精品解析：河北省秦皇岛市青龙县2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

青龙县2025-2026学年第一学期期中教学质量监测 八年级数学试卷 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷总分120分，考试时间120分钟． 请将答案正确填写在答题卡上． 第I卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题各3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上正确填涂） 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 无论x取何值，下列分式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 3. “13的立方根”用数学符号表示为（ ） A. B. C. D. 4. 命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A. 如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B. 如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C. 如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D. 如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 5. 实数：，，，(相邻两个1之间依次多一个0)，3.14，其中无理数有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 下列式子从左到右变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于的分式方程的解是．那么的值是（　　） A. 4 B. 2 C. D. 8. 圆周率π，其定义为：圆形的周长与直径之比，在实际应用中，通常都用3.14来代表圆周率去进行近似计算．数字3.14精确到（ ）位． A. 个 B. 十分 C. 百分 D. 千分 9. 如图所示的是一个网球场地，在A，，，，，六个图形中，其中全等图形有（ ） A. 对 B. 对 C. 对 D. 对 10. 如图1所示，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图2，伞点沿着伞柄滑动时，总有伞骨，，因此始终有，其判定依据是（　　） A. B. C. D. 11. 关于x的分式方程有增根，则m为（） A. 0 B. C. 7 D. 1 12. 古代建筑中，榫卯结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多千克．已知用千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为千克，符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分） 13. 的平方根是___________． 14. 分式的值为0．则x的值为_____． 15. 如图，，则______． 16. 小明将等腰直角三角板放置到两堆砖块（砖块堆与地面垂直）之间，如图所示．若每块砖的厚度都为，则的长为___________． 三、解答题（本答题共8个小题；共72分．解答应写出演算步骤、证明过程或文字说明） 17. 计算 （1） （2） 18. 解方程 （1） （2） 19. 已知：如图，，． （1）求证：． （2）求证：． 20. 宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用A、B两种型号的数控机器人分拣快递．已知A型数控机器人每小时分拣快递件数是B型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ 21. 某同学在化简时，出现错误，错误的化简过程如下： 解：原式① ② ③ 这位同学的错误出现在第___________步．请你写出这道题的正确解答过程，并从，1，三个数字中选择一个合适的数作为的值代入求值． 22. 图1是由10个边长均为1的正方形组成的图形，我们沿图的虚线，将它剪开后，重新拼成一个大正方形． （1）在图1中，拼成的大正方形的面积为___________，边长的长为___________． （2）估算正方形的边长在哪两个整数之间，并写出边长的小数部分． （3）先将图1水平放置在如图2所示的数轴上，使得大正方形的顶点与数轴上表示的点重合，若以点为圆心，长为半径画圆，与数轴交于点，求点表示的数． 23. 如图，已知 （1）小明同学计划用尺规作图，依据（边边边）全等条件，作出，使，并且和在直线的同侧．小明已经完成了第一步：以点为圆心，长为半径画弧，如图1所示．请在图1中将剩余的作图补充完整，画出．（保留作图痕迹，不要求写出作图过程） （2）连接，求证：． （3）设与相交于点．若，，求的度数． 24. 班主任王老师近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：____元 （1）用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用； （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低？(年费用年行驶费用年其它费用) 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青龙县2025-2026学年第一学期期中教学质量监测 八年级数学试卷 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷总分120分，考试时间120分钟． 请将答案正确填写在答题卡上． 第I卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题各3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上正确填涂） 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，一般地，如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；的分母中含有字母，是分式． 故选：D． 2. 无论x取何值，下列分式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，即分母不为零，分别分析每个选项分母的取值情况．本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式分母不为零是解题的关键． 【详解】解：选项A，当，即时，分母为，分式无意义． 选项B，当，即时，分母为，分式无意义． 选项C，因为，所以，分母一定不为，分式一定有意义． 选项D，当，即时，分母为，分式无意义． 故选：． 3. “13的立方根”用数学符号表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查立方根的定义，根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：13的立方根是， 故选：D． 4. 命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A. 如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B. 如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C. 如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D. 如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【解析】 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 5. 实数：，，，(相邻两个1之间依次多一个0)，3.14，其中无理数有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了无理数，立方根，根据无理数的定义（无限不循环小数）判断每个数是否为无理数． 【详解】是开方开不尽的数，为无理数；，为有理数；为无理数；0.1010010001．．． 是无限不循环小数，为无理数；3.14是有限小数，为有理数． ∴ 无理数有、、0.1010010001．．．，共3个． 故选：C． 6. 下列式子从左到右变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质逐项分析即可． 【详解】解：A． ∵a与b不一定相等， ∴不一定正确，故不符合题意； B．不正确，故不符合题意； C．不正确，故不符合题意； D．正确，故符合题意； 故选D． 7. 关于的分式方程的解是．那么的值是（　　） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，将已知解代入分式方程求解即可． 【详解】∵关于的分式方程的解是， ∴代入得， ∴． 故选：D． 8. 圆周率π，其定义为：圆形的周长与直径之比，在实际应用中，通常都用3.14来代表圆周率去进行近似计算．数字3.14精确到（ ）位． A. 个 B. 十分 C. 百分 D. 千分 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了近似数，掌握近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位是本题的关键． 【详解】解：数字3.14精确到了百分位， 故选：C． 9. 如图所示的是一个网球场地，在A，，，，，六个图形中，其中全等图形有（ ） A. 对 B. 对 C. 对 D. 对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是全等图形的识别．熟练掌握全等图形的特征，是解题的关键．  由全等图形的定义，能够完全重合的两个图形叫做全等图形，分析即得答案． 【详解】观察图形，根据全等的知识可知：图中A与，与，与能够重合，是全等形． 共对．  故选：C． 10. 如图1所示，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图2，伞点沿着伞柄滑动时，总有伞骨，，因此始终有，其判定依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据三边对应相等的两个三角形全等即可证明，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故选：A． 11. 关于x的分式方程有增根，则m为（） A. 0 B. C. 7 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．由分式方程有增根，得到最简公分母为0，确定出m的值即可． 【详解】解：分式方程去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：． 故选：C． 12. 古代建筑中，榫卯结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多千克．已知用千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为千克，符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设制作个榫需要的木材为千克，则每个卯需要的木材为千克，结合千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同，列出方程即可，解题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 【详解】解：设制作个榫需要的木材为千克，则每个卯需要的木材为千克， 由题意可得，， 故选：． 第II卷（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分） 13. 的平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平方根，准确把握平方根的定义是解题的关键．根据平方根的定义：若一个数的平方等于，则这个数是的平方根，结合平方运算的结果特征，得出正数的平方根有两个且互为相反数． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 分式的值为0．则x的值为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题． 【详解】解：由题意可得|x|-5=0且x+5≠0， 解得x=5． 故答案是：5． 【点睛】考查了分式的值为零的条件，由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题． 15. 如图，，则______． 【答案】##105度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质：对应角相等，可得，最后根据三角形内角和即可求解； 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为： 16. 小明将等腰直角三角板放置到两堆砖块（砖块堆与地面垂直）之间，如图所示．若每块砖的厚度都为，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的定义；利用即可证明，根据全等三角形的性质得到，，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：是等腰直角三角形， ∴，， ， ， 在中，， ， 在与中， ， ∴； ∵，， ， ，， ， 即的长度为． 故答案为：． 三、解答题（本答题共8个小题；共72分．解答应写出演算步骤、证明过程或文字说明） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算； （1）根据同分母分式的加法进行计算即可求解； （2）先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）无解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键． （1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【小问1详解】 解： 方程两边同乘，得 解得 检验：当时， ∴是分式方程的增根，原分式方程无解； 【小问2详解】 解： 方程可化为 方程两边同乘，得 解得 检验：当时， ∴是原分式方程的解． 19. 已知：如图，，． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1） 证明：在和中 ； （2） 证明： ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． （1）根据直接证明两三角形全等，即可得证； （2）根据全等三角形的性质得到，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用A、B两种型号的数控机器人分拣快递．已知A型数控机器人每小时分拣快递件数是B型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ 【答案】A型数控机器人每小时分拣快递90件，B型数控机器人每小时分拣快递60件． 【解析】 【分析】设B型数控机器人每小时分拣x件快递，先用x表示出A型数控机器人每小时分拣快递的数量，再根据“一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成”列出分式方程求解，并检验根． 本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是正确列出方程． 【详解】解：设一台B型数控机器人每小时分拣x件快递，则一台A型数控机器人每小时分拣件快递，根据题意，得 ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：A型数控机器人每小时分拣快递90件，B型数控机器人每小时分拣快递60件． 21. 某同学在化简时，出现错误，错误的化简过程如下： 解：原式① ② ③ 这位同学的错误出现在第___________步．请你写出这道题的正确解答过程，并从，1，三个数字中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】②； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．根据分式混合运算的法则计算即可． 【详解】解：这位同学的错误出现在第②步， 原式 ， 要使分式有意义，不能取，1， 取． 当时，原式． 22. 图1是由10个边长均为1的正方形组成的图形，我们沿图的虚线，将它剪开后，重新拼成一个大正方形． （1）在图1中，拼成的大正方形的面积为___________，边长的长为___________． （2）估算正方形的边长在哪两个整数之间，并写出边长的小数部分． （3）先将图1水平放置在如图2所示的数轴上，使得大正方形的顶点与数轴上表示的点重合，若以点为圆心，长为半径画圆，与数轴交于点，求点表示的数． 【答案】（1）10， （2）正方形的边长在3与4之间，正方形的边长的小数部分为 （3）点表示的数为或 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用以及数轴与实数，掌握算术平方根的估值方法、数形结合，是解题的关键． （1）利用图形剪拼前后面积不变求解； （2）利用算术平方根的估值方法求解； （3）根据实数与数轴的关系求解，注意要分两种情况求解． 【小问1详解】 剪开前图形的面积等于，剪拼前后图形面积不变， 拼成的大正方形的面积为10， 正方形的边长为， ． 【小问2详解】 由（1）知，正方形的边长为， ， ， 正方形的边长在3和4之间 正方形的边长的小数部分为； 【小问3详解】 由（1）知正方形的边长为， ， 又点B与数轴上表示的点重合， 点E表示的数为或． 23. 如图，已知 （1）小明同学计划用尺规作图，依据（边边边）全等条件，作出，使，并且和在直线的同侧．小明已经完成了第一步：以点为圆心，长为半径画弧，如图1所示．请在图1中将剩余的作图补充完整，画出．（保留作图痕迹，不要求写出作图过程） （2）连接，求证：． （3）设与相交于点．若，，求的度数． 【答案】（1） 解：如图， （2） 证明：如图，连接， ∵， ∴，， 在和中 ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作边等于已知边，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）以点为圆心，以为半径画弧，以点为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，连接，即可； （2）由可得，，再由共用可得，由全等三角形对应角相等即可求解； （3）根据可得，根据三角形的外角的性质可得，再根据可得，由此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴． 24. 班主任王老师近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：____元 （1）用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用； （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低？(年费用年行驶费用年其它费用) 【答案】（1） （2）①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元；②每年行驶超过千米，买新能源车的年费用更低 【解析】 【分析】（）用总电价除以续航里程列出代数式即可； （）①根据题意列出分式方程，解方程求出的值，进而即可求解；②设每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可求解； 本题考查了列代数式，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：新能源车的每千米行驶费用为； 【小问2详解】 解：①由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴，； 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元； ②解：设每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低， 由题意得，， 解得， 答：每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $