精品解析：广东省深圳市宝安中学外国语学校（集团）2025-2026学年上学期九年级期中模拟考试数学试卷

2025-2026学年宝中外初三年级第一学期期中模拟 数学 一、选择题（每题3分，满分24分） 1. 如图所示几何体的俯视图是（ ） A B. C. D. 2. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等．线段在横格纸上，与作业本的横线交于点，若，则的长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 数学课上李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 黄球 C. 红球 D. 白球 5. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，尺规作图操作步骤如下：①以点C为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧交于点E，连结．则下列说法一定正确的是（　　） A. 若，则四边形是矩形 B. 若，则四边形是菱形 C. 若，则四边形矩形 D. 若，则四边形是菱形 6. 某小区利用一块长方形空地建一个停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为米，宽为米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，要使停车位占地面积为，则通道宽应为多少米？设通道宽为米，可列方程为（　　） A. B. C. D. 7. 若方程的两个根是和，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 如图，在平面直角坐标系中，直角边在轴的正半轴上，且，斜边，点为线段上一动点．若点为线段的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点的对应点为，若与的边垂直，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，满分15分） 9. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为_____． 10. 已知，且，那么__________． 11. 如图，大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为的黄金分割点，若，则长为______． 12. 如图，点O为菱形的对称中心，连接，，连接并延长交边于点F，则四边形的面积为___________． 13. 如图，和中，，，点D在内部，且，若，作于点F，交于点G，则的长为______． 三、解答题： 14. 选择适当的方法解方程． （1）； （2）． 15. 中国人在餐桌上的礼仪文化源远流长，曾因孔子的称赞推崇而成为历朝历代表现大国之貌、礼仪之邦、文明之所的重要方面．某天，张教授宴请自己的5位学生（分别用、、、、表示），如图，根据中国的餐桌礼仪文化，入座时张教授应坐在餐桌上座的位置，五位学生在其余五个座位（分别用①、②、③、④、⑤表示）随机入座．已知学生第一个到，他从五个座位中随机选择一个座位入座，学生第二个到，他在剩下的四个座位中随机选择一个座位入座． （1）学生坐在②号座位的概率为_______； （2）请用列表法或画树状图的方法，求学生和学生入座后相邻的概率． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为A，B，C． （1）画出关于x轴对称的； （2）以M点为位似中心，在第一象限中画出将按照1：2放大后的位似图形； （3）利用网格和无刻度的直尺作出的中线（保留作图痕迹）． 17. 如图1，在中，的角平分线交边于点D，甲、乙两人想作菱形，使得E、F两点分别在边和边上，他们的作法如下：甲：作的中垂线分别交、于点E、F，连接、，则四边形即为所求；乙：分别作交边于点E，交于点F，则四边形即为所求； （1）对于两人作法，你认为：______ A．甲、乙都对； B．甲、乙都错； C．甲正确，乙错误； D．甲错误、乙正确； 请你选择一种甲或乙中你认为正确作法进行证明（作图无须用尺规）； （2）如图2，菱形中，过点F作，垂足为点G，若点G是的中点，，求的长． 18. 项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量（个）的情况，记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价元 61 60 59 58 57 日销售量个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 （1）该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为_____． 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 19. 新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”． 比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为． （1）已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”； （2）已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”． 20. 在四边形中，是边上的一点，是对角线的中点． （1）如图1，四边形是正方形，连接，作交于点，求证：； （2）如图2，四边形是平行四边形，，连接，作交于点，连接，求的值； （3）如图3，四边形是菱形，，连接交于点是边上的一点，，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年宝中外初三年级第一学期期中模拟 数学 一、选择题（每题3分，满分24分） 1. 如图所示几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是从正上方看到的图形，逐项判断即可． 【详解】解：由几何体可知，俯视图为矩形，矩形中间偏左有一条实线，如图所示， 故选：D． 2. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：． 3. 如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等．线段在横格纸上，与作业本的横线交于点，若，则的长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该知识点是解题的关键．过点作横线的垂线，交点所在横线于点，交点所在横线于点，根据题意可知，再由平行线分线段成比例定理得到，据此求解即可． 【详解】解：过点作横线的垂线，交点所在横线于点，交点所在横线于点，如图所示， 则， ， ，即， ， 故选：B． 4. 数学课上李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 黄球 C. 红球 D. 白球 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为，再分别计算出抽到三种颜色的球的概率即可得到答案． 【详解】解：由题意得，该球的频率稳定在左右，即抽到该球的概率为， ∵抽到白球的概率为，抽到黄球的概率为，抽到红球的概率为， ∴该球的颜色最有可能是黄球， 故选：B． 5. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，尺规作图操作步骤如下：①以点C为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧交于点E，连结．则下列说法一定正确的是（　　） A. 若，则四边形是矩形 B. 若，则四边形是菱形 C. 若，则四边形是矩形 D. 若，则四边形是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形综合．熟练掌握矩形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定，是解题的关键． 根据矩形的判定，菱形的判定，以及平行四边形的性质定理逐一判定即得． 【详解】解：由作图知，， ∵， ∴， 在平行四边形中，当时， ， ∴四边形不一定是矩形， 故A不符合题意； 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 故B符合题意； 当时， 平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 故C不符合题意； 当时， 平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形不一定是菱形， 故D不符合题意； 故选：B． 6. 某小区利用一块长方形空地建一个停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为米，宽为米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，要使停车位占地面积为，则通道宽应为多少米？设通道宽为米，可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，平移的性质，掌握利用一元二次方程解决面积问题是解题的关键．利用平移的性质可得停车位组成一个边长为米，米的长方形，再根据矩形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：利用平移的性质可得停车位形成一个边长为米，米的长方形， 则可列方程． 故选：C． 7. 若方程的两个根是和，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为和，则，． 【详解】解：∵和是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：C 8. 如图，在平面直角坐标系中，的直角边在轴的正半轴上，且，斜边，点为线段上一动点．若点为线段的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点的对应点为，若与的边垂直，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，折叠性质，坐标与图形，直角三角形斜边上的中线性质等知识，解题的关键是学会利用相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 如图2中，设交于点．先利用勾股定理求出，利用相似三角形的性质求出，再求出、，可得结论． 【详解】解： 如图中，设交于点． 在中，，，， ∴， ∴； ∵，， ∴，， ∴， 由翻折的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为 故选A． 二、填空题（每题3分，满分15分） 9. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 直接将代入一元二次方程计算即可． 【详解】解：将代入一元二次方程得： ， 解得：， 故答案为：． 10. 已知，且，那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，设，则，再根据建立关于k的方程，解方程求出k的值，进而求出b的值即可得到答案． 【详解】解：设， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 11. 如图，大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为的黄金分割点，若，则长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割中的比例关系是解题的关键．根据黄金分割点的定义，列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ∴ 故答案为：． 12. 如图，点O为菱形的对称中心，连接，，连接并延长交边于点F，则四边形的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，证明为等边三角形，过点作，过点作，用的面积减去的面积进行求解即可． 【详解】解：∵点O为菱形的对称中心，， ∴，， ∴为等边三角形，， ∴，， 过点作，过点作， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 13. 如图，和中，，，点D在内部，且，若，作于点F，交于点G，则长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、正切的定义等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 先求出，过点A作的平行线交延长线于点H，则，过点E作的延长线的垂线，垂足为J， 证明，则，求出， 再证明，则， 证明， 则， 求出， 则， 由勾股定理得，再对运用面积法求解， 最后由线段的和差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 如图，过点A作的平行线交延长线于点H，则，过点E作的延长线的垂线，垂足为J， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则在中， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ． ， ， ． 故答案为：． 三、解答题： 14. 选择适当的方法解方程． （1）； （2）． 【答案】（1）, （2）, 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键在于熟练掌握公式法与因式分解法． （1）利用公式法求解，即可解题； （2）利用因式分解法解一元二次方程，即可解题． 小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解： 或， 解得， ． 15. 中国人在餐桌上礼仪文化源远流长，曾因孔子的称赞推崇而成为历朝历代表现大国之貌、礼仪之邦、文明之所的重要方面．某天，张教授宴请自己的5位学生（分别用、、、、表示），如图，根据中国的餐桌礼仪文化，入座时张教授应坐在餐桌上座的位置，五位学生在其余五个座位（分别用①、②、③、④、⑤表示）随机入座．已知学生第一个到，他从五个座位中随机选择一个座位入座，学生第二个到，他在剩下的四个座位中随机选择一个座位入座． （1）学生坐在②号座位的概率为_______； （2）请用列表法或画树状图的方法，求学生和学生入座后相邻的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及概率公式，概率等于所求情况数与总情况数之比，熟练掌握并运用相关知识是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）先列表得到所有可能情况，再找出符合题意的情况，最后根据概率公式求解即可； 【小问1详解】 解：根据题意可得：学生坐在②号座位的概率． 【小问2详解】 解：列表如图： 学生B 学生 ① ② ③ ④ ⑤ ① 相邻 不相邻 不相邻 不相邻 ② 相邻 相邻 不相邻 不相邻 ③ 不相邻 相邻 相邻 不相邻 ④ 不相邻 不相邻 相邻 相邻 ⑤ 不相邻 不相邻 不相邻 相邻 根据表格可得，共有20种情况，其中学生和学生入座后相邻的情况有8种情况， 故学生和学生入座后相邻的概率． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为A，B，C． （1）画出关于x轴对称的； （2）以M点为位似中心，在第一象限中画出将按照1：2放大后的位似图形； （3）利用网格和无刻度的直尺作出的中线（保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）取格点M、N，连接与相交于点D，则即为所求作的中线． 【小问1详解】 解：如图，为所作； 【小问2详解】 解：如图，为所作； 【小问3详解】 解：如图，为所作． 【点睛】本题考查了位似变换：画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了轴对称变换和平行四边形的性质． 17. 如图1，在中，的角平分线交边于点D，甲、乙两人想作菱形，使得E、F两点分别在边和边上，他们的作法如下：甲：作的中垂线分别交、于点E、F，连接、，则四边形即为所求；乙：分别作交边于点E，交于点F，则四边形即为所求； （1）对于两人的作法，你认为：______ A．甲、乙都对； B．甲、乙都错； C．甲正确，乙错误； D．甲错误、乙正确； 请你选择一种甲或乙中你认为正确作法进行证明（作图无须用尺规）； （2）如图2，菱形中，过点F作，垂足为点G，若点G是的中点，，求的长． 【答案】（1）A （2） 【解析】 【分析】（1）运用菱形的判定定理分别对甲、乙的作法进行判断即可； （2）由题意和菱形的性质可知，利用三角函数得出，再根据角平分线得到，作于点，利用三角函数得出，进而得出答案． 【小问1详解】 ①甲的作法： 证明：如图， 垂直平分， ，，， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为菱形， 所以甲的作法正确； ②乙的作法： 证明：如图， ，， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， ， 为菱形， 所以乙的作法正确； 综上所述，甲、乙都对，故选A． 【小问2详解】 解：如图， 四边形为菱形， ， 为中点， ， ， ， ， 平分， ， 作于点， ， ， ， 四边形为菱形， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质定理、垂直平分线的性质、全等三角形的判定、平行线的性质、三角函数等知识点，属于综合题，熟练掌握各个定理是解题的关键． 18. 项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量（个）的情况，记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价元 61 60 59 58 57 日销售量个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 （1）该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为_____． 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系，故可设日销售量与销售单价之间的函数关系式为，将，代入，得，解方程组即可求出与的值，进而得出该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）根据“每日利润（销售单价进价）日销售量房租、水电费、人工费等运营成本”可得，解得，，进而可得当销售单价为65元时日销售量为20个，销售单价为50元时日销售量为50个，由于，再结合“为了尽快减少库存”，即可得出答案． 【详解】解：（1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系， 故可设日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 将，代入，得： ， 解得：， 该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 故答案为：； （2）根据题意，得： ， 解得：，， 当销售单价为65元时，日销售量为20个， 当销售单价为50元时，日销售量为50个， ，且为了尽快减少库存， ， 答：该益智玩具的销售单价应定为50元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用（其他问题），一元二次方程的应用（营销问题），用表格表示变量间的关系，求一次函数解析式，解二元一次方程组，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式并根据题中的数量关系正确列出一元二次方程是解题的关键． 19. 新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”． 比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为． （1）已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”； （2）已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后根据新定义求解即可； （2）令它的“原生方程”两根分别为，根据题意得出，或，然后求解即可． 【小问1详解】 解：解 得， 则， 所以一元二次方程的“再生韦达方程”为， 即； 【小问2详解】 解得， 令它的“原生方程”两根分别为， 则，或． 当，则所求“原生方程”为； 当，则所求“原生方程”为． 综上所述，它的“原生方程”为或． 20. 在四边形中，是边上的一点，是对角线的中点． （1）如图1，四边形是正方形，连接，作交于点，求证：； （2）如图2，四边形是平行四边形，，连接，作交于点，连接，求的值； （3）如图3，四边形是菱形，，连接交于点是边上的一点，，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据正方形的性质，利用得到，即可证明结论； （2）过点A作于点G，过点F作于点，根据勾股定理求出长，然后根据平行四边形的面积公式求出长，根据正切得到长，然后设，则，求出长，再根据正切得到求出a的值，解答即可； （3）过点D作于点P，作于点Q，设，求出，，然后表示，，在射线上截取，在射线上截取，根据全等得到，，，然后根据勾股定理求出x值，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是正方形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点A作于点G，过点F作于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， 同理可得，即， 解得， ∴， 又∵O是的中点， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点D作于点P，作于点Q，设， ∵是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在射线上截取，在射线上截取， ∵是菱形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， 同理：，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 解得， 又∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， 又∵O是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查四边形的综合，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $