北京市第一六六中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

北京市第一六六中学2025－2026学年度第一学期期中考试 初三年级 数学学科 （考试时长：120分钟） 考查目标 知识：一元二次方程、二次函数、旋转、圆、概率 能力：运算能力、推理能力、几何直观、抽象能力、空间观念、随机意识、模型观念 一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 刺绣是中国民间传统手工艺之一．下列刺绣图案中，是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象向右平移1个单位长度，得到的二次函数解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 不透明的袋子中装有1个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是绿球的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A，B，C，D在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. －1 D. －2 6. 如图中的五角星图案，绕着它的中心O旋转后，能与自身重合，则n的值至少是（　　） A. 60 B. 72 C. 120 D. 144 7. 二次函数图象上部分点的坐标满足如表： … －3 －2 0 1 3 5 … … 7 0 7 … 下面有四个结论： ①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线； ③当时，； ④是关于的一元二次方程的一个根． 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 下面的四个问题中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ） A. 汽车从甲地匀速行驶到乙地，剩余路程与行驶时间 B. 当电压一定时，通过某用电器的电流与该用电器的电阻 C. 圆锥的母线长等于底面圆的直径，其侧面积与底面圆的半径 D. 用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积与一边长 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 二次函数y=x2﹣4x+3图象的顶点坐标为__________． 10. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，如果 AB=8，OC=3，那么⊙O的半径等于_________． 11. 扇形的半径为6cm，圆心角为60°，则该扇形的面积是____cm2． 12. 已知二次函数的图象开口向下，且经过点，写出一个符合题意的二次函数的表达式______________． 13. 某厂家2020年1~5月份口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程________． 14. 小红利用计算机模拟“投针试验”：在一个平面上画一组间距为cm的平行线，将一根长度为cm的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都不相交．下图显示了小红某次实验的结果，那么可以估计出针与直线相交的概率是______（结果保留小数点后两位）． 15. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为_______步． 16. 某公园有四处景点需要修复，修复每个景点需要一定数量的工人连续数天完成（每名工人每天的工作量相同）．修复每个景点所需的工人数（单位：人）和天数（单位：天）如下： 景点 A B C D 工人数 4 3 2 5 天数 3 4 5 2 公园计划聘用m人，用n天的时间完成所有修复工作． （1）若，则n的最小值是______； （2）假设每名工人每天工资为a元，且一旦聘用，在完成所有景点修复工作前，每天无论是否工作都要支付工资，不得中途辞退，则支付给工人的工资总额最少为______元（用含a的式子表示）． 三、解答题（共68分，第17－22题，每题5分，第23－26题，每题6分，第27－28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程：． 18. 已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； （2）直接写出该抛物线的对称轴； （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 19. 下面是小东设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图，及外一点P．求作：过点P的的切线． 作法： ①连接，分别以点O、点P为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M、点N，作直线交于点T： ②以点T为圆心，的长为半径作圆，交于点A、点B； ③作直线，． 所以直线，就是所求作的的切线． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）： （2）完成下面证明． 证明：连接． 是的直径， °（ ）（填推理的依据）． ． 又OA为的半径， 直线是的切线（ ）（填推理的依据）． 同理可证，直线也是的切线． 20. 为了发展学生的兴趣爱好，学校利用课后服务时间开展了丰富的社团活动．小明和小天参加的篮球社共有甲、乙、丙三个训练场．活动时，每个学生用抽签的方式从三个训练场中随机抽取一个场地进行训练． （1）小明抽到甲训练场的概率为______； （2）用列表或画树状图的方法，求小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的概率． 21. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． （1）作点A关于点O的对称点； （2）连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点B的对应点为，画出旋转后的线段； （3）连接 ，，求出的面积（直接写出结果即可）． 22. 在圆周角定理的证明过程中，某小组归纳了三种不同的情况，并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三，并补全该情况的证明过程． 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 已知：中，所对圆周角为，圆心角为． 求证：． 证明： 情况一（如图1）： 点在的一边上． ， ． ， 、 即． 情况二（如图2）： 点在的内部． 情况三（如图3）： 点在的外部． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果方程有一个根为正数，求的取值范围． 24. 如图，的半径与弦互相垂直，垂足为D，连接，． （1）求证：； （2）延长交于点，过点作的切线交的延长线于点．若，，求的度数及的长． 25. 乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 33 45 49 33 0 根据以上数据，解决下列问题： （1）当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是______，表格中的值为______； （2）求出满足条件的函数表达式； （3）若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后______落到对面球台上（填“能”或“不能”）． 26. 在平面直角坐标系中，已知，，，是抛物线上的四个点，且任意两点都不重合． （1）直接写出抛物线与轴的交点坐标（可用含的代数式表示）； （2）将抛物线在点，之间部分（含，）所有点的纵坐标的最小值记为，并将抛物线在，之间的部分（含，）所有点的纵坐标的最小值记为，若，求的取值范围． 27. 如图，等腰直角中，将边绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，过点C作交于E，连接． （1）依题意补全图1； （2）求的度数； （3）作点A关于直线的对称点M，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 对于平面直角坐标系内的点和图形，给出如下定义：如果点绕原点顺时针旋转得到点，点落在图形上或图形围成的区域内，那么称点是图形关于原点的“伴随点”． （1）已知点，，．①在点，，中，点________是线段关于原点的“伴随点”；②如果点是关于原点的“伴随点”，求的取值范围； （2）的圆心坐标为，半径为1，如果直线上存在关于原点的“伴随点”，直接写出的取值范围． 北京市第一六六中学2025－2026学年度第一学期期中考试 初三年级 数学学科 （考试时长：120分钟） 考查目标 知识：一元二次方程、二次函数、旋转、圆、概率 能力：运算能力、推理能力、几何直观、抽象能力、空间观念、随机意识、模型观念 一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、填空题（共16分，每题2分） 【9题答案】 【答案】（2，-1）； 【10题答案】 【答案】5 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】(答案不唯一) 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】6 【16题答案】 【答案】 ①. 8 ②. 三、解答题（共68分，第17－22题，每题5分，第23－26题，每题6分，第27－28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 【17题答案】 【答案】， 【18题答案】 【答案】（1）见解析 （2）直线 （3） 【19题答案】 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【20题答案】 【答案】（1） （2） 【21题答案】 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）8 【22题答案】 【答案】见解析 【23题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 【24题答案】 【答案】（1）见解析 （2）； 【25题答案】 【答案】（1）230，45 （2） （3）能 【26题答案】 【答案】（1）， （2）且且且 【27题答案】 【答案】（1）见解析 （2） （3），理由见解析 【28题答案】 【答案】（1）①，；②； （2）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $