精品解析：江苏省南通市海门实验学校2025-2026学年高一上学期11月第二次达成度检测数学试题

南通市海门实验学校2025级高一第一学期第二次 达成度检测考试——数学 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若非空且互不相等的集合M，N，P满足：，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，得到集合的包含关系，根据集合之间的包含关系进行判断即可； 【详解】由题意可知，是的子集，是的子集，所以是的子集， 所以. 故选：C. 2. 设，则“”的充要条件是（ ） A. a，b不都为1 B. a，b都不为0 C. a，b中至多有一个是1 D. a，b都不为1 【答案】D 【解析】 【分析】由，求得且，即可求解. 【详解】由，可得，所以且， 所以“”的充要条件是“都不为”. 故选：D. 3. 若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依次判断各选项中的函数是否满足定义域和值域要求即可. 【详解】对于A，函数在处有意义，不满足定义域为，A错误； 对于B，函数的定义域为，值域为，满足题意，B正确； 对于C，函数在处有意义，不满足定义域为，C错误； 对于D，函数在处有意义，不满足定义域为，D错误. 故选：B. 4. 已知正实数x，y满足时，有恒成立，则的最大值为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为，进而根据基本不等式求的最小值即可得答案. 【详解】因为正实数x，y满足， 所以，， 当且仅当时，等号成立，即时，等号成立， 因为正实数x，y满足时，有恒成立， 所以，即， 所以，的最大值为. 故选：C 5. 声强是表示声波强度的物理量，记作.由于声强的变化范围非常大，为方便起见，引入声强级的概念，规定声强级，其中，声强级的单位是贝尔，贝尔又称为分贝.生活在分贝左右的安静环境有利于人的睡眠，而长期生活在分贝以上的噪音环境中会严重影响人的健康.根据所给信息，可得分贝声强级的声强是分贝声强级的声强的（ ） A. 3倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 【答案】C 【解析】 【分析】 将分贝换算成贝尔，根据指数与对数运算的关系可求得分贝和分贝对应的声强，从而求得倍数关系. 【详解】分贝为贝尔，分贝为贝尔， 令，则；令，则，， 即分贝声强级的声强是分贝声强级的声强的倍. 故选：. 6. 已知函数，，且最大值为，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】算出对称轴，分情况讨论，和讨论． 【详解】当时，对称轴，易得在时，单减，最大值为，不满足条件； 当时，，即， 故选C 【点睛】此题考查二次函数根据对称性解不等式问题，开口向上，离对称轴距离越远的点函数值越大，一般性题目． 7. 设函数，且关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出图象，结合图象可得，. 【详解】当时，；令，得， 由图象可知，欲使方程恰有个不同的实根有，， 所以. 故选：A 8. 已知函数的定义域为，对、，满足，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过定义法确定的单调性，然后通过赋值法得到，再由已知等式关系结合函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，解之即可． 【详解】任取，且，则， 所以，且， 因为当时，，所以，所以， 所以，所以在上单调递减； 因为，所以，， 所以， 所以，解得， 因此，不等式的解集为， 故选：B． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数的图象经过点，则下列结论错误的是（ ） A. 的图象经过点 B. 的图象关于轴对称 C. 在定义域上为减函数 D. 当时，恒成立 【答案】BC 【解析】 【分析】首先求出函数的解析式，根据解析式即可判断A，根据函数的奇偶性可判断B，根据函数的单调性可判断C，证明即可判断D. 【详解】因为函数经过，即，所以函数解析式为， 当时，，所以函数经过，故A正确； 为奇函数不为偶函数，图像关于原点对称，故B错误； 在和单调递减，故C错误； 当时，， 故恒成立，故D正确. 故选：BC 10. 已知函数与的定义域均为，（当且仅当时，等号成立），则下列结论可能正确的是（ ） A. ，，且 B. ，，且 C. ，，且， D. ，，且， 【答案】ABD 【解析】 【分析】构造函数，，可判断A；取，，可判断B；当时，可得，可判断C；取，，可判断D. 【详解】对于A，取，， 满足函数与的定义域均为，（当且仅当时，等号成立）， 可得，，且，故A可能正确； 对于B，取，，函数均为偶函数， 当时，，， 令，则， 当时，，函数在上单调递增， 所以，所以，所以， 即满足函数与的定义域均为，（当且仅当时，等号成立）， 又在上单调递增，在上单调递增， 可得，，且，故B可能正确； 对于C，若，，且，， 当时，，可得， 此时不满足成立，故C不可能正确； 对于D，取，， 令，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，所以，所以，当且仅当时等号成立， 故满足函数与的定义域均为，（当且仅当时，等号成立）， 取，使得，且，，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若在上单调递增，则的值可以为 C. 存在，使得在上单调递减 D. 若的值域为，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据分段函数的解析式，代入值，可得答案； 对于BC，根据一次函数以及二次函数单调性，结合分段函数的单调性，建立不等式组，可得答案； 对于D，根据分段函数的值域与一次函数的单调性，结合二次函数的单调性分情况求得指定区间上的最值，可得答案. 【详解】由题意得，得，得，A正确； 若在上单调递增，则，得，B正确； 若在上单调递减，则，不等式组无解，C错误； 若的值域为，则，得在上单调递增． 当时，在上单调递增，则，得，即． 当时，在上单调递减，在上单调递增，则，得恒成立，即2． 综上，的取值范围为，D正确． 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则=______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用对数的定义可得，，代入利用对数的换底公式计算即可求值. 【详解】因为，所以，， ，所以． 故答案为：. 13. 函数的定义域是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式，结合根号建立不等式，利用分式不等式以及指数函数单调性，可得答案. 【详解】要使有意义，则，，解得. 要使有意义，则，，由函数是增函数，得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 14. 已知函数则的图象关于________对称；若则________. 【答案】 ①. 轴 ②. 【解析】 【分析】求出判断与的关系即可求解，列出方程即可得到的值. 【详解】由题可得：的定义域为：, 由于，所以为偶函数，图象关于轴对称； 由于,则, 则,即,则，解得： 故答案为：轴； 四、解答题（本大题共5小题，共77分，15题13分，16-17题15分，18-19题17分） 15. 记集合. （1）若，求集合； （2）若，求集合； 【答案】（1） （2） 当时，. 当时，. 当时，. 【解析】 【分析】（1）求解一元二次不等式的解集即可. （2）先将集合中的不等式左边进行因式分解，然后分三种情况讨论即可. 【小问1详解】 因为，所以集合， 所以. 【小问2详解】 因为集合， 所以当时，，所以. 当时，. 当时，，. 16. 已知定义在上的奇函数，当时，. （1）求函数在上的解析式； （2）作出的函数图象； （3）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义求解即可； （2）利用二次函数的图象，作出函数的函数图象； （3）由的单调性，结合函数图象，列出不等式求解即可. 【小问1详解】 因为为上的奇函数，所以. 当时，则，， 所以， 所以当时，， 所以 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，的单调递减区间为，， 因为在上单调递减，所以. 所以，解得，故实数的取值范围是 17. 1.某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式（，a为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和． （1）若，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值； （2）若要使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a的取值范围． 【答案】（1）当时血液中药物的浓度最高，最大值为6 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意建立函数关系式，进而结合二次函数最值求法和基本不等式求得答案； （2）讨论和两种情况， 【小问1详解】 当时，药物在白鼠血液内的浓度y与时间t的关系为 ①当时，． ②当时，因为（当且仅当时，等号成立）， 所以． 故当时血液中药物的浓度最高，最大值为6． 【小问2详解】 由题意得 ①当时，， 设，则，，则，故； ②当时，， 由，得， 令，则，，则，故． 综上，． 18. 已知是定义在上的函数，，且，都有. （1）求，的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若对任意，都存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1）， （2）单调递减函数，证明如下： 证明：由（1）知，设， 则， 因为，所以，， 所以，即. 故函数在上为单调递减函数； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到该函数为奇函数，再根据奇函数的性质求得结果； （2）由（1）可得解析式，根据定义法可证明出该函数的单调性； （3）根据单调性得到最大值，再根据恒成立问题以及能成立问题求解不等式. 【小问1详解】 因为，都有， 则是定义在上的奇函数，得，解得， 所以， 由，可得，解得， 此时，满足， 所以，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知在上为单调递减函数， 所以在上的最大值为， 因为对任意，使得都成立， 所以，所以， 因为存在，使得成立，所以， 又因为，所以是关于的单调递增函数， 所以， 即，解得或， 所以的取值范围为. 19. 设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． （1）当时，写出集合的积集； （2）若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； （3）若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和． 【答案】（1） （2）5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到； （2）不妨设，推出中的元素个数大于等于5，再举出实例，得到中元素个数最小值为5； （3）中的元素个数最多的情况是6个互不相同的数，同时中没有两个数互为相反数，的绝对值互不相等，不妨设，由此求出，. 【小问1详解】 ，故， ， 故； 【小问2详解】 是由4个正实数构成的集合， 不妨设， 因为，故中的元素个数大于等于5， 当时，此时， 故中元素个数最小值为5； 【小问3详解】 由条件可知，对于一个4元集合， 中的元素个数最多的情况为，是6个互不相同的数， 同时中没有两个数互为相反数，因此中没有两个数互为相反数， 由此知，的绝对值互不相等，不妨设， 则中最小的与次小的两个数分别为与， 最大与次大的两个数分别为与， 从而必有， 于是， 所以， 当时，，解得， 又为有理数，不合要求，舍去， 当，解得，满足要求， 易得或， 经检验，均满足要求，故， 集合中的所有元素之和为. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南通市海门实验学校2025级高一第一学期第二次 达成度检测考试——数学 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若非空且互不相等的集合M，N，P满足：，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”的充要条件是（ ） A. a，b不都为1 B. a，b都不为0 C. a，b中至多有一个是1 D. a，b都不为1 3. 若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（　　） A. B. C. D. 4. 已知正实数x，y满足时，有恒成立，则的最大值为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 5. 声强是表示声波强度的物理量，记作.由于声强的变化范围非常大，为方便起见，引入声强级的概念，规定声强级，其中，声强级的单位是贝尔，贝尔又称为分贝.生活在分贝左右的安静环境有利于人的睡眠，而长期生活在分贝以上的噪音环境中会严重影响人的健康.根据所给信息，可得分贝声强级的声强是分贝声强级的声强的（ ） A. 3倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 6. 已知函数，，且最大值为，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 7. 设函数，且关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，对、，满足，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数的图象经过点，则下列结论错误的是（ ） A. 的图象经过点 B. 的图象关于轴对称 C. 在定义域上为减函数 D. 当时，恒成立 10. 已知函数与的定义域均为，（当且仅当时，等号成立），则下列结论可能正确的是（ ） A. ，，且 B. ，，且 C. ，，且， D. ，，且， 11. 已知函数则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若在上单调递增，则的值可以为 C. 存在，使得在上单调递减 D. 若的值域为，则的取值范围为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则=______． 13. 函数的定义域是_____. 14. 已知函数则的图象关于________对称；若则________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，15题13分，16-17题15分，18-19题17分） 15. 记集合. （1）若，求集合； （2）若，求集合； 16. 已知定义在上的奇函数，当时，. （1）求函数在上的解析式； （2）作出的函数图象； （3）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 17. 1.某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式（，a为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和． （1）若，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值； （2）若要使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a的取值范围． 18. 已知是定义在上的函数，，且，都有. （1）求，的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若对任意，都存在，使得成立，求的取值范围. 19. 设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． （1）当时，写出集合的积集； （2）若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； （3）若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $