精品解析：云南省昆明市官渡区云南大学附属中学星耀学校2026届高三上学期期中考试数学试题

云南大学附属中学星耀学校2025-2026学年（上）期中考试 高三数学试卷 （考试时间：120分钟总分：150分） 诚信誓言：我以我的荣誉起誓，在本次考试中，诚实守信，成绩真实． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的概念结合集合间的关系可得结果. 【详解】a＝3时，A＝{1，3}，A⊆B，即充分性成立； 当A⊆B时，a＝2或3，即必要性不成立； 故选：A. 2. 设，若，则（　　） A. 3 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标运算可得，由平面向量线性运算的坐标表示及模长公式计算即可. 【详解】因为，， 所以，解得，即， 因为，所以. 故选：B 3. 若，则等于（　　） A. 4 B. C. 32 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】展开式的通项公式为：， 令，即得：， 所以. 故选：D 4. 已知一个底面半径为1的圆锥侧面展开图形的面积是底面面积的4倍，则该圆锥的母线长为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式以及条件列方程，即可得答案. 【详解】已知圆锥底面半径 ，底面面积 ， 侧面展开图为扇形，其面积是底面面积的 4 倍， 因此侧面积 ， 圆锥的侧面积公式为 ，其中  为母线长， 联立得：， 解得：， 因此，该圆锥的母线长为 4. 故选：A 5. 已知内角的对边成等差数列，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差中项的性质及三角形面积公式计算即可. 【详解】由成等差数列可知， 而， 所以，整理得，所以 即为正三角形，则. 故选：B 6. 已知函数是定义域为的奇函数，且在上单调递减．若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得在R上的单调性，然后由奇函数性质可得答案. 【详解】是定义域为的奇函数，且在上单调递减， 则在上单调递减，即在R上单调递减. 又，则， 则. 故选：C 7. 椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，其中点在轴上，若，则椭圆的离心率等于（　　） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设为上顶点，过作轴于，根据条件，利用相似比求得，利用点在椭圆上，建立方程，即可求解. 【详解】如图，不妨设为上顶点，过作轴于， 易知，则，因为， 所以，又，则， 所以，又在椭圆上， 所以，整理得到，所以， 故选：D. 8. 对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数拐点处的切线方程为 B. 当时，函数在区间内存在最小值，则的取值范围是 C. 若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是 D. 对任意实数，直线与曲线有唯一公共点 【答案】AD 【解析】 【分析】求出函数的二阶导数，求出拐点处的横坐标，再由导数的几何意义求出切线方程，即可判断A，利用导数说明函数的单调性，求出函数的极小值点，即可得到不等式组，从而判断B，设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，得到，再转化为交点问题，即可判断C，联立直线与曲线方程，消元，即可判断D. 【详解】对于A：当时，，则，， 令，解得， 又，，所以函数拐点处的切线方程为，即，故A正确； 对于B：当时，则， 所以当时，当或时， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以在处取得极小值，又， 要使函数在区间内存在最小值， 所以，解得， 即的取值范围是，故B错误； 对于C：因为，则， 设切点为，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 整理得， 令，则， 所以当时，当或时， 所以在上单调递增，在，上单调递减， 所以在处取得极小值，在处取得极大值，又，， 因为经过点可以向曲线作三条切线，即与有三个交点， 所以，即的取值范围是，故C错误； 对于D：由，可得， 即， 显然在定义域上单调递增， 所以，即对任意实数，直线与曲线有唯一公共点，故D正确. 故选：AD 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数模的运算即可判断AB，利用复数的几何意义即可判断CD. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为当时，满足，故B错误； 对于C，因点的坐标为，则，，则对应的点在第三象限，故C正确； 对于D，由，可知点的集合所构成的图形为圆环,其面积为，故D正确. 故选：ACD. 10. 有6个相同的球，分别标有数字，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是5”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列选项正确的是（ ） A. 甲与乙不互斥 B. 丙发生的概率为 C. 甲与丁相互独立 D. 乙与丙相互独立 【答案】AC 【解析】 【分析】先分别计算出事件甲、乙、丙、丁的概率，可判断B选项；直接由互斥事件的概念判断A选项；由独立事件概率公式判断C、D选项即可. 【详解】由题意可知，有放回地随机取两次，共计36个基本事件， 两点数和为6的所有可能为， 两点数和为7的所有可能为， 甲乙丙丁， 对于A选项，甲与乙可以同时发生，甲与乙不互斥，故选项A正确； 对于B选项，由上可知错误，故选项B错误； 对于C选项，（甲丁）（甲）（丁），甲与丁相互独立，故选项C正确； 对于D选项，（乙丙）（乙）（丙），乙与丙不相互独立，故选项D错误. 故选：AC. 11. 边长为1的正方体中，向量，则（ ） A. 若，则存在点，有 B. 若，则 C. 若，则的最小值为 D. 若，则三棱锥的体积为定值 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间中点线面的位置关系，和空间向量基本定理，空间中四点共面的判定方法，以及空间向量的共线、模长的表示方法，和三棱锥体积的求法，逐一判断各选项的正误，求出结果； 【详解】 如图所示： 已知， 当时，即， 解得，由，所以不满足条件，不存在点使得，所以A错误； 当时，，， ，所以，所以B正确； 由题意知， 所以， 由不等式可知， 因为，所以，所以； 由均值不等式可知， 所以，所以C正确； 当时，点与三点共面，即面， 由正方体的性质可知， 所以面面，可得三棱锥的体积为定值； 即，正方体棱长为1，则，所以D错误； 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用指数与对数的转化结合换底公式计算即可. 【详解】由可知，所以. 故答案为： 13. 当时，的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用均值不等式即可求最小值. 【详解】因为，所以，则， 当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 14. 若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数对函数的单调性进行判断，由于存在参数，需对的取值进行分类讨论，根据函数有3个零点的条件求解. 【详解】函数的定义域为. ，化简得. 若，则恒成立. 因此，当时，，单调递减；当时，，单调递增. 故此时至多有2个零点，与条件不符. 若，则. 当，即时， 和时，，单调递增； 时，，单调递减. 故当时，有极大值， 当时，有极小值，化简得. 因为趋于时，趋于，当趋于时，趋于， 所以，要使有3个零点，则极大值，极小值. 故，解得. 当，即时， 和时，，单调递增； 时，，单调递减. 故当时，有极大值， 当时，有极小值. 要使有3个零点，则极大值，极小值. 则，解得，与矛盾. 故此情况没有实数能使由3个零点. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某车企为了调查新能源汽车的款式与买车的客户性别的关联性，调查了200名客户的购买情况，得到如下列联表： 性别 车型款式 合计 A款新能源汽车 B款新能源汽车 男性客户 90 120 女性客户 10 合计 200 （1）求出，的值． （2）将上面列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否认为选购新能源汽车的款式与性别有关联？ （3）假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购新能源汽车的款式情况相互独立．若从购买者中随机抽取3人，设被抽取的3人中购买了A款新能源汽车的人数为X，求X的数学期望． 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2） 性别 车型款式 合计 A款新能源汽车 B款新能源汽车 男性客户 30 90 120 女性客户 10 70 80 合计 40 160 200 可以认为选购新能源汽车的款式与性别有关联 （3） 【解析】 【分析】（1）根据所给数据完善列联表得解； （2）计算，根据所给临界值表得出结论； （3）由题意得出的可能取值，求对应概率得解，也可直接由二项分布得解. 【小问1详解】 由已知得， 样本中选购B款新能源汽车的女性客户人数为， 所以． 【小问2详解】 得到完整数据的列联表如下： 性别 车型款式 合计 A款新能源汽车 B款新能源汽车 男性客户 30 90 120 女性客户 10 70 80 合计 40 160 200 零假设为：选购新能源汽车的款式与性别无关联． 根据列联表中的数据， 可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即可以认为选购新能源汽车的款式与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于． 【小问3详解】 随机抽取1人购买A款新能源汽车的概率为． 解法一：的所有可能取值为， 则，， ，， 所以． 解法二：写成，所以． 16. 已知函数相邻两条对称轴之间的距离为，且函数为奇函数 （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象．若且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用三角函数的性质得，再结合条件，由奇函数的性质，可求出的值，即可求解； （2）根据条件，利用图象的变换，可得到，再结合题设条件，即可求解. 【小问1详解】 由题知，得到，所以， 由题有，得到，又，所以， 所以. 【小问2详解】 由题知， 因为，所以，得到， 所以，即， 又，所以. 17. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点． （1）求抛物线的方程； （2）当点为弦的中点时，求直线的方程； （3）求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的焦点求得，即得抛物线的方程； （2）设的方程为，与抛物线C联立方程组，利用根与系数的关系结合中点，求得，即可求解直线的方程． （3）由抛物线定义可知根据题意得到，结合根与系数的关系代入即可求解. 【小问1详解】 ∵抛物线的焦点为，∴，即. ∴抛物线的方程为. 【小问2详解】 设，显然直线斜率存在. 设的方程为， 联立方程，消去，整理得，， 因为点是的中点，由，解得. 所以直线AB的方程为．即． 【小问3详解】 由抛物线定义可知 所以， 由（2）知， ∴， 所以 所以当时，取得最小值为． 18. 如图，在直三棱柱中，，为线段上一动点，为线段中点 （1）证明：； （2）作出平面与平面的交线（需写出作图过程），当时，求的值； （3）设，求平面与平面所成角正弦值的最小值． 【答案】（1） 证明：在直三棱柱中，， 所以四边形是正方形，， 因为，所以， 因为平面，且平面， 所以， 因为且平面， 所以平面， 同理得， 因为，所以， 同理可得平面， 因为为线段上一动点，所以平面， 所以； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）连接，由线面垂直的判断定理可证平面，进而可证； （2）通过延长直线来找到平面与平面的两个交点，其连线就是交线，当时，根据平行、相似、比例来求； （3）建立空间直角坐标系，设，利用面面角向量法列式计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，则即为平面与平面的交线. 由于，则，由于为线段中点，则，则，， 当时，同理， 由于，同理，由于，则. 【小问3详解】 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， ，， 设，则， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，， 取平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为， 则， 令，则， 当时，最大为， 则最小为. 19. 已知等比数列的前项和为，且成等差数列，数列的前项和为，且 （1）求的通项公式 （2）设是数列的前项和，求； （3）设是的前项的积，求证：. 【答案】（1）； （2） （3） 由题意有， 所以，所以， 要证，只需证， 即证， 令，所以， 由， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以， 所以， 即，所以. 【解析】 【分析】（1）由求出公比，进而得，利用即可求； （2）由（1）有，利用分组求和即可求解； （3）要证，只需证，即，令，即证即可. 【小问1详解】 由题意有，所以，即， 所以，所以公比， 所以， 由，所以，即， 当时，由有， 所以，当时，， 所以； 【小问2详解】 由（1）有， 所以； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南大学附属中学星耀学校2025-2026学年（上）期中考试 高三数学试卷 （考试时间：120分钟总分：150分） 诚信誓言：我以我的荣誉起誓，在本次考试中，诚实守信，成绩真实． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 设，若，则（　　） A. 3 B. C. D. 3 3. 若，则等于（　　） A. 4 B. C. 32 D. 4. 已知一个底面半径为1的圆锥侧面展开图形的面积是底面面积的4倍，则该圆锥的母线长为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知内角的对边成等差数列，，则（　　） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义域为的奇函数，且在上单调递减．若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，其中点在轴上，若，则椭圆的离心率等于（　　） A. 3 B. C. D. 8. 对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数拐点处的切线方程为 B. 当时，函数在区间内存在最小值，则的取值范围是 C. 若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是 D. 对任意实数，直线与曲线有唯一公共点 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 10. 有6个相同的球，分别标有数字，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是5”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列选项正确的是（ ） A. 甲与乙不互斥 B. 丙发生的概率为 C. 甲与丁相互独立 D. 乙与丙相互独立 11. 边长为1的正方体中，向量，则（ ） A. 若，则存在点，有 B. 若，则 C. 若，则的最小值为 D. 若，则三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则___________． 13. 当时，的最小值为___________． 14. 若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某车企为了调查新能源汽车的款式与买车的客户性别的关联性，调查了200名客户的购买情况，得到如下列联表： 性别 车型款式 合计 A款新能源汽车 B款新能源汽车 男性客户 90 120 女性客户 10 合计 200 （1）求出，的值． （2）将上面列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否认为选购新能源汽车的款式与性别有关联？ （3）假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购新能源汽车的款式情况相互独立．若从购买者中随机抽取3人，设被抽取的3人中购买了A款新能源汽车的人数为X，求X的数学期望． 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知函数相邻两条对称轴之间的距离为，且函数为奇函数 （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象．若且，求的值． 17. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点． （1）求抛物线的方程； （2）当点为弦的中点时，求直线的方程； （3）求的最小值． 18. 如图，在直三棱柱中，，为线段上一动点，为线段中点 （1）证明：； （2）作出平面与平面的交线（需写出作图过程），当时，求的值； （3）设，求平面与平面所成角正弦值的最小值． 19. 已知等比数列的前项和为，且成等差数列，数列的前项和为，且 （1）求的通项公式 （2）设是数列的前项和，求； （3）设是的前项的积，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $