精品解析：河南省鹤壁市淇滨中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2025-2026学年河南省鹤壁市淇滨中学九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 6. 把方程的左边配方后可得方程（ ） A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 把根号外的因式移到根号内为（ ） A. B. C. D. 9. 学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到，若设小道的宽为，则根据题意，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 设a，b是方程 的两个不相等的实数根，则 的值为（ ） A. 0 B. 2025 C. 2024 D. 2023 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若关于的方程是一元二次方程，则_________． 12. n为正整数，且是整数，那么n的最小值是______． 13. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_____________． 14. 若，则化简的结果是_____． 15. 若，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值是______． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 16. 解方程： （1）x2－6x－4＝0； （2）3x(x－2)＝2x－4． 四、解答题：本题共7小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算 （1） （2） 18. 小丽在解决问题：已知，求的值． 她采用的解法为：①，②，③，④，⑤，⑥． 请根据小丽的解题方法解决下列问题： （1）______；______． （2）若，请按照小丽的方法求的值． 19. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根． （2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的值． 20. 某农场要建一个饲养场矩形，两面靠墙位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米，另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门不用木栏．建成后木栏总长45米． （1）若饲养场矩形的一边CD长为x米，则另一边______米． （2）若饲养场矩形的面积为180平方米，求边CD的长． 21. 定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断一元二次方程是否为“C方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程是“C方程”，求代数式的最小值． 22. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 23. 综合与实践 请仔细阅读并完成相应任务． 材料1：一元二次方程的根与系数的关系最早由法国数学家韦达发现，习惯上称为“韦达定理”，韦达定理更一般地揭示了一元二次方程的根与系数的关系． 材料2：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数、、有如下关系：，． 材料3：已知一元二次方程的两个实数根分别为、，求的值． 解：、q是一元二次方程的两个实数根， ，． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程的两个实数根为、，则______，______； （2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为、，求的值； （3）提升：已知实数、满足，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河南省鹤壁市淇滨中学九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的识别，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，即可解答． 【详解】解：A．没有意义，故该选项不符合题意； B．是三次根式，故该选项不符合题意； C．是二次根式，故该选项符合题意； D．当时，是二次根式，当时，无意义，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式的定义，被开方数中不含分母，不含能开得尽方的因数或因式即为最简二次根式，根据最简二次根式的定义依次判断即可． 【详解】解：A、不是最简二次根式，故不符合题意； B、，不是最简二次根式，故不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，故不符合题意； 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的加减乘除运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项不正确，不符合题意； C．，故该选项不正确，不符合题意； D．，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 下列各式与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，利用同类二次根式的性质与定义分别化简二次根式进而判断得出即可． 【详解】解：， A、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； C、，与是同类二次根式，故此选项符合题意； D、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意． 故选：C． 5. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是关键． 含有一个未知数，未知数的最高次数为2次的整式方程即为一元二次方程，由此即可求解． 【详解】解：A、含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，是整式方程，故是一元二次方程，符合题意； B、含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； D、当时，原式为，故不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A  6. 把方程的左边配方后可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先把常数项移项后，再在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，继而可求得答案. 【详解】， ， ， . 故选：. 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程的知识，此题比较简单，注意掌握配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方. 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】计算出一元二次方程根的判别式即可． 【详解】解：， 故一元二次方程有两个不相等的实数根． 8. 把根号外的因式移到根号内为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意易得，然后根据二次根式的性质可进行求解． 【详解】解：由题意得： 解得：， ∴． 故选D． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 9. 学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到，若设小道的宽为，则根据题意，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据矩形场地的长、宽及小路的宽度，可得出除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形，再结合种植面积为，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地，且小道的宽为， 除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形． 根据题意得：， 故选：D． 10. 设a，b是方程 的两个不相等的实数根，则 的值为（ ） A. 0 B. 2025 C. 2024 D. 2023 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程根与系数的关系，由条件可得，，再进一步求解即可. 【详解】解：设a，b是方程 的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， ∴. 故选：C 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若关于的方程是一元二次方程，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，熟记定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程）即可得． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 12. n为正整数，且是整数，那么n的最小值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的定义，掌握二次根式的性质，二次根式的定义是解题的关键． 先根据二次根式的性质化简为：，由题意可知，必须是整数，即必须是一个完全平方数，当时，，4是完全平方数，进而得出答案． 【详解】解：为正整数，且是整数， 必须是整数，即必须是一个完全平方数， 当时，，4是完全平方数， 此时， 是整数， 的最小值是． 故答案为：． 13. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_____________． 【答案】且 【解析】 【分析】由题意可知方程根的判别式△＞0，于是可得关于a的不等式，解不等式即可求出a的范围，再结合二次项系数不为0即得答案． 【详解】解：根据题意，得：，且，解得：且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元一次不等式的解法，属于基本题型，熟练掌握一元二次方程根的判别式和方程根的个数之间的关系是解题的关键． 14. 若，则化简的结果是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质、绝对值、整式的加减，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，，再化简二次根式和绝对值，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ， 故答案为：4． 15. 若，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，由，是关于的一元二次方程的两个实数根，则，，则有，整理得，然后解出或，再代入检验即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴，整理得， 解得：或， 当时，方程为， ∴， ∴有两个不相等实数根，符合题意； 当时，方程为， ∴， ∴没有实数根，不符合题意； ∴， 故答案为：． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 16. 解方程： （1）x2－6x－4＝0； （2）3x(x－2)＝2x－4． 【答案】（1）x1＝3＋，x2＝3－；（2）x1＝ ，x2＝2 【解析】 【分析】（1）先配方、然后运用直接开平方法解答即可； （2）先对2x－4因式分解，然后再移项，最后运用因式分解法解答即可 【详解】解：（1）x2－6x＋9－9－4＝0 (x－3) 2＝13 x－3＝± x1＝3＋，x2＝3－ （2）3x(x－2)＝2(x－2) 3x(x－2)－2(x－2)＝0 (3x－2) (x－2)＝0 x1＝，x2＝2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，掌握配方法、直接开平方法以及因式分解法是解答本题的关键． 四、解答题：本题共7小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握运算法则是解决问题的关键． （1）先算除法，再进行加减运算； （2）先用平方差公式进行计算，再计算加减法． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 18. 小丽在解决问题：已知，求的值． 她采用的解法为：①，②，③，④，⑤，⑥． 请根据小丽的解题方法解决下列问题： （1）______；______． （2）若，请按照小丽的方法求的值． 【答案】（1） ； （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的分母有理化和整体代入法求代数式的值． （1）小题通过分母有理化求解； （2）小题先分母有理化求出的值，再利用整体代入法求值． 【小问1详解】 解：；． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 19. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根． （2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵，即， ∴无论m取任何实数值，方程总有实数根； （2）或4． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根，也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质． （1）先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）通过解方程求得该三角形的另两边的长度，然后由三角形的三边关系和三角形的周长公式进行解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由，得： ， 解得，， ∵等腰三角形的一边长为4，另两边长为3和， ∴分两种情况讨论： （1）当4为腰长时，另一腰长也为4，则．此时三角形三边长为4，4，3．∵，∴能构成三角形． （2）当4为底边长时，两腰长相等，则．此时三角形三边长为4，3，3．∵，∴能构成三角形． 综上所述，的值为3或4． 20. 某农场要建一个饲养场矩形，两面靠墙位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米，另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门不用木栏．建成后木栏总长45米． （1）若饲养场矩形的一边CD长为x米，则另一边______米． （2）若饲养场矩形的面积为180平方米，求边CD的长． 【答案】（1） （2）边CD的长为10米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 由木栏总长为45米，列出代数式即可； 设米，则米，根据饲养场矩形的面积为180平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：米， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设米，则米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，米米，不合题意，舍去； 当时，米米，符合题意； 答：边CD的长为10米． 21. 定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断一元二次方程是否为“C方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程是“C方程”，求代数式的最小值． 【答案】（1） 是“C方程”，理由如下： ∵， ∴， ∴或， 解得：， ∵， ∴一元二次方程是“C方程”； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，理解“C方程”的定义是解题的关键． （1）求出方程的解，再根据“C方程”定义即可判断； （2）根据“C方程”定义，得到，利用配方法，非负数的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程是“C方程”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 22. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】（1）日平均增长率为 （2）每个玩偶降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 23. 综合与实践 请仔细阅读并完成相应任务． 材料1：一元二次方程的根与系数的关系最早由法国数学家韦达发现，习惯上称为“韦达定理”，韦达定理更一般地揭示了一元二次方程的根与系数的关系． 材料2：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数、、有如下关系：，． 材料3：已知一元二次方程的两个实数根分别为、，求的值． 解：、q是一元二次方程的两个实数根， ，． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程的两个实数根为、，则______，______； （2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为、，求的值； （3）提升：已知实数、满足，且，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系． （1）依据题意，直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）依据题意，利用一元二次方程根与系数的关系可得，，从而代入计算可以得解； （3）依据题意，可得m，n是一元二次方程的两个根，从而，，进而可以计算得解． 【小问1详解】 一元二次方程的两个根为，， ， 故答案为：， 【小问2详解】 一元二次方程的两个实数根为p、q， ， 【小问3详解】 由题意，， ， ，且， ，n是一元二次方程的两个根． ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $