的耕地面积每年减少，因在最近50年内减少了，则有， 故， 由题意，2029年的耕地面积为，即. 故选：D. 【变式5-2】（2025·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解． 【解答过程】设初始状态为，则，， 又，，即 ， ，，，，． 故选：D． 【变式5-3】（24-25高一上·青海西宁·期末）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】根据题意中给出的解密密钥为，利用其加密、解密原理， 求出的值，解方程即可求解. 【解答过程】由题可知加密密钥为， 由已知可得，当时，， 所以，解得， 故，显然令，即， 解得，即． 故选：A. 【题型6 指数、对数函数模型的应用】 【例6】（2025·甘肃平凉·模拟预测）我们曾学习过碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730年衰减为原来的一半），即经过年后，碳14的含量（为碳14的初始含量，为常数），则碳14含量由原来的衰减为大约需要经过（    ） （参考数据：） A．2292年 B．2456年 C．2674年 D．2838年 【答案】B 【解题思路】利用半衰期的意义求出，再利用给定的模型列出方程组，结合对数运算求解即得. 【解答过程】依题意，当时，，即，解得， 设经过年碳14含量衰减为原来的，经过年碳14含量衰减为原来的， 则，即，所以 . 故选：B. 【变式6-1】（2025·广东广州·二模）声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：）.轻柔音乐的声强一般在之间，则轻柔音乐的声强级范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】依题意可得，即可求出的范围，从而得解. 【解答过程】依题意可得，所以，所以， 所以，即轻柔音乐的声强级范围是. 故选：C. 【变式6-2】（2025·广东汕头·模拟预测）某食品保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（，为常数）若该食品在的保鲜时间是168小时，在的保鲜时间是42小时，则该食品在的保鲜时间是（    ） A．21小时 B．22小时 C．23小时 D．24小时 【答案】A 【解题思路】根据已知条件，结合指数函数的公式，即可求解. 【解答过程】当时，，当时，， 所以，； 当时，. 故选：A. 【变式6-3】（2025·贵州六盘水·一模）20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是50，此时标准地震的振幅是0.002，则这次地震的震级为（   ）（精确到0.1，参考数据：） A．4.4 B．4.7 C．5 D．5.4 【答案】A 【解题思路】直接利用题目中给出的公式和对数的运算性质求解即可得出结果. 【解答过程】根据题意可知这次地震的震级为： ； 因此可知这次地震的震级为级. 故选：A. 【题型7 函数模型的选择问题】 【例7】（2025·宁夏吴忠·模拟预测）从甲地到乙地的距离约为240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：L）与速度（单位：km/h）（）的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】作出散点图，根据单调性和定义域即可得解. 【解答过程】作出散点图，由图可知函数模型满足：第一，定义域为；第二，在定义域单调递增且单位增长率变快；第三，函数图象过原点. A选项：函数在定义域内单调递减，故A错误； B选项：函数的单位增长率恒定不变，故B错误； C选项：满足上述三点，故C正确； D选项：函数在处无意义，D错误. 故选：C. 【变式7-1】（24-25高一上·全国·课后作业）2019年以来，我国国内非洲猪瘟疫情严重，引发猪肉价格上涨．因此，国家为保民生，采取宏观调控，对猪肉价格进行有效的控制．通过市场调查，得到猪肉价格在8～11月的市场平均价（单位：元/斤）与时间x（单位：月）的数据如下： x 8 9 10 11 28.00 33.99 36.00 34.02 现有三种函数模型：；；，找出你认为最适合的函数模型，并估计2019年12月份的猪肉市场平均价为（　　） A．28元/斤 B．25元/斤 C．23元/斤 D．21元/斤 【答案】A 【解题思路】根据函数的单调性进行选择，并由此进行估计. 【解答过程】第二组数据近似为，第四组数据近似为， 根据四组数据， 可得的图象先增后减，而和都是单调函数， 故不符合要求，所以选. 由第二组数据和第四组数据， 可得的图象关于直线对称，故时，. 故选：A. 【变式7-2】（24-25高一上·广东深圳·期末）近年来，我国自主研发芯片的市场需求增长迅速.某公司自2020年起，每年统计其芯片的年销售数量.将2020年记为第0年，统计数据如下表所示： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 时间年 0 1 2 3 4 年销售数量万片 100 150 225 337.5 506.25 (1)在平面直角坐标系中，以为横轴，为纵轴，根据表格中的数据画出散点图； (2)为了描述年销售数量与时间的关系，现有以下三种数学模型供选择： ①②③ （i）根据数据特点，选出最合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数解析式； （ii）根据（i）中所选模型，预测该公司芯片的年销售数量在哪一年会首次超过2000万片？（参考数据：） 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）选择函数模型合适，理由见解析，； （ii）年 【解题思路】（1）根据表格作出散点图即可； （2）（i）根据散点图结合三种函数的增长速度即可得出结论，再将点代入所选模型即可得解； （ii）根据，结合对数的运算性质即可得解. 【解答过程】（1） （2）（i）由散点图可知，年销售数量呈指数型增长， 故选择函数模型合适； 将分别代入， 得，解得， 所以， 当时，；当时，；当时，， 所以； （ii）令，则， 则， 所以预测该公司芯片的年销售数量在年会首次超过2000万片. 【变式7-3】（24-25高一上·重庆·阶段练习）某电视台旗下的电商平台一“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售本地制造的优质产品及该地对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果“等农特产品在当地热销，通过对过去的一个月（以30天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现:每千克的销售价格（单位:元/千克）关于第天的函数关系近似满足.日销售量（单位:千克）关于第天的部分数据如下表所示: 9 14 18 22 29 54 59 63 59 52 (1)给出以下四种函数模型:①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式: (2)设该工艺品的日销售收入为函数（单位:元）:求函数的最小值. 【答案】(1)比较合适， (2)元 【解题思路】（1）根据所给函数的单调性与的单调性进行判断选择即可； （2）根据基本不等式、函数单调性的性质求解即可. 【解答过程】（1）由函数、、的解析式可知：这三个函数的单调性要么在定义域内递增，要么递减，要么是常值函数，不会出现在定义域内即有单调递减又有递增的情况，而函数在时，在时是单调递增，在上单调递减， 由列表可知：的单调性是先增后减，因此合适， 把，，代入， 得，所以，所以， 显然，也满足函数的解析式， 所以； （2）， 当，时， ， 当且仅当时取等号，即当时，取等号，此时最小值为， 当，时， ， 此时函数单调递减，当时函数值最小，最小值为， 综上所述：函数的最小值为元. 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽安庆·期末）从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油（单位：）与速度（单位：的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析表中数据根据单调性和定义域即可判断出最符合实际的函数模型． 【解答过程】由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为；第二，在定义域单调递增且单位增长率变快；第三，函数图象过原点. 函数和在定义域内单调递减，不符合条件，故AC错误； 函数中0不在函数的定义域中，故D错误； B选项：满足上述三点，故B正确. 故选：B. 2．（2025·甘肃天水·三模）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（    ） A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg 【答案】D 【解题思路】根据给定信息求出关系式，再代入计算即得. 【解答过程】依题意，设，由，得，则， 当时， ，所以． 故选：D. 3．（2025·内蒙古赤峰·一模）在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由点在第二条边上运动时，的单调性可排除A，由图象的对称性可排除，由一开始与是线性的可排除C，对于D，当图形是正方形时，可以验证它满足题意. 【解答过程】对于A，点在第一条边上时，， 但点在第二条边上运动时，是随的增大先减小（减到最小时即为三角形的第二条边上的高的长度），然后再增大， 对比图象可知，A错误； 对于B，y与x的函数图形一定不是对称的，B错误； 对于C，一开始与的关系不是线性的，C错误； 对于D，因为函数图象对称，所以D选项应为正方形，不妨设边长为， 点在第一条边上时（即时），， 点在第二条边上运动时（即时），，依然单调递增， 点在第三条边上运动时（即时），，单调递减， 点在第四条边上运动时（即时），，单调递减， 且已知与的图象关于（其中）对称，D正确. 故选：D. 4．（2025·广西北海·模拟预测）Deep Seek是一款人工智能助手，其用户满意度评分随时间（单位：月）的变化满足对数型函数模型：，其中是常数．若Deep Seek在经过3个月后评分增长到70，则满意度评分为（   ） A．60 B．61 C．62 D．63 【答案】A 【解题思路】根据已知条件代入计算求解. 【解答过程】由题可得，则， 故选：A． 5．（2025·福建莆田·三模）沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过分钟时剩余的细沙量为，且（为常数），经过分钟时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（    ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【答案】C 【解题思路】根据分钟时，上方还剩下一半细沙，可列出方程，求出的值，然后令为原来的，即可求出结果. 【解答过程】依题意有，即， 两边取对数得，所以，得到， 当容器上方细沙只有开始时的时，则有，所以， 两边取对数得，所以， 即需要经过的时间为分钟． 故选：C. 6．（2025·海南三亚·一模）夏季天气炎热，某教室上课关门窗开空调，造成二氧化碳含量增加，按照《中小学校教室换气卫生要求》（GB/T177226-2017）规定，中小学校教室内二氧化碳日均最高容许浓度不得超过0.10%，经检测，该教室某日刚下课时，空气中二氧化碳浓度为0.14%，记下课开窗通风分钟后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，%是二氧化碳初始浓度，，则该教室内的二氧化碳浓度不超过需要的时间的最小整数值为（    ） （参考数据：） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】先根据条件得出，再利用对数的运算法则解不等式即可. 【解答过程】由题意可知，， 解，即， 得 ， 该教室内的二氧化碳浓度不超过需要的时间的最小整数值为. 故选：C. 7．（2025·安徽合肥·模拟预测）在跳水运动中，水花半径（单位：米）与运动员入水速度、入水时身体倾斜角度（弧度）、入水截面积相关．实验表明，当入水速度时，水花半径满足公式：，其中为实验常数．某次比赛中一位运动员完成动作时，入水速度、入水时身体倾斜角度、入水截面积，则入水产生的水花半径是（   ）（注：结果保留3位小数，其中） A．0.026m B．0.027m C．0.028m D．0.029m 【答案】C 【解题思路】根据题意代入数据计算即可求解. 【解答过程】由题意可得：． 故选：C． 8．（2025·浙江杭州·模拟预测）在资源有限的情况下，种群数量随时间（单位：天）的变化满足逻辑斯蒂模型：，其中常数为环境容纳量，为种群初始数量，为比增长率生态学家高斯（）曾经做过单独培养大草履虫的实验：初始时，在培养液中放入个草履虫，观察到时，种群数量为；时，种群数量为.根据逻辑斯蒂模型，可估算大草履虫种群的比增长率为（    ） 参考数据： A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将已知数据代入函数模型，求出的值，再利用指对互化以及对数运算求解即可. 【解答过程】 由题意，，，则， 因此，整理得， 解得或（舍）， 因此，解得. 所以大草履虫种群的比增长率约为. 故选：C. 二、多选题 9．（2025·辽宁·模拟预测）震级是以地震仪测定的每次地震活动释放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分9个等级，其中能量（单位：焦耳）与里氏震级的对应关系为，则（    ） A．若某次地震的震级不超过2级，则产生的能量低于焦耳 B．若某次地震的震级超过4级，则产生的能量高于焦耳 C．5级地震的能量是4级地震的能量的100倍 D．3级地震的能量是7级地震的能量的 【答案】ABD 【解题思路】借助能量E与里氏震级M的对应关系计算即可判断各选项. 【解答过程】记表示震级为级地震的能量， 对于项，若，则，所以，故A项正确； 对于B项，若，则，所以，故B项正确； 对于C项，，则，故C项错误； 对于C项，，则，故D项正确. 故选：ABD. 10．（2025·甘肃定西·模拟预测）声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体､液体､气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强.但在实际生活中，常用声音的声强级来度量，声强级与声强的关系近似满足，经过多次测定，得到如下数据： 声强 声强级 10 20 30 已知烟花的噪声的声强级一般在，其声强为；鞭炮的噪声的声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在，其声强为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】首先代入表格数据中的前2组数据，求，判断A，再根据解析式，代入求，判断B，根据解析式，结合，求的范围，判断C，根据不等关系，结合对数运算公式，判断D. 【解答过程】由题意可得.即，解得.所以，故A正确； 因为，所以，解得，故B错误； 由，得，故C正确； 设烟花噪声､鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为，由题意知，，，所以，所以，所以，即，所以，故D正确. 故选：ACD. 11．（2025·重庆·二模）从2024年3月1日起，新的酒驾检验标准开始实施，只要每血液中乙醇含量大于或等于，就是酒驾，属于违法行为；而大于或等于则认定为醉驾，属于犯罪行为．张师傅某次饮酒后，若其血液中的乙醇含量（单位：）与酒后代谢时间（单位：）的数量关系满足．则张师傅此次饮酒后（    ） A．当代谢时间时，血液中的乙醇含量最低 B．血液中的乙醇含量开始是代谢时间的增函数，然后是代谢时间的减函数 C．若执意驾车，完全不可能被认定为酒驾违法行为，更不可能被认定为醉驾犯罪行为 D．若执意驾车，饮酒后接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾 【答案】BD 【解题思路】整理可得，结合对勾函数性质分析单调性和最值，进而逐项分析判断. 【解答过程】由题意可知：，则， 由对勾函数可知：在内单调递减，在内单调递增， 则在内单调递增，在内单调递减，故B正确； 当时，取到最大值1， 即当代谢时间时，血液中的乙醇含量最高为， 即每血液中乙醇含量为，故A错误； 因为，可知饮酒后接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾，故C错误，D正确； 故选：BD. 三、填空题 12．（2025·云南·一模）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，若在前消除了的污染物，当污染物减少时，所需时间约为 （精确到，参考数据：，，）． 【答案】33 【解题思路】由题意列式，再根据指数化成对数，利用对数的运算即可得出结果. 【解答过程】由题意可知，当时，， 所以当污染物减少时，， 解得. 故答案为：33. 13．（2025·重庆·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定: 100ml 血液中酒精含量大于或者等于 且小于 认定为饮酒驾车，大于或者等于 80 mg 认定为醉酒驾车. 假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 . 如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 30%的速度减少，那么他至少经过 个小时后才能驾驶？（结果取整数. 参考数据:1g3 ≈ 0.48，1g7 ≈ 0.85） 【答案】 【解题思路】设至少经过个小时后才能驾驶，由题意有，两边同时取对数得，然后求解即可. 【解答过程】设至少经过个小时后才能驾驶，则有， 即，两边同时取对数得，即， 因为，所以， 所以，即至少经过个小时才能驾驶. 故答案为：. 14．（2025·湖北武汉·二模）为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型，其中N为饱和度，为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为，饱和度为1020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约 万块． （结果四舍五入保留到整数，参考数据：，，） 【答案】 【解题思路】把已知数据代入模型，求出对应的值即可． 【解答过程】根据题意，所给模型中， 则2030年底该地区光伏太阳能板的保有量为， 因为，所以， 所以2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约36万块. 故答案为：36. 四、解答题 15．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）某企业于2024年在其基地投入150万元的研发资金用于养殖业发展，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长20%． (1)写出第年（2024年为第1年）该企业投入的研发资金（单位：万元）与的函数关系式，并指出函数的定义域； (2)该企业从哪一年开始投入的研发资金将超过600万元？ （参考数据：，，，，） 【答案】(1)，定义域为； (2)第9年 【解题思路】（1）由题设，应用指数函数模型，确定函数解析式及定义域； （2）由（1）得，然后利用对数运算求解即可. 【解答过程】（1）第年（2024年为第1年）该企业投入的研发资金（万元）， 则，其定义域为； （2）由（1）得，即， 所以，即， 所以，又， 故该企业从第9年开始投入的研发资金将超过600万元. 16．（2025·广东湛江·一模）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关研究在室温下泡制好的茶水要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事情.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是，室温是，那么后茶水的温度单位：，可由公式求得，其中是常数，为了求出这个的值，某数学建模兴趣小组在室温下进行了数学实验，先用的水泡制成的茶水，利用温度传感器，测量并记录从开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据： (1)请你利用表中的一组数据，求的值，并求出此时的解析式计算结果四舍五入精确到； (2)在室温环境下，王大爷用的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至时再饮用，根据（1）的结果，王大爷要等待多长时间计算结果四舍五入精确到分钟． 参考数据：，，是自然对数的底数， 【答案】(1)，； (2)要等待约分钟. 【解题思路】（1）将给定数据代入函数模型，求出常数及对应的函数关系. （2）由（1）中关系式，求出时的值. 【解答过程】（1）依题意，，且当，时，， 则，，解得， 所以. （2）由（1）知，，当时，，即， 整理得，解得， 王大爷要等待约分钟. 17．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为，空气的温度为，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要. (1)求； (2)热水一般不适合冲泡奶粉，假若现在杯中的水温为，等待水温降温到，至少需要等待多少？ (3)某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于，电热水壶不加热，水的温度冷却到，电热水壶开始加热，直至水的温度达到才停止加热，且水的温度从加热到需要.现该电热水壶中水的温度为，经过后，此时壶中水的温度是多少？ 【答案】(1) (2) (3). 【解题思路】（1）将条件代入已知式，利用分数指数幂的运算法则计算即得； （2）将条件和（1）求得的结论代入已知式计算即得； （3）先计算出水温由冷却到所需要的时间为，然后自动加热后水温达到，由可知，随后水开始降温，代入公式计算即得水温. 【解答过程】（1）已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要30min， 则，即，所以. （2）由题意可知：，，，， 可得， 解得， 所以至少需要等待. （3）设水的温度由冷却到，需要， 则，解得， 此时电热水壶开始加热，需要加热至，且， 若水的温度由冷却到，可知需要， 显然，则， 所以经过后，此时壶中水的温度是. 18．（24-25高一下·四川成都·期中）某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），若不开展促销活动，则年销量.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完. (1)求的值； (2)求下一年的利润（万元）关于促销费（万元）的函数； (3)该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？最大利润为多少？ （注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用） 【答案】(1) (2) (3)当促销费投入万元时，企业年利润最大为万元 【解题思路】（1）当时，，代入求得； （2）由（1）得，进而求得年生产（万件）时，年生产成本为，销售收入为，结合题意，即可求得利润关于促销费的函数关系式； （3）由（2）知，结合基本不等式，即可求解. 【解答过程】（1）由题意知，当时，， 代入，得，解得. （2）由（1）得，， 当年生产（万件）时，年生产成本为， 当销售（万件）时，年销售收入为， 所以利润（万元）表示为促销费（万元）的函数关系式为： ， 即. （3）由（2）知，， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当促销费投入万元时，企业年利润最大为万元. 19．（24-25高一上·云南·阶段练习）年冬天新冠疫情卷土重来，我国大量城市和地区遭受了奥密克戎新冠病毒的袭击.为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒个单位的消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于毫克立方米时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用. (1)一次喷洒个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？ (2)若第一次喷洒个单位的消毒剂，小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的小时中能够持续有效消毒，试求的最小值．（精确到，参考数据：取） 【答案】(1)小时 (2) 【解题思路】（1）根据题意可知一次喷洒个单位的消毒剂后，其浓度为.令求解即可； （2）由题知从第一次喷洒起，经小时后，其浓度，化简后利用基本不等式求解即可. 【解答过程】（1）因为一次喷洒个单位的消毒剂， 所以浓度. 则当时，令，解得，故； 当时，令，解得，故， 综上，. 故若一次喷洒个单位消毒的消毒剂，则有效消毒时间可达小时. （2）设从第一次喷洒起，经小时后， 浓度， 因为，，所以由基本不等式可得 ， 当且仅当，即时，等号成立，有最小值为. 令，解得. 又，所以， 所以的最小值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.6 函数的图象（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 作出函数的图象】 2 【题型2 函数图象的识别】 4 【题型3 根据函数图象选择解析式】 6 【题型4 函数图象的变换】 7 【题型5 根据实际问题作函数图象】 8 【题型6 利用图象研究函数的性质】 10 【题型7 利用图象确定零点个数、解不等式】 12 【题型8 利用图象求参数的取值范围】 13 1、函数的图象 考点要求 真题统计 考情分析 (1)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数 (2)会画简单的函数图象 (3)会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题 2024年全国甲卷（文数）：第8题，5分 2024年全国甲卷（理数）：第7题，5分 2025年北京卷：第4题，4分 2025年天津卷：第3题，5分 函数图象是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，主要以考查函数图象的识别与变换为重点和热点，也可能考查利用函数图象研究函数性质、解不等式等问题，一般以单选题的形式出现，难度不大. 知识点1 函数的图象的作法与识别 1．作函数图象的一般方法 (1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 2．函数图象识别的解题思路 (1)抓住函数的性质，定性分析： ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从周期性，判断图象的循环往复； ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性. (2)利用函数的零点、极值点判断. (3)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 知识点2 函数图象的应用及其解题策略 1．利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系. 2．利用函数的图象解决方程和不等式的求解问题的解题策略 利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解.数形结合是常用的思想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题. 【题型1 作出函数的图象】 【例1】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数. (1)请画出函数的图象，并求的解集； (2)，，求的最大值. 【变式1-1】（24-25高一上·云南昭通·期中）已知函数的解析式为. (1)求，的值； (2)画出这个函数的图象，并写出的最大值. 【变式1-2】（2025·四川乐山·三模）已知函数． (1)画出f（x）的图象，并写出的解集； (2)令f（x）的最小值为T，正数a，b满足，证明：． 【变式1-3】（2024·陕西西安·三模）已知函数（其中）．    (1)在给定的平面直角坐标系中画出时函数的图象； (2)求函数的图象与直线围成多边形的面积的最大值，并指出面积最大时的值． 【题型2 函数图象的识别】 【例2】（2025·辽宁·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·天津河北·二模）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·广东广州·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【变式2-3】（2025·云南玉溪·二模）已知函数与的图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【题型3 根据函数图象选择解析式】 【例3】（2025·浙江台州·一模）函数的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·陕西·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·天津·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）． A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·安徽·模拟预测）心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【题型4 函数图象的变换】 【例4】（2025高三·全国·专题练习）将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式4-2】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数，与其相应的的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·辽宁本溪·模拟预测）函数的图象可看作是由函数的图象向左平移1个单位长度后得到的，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【题型5 根据实际问题作函数图象】 【例5】（2025·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·湖南邵阳·期末）如图，点在边长为1的正方形边上运动，是的中点，当点沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   【变式5-3】（24-25高一上·江西赣州·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【题型6 利用图象研究函数的性质】 【例6】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）如图所示是函数的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域中不单调 D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 【变式6-1】（2025高三下·全国·专题练习）函数的图象如图所示，其单调递增区间是（    ）    A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·甘肃酒泉·期中）如图，给出了偶函数的局部图象，则，，的大小关系为（    ）    A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知定义域为的奇函数在的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C．在定义域上不存在最小值 D．在的最大值与最小值之和为 【题型7 利用图象确定零点个数、解不等式】 【例7】（24-25高一上·天津滨海新·期中）已知函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·贵州毕节·一模）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式7-2】（2025·河南商丘·三模）已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·河北保定·一模）已知是定义在上的函数，且有，当时，，则方程的根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型8 利用图象求参数的取值范围】 【例8】（2025·内蒙古赤峰·三模）已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025·湖北·三模）已知，且，则下列可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·安徽池州·二模）已知函数，若有4个互不相同的根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·四川南充·二模）已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数与的图象的交点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·全国·模拟预测）函数的图象如图1所示，则如图2所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 4．（2025·全国·模拟预测）已知函数的图像如图所示，则此函数可能是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·甘肃白银·一模）箕舌线是平面曲线的一种，因其状如舌而得名.若箕舌线的部分图象如图所示，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知定义在R上的偶函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 7．（2025·浙江·模拟预测）如图①，在矩形中，动点从点出发，沿的方向运动，当点到达点时停止运动．过点作交于点，设点的运动路程为，图②表示的是与的函数关系的大致图象，则矩形的面积是（    ） A．20 B．18 C．10 D．9 8．（2025·河北·二模）已知函数，其中为常数，若函数 的图象如图所示，则（   ）    A．的图象与坐标轴有三个交点 B．的图象的对称轴在轴左侧 C．关于的方程有两个不等实根 D．在区间上单调递增 二、多选题 9．（2025·湖南娄底·模拟预测）下列函数，其图象平移后可得到函数的图象的有（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）下列可能是函数（其中）的图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   11．（2026高三·全国·专题练习）（多选）函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2025·全国·模拟预测）把函数的图象上各点的横坐标扩大到原来的倍，得到的图象对应的函数解析式是 ． 13．（24-25高一上·北京海淀·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为 . 14．（2025·全国·模拟预测）如图，函数的图象为折线，且线段的中点坐标为，则不等式的解集是 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·山西晋中·期中）已知函数. (1)求； (2)若，求的值； (3)画出平面直角坐标系，作出函数的图象. 16．（24-25高一上·全国·课前预习）给定函数，，． (1)在同一直角坐标系中画出函数，的图象； (2)，用表示，中的较大者，记为．请分别用图象法和解析法表示函数． 17．（2025高三·全国·专题练习）如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C，D，A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数的解析式并画出的图象. 18．（2025·上海金山·三模）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成． (1)已知，求的取值范围； (2)若方程存在实数解，求的取值范围． 19．（24-25高一上·四川成都·期末）已知函数的图象由曲线段OA：（其中，且）和射线AB构成，如图所示． (1)求的解析式； (2)在同一坐标系中，作出函数的大致图象，并从“形”的角度直观判断方程的实根个数，再从“数”的角度加以严格验证． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.7 函数与方程（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 函数零点所在区间的判断】 2 【题型2 求函数的零点或零点个数】 3 【题型3 根据函数零点个数求参数】 3 【题型4 根据函数零点的分布范围求参数】 3 【题型5 求零点的和】 4 【题型6 复合函数的零点问题】 4 【题型7 用二分法求方程的近似解】 5 【题型8 函数零点的大小与范围问题】 6 1、函数与方程 考点要求 真题统计 考情分析 (1)理解函数的零点与方程的解的联系 (2)理解函数零点存在定理，并能简单应用 (3)了解用二分法求方程的近似解 2023年新课标I卷：第15题，5分 2024年新课标Ⅱ卷：第6题，5分 2025年天津卷：第7题，5分 2025年上海卷：第21题，18分 函数的零点问题是高考常考的重点、热点内容，从近几年的高考形势来看，一般以选择题与填空题的形式出现；函数与方程的综合应用也是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大，一般出现在压轴题位置. 知识点1 确定函数零点所在区间的方法 1．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 知识点2 函数的零点个数和求参问题 1．函数零点个数的判断方法 函数零点个数的判定有下列几种方法： (1)直接法：直接求零点，令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点. (2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点. (3)图象法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. (4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数. 2．已知函数零点求参数的方法 (1)已知函数的零点求参数的一般方法 ①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数； ②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； ③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解. (2)已知函数零点个数求参数范围的方法 已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围. 知识点3 嵌套函数的零点问题 1．嵌套函数的零点问题的解题策略 函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”,设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解. 【题型1 函数零点所在区间的判断】 【例1】（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·河北沧州·二模）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·广东·模拟预测）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二下·云南·期中）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【题型2 求函数的零点或零点个数】 【例2】（2025·山东青岛·二模）函数的零点为（   ） A．0 B．1 C． D． 【变式2-1】（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）函数的零点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，则函数的零点为（    ） A．1 B．0 C．e D． 【变式2-3】（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）设定义域为的函数，则关于的函数的零点的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【题型3 根据函数零点个数求参数】 【例3】（2025·陕西西安·一模）已知函数，，若有一个零点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数，，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·湖南·二模）若函数与直线恰有三个交点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期中）已知函数若函数恰有3个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型4 根据函数零点的分布范围求参数】 【例4】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·河南开封·期末）已知是函数的零点，且，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·四川巴中·一模）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（    ） A． B．或. C． D．或. 【题型5 求零点的和】 【例5】（2025·甘肃张掖·模拟预测）函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．-1 C． D．2 【变式5-1】（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知函数的零点分别为，，，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【变式5-2】（2025·山东·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A． B．ln2 C．0 D．1 【变式5-3】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （   ） A． B．3 C．6 D．9 【题型6 复合函数的零点问题】 【例6】（2025·山东临沂·三模）已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·贵州毕节·一模）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式6-2】（2025·安徽池州·二模）已知函数，若有4个互不相同的根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高一上·河北邯郸·期末）为定义在上的偶函数，当时，，，若函数有4个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型7 用二分法求方程的近似解】 【例7】（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·全国·课后作业）用二分法求函数在区间上零点的近似解，经验证有．若给定精确度，取区间的中点，计算得，则此时零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025高三下·全国·专题练习）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（   ） A．   B．     C．   D．   【变式7-3】（24-25高一·全国·课后作业）用二分法求方程的根的近似值时，令，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989 则由表中的数据，可得方程的一个近似解（误差不超过0.1）为（    ） A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875 【题型8 函数零点的大小与范围问题】 【例8】（2025·内蒙古赤峰·二模）设函数 的零点分别为a,b,c, 则（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若方程有四个根，且，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高一上·广东佛山·期末）已知函数. (1)讨论函数的零点个数； (2)若有两个零点有两个零点，求的取值范围. 【变式8-3】（2025·海南·模拟预测）已知函数． (1)若，判断并证明的单调性； (2)当时，若函数有两个不同的零点，． （ⅰ）求m的取值范围； （ⅱ）证明：． 一、单选题 1．（2025·湖北十堰·模拟预测）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京昌平·二模）已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．（，1） D． 3．（2025高一·全国·专题练习）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 4．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 5．（2025·浙江·二模）定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间内的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2025·云南曲靖·一模）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（   ） A． B． C． D．2025 7．（2025·北京门头沟·一模）已知函数，其中表示不超过的最大整数，例如，，则下列说法正确的是（   ） A．不存在，使得有无数个零点 B．有3个零点的充要条件是 C．存在，使得有4个零点 D．存在，使得有5个零点 8．（2025·陕西西安·二模）已知函数，若函数的四个零点从小到大排列依次为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·四川达州·模拟预测）若实数都是一次函数的零点，则下列不等关系中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，则（   ） A．的零点个数为2 B．当时，有2个不同的零点 C．当时，有4个不同的零点 D．是有1个零点的充要条件 11．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．6个零点之和是6 三、填空题 12．（2025·山东·模拟预测）函数的零点为 . 13．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数是奇函数，则函数的零点个数为 ． 14．（2025·北京海淀·三模）已知函数，若函数有三个零点，则实数m的取值范围为 ． 四、解答题 15．（2025·河南·模拟预测）设且，函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数在区间上有零点，求的取值范围. 16．（24-25高一上·江西萍乡·期末）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)用二分法求方程在区间上的一个近似解（精确度为0.1）． 17．（2025·河南·模拟预测）已知，函数. (1)若，求的值； (2)若分别为的零点，求的值. 18．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数. (1)判断并用定义证明在上的单调性； (2)若函数恰有4个零点，求实数的取值范围. 19．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $