精品解析：北京市延庆区2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025北京延庆高二（上）期中 数 学 2025.11 本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，，故. 故选：C. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简方程求出复数的代数形式，结合复数虚部的定义确定其虚部. 【详解】因为， 所以， 所以复数的虚部为， 故选：D. 3. 已知直线经过点与，则直线的斜率与倾斜角分别为（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 【答案】D 【解析】 【分析】利用斜率公式以及直线斜率与倾斜角的关系可求得结果. 【详解】由题意可得，即 ，因为，故. 故选：D. 4. 已知，，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的夹角公式求出，结合向量夹角的取值范围可得出的大小. 【详解】由题意可得， 因为，故. 故选：C. 5. 已知，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量模及数量积的坐标表示，结合垂直关系的向量表示及运算律列式求解. 【详解】由，，得， ，由， 得，所以. 故选：C 6. 已知是空间中直线的方向向量，是平面的一个法向量，那么“”是“直线与平面平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】要解决这个问题，我们需要分析“”与“直线与平面平行”之间的逻辑关系，判断是充分条件、必要条件还是充要条件. 【详解】当时，直线与平面平行或直线在平面内， 因此，“”不能推出“直线与平面平行”，所以充分性不成立. 如果直线与平面平行，那么直线的方向向量与平面的一个法向量一定垂直， 所以“直线与平面平行”可以推出“”，因此必要性成立. 综上，“”是“直线与平面平行”的必要不充分条件. 故选：B 7. 函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，结合正弦函数的有界性可求得原函数的最大值. 【详解】因为， 故当，即时，函数取最大值. 故选：C. 8. 若是平行四边形，且、、，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点，根据题意得出，结合空间向量的坐标运算可求得点的坐标. 【详解】设点，因为四边形为平行四边形，故， 即，即，解得，即点. 故选：A. 9. 如图，在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用已知条件得出相关点的坐标，进而得出的坐标，利用向量夹角的余弦公式求解． 【详解】在三棱锥中，两两互相垂直，以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 为的中点，且，则，， ， ，设所成的角为， ， ，，即直线与所成角的大小为． 故选：C． 10. 已知是边长为的等边三角形，为平面内的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点，以边中点为原点，建立直角坐标系，利用等边三角形的性质得出相应点的坐标，进而得出的坐标，再运用向量坐标运算计算，求最小值． 【详解】设点，以边中点为原点，建立如图所示直角坐标系， 是边长为的等边三角形，，， ， ， ， 当时，即点为中点时，取最小值，最小值为． 故选：A 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由对数复合函数有意义即可列出不等式求解. 【详解】要使有意义， 只需：， 即：， 解得： 或 . 故答案为： 12. 已知的三个顶点、、，则的边上的高的长度为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】求出直线的方程，再利用点到直线的距离公式可求得结果. 【详解】由题意可得，故直线的方程为，即， 故的边上的高即为点到直线的距离. 故答案为：. 13. 函数的单调递增区间为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用幂函数的奇偶性以及单调性可得答案. 【详解】由幂函数的性质得： 的定义域为， 又由， 故为偶函数， 又因为， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以函数的单调递增区间为. 故答案为：. 14. 已知棱长为1的正方体中，分别为的中点，则直线与平面之间的距离为____________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，先利用向量法证明平面EMN，根据线面距离的定义把直线AC到平面EMN的距离转化为点A到平面EMN的距离，再利用点面距离的向量公式求解即可. 【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则令，可得，所以， 即，又平面，所以平面， 故点到平面的距离即为直线到平面的距离， 又，所以点到平面的距离为， 即直线与平面之间的距离为. 故答案为： 15. 如图，在三棱锥中，是等边三角形，，平面平面，．给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④三棱锥的体积为. 其中，所有正确结论的序号为____________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】证明，可判断①；取的中点，连接、，证明出平面，可判断③；过点在平面内作，垂足为点，连接，推导出为等腰直角三角形，可判断②；利用锥体的体积公式可判断④. 【详解】对于①，因为为等边三角形，所以， 又因为，在和中，，， 所以，所以，，①对； 对于③，取的中点，连接、， 因为，，所以，， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，故，③对； 对于②，过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为平面平面，平面平面，平面， ，所以平面， 因为平面，所以， 在和中，，，， 故，所以，， 故为等腰直角三角形，故， 所以， 又因为，故为等腰直角三角形，故， 所以为等腰直角三角形，同理可知为等腰直角三角形，所以，②对； 对于④，因为为等腰直角三角形，且，故， 所以，， 因为， 故，④错. 故答案为：①②③. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知中，，，． （1）求及的值； （2）求及面积. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求出的值，由题意得出，可得出角的值，再利用两角和的正弦公式可求得的值； （2）利用余弦定理可得出关于的方程，结合可得出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【小问1详解】 由正弦定理得， 所以. 由于，所以或， 因为，则，故，则， 又，所以，. 【小问2详解】 由可得，即， 因为，解得. 所以的面积为. 17. 已知点、. （1）求经过点，且倾斜角为的直线方程； （2）求经过点、的直线在轴和轴上的截距； （3）若原点为，求经过点且以为法向量的直线的一般式方程； （4）已知直线经过点，且、两点到直线的距离相等，求直线的方程． 【答案】（1） （2）直线在轴上的截距为，在轴上的截距为 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，结合点斜式可得出所求直线的方程； （2）将直线的方程化为截距式，结合直线截距的概念可得结果； （3）设为所求直线上一点，根据可得出所求直线的一般式方程； （4）分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式可得出的等式，解出的值，即可得出所求直线的方程. 【小问1详解】 因为直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 因为、两点的横坐标不相等，而且纵坐标也不相等， 所以直线的两点式方程，整理得，化为截距式方程得， 所以直线在轴上的截距为，在轴上的截距为. 【小问3详解】 设为所求直线上一点，则与垂直， 因为，所以， 整理可得一般式方程为. 【小问4详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 点到直线的距离为，点在直线上，不合乎题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为、两点到直线的距离相等，所以， 即，解得或，因此直线的方程为或. 18. 如图，在棱长为的正方体中，点是的中点. （1）求与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标以及相关平面的法向量，利用空间角的向量求法，即可求解； （3）根据空间距离的向量求法，即可求得答案. 【小问1详解】 如图，建立空间直角坐标系，则， ，所以， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，所以， 因为， 所以与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 由（1）知，平面的一个法向量为 平面的一个法向量为， 所以， 由图可知，二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 设点到平面的距离，， 则，所以点到平面的距离为. 19. 已知点，直线. （1）求过点且与直线平行的直线方程； （2）求过点且与直线垂直的直线方程； （3）求点关于直线的对称点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设所求直线的方程为，将点的坐标代入该直线的方程，求出的值，即可得出所求直线的方程； （2）设所求直线的方程为，将点的坐标代入该直线的方程，求出的值，即可得出所求直线的方程； （3）设对称点的坐标为，根据两点关于直线对称，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出对称点的坐标. 【小问1详解】 依题意可设所求直线的方程为， 由于直线过点，因此，解得. 因此所求直线的方程为. 【小问2详解】 依题意可设所求直线的方程为， 由于直线过点，因此，解得. 因此所求直线的方程为. 【小问3详解】 设点关于直线的对称点的坐标为，则， 解得，所以对称点为. 20. 如图，在四棱锥中，已知平面，为平行四边形，，，，，为侧棱上的点. （1）求证：； （2）若平面，求的值； （3）若二面角的大小为，求的值． 【答案】（1） 因为平面，平面，所以； 又因为，，平面，所以平面； 因为平面，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直即可得，进而可证明平面，进而可得线线垂直， （2）根据线面平行的性质即可求解， （3）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，由向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，设，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以； 因为为平行四边形，所以是的中点； 所以在中，. 【小问3详解】 因为平面，平面，所以. 以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建空间立直角坐标系. 因为，，，所以，， 因为，所以，，，，，，， 因为平面，所以是平面的一个法向量. （法一）设，则， 所以，即，， 设平面的一个法向量为，则 所以，令，则，所以， 因为二面角的大小为，所以， 解得， 或（舍）， 即存在满足条件的点，且. （法二）设，则，， 设平面的一个法向量为，则 所以，令，则，所以， 所以，解得. 设，则，所以， 所以，，所以，解得， 即存在满足条件的点，且. 21. 对非空数集、，定义与的和集.对任意有限集，记为集合中元素的个数. （1）若集合，，写出集合； （2）若集合满足，且，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用定义直接求解即可； （2）由题意先说明，再结合，即可求解. 【小问1详解】 因为集合，， 由题中定义可得，. 【小问2详解】 因为， 所以， 所以集合中至少包含个元素，所以， 又由题意，所以， 又为整数，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025北京延庆高二（上）期中 数 学 2025.11 本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线经过点与，则直线的斜率与倾斜角分别为（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 4. 已知，，则是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 6. 已知是空间中直线的方向向量，是平面的一个法向量，那么“”是“直线与平面平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 若是平行四边形，且、、，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 已知是边长为的等边三角形，为平面内的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为____________． 12. 已知的三个顶点、、，则的边上的高的长度为____________． 13. 函数的单调递增区间为____________． 14. 已知棱长为1的正方体中，分别为的中点，则直线与平面之间的距离为____________． 15. 如图，在三棱锥中，是等边三角形，，平面平面，．给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④三棱锥的体积为. 其中，所有正确结论的序号为____________． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知中，，，． （1）求及的值； （2）求及面积. 17. 已知点、. （1）求经过点，且倾斜角为的直线方程； （2）求经过点、的直线在轴和轴上的截距； （3）若原点为，求经过点且以为法向量的直线的一般式方程； （4）已知直线经过点，且、两点到直线的距离相等，求直线的方程． 18. 如图，在棱长为的正方体中，点是的中点. （1）求与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 已知点，直线. （1）求过点且与直线平行的直线方程； （2）求过点且与直线垂直的直线方程； （3）求点关于直线的对称点的坐标． 20. 如图，在四棱锥中，已知平面，为平行四边形，，，，，为侧棱上的点. （1）求证：； （2）若平面，求的值； （3）若二面角的大小为，求的值． 21. 对非空数集、，定义与的和集.对任意有限集，记为集合中元素的个数. （1）若集合，，写出集合； （2）若集合满足，且，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $