精品解析：湖南省湘潭县第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

湖南省湘潭县第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题 时量：120分钟 分值：150分 一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求解集合对应的不等式，得到的范围，进而求交集即可. 【详解】由，得，解得，即. 于是. 故选：A 2. 若复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由,得,再根据复数的除法运算法则计算即可. 【详解】由,得, 故选:B. 【点睛】本题考查复数的基本运算,属于基础题. 3. 给定一组数据12，15，18，22，26，31，35，40，42，53，则该组数据的分位数为（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用第分位数的定义直接求解. 【详解】由，得数据12，15，18，22，26，31，35，40，42，53的第分位数为. 故选：B 4. 已知直线与直线平行，则实数的值为（ ） A. -2 B. 1 C. -2或1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】利用两条直线平行列式，再验证得解. 【详解】由直线与平行，得 整理得，因式分解为，解得或. 当时，，. 斜率均为，纵截距分别为和，不重合，平行； 当时，，. 斜率均为，纵截距分别为和，不重合，平行. 综上所述，实数的值为或. 故选：C 5. 在四面体OABC中，，点在OA上，且为BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的运算法则即可求解. 【详解】如图所示： 可知： 即， 故选：B 6. 已知圆为直线上一动点，则点到圆上的点的最短距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆的性质转化为求圆心到直线的距离即可得解. 【详解】由可得， 可知圆心，半径， 圆心到直线的距离， 则点到圆上的点的最短距离为， 故选：D 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，动点在椭圆上，点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的定义得出，于是有，只要求得的最大值即可得，而，从而可得结论． 【详解】由可知，， 所以，， 所以， 而，即， 故，当且仅当是的延长线与椭圆的交点时等号成立， 故选：C 8. 已知点，，，，平面上仅在线段，，所在位置分别放置一个双面镜．现有一道光束沿向量的方向从线段上某点（不含端点）射入，若光束恰好依次在，，各反射一次后从线段上某点射出，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设初始入射点设，确定入射点和反射点的坐标从而利用直线的点斜式方程得入射与反射直线，利用点在线段，，，上从而可得对应坐标范围，建立的不等关系，根据的范围得的取值范围即可. 【详解】设线段上的入射点为，依次在，，上的反射点为，最后射出的点为 设关于对称的点为，关于对称的点为， 设，且，则， 由可得，所以直线， 由对称性可得，所以直线， 则，所以直线， 故，所以， 故， 则由题可得（*）， 又，所以， ，所以 所以不等式组（*）解得，因为， 函数在上均为增函数，所以， 故的取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线方程的应用，涉及光线入射及反射问题，设关键的入射点坐标，利用直线方程的对称性、入射点及反射点的坐标关系，从而建立不等关系求解参数范围. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】分两种情况，得到方程，求出答案. 【详解】由，得或，解得或， 故选：AC 10. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 过点且与直线平行的直线方程为 C. 过点且与直线垂直的直线方程为 D. 点到直线的距离为1 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过直线方程求斜率，再由斜率推导倾斜角可判断A选项；利用“平行直线斜率相等”，结合点斜式求直线方程，可判断B选项；利用“垂直直线斜率乘积为”，结合点斜式求直线方程，可判断C选项；代入点到直线的距离公式计算验证，可判断D选项. 【详解】对A选项：将直线化为斜截式：，其斜率. 设倾斜角为（），由，得，故A正确； 对B选项：由平行关系可得，与平行的直线斜率为，过点， 由点斜式方程可得所求直线方程为，整理得，故B正确； 对C选项：由垂直关系可得，与垂直的直线斜率为，过点， 由点斜式可得所求直线方程为，整理得，故C正确； 对D选项：由点到直线的距离公式，点到的距离： ，故D错误. 故选：ABC 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若是棱的中点，则过三点的平面截正方体所得的截面图形是三角形 C. 若与平面所成的角为，则 D. 若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三棱锥的体积公式计算的结果；作图得到截面；空间向量法计算线面所成角的正弦值；先求得三棱锥的外接球的半径，再计算球的表面积； 【详解】对于A，连接，因为，平面，平面， 所以平面， 又点是棱上的动点（含端点），所以点到平面的距离为定值，设为， 则，为定值，故A正确； 对于B，如图，延长交延长线于点，连接交于点，连接， 四边形为过的平面截正方体所得的截面图形，故B错误； 对于C，以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，， 设平面的法向量，则， 令，则，故，则 ， 当时，， 当时，， 当且仅当时等号成立，又，故C正确． 对于D，如图所示，连接，取的中点为，连接， 设外接圆圆心为，四面体的外接球球心为，连接， 在中，设其外接圆半径为，由正弦定理知， ，所以，即， 依题易得，故， 且和同对弦，故四点共圆， 则，设外接球半径为，过作，交于， 由正方体性质知平面，而平面，则， 又平面，则，所以是矩形，则， 则在中，，即，①， 在中，，即②， 联立①②，解得，，故外接球的表面积为，故D正确； 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】先由且，求的值，再代入计算即可. 【详解】因为且，所以. 于是 故答案为：2 13. 已知圆与圆相交于A，B两点，则直线AB的方程为__________. 【答案】 【解析】 【详解】已知圆，圆, 将两圆方程相减： 化简得：. 故答案为： 14. 已知在平面直角坐标系中，圆，点和点，为圆上的动点，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设点，令，利用阿波罗尼斯圆，求得定点，利用，可求最大值. 【详解】已知圆和点，且点不在圆上、不与点重合， 则根据性质1知一定存在唯一一个定值和一个定点， 使得对于圆上的任意一点都有． 设点，令， 则，因此圆是关于点的阿波罗尼斯圆，且． 根据定点，圆心三点共线可知点在轴上， 由，和相似比可知点． 如图，当点位于图中的位置时， 的值最大，最大值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求满足下列条件的椭圆的标准方程. （1），焦点在轴上； （2）椭圆上一点到其两焦点的距离之和为10 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设椭圆的标准方程为，结合求解即可； （2）设椭圆的标准方程为，结合椭圆的定义利用求解即可. 【小问1详解】 设焦点在轴上的椭圆标准方程为， 由,,得. 因此标准方程为，即. 【小问2详解】 由焦点、，可知焦点在轴上，且； 设椭圆的标准方程为， 由“点到两焦点的距离之和为10”，可知，即. 由，得， 因此标准方程为. 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）已知条件是三角形的边与角的关系式，需利用正弦定理实现“边角互化”（将边的关系转化为角的三角函数关系），进而求出角； （2）已知边和三角形面积，需先通过三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理，利用完全平方公式求出，最终得到周长. 【小问1详解】 根据正弦定理（，为外接圆半径），可得，， 将其代入条件，得， 由于中，两边约去，化简得， 即，又，则. 【小问2详解】 三角形面积公式为，已知，， 代入得：，化简得， 由余弦定理，可得， 即，进而，得， 故的周长为. 17. 某班级有5名学生，其中男生3人，女生2人．现随机抽取2人参加活动． （1）求抽到的2人中恰有1名男生的概率； （2）求抽到的2人中至少有1名女生的概率； （3）求抽到的2人中男生人数不少于女生的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设3名男生为，3名女生为，求出样本空间，令事件表示抽到的2人中恰有1名男生，求出，根据古典概型公式即可求解； （2）令事件表示抽到的2人中至少有1名女生，求出，根据古典概型公式即可求解； （3）令事件表示抽到的2人中男生人数不少于女生，求出，根据古典概型公式即可求解. 【小问1详解】 设3名男生为，2名女生为， 所以共10种情况， 令事件表示抽到的2人中恰有1名男生， 则共6种情况， 所以； 【小问2详解】 令事件表示抽到的2人中至少有1名女生， 则共7种情况， 所以； 【小问3详解】 令事件表示抽到的2人中男生人数不少于女生， 则共9种情况， 所以. 18. 已知圆，直线，直线与圆交于点M，N. （1）求证：直线过定点； （2）若直线所过定点为，满足，求此时直线的方程； 【答案】（1） 证明：将直线的方程整理为， 当时，式子为与无关， 所以，解得， 因此直线恒过定点. （2）或 【解析】 【分析】（1）证明直线过定点：将直线方程整理为含参数的线性组合形式，令参数的系数与常数项分别为0，解方程组即可得到定点坐标. （2）求直线方程：先确定定点的位置（圆内），由向量关系，设，结合弦长公式得到圆心到直线的距离，再通过点到直线的距离公式建立关于的方程，求解得到直线方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知. 圆，则圆心，半径， ， 设，则， 过作交于， ，， ，即， 解得， 即圆心到直线的距离， ，解得， 此时直线方程为或. 19. 如图，在平面四边形ABCD中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿AC翻折至，形成三棱锥，其中S为动点． （1）证明：； （2）若，求三棱锥的体积； （3）求平面SAC与平面SBC夹角余弦值的最小值． 【答案】（1） 取的中点，连接，， 因为，，且的中点为，所以，， 又，，平面，故平面， 由于平面，故． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明、，推导出平面，进而得到； （2）在中根据几何关系求出、的值，再得到三棱锥的高，进一步得到三棱锥的体积； （3）方法一：以B为原点建立空间直角坐标系，设，通过向量法求解出二面角余弦值与的关系，再通过均值不等式即可求解；方法二：以E点为原点建立空间直角坐标系，设，通过向量法求解出二面角余弦值与的关系，再通过均值不等式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，由，则， 因为，，故，，， 所以，由于，故， 设三棱锥的高为， 所以，三棱锥体积为． 【小问3详解】 以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 过点S作平面的垂线，垂足为，连接， 设为翻折过程中所旋转的角度，则， ，，， 故，，，， ，则， 设平面的法向量为，则， ， 取，则，所以， 设平面的法向量，，，则， ， 取，则，， 设平面与平面的夹角为， 故， ， 令，，故， 由于，故，当且仅当，即时取等号，故平面与平面夹角余弦值的最小值为． 方法二：以E点为原点建立如图所示的空间坐标系， 设，，，，，则，，， 设面法向量，则， ， 令，， 同理可得面法向量， ， 令， 因为，其中取“=”，即此时，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省湘潭县第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题 时量：120分钟 分值：150分 一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 给定一组数据12，15，18，22，26，31，35，40，42，53，则该组数据的分位数为（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 4. 已知直线与直线平行，则实数的值为（ ） A. -2 B. 1 C. -2或1 D. 0 5. 在四面体OABC中，，点在OA上，且为BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆为直线上一动点，则点到圆上的点的最短距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，动点在椭圆上，点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，，，平面上仅在线段，，所在位置分别放置一个双面镜．现有一道光束沿向量的方向从线段上某点（不含端点）射入，若光束恰好依次在，，各反射一次后从线段上某点射出，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 过点且与直线平行的直线方程为 C. 过点且与直线垂直的直线方程为 D. 点到直线的距离为1 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若是棱的中点，则过三点的平面截正方体所得的截面图形是三角形 C. 若与平面所成的角为，则 D. 若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________. 13. 已知圆与圆相交于A，B两点，则直线AB的方程为__________. 14. 已知在平面直角坐标系中，圆，点和点，为圆上的动点，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求满足下列条件的椭圆的标准方程. （1），焦点在轴上； （2）椭圆上一点到其两焦点的距离之和为10 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求的周长． 17. 某班级有5名学生，其中男生3人，女生2人．现随机抽取2人参加活动． （1）求抽到的2人中恰有1名男生的概率； （2）求抽到的2人中至少有1名女生的概率； （3）求抽到的2人中男生人数不少于女生的概率． 18. 已知圆，直线，直线与圆交于点M，N. （1）求证：直线过定点； （2）若直线所过定点为，满足，求此时直线的方程； 19. 如图，在平面四边形ABCD中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿AC翻折至，形成三棱锥，其中S为动点． （1）证明：； （2）若，求三棱锥的体积； （3）求平面SAC与平面SBC夹角余弦值的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $