精品解析：四川省南充启睿实验学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

初2023级期中水平测试 数学试卷 一、选择题（ 每小题4分，满分40分） 1. 下面四幅作品分别代表“大雪”、“立春”、芒种”、“白露”四个节气，其中是中心对称图形的是(　　　　) A. B. C. D. 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为（　　） A. ﹣6 B. 6 C. ﹣5 D. 5 4. 若二次函数的对称轴是x=4，则关于x的方程的解为（　　） A. x1=0，x2=8 B. x1=1，x2=9 C. x1=1，x2=﹣9 D. x1=﹣1，x2=9 5. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=86°，则∠BCD的度数是（　　） A. 86° B. 94° C. 107° D. 137° 6. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转旋转后的对应点分别是和，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．则参赛的球队数为（　　） A. 6个 B. 8个 C. 9个 D. 12个 8. 如图，AE是四边形ABCD外接圆⊙O的直径，AD＝CD，∠B＝50°，则∠DAE的度数为（　　） A. 70° B. 65° C. 60° D. 55° 9. 抛物线上有三个点A（-4，y1）、B（-2，y2）、C（1，y3），则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）形状如图，下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＝0；③当x＜﹣1或x＞3时，y＞0；④一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根．正确的有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每小题4分，满分24分） 11. 若关于的方程的一个根是1，则另一个根是______． 12. 在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由前年的元下降到今年的元，则这两年平均每年降价的百分率是______． 13. 二次函数的最小值是______． 14. 如图，AB为直径，∠BED＝40°，则∠ACD＝_____度. 15. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使得点B落在AB边上的点D处，此时点A的对应点E恰好落在BC边的延长线上，若∠B＝50°，则∠A的度数为_____． 16. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论： ①abc＜0； ②4a+2b+c＞0； ③5a﹣b+c＝0； ④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1； ⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8， 其中正确的结论有__． 三、解答题（17--19每题8分，20--24每题10分，25题12分） 17. 解方程： （1） （2） 18. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言表述是：“如图，，垂足为D，寸，尺，求的直径是多少寸? ”（注：1尺寸） 19. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）． （1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标． （2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2，并写出点A2的坐标． 20. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米． （1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； （2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？ 21. 如图，AB是⊙O的直径，半径OD与弦AC垂直，若∠A＝∠D，求∠1的度数． 22. 已知关于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝0． （1）求证：无论a为何实数，方程总有实数根． （2）如果方程有两个实数根x1，x2，当|x1﹣x2|＝时，求出a的值． 23. 如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB=AC． （1）求证：DE平分∠CDF； （2）求证：∠ACD=∠AEB． 24. 某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示： 每千克售价x（元） … 25 30 35 … 日销售量y（千克） … 110 100 90 … （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该超市要想获得1000的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？ （3）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 25. 如图，已知抛物线（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C，且OC=OB． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标； （3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2023级期中水平测试 数学试卷 一、选择题（ 每小题4分，满分40分） 1. 下面四幅作品分别代表“大雪”、“立春”、芒种”、“白露”四个节气，其中是中心对称图形的是(　　　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】A．是中心对称图形，符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键． 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式方程，可以直接确定其对称轴． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线． 故选：A． 3. 方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为（　　） A. ﹣6 B. 6 C. ﹣5 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得出方程的两根之和为，即可得出选项． 【详解】解：方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为6， 故选：B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解决问题的关键是熟练正确理解题意，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系. 4. 若二次函数的对称轴是x=4，则关于x的方程的解为（　　） A. x1=0，x2=8 B. x1=1，x2=9 C. x1=1，x2=﹣9 D. x1=﹣1，x2=9 【答案】D 【解析】 【分析】先根据二次函数y=x2+mx的对称轴是x=4求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx=9，求出x的值即可． 【详解】∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=4， ∴-=4， 解得m=-8， ∴关于x的方程x2+mx=9可化为x2-8x-9=0，即（x+1）（x-9）=0，解得x1=-1，x2=9． 故选D． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键． 5. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=86°，则∠BCD的度数是（　　） A. 86° B. 94° C. 107° D. 137° 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵∠BOD=86°， ∴∠BAD=86°÷2=43°， ∵∠BAD+∠BCD=180°， ∴∠BCD=180°-43°=137°， 即∠BCD的度数是137°． 故选D． 【点睛】本题考查圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． 6. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转旋转后的对应点分别是和，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质等，在旋转过程中根据旋转的性质确定相等的角和相等的线段是关键．在中根据等边对等角，以及三角形内角和定理，求得的度数，在中，根据三角形内角和定理即可求得的度数． 【详解】解∵旋转， ∴，，， ∴，， ∴， 故选：A． 7. 在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．则参赛的球队数为（　　） A. 6个 B. 8个 C. 9个 D. 12个 【答案】C 【解析】 【分析】设有x个队参赛，根据题意列出方程即可求出答案即可解决． 【详解】解：设有x个队参赛， 根据题意，可列方程为：x（x﹣1）＝36， 解得：x＝9或x＝﹣8（舍去）， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是正确理解题意，找到题意中蕴含的等量关系. 8. 如图，AE是四边形ABCD外接圆⊙O的直径，AD＝CD，∠B＝50°，则∠DAE的度数为（　　） A. 70° B. 65° C. 60° D. 55° 【答案】B 【解析】 【分析】连接OC、OD，利用圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理求得∠AOD＝50°，然后根据的等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求得∠DAE＝65°． 【详解】解：连接OC、OD， ∵AD＝CD， ∴， ∴∠AOD＝∠COD， ∵∠AOC＝2∠B＝2×50°＝100°， ∴AOD＝50°， ∵OA＝OD， ∴∠DAO＝∠ADO＝，即∠DAE＝65°， 故选：B． 【点睛】 本题考查了圆中弦，弧，圆心角之间的关系，圆周角定理和三角形内角和，解决本题的关键是正确理解题意，能够熟练掌握圆心角，弧，弦之间的关系. 9. 抛物线上有三个点A（-4，y1）、B（-2，y2）、C（1，y3），则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算出自变量为-4，-2和1时的函数值，然后进行比较大小． 【详解】当时，； 当时，； 当时，， 所以． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 10. 抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）形状如图，下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＝0；③当x＜﹣1或x＞3时，y＞0；④一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根．正确的有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，以及二次函数与一元二次方程的关系逐个进行判断即可． 【详解】解：由抛物线开口向上，可知a＞0，对称轴偏在y轴的右侧，a、b异号，b＜0，因此①不符合题意； 由对称轴为x＝1，抛物线与x轴的一个交点为（3，0），可知与x轴另一个交点为（﹣1，0），代入得a﹣b+c＝0，因此②符合题意； 由图象可知，当x＜﹣1或x＞3时，图象位于x轴的上方，即y＞0．因此③符合题意； 抛物线与y＝﹣1一定有两个交点，即一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，因此④符合题意； 综上，正确的有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数同一元二次方程的关系，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握二次函数的性质. 二、填空题（每小题4分，满分24分） 11. 若关于的方程的一个根是1，则另一个根是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用根与系数的关系公式进行求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根是x， 由根与系数的关系可得：，所以， 所以另一个根是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题关键是牢记根于系数的关系，即两根之和为，两根之积为，其中分别为二次项系数，一次项系数和常数项． 12. 在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由前年的元下降到今年的元，则这两年平均每年降价的百分率是______． 【答案】 【解析】 【分析】设这两年平均每年降价的百分率是，那么去年商品房成交均价为，今年商品房成交均价为，然后根据今年的商品房成交均价为元即可列出方程解决问题． 【详解】解：设这两年平均每年降价的百分率是， 由题意，得， ， 解得，不合题意，舍去． 答：这两年平均每年降价的百分率是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，此题和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键． 13. 二次函数的最小值是______． 【答案】-6 【解析】 【分析】先把二次函数的一般式化为顶点式，然后再利用二次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：由二次函数可得：， ∵， ∴二次函数有最小值，即当x=1时，； 故答案为-6． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 14. 如图，AB为直径，∠BED＝40°，则∠ACD＝_____度. 【答案】50 【解析】 【分析】连接OD，由圆周角定理求出∠BOD，然后由邻补角的性质即可求出∠AOD，最后根据圆周角定理即可求出∠ACD的度数． 【详解】连接OD，如图所示， ∵∠BED=40°， ∴∠BOD=80°， ∵AB为直径， ∴∠AOB=180°， ∴∠AOD=100°， ∴∠ACD=50°. 故答案为50. 【点睛】本题考查圆周角定理，作辅助线求出弧AD所对的圆心角是解决本题的关键. 15. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使得点B落在AB边上的点D处，此时点A的对应点E恰好落在BC边的延长线上，若∠B＝50°，则∠A的度数为_____． 【答案】30° 【解析】 【分析】由旋转的性质可得BC＝CD，∠BCD＝∠ACE，可得∠B＝∠BDC＝50°，由三角形内角和定理可求∠BCD＝80°＝∠ACE，由外角性质可求解． 【详解】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转， ∴BC＝CD，∠BCD＝∠ACE， ∴∠B＝∠BDC＝50°， ∴∠BCD＝80°＝∠ACE， ∵∠ACE＝∠B+∠A， ∴∠A＝80°﹣50°＝30°， 故答案为：30°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和与三角形外角和性质，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握旋转的性质，能够由旋转的到相等的角. 16. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论： ①abc＜0； ②4a+2b+c＞0； ③5a﹣b+c＝0； ④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1； ⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8， 其中正确的结论有__． 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】利用顶点式得到y＝ax2+4ax﹣5a，根据抛物线的开口向上得到a＞0，则b＞0，c＜0，于是可对①进行判断；解方程ax2+4ax﹣5a＝0得抛物线与x轴的交点坐标为（﹣5，0），（1，0），利用x＝2时，y＞0可对②进行判断；把b＝4a，c＝﹣5a代入5a﹣b+c中可对③进行判断；根据抛物线y＝a（x+5）（x﹣1）与直线y＝﹣1有两个交点，交点的横坐标分别为x1和x2，则可对④进行判断；由于方程ax2+bx+c＝1有2个根，方程ax2+bx+c＝﹣1有2个根，则利用根与系数的关系可对⑤进行判断． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣9a）， ∴y＝a（x+2）2﹣9a＝ax2+4ax﹣5a， ∵抛物线的开口向上， ∴a＞0， ∴b＝4a＞0，c＝﹣5a＜0， ∴abc＜0，所以①正确； 当y＝0时，ax2+4ax﹣5a＝0，解得x1＝﹣5，x2＝1， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣5，0），（1，0）， ∵x＝2时，y＞0， ∴4a+2b+c＞0，所以②正确； ∵5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a＝﹣4a， 而a＞0， ∴5a﹣b+c＜0，所以③错误； ∵方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2， ∴抛物线y＝a（x+5）（x﹣1）与直线y＝﹣1有两个交点，交点的横坐标分别为x1和x2， ∴﹣5＜x1＜x2＜1，所以④正确； ∵方程|ax2+bx+c|＝1有四个根， ∴方程ax2+bx+c＝1有2个根，方程ax2+bx+c＝﹣1有2个根， ∴所有根之和为2×（﹣）＝2×（﹣）＝﹣8，所以⑤正确． 故答案为①②④⑤． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根的判别式、二次函数图象上点的坐标特征、根与系数的关系、抛物线与x轴的交点，准确分析判断是解题的关键． 三、解答题（17--19每题8分，20--24每题10分，25题12分） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用配方法解方程即可； （2）用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： ，． 18. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言表述是：“如图，，垂足为D，寸，尺，求的直径是多少寸? ”（注：1尺寸） 【答案】直径为26寸． 【解析】 【分析】由勾股定理OA2＝AD2＋OD2，代入数据即可求得． 【详解】如图，连接， 由题意得，，AB=1尺 则：平分，即寸， 设寸，则寸． 在中，由勾股定理得： 即 解得：，即． 所以直径为26寸． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 19. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）． （1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标． （2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2，并写出点A2的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求；； （2）如图，即为所求，的坐标为（-2，2）． 【解析】 【分析】（1）根据关于y轴的点的坐标特征分别作出△ABC的各个顶点关于x轴的对称点，然后连线作图即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点A2、B、C2的坐标，然后描点即可得到△A2BC2，然后写出点A2的坐标． 【详解】解：（1）∵是A（2，4）关于x轴对称的点， ∴根据关于x轴对称的点的坐标特征可知：； （2）略 【点睛】本题考查轴对称及旋转作图，掌握点的坐标变化规律找准图形对应点正确作图是解题关键． 20. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米． （1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； （2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？ 【答案】（1） （2）在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥 【解析】 【详解】解：（1）设抛物线解析式为 设点，点 由题意： 解得 ∴ （2）方法一： 当时， ∵.6 ∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥． 方法二： 当时， ∴ ∵ ∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥． 21. 如图，AB是⊙O的直径，半径OD与弦AC垂直，若∠A＝∠D，求∠1的度数． 【答案】30° 【解析】 【分析】利用垂径定理和圆周角定理证得∠A＝∠1＝∠ABD，然后根据直角三角形两锐角互余即可求得∠1的度数． 【详解】解：∵半径OD与弦AC垂直， ∴， ∴∠1＝∠ABD， ∵半径OD与弦AC垂直， ∴∠ACB＝90°， ∴OD∥BC， ∴∠1＝∠D， ∵∠A＝∠D， ∴∠A＝∠1＝∠ABD， ∵∠A+∠ABC＝90°， ∴3∠1＝90°， ∴∠1＝30°． 【点睛】本题考查了垂径定理和和圆周角定理的推论，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握垂径定理，能够理清各线段和角的关系. 22. 已知关于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝0． （1）求证：无论a为何实数，方程总有实数根． （2）如果方程有两个实数根x1，x2，当|x1﹣x2|＝时，求出a的值． 【答案】（1）证明：当a=0时，方程可化为： 解得x=1； 当时， ∵关于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝0中， △＝（3﹣2a）2﹣4a（a﹣3）＝9＞0， ∴方程里有两个不相等实根． ∴无论a为何实数，方程总有实数根． （2）﹣2或2 【解析】 【分析】（1）分别证明方程为一元一次方程和一元二次方程时，根的情况即可解答； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，以及，由|x1﹣x2|＝即可求得a的值． 【详解】（1）略 （2）解：如果方程的两个实数根x1，x2，则， ∵， ∴, 解得a＝±2． 故a的值是﹣2或2． 【点睛】本本题考查了一元二次方程的判别式和根与系数的关系，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数之间的关系. 23. 如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB=AC． （1）求证：DE平分∠CDF； （2）求证：∠ACD=∠AEB． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD内接于圆， ∴∠CDE=∠ABC， 由圆周角定理得，∠ACB=∠ADB，又∠ADB=∠FDE， ∴∠ACB=∠FDE， ∵AB=AC， ∴∠ACB=∠ABC， ∴∠FDE=∠CDE，即DE平分∠CDF； （2）证明：∵∠ACB=∠ABC， ∴∠CAE+∠E=∠ABD+∠DBC， 又∠CAE=∠DBC， ∴∠E=∠ABD， ∴∠ACD=∠AEB． 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠CDE=∠ABC，根据圆周角定理和等腰三角形的性质证明即可； （2）根据三角形外角的性质和图形得到∠CAE+∠E=∠ABD+∠DBC，得到∠E=∠ABD，根据圆周角定理证明． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键． 24. 某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示： 每千克售价x（元） … 25 30 35 … 日销售量y（千克） … 110 100 90 … （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该超市要想获得1000的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？ （3）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）30元 （3）40元；1600元 【解析】 【分析】（1）任选表中的两组对应数值，用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）销售利润=销售量每千克所获得的利润，得，解出方程； （3）构造，利用二次函数的最大值问题解决． 【详解】解：（1）设一次函数表达式为， 将代入，得 解得 ． （2）根据题意，得， 整理，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：该超市要想获得1000元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为30元． （3）方法1： 设日销售利润为w元． ． ， 抛物线开口向下， 又， 当时，w随x的增大而增大． 当时，w有最大值，（元）． 答：当每千克樱桃的售价定为40元时，可获得最大利润，最大利润是1600元． 方法2： 设日销售利润为w元． ， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线． 当时，w随着x的增大而增大， 当时，w有最大值，（元）． 答：当每千克樱桃的售价定为40元时，可获得最大利润，最大利润是1600元． 【点睛】本题考查一次函数、一元二次方程、二次函数的综合运用，是应用题中的典型，也是中考必考题型． 25. 如图，已知抛物线（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C，且OC=OB． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标； （3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标． 【答案】（1）y=-x2-2x+3（2）（-，）（3）满足条件的点P的坐标为P（-1，1）或（-1，-2） 【解析】 【详解】（1）∵抛物线（）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0）， ∴OB=3， ∵OC=OB， ∴OC=3， ∴c=3， ∴，解得：， ∴所求抛物线解析式为：； （2）如图2，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，）（﹣3＜a＜0）， ∴EF=，BF=a+3，OF=﹣a， ∴S四边形BOCE==BF•EF+（OC+EF）•OF===， ∴当a=时，S四边形BOCE最大，且最大值为． 此时，点E坐标为（，）； （3）∵抛物线的对称轴为x=﹣1，点P在抛物线的对称轴上， ∴设P（﹣1，m）， ∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，如图， ∴PA=PA′，∠APA′=90°， 如图3，过A′作A′N⊥对称轴于N，设对称轴与x轴交于点M， ∴∠NPA′+∠MPA=∠NA′P+∠NPA′=90°， ∴∠NA′P=∠MPA， 在△A′NP与△APM中，∵∠A′NP=∠AMP=90°，∠NA′P=∠MPA，PA′=AP， ∴△A′NP≌△PMA， ∴A′N=PM=|m|，PN=AM=2， ∴A′（m﹣1，m+2）， 代入得：， 解得：m=1，m=﹣2， ∴P（﹣1，1），（﹣1，﹣2）． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式求法，二次函数的最值，旋转的性质是一道综合压轴题，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $