精品解析：辽宁省抚顺市新抚区2025-2026学年上学期教学质量检测九年级数学试卷（一）

2025-2026学年度（上）学期教学质量检测 九年级数学试卷（一） 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 ※注意事项：考生答题时．必须将答案写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是关键． 含有一个未知数，未知数的最高次数为2次的整式方程即为一元二次方程，由此即可求解． 【详解】解：A、含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，是整式方程，故是一元二次方程，符合题意； B、含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； D、当时，原式为，故不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A  2. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A 如意纹 B. 冰裂纹 C. 盘长纹 D. 风车纹 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，理解轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形既可以看作是中心对称图形又可以看作是轴对称图形，故本选项不符合题意； D中图形是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键． 通过计算一元二次方程根的判别式的值，根据其正负来判断根的情况． 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴． ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 4. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据，配方得进行解答即可． 详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图像和性质．根据抛物线的顶点为即可得到答案． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故选：C． 6. 观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 17 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 1.19 1.44 1.71 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查估算一元二次方程近似解，根据表中数据可直接得出答案． 【详解】解：由表可知，时，随x的增大而增大， 当时，，当时，， 因此估计一元二次方程的一个解的大致范围是， 故选C． 7. 随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在年投入研发资金为万元，到年累计共投入研发资金万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找准等量关系． 设年平均增长率为x，可得出、年投入研发资金，结合到年累计三年共投入研发资金万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设年平均增长率为x，根据题意得， ． 故选：A． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合应用．分别求出一次函数和二次函数的图象与轴的交点，得到一次函数和二次函数的图象都经过，且二次函数的图象经过原点，据此即可得到答案． 【详解】解：当时，，解得，即一次函数与轴的交点为， 当时，，解得，，即二次函数的图象与轴的交点为，， 即一次函数和二次函数的图象都经过，且二次函数的图象经过原点， 故只有A选项符合题意， 故选：A． 9. 如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质．由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，根据三角形外角的性质可得，再利用三角形内角和定理求得即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，抛物线：与抛物线：交于点，以下结论：①无论x取何值，总是正数；②抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到；③当时，随着x的增大，的值先增大后减小；④若直线与抛物线，有3个公共点时，则，说法正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的图象及性质，二次函数的平移等．根据题意逐一对序号进行判断分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵，且， ∴的最小值为， ∴无论取何值，总是正数，故①正确； 把点代入得： ，解得：， ∴， ∴的顶点坐标为， ∵：， ∴顶点坐标为， ∴抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到的，故②正确； ， ∴当时，的值随着的增大而增大，故③错误； 根据题意得：当直线与抛物线有3个交点时，直线过的顶点或点A， 此时或，故④错误． 故选：B 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知，是方程的实数根，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．利用韦达定理即可求解． 【详解】解：由题可知， ∴， 故答案为：5． 12. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转得，则点的对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转．根据旋转的性质可得答案． 【详解】解：∵绕点O按顺时针方向旋转得到，， ∴对应点的坐标为． 故答案为：． 13. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了通过函数图象的交点确定方程的解，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据抛物线和直线的交点坐标及解析式，得出方程的解即可． 【详解】解：根据抛物线和直线的交点坐标及解析式得， 方程的解为， 故答案为：． 14. 如图，，绕点C顺时针旋转90°至的位置，取，的中点，，连接，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转的性质和直角三角形的性质求解线段的长度，熟练利用勾股定理是解题的关键，先连接CM、CN，利用直角三角形斜边中线性质得出，再结合旋转性质推出是等腰直角三角形，进而求出 【详解】 如图：连接,． ∵, ∴ ∵、分别是，的中点， ∴、分别为与斜边上的中线， ∴,， 绕点顺时针旋转得到， ， ， 又∵， ∴， 是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 15. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路线问题． 抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，连结交对称轴于D点，如图，先证明四边形为平行四边形得到，则，利用等线段代换得到四边形的周长，根据两点之间线段最短可判断此时四边形的周长最小，再解方程得，从而确定抛物线的对称轴为直线，，接着确定，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，于是解方程组得到D点坐标． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，如图， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时四边形的周长最小， 令，则， 解得，， ∴，， ∴， 令，则， ∴， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴解方程组得， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程 （1）； （2）（用公式法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程是解题的关键． （1）先将方程化为一元二次方程的标准形式，再通过因式分解法求解方程的根即可． （2）采用公式法求解，需先计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算方程的根即可． 【小问1详解】 解：，整理得： ， ∴， ∴或， ∴，． 【小问2详解】 解：∵， ∴，，， ∴， ∴， 解得：，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出△ABC关于原点O成中心对称的； （2）画出绕点O逆时针旋转90°所得到的； （3）在y轴上有一点Q，使得，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）， 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，关键是根据轴对称变换和旋转变换得到变换后的对应点． （1）分别作出点A、B、C关于原点的对称点，，，再顺次连接即可得； （2）分别作出点，，，绕点O逆时针旋转后所得对应点，，再顺次连接可得； （3）根据平行线间距离处处相等即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问2详解】 如图所示：即为所求， 【小问3详解】 如图，点，即为所求． 18. 如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，． （1）求证：； （2）若，，，请直接写出的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是证明． （1）由旋转的性质可得，，由等边三角形的性质可得，再根据证明即可； （2）证明是等边三角形，再由全等三角形的性质可得，，再由勾股定理的逆定理可得，再求解可得结论． 【小问1详解】 证明：绕点B逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形． ， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：，， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ． 19. 某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，再代入进行求解，即可作答． （2）理解题意，得出，再结合抛物线，的函数表达式分别为，，代入，整理得，再解方程，可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， ∵， ∴结合二次函数的对称性得， 将代入， 得 则， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的函数表达式， ∵，，．，且抛物线的函数表达式为， ∴， 整理得， ∴， ∴， 解得， ∴． 20. 抚顺市政府锚定“通高铁、办冬运”发展路径，为抚顺市带来交通发展的历史性跨越，新抚区政府迅速抓住城市升级改造、民生改善的有利契机．为了改善城市居民停车条件，在某空余城区闲置地面建矩形停车场，其总面积为，共设计了如图所示的48个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多3m，通车道的宽度都相等，求每个停车位的宽度为多少米？ 【答案】2.5米 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用．设每个车位的宽为x米，则长米，总面积为，据此列出方程，解方程并取合适的解即可． 【详解】解：设每个车位的宽为x米，则长米， ， 整理得， 解之得：，（不合题意，舍去）， 答：每个停车位的宽度是2.5米． 21. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 抚顺生产某款零部件的一间工厂因为引入一体化加工，生产效率提升，8月份生产100个，同年10月份则生产144个． 素材2 该零部件成本为30元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为40元时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题 解决 请回答下列问题 任务1 求该工厂8月份到10月份生产数量的月平均增长率． 任务2 批发商为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价定为多少元？ 任务3 在上述条件下，如果实际售价不低于50元/个，但不高于70元/个，请求出月销售利润最大值． 【答案】任务1：20%；任务2：50元；任务3：12250元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解决本题的关键． 任务1：设该车间8月份到10月份生产数量的平均增长率为x,利用该车间10月份生产数量该车间8月份生产数量（该车间8月份到10月份生产数量的平均增长率），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 任务2：设该零件的实际售价m元，则每个的销售利润为元，利用总利润每个的销售利润月销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合要尽可能让消费者得到实惠，即可确定结论． 任务3：先表示出月销售利润与实际售价的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：任务1：设车间8月份到10月份生产数量的平均增长率x, 由题意得， 解得或(舍去)， ∴该车间8月份到10月份生产数量的平均增长率， 答：该车间8月份到10月份生产数量的平均增长率． 任务2：设该零件的实际售价m元/个， 则每个的销售利润为元， 此时月销售量将减少个， 则月销售量为个， ∴， 整理得， 解得，， ∵要尽可能让消费者得到实惠， ∴， ∴该零件的实际售价应定为50元， 答：该零件的实际售价应定为50元． 任务3：设该零件的实际售价a元/个，月销售利润为y元， 则有 ， ∵实际售价不低于50元/个，但不高于70元/个， ∴， 当元/个时，y有最大值，最大值为元． 22. 已知，在中，，延长至，使，过点作交的延长线于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，将图1中的绕点B逆时针旋转，连接交直线于点D，求证：； （3）若，，当时，请求出的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）的长为或． 【解析】 【分析】（1）利用即可证明； （2）过点作交于点E，证明，即可得到； （3）分两种情况讨论，分别画出图形，作于点H，证明四边形是矩形，在和中，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：如图， ∵，， ∴， 又∵，， ∴； 【小问2详解】 证明：过点作交于点E，如图， ∴， 由旋转可得：， ∴， ， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图a，作于点H， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ∴， 在中，； 如图b，作于点H， 同理可证明四边形是矩形， 在中，， ∴， 在中，． 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象（记为）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，抛物线的图象（记为）经过点B，C．直线与两个图象，分别交于点D，E，与x轴交于点P． （1）求抛物线的解析式： （2）如图1，当点P在线段上时，求四边形面积的最大值； （3）设点D，E到直线的距离分别为m，n．当时，请求出对应的t值． 【答案】（1） （2） （3），，， 【解析】 【分析】此题考查了二次函数与几何综合题，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法进行解答即可； （2）设，，得到，根据二次函数的性质进行解答即可； （3）过点D作于点T，过点E作于点S，设直线与直线交于点G，得到，当时，解方程即可求出答案． 【小问1详解】 解：对于二次函数， 当时，， 解得：，， ∴，， 当时，， ∴， ∵二次函数的图象（记为）经过点B，C， ∴解得： ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ∵， ∵直线与x轴垂直， ∴，， ∴， ∴， 整理得：， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，取得最大值为； 【小问3详解】 如图，过点D作于点T，过点E作于点S，设直线与直线交于点G， ∵，， 设直线表达式：，代入点，， 则 ∴直线表达式， ∴， ， ， ∵，， ∴，而， ∴为等腰直角三角形， ∴，∵轴， ∴， ∵，， ∴，均为等腰直角三角形， ∴， 同理， 即， 当时， ∴，整理得：， ∴或， 解得，，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（上）学期教学质量检测 九年级数学试卷（一） 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 ※注意事项：考生答题时．必须将答案写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 如意纹 B. 冰裂纹 C. 盘长纹 D. 风车纹 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C 有一个实数根 D. 没有实数根 4. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（ ） x 1.1 1.2 1.3 14 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 1.19 144 1.71 A. B. C. D. 7. 随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在年投入研发资金为万元，到年累计共投入研发资金万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线：与抛物线：交于点，以下结论：①无论x取何值，总是正数；②抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到；③当时，随着x的增大，的值先增大后减小；④若直线与抛物线，有3个公共点时，则，说法正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知，是方程的实数根，则________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转得，则点的对应点的坐标为______． 13. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为_______． 14. 如图，，绕点C顺时针旋转90°至的位置，取，的中点，，连接，若，，则______． 15. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16 解方程 （1）； （2）（用公式法） 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出△ABC关于原点O成中心对称的； （2）画出绕点O逆时针旋转90°所得到的； （3）在y轴上有一点Q，使得，请直接写出点Q的坐标． 18. 如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，． （1）求证：； （2）若，，，请直接写出的度数． 19. 某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 20. 抚顺市政府锚定“通高铁、办冬运”发展路径，为抚顺市带来交通发展的历史性跨越，新抚区政府迅速抓住城市升级改造、民生改善的有利契机．为了改善城市居民停车条件，在某空余城区闲置地面建矩形停车场，其总面积为，共设计了如图所示的48个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多3m，通车道的宽度都相等，求每个停车位的宽度为多少米？ 21. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 抚顺生产某款零部件的一间工厂因为引入一体化加工，生产效率提升，8月份生产100个，同年10月份则生产144个． 素材2 该零部件成本为30元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为40元时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题 解决 请回答下列问题 任务1 求该工厂8月份到10月份生产数量的月平均增长率． 任务2 批发商为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价定为多少元？ 任务3 在上述条件下，如果实际售价不低于50元/个，但不高于70元/个，请求出月销售利润最大值． 22. 已知，在中，，延长至，使，过点作交的延长线于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，将图1中的绕点B逆时针旋转，连接交直线于点D，求证：； （3）若，，当时，请求出的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线图象（记为）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，抛物线的图象（记为）经过点B，C．直线与两个图象，分别交于点D，E，与x轴交于点P． （1）求抛物线的解析式： （2）如图1，当点P在线段上时，求四边形面积的最大值； （3）设点D，E到直线的距离分别为m，n．当时，请求出对应的t值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $