精品解析：浙江省嘉兴市南湖区北京师范大学南湖附属学校2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

北师大南湖附校2025学年第一学期期中考试试题卷（2025.11） 八年级数学学科 考生注意： 1．本试题卷分选择题、填空题和解答题三部分，共4页，满分100分，考试时间90分钟． 2．答题时，请在答题纸相应的规定位置上规范作答，在试题卷上的作答一律无效． 一、选择题（每小题有4个选项，其中有且只有一个正确．请把正确选项的代码填入答题卷的相应空格，每小题3分，共30分） 1. 下列巴黎运动会体育图标是轴对称图形的是（ ） A. 射击 B. 跳水 C. 乒乓球 D. 皮划艇 2. 已知三角形两边长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ） A. 5 B. 6 C. 11 D. 16 3. 如果，下列各式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在和中，点A、E、B、D在同一条直线上，，，只添加一个条件，不能判断的是（　　） A. B. C. D. 5. 不等式组解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 C. 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 D. 两直线平行，同位角相等 7. 的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ， C. D. 8. 已知等腰中，边上的高恰好等于的一半，则的度数是（） A. B. 或或 C. 或 D. 或或 9. 如下图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. “的3倍与的差是负数”用不等式表示为_______． 12. 已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长是______． 13. “等腰三角形两个底角相等”这个命题的逆命题是___________． 14. 如图，在中，．小红作图过程如下：以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则的长是______． 15 如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于点H，连接CH，则∠CHE=_______． 16. 如图，在中，，点是线段中点，，下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是______（填序号） 三、解答题（本题有8小题，第17~22题每题6分，第23、24题每题8分，共52分） 17. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 18. 在中，利用直尺（没有刻度）和圆规作图（要求保留作图痕迹，不必写出作法）： （1）作出边上的中线； （2）作出的角平分线； （3）作出的上的高线． 19. 如图，点E，F在上，，，，与交于点O． （1）求证：； （2）试判断的形状，并说明理由． 20. 如图，已知．求证：F是的中点． 21. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于点． （1）过点作于点，求证：； （2）若，，求的长． 22. 我校即将进行秋季实践活动，计划租用、两种型号的大巴车，已知租用辆型大巴车和辆型大巴车，共需费用元；辆型大巴车比辆型大巴车的费用多元． （1）求型大巴车和型大巴车每辆各需多少元； （2）若计划租用、两种型号大巴车共辆，且型大巴车的辆数不少于型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用采购总费用不超过元，共有哪几种采购方案？ 23. 如图，直线经过的直角顶点的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，垂足分别为点、，若，设运动时间为， （1）分别求出在此运动过程中，点与点的运动时长． （2）当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求满足条件的t的值． 24. 【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系． （1）【初步探索】 小光同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是 ． （2）【探索延伸】 在四边形中如图2，，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． （3）结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大南湖附校2025学年第一学期期中考试试题卷（2025.11） 八年级数学学科 考生注意： 1．本试题卷分选择题、填空题和解答题三部分，共4页，满分100分，考试时间90分钟． 2．答题时，请在答题纸相应的规定位置上规范作答，在试题卷上的作答一律无效． 一、选择题（每小题有4个选项，其中有且只有一个正确．请把正确选项的代码填入答题卷的相应空格，每小题3分，共30分） 1. 下列巴黎运动会体育图标是轴对称图形的是（ ） A. 射击 B. 跳水 C. 乒乓球 D. 皮划艇 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称．在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据概念逐一判断即可． 【详解】解：A：能找到一条直线，使得图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，故A是轴对称图形； BCD：均不能找到一条直线，使得图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，故不是轴对称图形； 故选：A． 2. 已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ） A. 5 B. 6 C. 11 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】设此三角形第三边的长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可． 【详解】解：设此三角形第三边的长为x，则10-4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件． 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 3. 如果，下列各式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质．根据不等式的性质，逐一判断每个选项是否正确． 【详解】解：， A、∵， ∴，正确，不符合题意； B、∵， ∴，正确，不符合题意； C、∵减去同一个数，不等号方向不变， ∴，正确，不符合题意； D、∵， ∴，即，但选项为，错误，符合题意；． 故选：D． 4. 如图，在和中，点A、E、B、D在同一条直线上，，，只添加一个条件，不能判断的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再根据三角形全等的判定方法做出选择即可． 【详解】解：∵， ∴， A、∵，，，∴，∴，该选项不符合题意； B、∵，，，∴，该选项不符合题意； C、，，不能判断，该选项符合题意； D、∵，，，∴，该选项不符合题意． 故选：C． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： 解不等式①得：x>－2 解不等式②得：x≤3 所以不等式组的解集在数轴上表示为： 故选C． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键。 6. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 C. 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了逆命题，真假命题的判定，理解并掌握全等三角形的判定，平方数的特点，对顶角的定义，平行线的判定是解题的关键． 根据题意，先改写为逆命题，再根据全等三角形的判定，平方数的特点，对顶角的定义，平行线的判定等知识进行分析即可求解． 【详解】解：A、全等三角形的对应角相等的逆命题为“三个角分别相等的三角形全等”，是假命题，不符合题意； B、如果两个有理数相等，那么它们的平方相等的逆命题为“两个有理数的平方相等，这两个有理数也相等”，是假命题，不符合题意； C、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等的逆命题是“两个角相等，这两个角是对顶角”，是假命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等的逆命题是“同位角相等，两直线平行”，是真命题，符合题意； 故选：D ． 7. 的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ， C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，包括勾股定理的逆定理和三角形内角和定理．选项A通过勾股定理逆定理判断，选项B和D通过角的关系推导出角，选项C的角比例计算后无角． 【详解】解：对于A：， 计算， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； 对于B：，则， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； 对于C：设，则，解得， ∴，无角， ∴不是直角三角形，故此选项符合题意； 对于D：，又， 代入得， ∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 8. 已知等腰中，边上的高恰好等于的一半，则的度数是（） A. B. 或或 C. 或 D. 或或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的外角的性质；本题考查等腰三角形的性质，需分情况讨论：当为底边时，；当为腰且高在三角形内部时，；当为腰且高在三角形外部时，． 【详解】解：设边上的高为，为垂足，则． ①当为底边（）时： ，， ， 又， 为等腰直角三角形，， 同理， ． ②当为腰且，高在三角形内部时： 在中，， 取的中点，连接， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ， ， 又，， 设，则，解得， ． ③当为腰且，高在三角形外部时： 在中，， 同理可得， ，且， ， 设，则，解得， ． 综上，的度数为或或， 故选：D． 9. 如下图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理，直角三角形的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置．在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形内角和，求出结果即可． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图所示： ∵，， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 10. 如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义可判断①；由结合①的结论可得，利用角平分线和公共边可证得，可得，，，可判断②；由，结合平分，可知，可证得，可得，由可判断③；由全等三角形的性质可得，，进而可判断④． 【详解】解：∵在中，、分别平分、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，，，故②正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴．故③正确； ∵，， ∴，， ∵， ∴，故④不正确； 综上，正确的有①②③，共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，角平分线与三角形内角和定理．根据三角形内角和定理以及角平分线定义，再由此证明，，是解决问题的关键． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. “的3倍与的差是负数”用不等式表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据用字母表示数或数量关系及书写规程即可求解． 【详解】解：的3倍表示为， ∴根据题意得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查用字母表示数或数量关系，理解题意，掌握用字母表示数或数量关系的书写规则是解题的关键． 12. 已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长是______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为4或是腰长为8两种情况． 【详解】解：∵等腰三角形的两边长分别为4和8， ∴当腰长是4时，则三角形的三边是4，4，8， ∵， ∴不满足三角形的三边关系， 当腰长是8时，三角形的三边是8，8，4，此时能构成三角形， ∴三角形的周长是， 故答案为：20． 13. “等腰三角形的两个底角相等”这个命题的逆命题是___________． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查逆命题，将原命题的题设和结论互换，写出逆命题即可． 【详解】解：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形； 故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 14. 如图，在中，．小红作图过程如下：以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，含30度角直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作，垂足为，根据等腰三角形三线合一可推出，再根据30度角所对直角边等于斜边的一半求得，然后利用勾股定理求得，，最后由即可求得答案． 【详解】解：过点作，垂足为，如图： 根据题意可知，， 在， 在， 故答案为：． 15. 如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于点H，连接CH，则∠CHE=_______． 【答案】65° 【解析】 【分析】先判断出，再判断出即可得到平分，即可得出结论． 【详解】解：如图，， ， 在和中， ； 过点作于，于， ， ， 在和中， ， ， 在与中 ， ， 平分； ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 16. 如图，在中，，点是线段中点，，下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是______（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】先解出的剩余的角和边，可根据“”证明，可判断①；根据①得，则，在根据可判断为等边三角形，可判断②；再证明，，，可判断③；，求出即可计算并判断④． 本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识． 【详解】解：∵在中，， ∴． 点是线段的中点， ， 是等边三角形， ， ， 于点，于点， ，，， 在和中，， ， 故①正确； ∵， ， ， ， 为等边三角形， ∴， 故②正确； ，， ， ， ，， ， ， ， 故③正确； ，，且， ， 故④错误， 故答案为：①②③． 三、解答题（本题有8小题，第17~22题每题6分，第23、24题每题8分，共52分） 17. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法及用在数轴上表示解集．将不等式组的两个不等式求解，然后根据不等式组解集的求法即可得到解集，再在数轴上将解集表示出来即可． 【详解】解： ①： 解得：； ②： 解得：； ∴不等式组的解集为，在数轴上表示为： 18. 在中，利用直尺（没有刻度）和圆规作图（要求保留作图痕迹，不必写出作法）： （1）作出边上的中线； （2）作出的角平分线； （3）作出的上的高线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图--垂直平分线、角平分线、高： （1）作出的垂直平分线，找到的中点D，连接即可； （2）以C为圆心画圆弧交的两边于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点间距离一半的长度为半径画圆弧，连接C和两段圆弧的交点，交于E，即为所求； （3）以A为圆心画圆弧，与的延长线交于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点间距离一半的长为半径画圆弧，两段圆弧交于两点，连接这两点与交于，延长这条直线，则其过A点，即为所求． 【小问1详解】 解：以A、C为圆心，大于长为半径分别画等半径的圆弧，两段圆弧交于两点，连接这两点与交于点D，连接即可： ； 小问2详解】 解：以C为圆心画圆弧交的两边于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点间距离一半的长度为半径画圆弧，连接C和两段圆弧的交点，交于E，即为所求： ； 【小问3详解】 解：以A为圆心画圆弧，与的延长线交于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点间距离一半的长为半径画圆弧，两段圆弧交于两点，连接这两点与交于，延长这条直线，则其过A点，即为所求： ． 19. 如图，点E，F在上，，，，与交于点O． （1）求证：； （2）试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）是等腰三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理：等角对等边，正确证明两个三角形全等是关键． （1）利用等式的性质可以证得，则依据即可证得三角形全等； （2）依据全等三角形的性质，即可证得，然后依据等角对等边从而证得． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌； 【小问2详解】 解：∵≌， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 20. 如图，已知．求证：F是的中点． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定与性质的综合应用，关键是熟记全等三角形的判定定理；连接、，由全等三角形的判定定理“”证得，则，然后证明，进而得到，据此可得结论． 【详解】证明：连接，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴F是的中点． 21. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于点． （1）过点作于点，求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定； （1）连接，，根据垂直平分线的性质得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）设，证明，得出，进而可得，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，， 平分 垂直平分 在和中， ， ; 【小问2详解】 解：设 , 由（1）知，和中， ， 解得 22. 我校即将进行秋季实践活动，计划租用、两种型号的大巴车，已知租用辆型大巴车和辆型大巴车，共需费用元；辆型大巴车比辆型大巴车的费用多元． （1）求型大巴车和型大巴车每辆各需多少元； （2）若计划租用、两种型号大巴车共辆，且型大巴车的辆数不少于型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用采购总费用不超过元，共有哪几种采购方案？ 【答案】（1）每辆型大巴车需元，每辆型大巴车需元 （2）共有3种采购方案：方案：租用辆型大巴车，辆型大巴车；方案：租用辆型大巴车，辆型大巴车；方案：租用辆型大巴车，辆型大巴车 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用． （1）设每辆型大巴车需元，每辆型大巴车需元，根据“租用3辆型大巴车和2辆台型大巴车，共需费用2100元；辆台型大巴车比辆型大巴车的费用多元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型大巴车，则租用辆型大巴车，根据“型大巴车的辆数不少于型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用总费用不超过11500元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出租车方案． 【小问1详解】 解：设每辆型大巴车需元，每辆型大巴车需元， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型大巴车需500元，每辆型大巴车需300元； 【小问2详解】 解：设租用辆型大巴车，则租用辆型大巴车， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为10，11，12， 该校共有3种租车方案， 方案1：租用10辆型大巴车，辆型大巴车； 方案2：租用11辆型大巴车，辆型大巴车； 方案3：租用12辆型大巴车，辆型大巴车． 23. 如图，直线经过的直角顶点的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，垂足分别为点、，若，设运动时间为， （1）分别求出在此运动过程中，点与点的运动时长． （2）当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求满足条件的t的值． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】根据，可以求出，根据点、运动的速度求出它们运动的时间； 点运动到点需要，点运动到点需要，因为，所以，因为，所以，所以，要证以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等只要再证明即可． 【小问1详解】 解：、， ， 点D的运动时长为， 点E的运动时长为：； 小问2详解】 解：， ， ， ， ， 在和中， ，， 要证以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等只要再证明， 如下图所示 当在上，在上时，即， ，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ； 如下图所示， 当在上，也在上时，即， ， ， ； 当到达，在上时，即， ，， ， ． 综上所述，当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【点睛】本题考查了三角形上的动点问题和全等三角形的判定．解决本题的关键是根据点、运动的速度和路程，分情况讨论点、在不同的位置上时形成的两个直角三角形的关系． 24. 【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系． （1）【初步探索】 小光同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是 ． （2）【探索延伸】 在四边形中如图2，，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． （3）【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】（1） （2）仍成立，理由见解析 （3）此时两舰艇之间的距离是270海里 【解析】 【分析】（1）延长到G，使，连接，先证明，再证明，则可得到结论； （2）延长到G，使，连接，先证明，再证明，则结论可求； （3）连接，延长交于点C，利用已知条件得到：四边形中：且，符合探索延伸具备的条件，则． 【小问1详解】 如图1，延长到G，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 仍成立，理由： 如图2，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 连接，延长交于点C，如图， ∵， ∴， ∵， ∴四边形中：且， ∴四边形符合探索延伸中的条件， ∴结论成立， 即（海里）， 答：此时两舰艇之间的距离是270海里． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $