精品解析：河北省张家口市桥西区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025－2026学年度第一学期期中学情诊断测试 九年级数学试卷 考生注意： 1.本试卷共4页，总分100分，考试时间90分钟； 2.请务必在答题纸上作答，写在试卷上的答案无效．考试结束，只收答题纸． 3.答卷前，请在答题纸上将姓名、班级、考场、座位号、准考证号填写清楚． 4.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净． 5.主观题答案须用黑色字迹钢笔、签字笔书写． 6.必须在答题纸上题号所对应的答题区域内作答，超出答题区域的书写，无效． 7.保持卷面清洁、完整．禁止对答题纸恶意折损，涂画，否则不能过扫描机器． 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数的常数项为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是哪一个？（ ） A. B. C. D. 3. 嘉嘉用软件绘制抛物线时，将“2”按成了“3”，和原图象相比，发生改变的是（ ） A. 开口方向 B. 开口大小 C. 对称轴 D. 顶点坐标 4. 榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 6. “二维码”已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图为的正方形二维码，为了估计该二维码纸片中黑色阴影部分的面积，琪琪在该二维码纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一块矩形的土地被分成4小块，用来种植4种不同的花卉，其中4块面积分别是，则关于与之间的关系，正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 12. 阅读材料：抛物线上任意一点到定点和到定直线的距离相等，我们把定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线，如，抛物线的焦点为，准线为直线． 解决问题：如图，为抛物线上的一点，为该抛物线的焦点，点的坐标为，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 将抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为________． 14. 为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高统计如下： 组别 人数 5 根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是________． 15. 如图，在△ABC中，DE//BC，AD∶DB＝1∶2， 若DE=3，则BC=______． 16. 下图中的螺旋形由一系列直角三角形组成，每个三角形都以点为一顶点，已知（为正整数）是第一个小于的角，则的值为_____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 数学课上，老师出了这样一道数学题：取何值时，抛物线的开口向下？嘉琪解答过程如下： 解： ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， 即当时，抛物线的开口向下． 嘉琪的解答过程正确吗？如果不正确，请指出嘉琪解答错误的原因，并改正过来． 19. 如图，树垂直立在地面上，嘉嘉在时测得树的影子长为，时又测得该树的影子长为，若两次日照的光线互相垂直，求树的高度长．（精确到，参考数据：，，） 20. 如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“☺”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“☺”位于格子时，小明连续点击两次按钮，请用画树状图或列表的方法，求“☺”回到格子的概率． 21. 如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，在图2中： （1）求的长； （2）求． 22. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中作边上的中线； （2）在图②中作的角平分线； （3）在图③中的边上找到一点F，使． 23. 如图，矩形的两个顶点为，，抛物线的表达式为． （1）若点，都在该抛物线上，通过计算说明、的大小； （2）当抛物线经过点时，说明该抛物线是否经过矩形的中心； （3）在矩形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”，若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出的取值范围． 24. 综合与探究 主题：矩形的折叠的探究某数学学习小组用一张矩形纸片，如图，矩形中，足够长进行探究活动． 【动手操作】 操作一：在上有一点P，沿折叠，使点A落在； 操作二：射线交于M，过M作交于N． 【探究发现】 （1）写出与相等的一个角为 ， 与的数量有关系为 ； 【问题探究】 （2）如图，若点A与M重合，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （3）在折叠过程中若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期期中学情诊断测试 九年级数学试卷 考生注意： 1.本试卷共4页，总分100分，考试时间90分钟； 2.请务必在答题纸上作答，写在试卷上的答案无效．考试结束，只收答题纸． 3.答卷前，请在答题纸上将姓名、班级、考场、座位号、准考证号填写清楚． 4.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净． 5.主观题答案须用黑色字迹钢笔、签字笔书写． 6.必须在答题纸上题号所对应的答题区域内作答，超出答题区域的书写，无效． 7.保持卷面清洁、完整．禁止对答题纸恶意折损，涂画，否则不能过扫描机器． 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数的常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，关键是注意再找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．常数项是指多项式中不含变量的项，据此即可求解． 【详解】解：在函数中，是二次项，是常数项，因此常数项为． 故选：A． 2. 如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是哪一个？（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行投影的意义．根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案． 【详解】解：太阳光和影子，同一时刻，杆高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上可知，选项D中的图形比较符合题意． 故选：D． 3. 嘉嘉用软件绘制抛物线时，将“2”按成了“3”，和原图象相比，发生改变的是（ ） A. 开口方向 B. 开口大小 C. 对称轴 D. 顶点坐标 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；越大，抛物线的开口越小，即可解答，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线：和的对称轴都是轴，顶点坐标都是，开口方向都向上，而抛物线的开口比抛物线的开口大， ∴和原图象相比，发生改变的是开口大小， 故选：B． 4. 榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．根据左视图是从左向右观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：“卯”的左视图为： 故选D． 5. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，根据网格可知，，即可知，即可得出，由即可推出． 【详解】解：由网格可知：，， ， ∴， ∵， ∴ ∴， 故选C 6. “二维码”已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图为的正方形二维码，为了估计该二维码纸片中黑色阴影部分的面积，琪琪在该二维码纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，已知概率求数量，解题的关键是掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率值．根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∵二维码打印在面积为的正方形纸片上， ∴黑色阴影的面积为． 故选：B． 7. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， ∵动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：B． 8. 如图，一块矩形的土地被分成4小块，用来种植4种不同的花卉，其中4块面积分别是，则关于与之间的关系，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的面积以及比例的应用，通过矩形分割后，利用同宽或同长的面积比等于长度比或宽度比的原理，建立比例关系求解． 【详解】解：如下图， 根据题意，， ∵左上与右上同宽， ∴面积比等于长度比：， ∵左下与右下同宽， ∴面积比等于长度比： ∴， ∴， ∴． 故选：D． 9. 如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，米， ∴， ∴米， 即她沿垂直方向升高了米， 故选：D． 10. 如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列举法求概率，列举所有可能结果红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共种， 相邻两个方格所涂颜色不同的有种，红蓝红，蓝红蓝，然后用概率公式即可求解，掌握列举法求概率是解题的关键． 【详解】解：∵从红、蓝两种颜色中随机选取一种， ∴有红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共种， 相邻两个方格所涂颜色不同的有种，红蓝红，蓝红蓝， ∴故相邻两个方格所涂颜色不同的概率是， 故选：． 11. 如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 12. 阅读材料：抛物线上任意一点到定点和到定直线的距离相等，我们把定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线，如，抛物线的焦点为，准线为直线． 解决问题：如图，为抛物线上的一点，为该抛物线的焦点，点的坐标为，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，垂线段最短，勾股定理的应用，仔细审题得出函数的准线与焦点坐标是解答本题的关键．首先得出焦点的坐标和准线方程，由点到点的距离等于点到准线的距离，从而根据垂线段最短的知识可找到点的位置，结合图形可得出这个最小值． 【详解】解：由题意得，抛物线的焦点的坐标为，准线为直线． 过点作直线，交直线于点，过点作直线，交直线于点，与抛物线的交点为点，如图： 则由题意可得，， 故可得：， 结合垂线段最短，可得当点与点重合时，，此时的值最小， 此时， ∵，， ∴， ∴周长的最小值为． 故选：A． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 将抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为． 故答案为： 14. 为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高统计如下： 组别 人数 5 根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】考查了求概率，解题关键是直接利用了简单概率求解公式． 由表可得身高不低于为，共抽取了名九年级男生，再根据概率公式求解． 【详解】解：∵抽取了名九年级男生中有名男生身高不低于， ∴抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是； 故答案是：； 15. 如图，在△ABC中，DE//BC，AD∶DB＝1∶2， 若DE=3，则BC=______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意，先求证△ADE∽△ABC，因为相似三角形的对应边的比等于相似比．根据题意求出两个三角形的相似比，再由DE的长和对应关系可求出BC． 【详解】解：∵AD：DB=1：2 ∴， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC ∴ ∵DE=3， ∴BC=9 故答案为：9． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质、比例的性质．找到BC对的应边和确定两个三角形的相似比是解决本题的关键．解决本题的过程中，易弄错两个三角形的相似比． 16. 下图中的螺旋形由一系列直角三角形组成，每个三角形都以点为一顶点，已知（为正整数）是第一个小于的角，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中正切值的计算，勾股定理，正确进行计算是解题关键．根据，，，，，的值，求出，，，找到规律求出，最后根据是第一个小于的角，列不等式求解即可． 【详解】解：其中，，每个三角形都以点为顶点． ，，则， ，，则， ，，则， ∴，，则， ∵是第一个小于的角， ∴， 即， 整理得， 取最小自然数得， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值、二次根式的性质，分别根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质计算各项，即可求解． 【详解】解：原式 18. 数学课上，老师出了这样一道数学题：取何值时，抛物线的开口向下？嘉琪解答过程如下： 解： ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， 即当时，抛物线的开口向下． 嘉琪的解答过程正确吗？如果不正确，请指出嘉琪解答错误的原因，并改正过来． 【答案】 解：错误，原因是忽略了的指数为． 正确解法：∵抛物线开口向下， ∴， ∴， 又∵函数为二次函数， ∴， 解得或（舍去）， 故当时，抛物线开口向下． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的性质，解一元二次方程．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的定义可知还需要满足，再结合条件可求出的值． 【详解】略 19. 如图，树垂直立在地面上，嘉嘉在时测得树的影子长为，时又测得该树的影子长为，若两次日照的光线互相垂直，求树的高度长．（精确到，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等角的余角相等，直角三角形两个锐角互余，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．由两次日照的光线互相垂直、树垂直于地面得出，推得，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴（负值舍去）， 树的高度长为． 20. 如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“☺”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“☺”位于格子时，小明连续点击两次按钮，请用画树状图或列表的方法，求“☺”回到格子的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，解题的关键正确理解题意列出表格．通过列表可得共有种等可能的结果数，其中能回到格子A的结果数有（左，右），（右，左）两种．根据概率公式即可求解． 【详解】解：列表如下： 第一次 第二次 左 右 左 （左，左） （左，右） 右 （右，左） （右，右） 由表格可知，共有种等可能的结果数，其中能回到格子A的结果数有（左，右），（右，左）两种． ∴（连续点击两次按钮，“☺”回到格子A的概率）． 21. 如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，在图2中： （1）求的长； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求角的正切值，一元一次方程的应用，平行线的性质等，熟练掌握正切的定义是解题的关键． （1）根据图1中的矩形的面积等于图2中的的面积，列出方程，解方程即可求解； （2）根据平行线的性质得出，根据正切的定义即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，图1中的矩形的面积等于图2中的的面积， 即， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：延长，交直线于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即． 22. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中作边上的中线； （2）在图②中作的角平分线； （3）在图③中的边上找到一点F，使． 【答案】（1）如图，为所作： （2） 如图，为所作： （3） 如图，点F为所作： 【解析】 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质等知识； （1）连接格点P、Q与交于点，连接即为所求作的中线； （2）取格点M，则，取格点N，连接交于点O，连接交于点E，则为所作； （3）取格点S、T，连接交于点F，则点F满足条件． 【小问1详解】 解：如图，连接格点P、Q与交于点， 由于四边形是矩形，则点D为的中点， ∴为边上的中线； 【小问2详解】 解：； 如图，取格点M，则，取格点N，连接交于点O，连接交于点E， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴平分， ∴平分， 即为所作； 【小问3详解】 解：如图，取格点S、T，连接交于点F， ∵， ∴， ∴， 即， 故点F满足题意． 23. 如图，矩形的两个顶点为，，抛物线的表达式为． （1）若点，都在该抛物线上，通过计算说明、的大小； （2）当抛物线经过点时，说明该抛物线是否经过矩形的中心； （3）在矩形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”，若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） 解：∵点，都在抛物线上， 故将，代入，得，， ∴， 即． （2） 解：不经过，理由如下： ∵四边形是矩形，，， ∴矩形的中心坐标为； 当抛物线经过点时，将代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 所以该抛物线不经过矩形的中心． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，将，代入得出，，再列式求出，即可求解； （2）先根据矩形的性质和中点坐标公式求出矩形的中心坐标，待定系数法求出抛物线的解析式，求出当横坐标为时，抛物线上点的纵坐标，即可求解； （3）根据矩形的性质得出，，结合“好点”的定义得出，矩形的边界上，“好点”有六个，结合抛物线的性质，以及“好点”与抛物线的位置关系，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：四边形是矩形，，， ∴，， 故矩形的边界上，“好点”有，，，，，，共六个； 若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，即抛物线将“好点”分为两部分，每部分各有个“好点”， ∵抛物线开口向下，对称轴为轴， 故点，，在抛物线的下方，点，，在抛物线的上方， 当时，，此时点在点的上方，即， ∴， 当时，，此时点在点的上方，即， ∴， 故当时，点，，在抛物线的下方． 当时，，此时点在点的下方，即， ∴， 当时，，此时点在点的下方，即， ∴， 故当时，点，，在抛物线的上方； 即当时，抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分． 【点睛】本题考查了二次函数上点的坐标特征，待定系数法求抛物线的解析式，矩形的性质，中点坐标，二次函数的性质等，熟练掌握在抛物线上方和下方的点的坐标特征是解题的关键． 24. 综合与探究 主题：矩形的折叠的探究某数学学习小组用一张矩形纸片，如图，矩形中，足够长进行探究活动． 【动手操作】 操作一：在上有一点P，沿折叠，使点A落在； 操作二：射线交于M，过M作交于N． 【探究发现】 （1）写出与相等的一个角为 ， 与的数量有关系为 ； 【问题探究】 （2）如图，若点A与M重合，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （3）在折叠过程中若，求的值． 【答案】（1）（或）；相等； （2）四边形为正方形．理由如下： 当点与点M重合时，点P与点N重合． ∵，， ∴， 得：， 又四边形为矩形， 故四边形为正方形． （3）的值为或 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，长方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定及性质等知识，根据各项性质找到线段相等和角度相等关系，并通过相似三角形构建线段等量关系是解题的关键． （1）根据折叠的性质和矩形的性质可得，根据矩形的对边平行可得；证明，可得； （2）先证明四边形是矩形，再证明即可得出结论； （3）设，则，分点在线段上时和点M在线段上两种情况根据折叠的性质和勾股定理分别求出，的长即可． 【详解】解：（1）由折叠得，，， 或者：∵四边形是矩形， ∴，， ∴；， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：（或）；相等； （2）略； （3）设，则， 情况一：当点在线段上时， 由折叠性质可知：， 由（1）可知：，即， 中，，得：， 故：． 情况二：当点M在线段上时， 由折叠性质可知：， 由（1）可知：，即， 中，，得：， 故：． 综上：的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $