精品解析：江西省赣州市于都县2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年第一学期期中考试 八年级数学试卷 说明： 1．本卷共有六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟 2．答案一律写在答题卷上，否则无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，8 C. 4，4，9 D. 4，6，7 4. 如图，已知，，那么判定的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E,若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（　　） A. 44° B. 40° C. 39° D. 38° 6. 如图，在下列三角形中，若 AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图，南昌八一大桥的桥梁拉杆和桥面均构成三角形的结构，这样设计的数学道理是________． 8. 如图，D、E是边的三等分点，则是三角形______的中线． 9. 如果三角形的三边长分别为5，8，a，那么a的取值范围为__． 10. 已知点与点关于轴对称，则________． 11. 如图，在中，，F是边上任意一点，过F作于D，于E，若，则______． 12. 如图，已知点P是射线上一动点（P不与B重合），，当_______时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）若点与点关于x轴对称，求m的值． （2）如图，，在中，是最长边．且．在中，最长边______，的长为______；与相等的角为______． 14. 如图，已知BE=CD，∠B=∠C，求证：△ABE≌△ACD． 15. 如图，在中，，，是高，是角平分线，求与的度数． 16. 如图:已知在△ABC中,AB=AC,AE∥BC,试说明AE平分∠DAC. 17. 如图，已知矩形，请按要求完成下列作图： （1）在图中用尺规做出关于的轴对称图形（保留作图痕迹）； （2）在图（1）的基础上，仅用无刻度直尺做出线段的垂直平分线． 四、解答题（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. 根据题意画出图形，并填注理由 证明：三角形的内角和等于180°． 已知：△ABC 求证：∴∠A＋∠B＋∠C＝180° 证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE BA． ∵CE BA（辅助线） ∴∠B＝∠ECD（ ） ∠A＝∠ACE（ ） ∵∠BCA＋∠ACE＋∠ECD＝180°（ ） ∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（ ） 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）请画出关于轴对称的． （2）请画出关于轴对称的． （3）若内部一点在中的对称点为，在中的对称点为，请直接写出点，的坐标． 20. 如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，且． （1）求证：； （2）若的延长线与相交于F，求证：为直角三角形． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，已知点D，E分别是ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC． （1）求证：ABC是等腰三角形 （2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若，求∠AGC的度数． 22. 如图，已知点O是内的一点，M，N分别是点O关于、的对称点，连接，与、分别相交于点E、F，已知． （1）求的周长； （2）连接、，若，则______（用含a的代数式表示）； （3）当，判定的形状，并说明理由． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【课例改编】 数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是的高，，若，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点刚好落在边上的点处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出：_____． 【改编拓展】 张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （2）如图2，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 【模型应用】 根据上面探究构造全等模型的规律，请解答： （3）如图3，在四边形中，平分，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中考试 八年级数学试卷 说明： 1．本卷共有六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟 2．答案一律写在答题卷上，否则无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，符合题意； B、该图形不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形两锐角互余的性质是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 【详解】解：直角三角形中，一个锐角等于， 另一个锐角的度数． 故选：B． 3. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，8 C. 4，4，9 D. 4，6，7 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形三边关系，直接利用三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进而判断得出答案． 【详解】解：A、不能组成三角形，故此选项错误； B、，不能组成三角形，故此选项错误； C、，不能组成三角形，故此选项错误； D、，能组成三角形，故此选项正确； 故选：D． 4. 如图，已知，，那么判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据，证明三角形全等即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴； 故选C． 5. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E,若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（　　） A. 44° B. 40° C. 39° D. 38° 【答案】C 【解析】 【详解】【分析】根据三角形内角和得出∠ACB，利用角平分线得出∠DCB，再利用平行线的性质解答即可． 【详解】∵∠A=54°，∠B=48°， ∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°， ∵CD平分∠ACB交AB于点D， ∴∠DCB=×78°=39°， ∵DE∥BC， ∴∠CDE=∠DCB=39°， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质等，解题的关键是熟练掌握和灵活运用根据三角形内角和定理、角平分线的定义和平行线的性质． 6. 如图，在下列三角形中，若 AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定定理计算即可. 【详解】①中，作任意一底角的角平分线即可；②中，不能；③中，作底边上的高即可；④中，在BC边上截取CD=CA即可．故答案选D． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理;等腰三角形的判定定理．运用三角形内角的度数来判断等腰三角形是解题的关键. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图，南昌八一大桥的桥梁拉杆和桥面均构成三角形的结构，这样设计的数学道理是________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性作答． 【详解】解：南昌八一大桥的桥梁拉杆和桥均桥构成三角形的结构，这样设计是利用了三角形的稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，是基础题型． 8. 如图，D、E是边的三等分点，则是三角形______的中线． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线，熟记概念并准确识图是解题的关键． 根据三角形中线的定义分别填空即可． 【详解】解：D、E是边的三等分点， ， 是三角形的中线． 故答案为：． 9. 如果三角形的三边长分别为5，8，a，那么a的取值范围为__． 【答案】3<a<13 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系解答． 【详解】由题意得：8-5<a<8+5， ∴3<a<13， 故答案为：3<a<13． 【点睛】此题考查三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边． 10. 已知点与点关于轴对称，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，根据“关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同”求出m，n的值，再代入解答即可． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴， ∴， ． 故答案为：1． 11. 如图，在中，，F是边上任意一点，过F作于D，于E，若，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】连接，根据，即可求解．熟练掌握等腰三角形的性质，正确理解题意，根据等面积法列出等式是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： 则， ，， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 12. 如图，已知点P是射线上一动点（P不与B重合），，当_______时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理，能分类讨论并画出符合的所有图形是解此题的关键．分为以下5种情况讨论，再根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质和判定分别求解即可． 【详解】解：分为以下5种情况， ①当时，如图， ， ； ②当时，如图， ， ， ； ③当时，如图， ， ， ； ④当时，如图， ， 是等边三角形， ， ； ⑤当时，如图， ， ， ， ； 综上所述，当或或时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）若点与点关于x轴对称，求m的值． （2）如图，，在中，是最长边．且．在中，最长边______，的长为______；与相等的角为______． 【答案】（1）（2）；2.1； 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称的两个点的坐标特征，全等三角形的性质，熟知相关性质是解题的关键． （1）利用关于x轴对称的两个点的坐标特征，列方程即可解答； （2）根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：点与点关于x轴对称， ， 解得； （2）解：，在中，是最长边， 在中，最长边为，，，， ， 故答案为：；；． 14. 如图，已知BE=CD，∠B=∠C，求证：△ABE≌△ACD． 【答案】 证明：在△ABE与△ACD中， ∴△ABE≌△ACD（AAS）． 【解析】 【分析】利用AAS证明三角形全等即可． 【详解】略 【点睛】本题考查全等三角形的判定：找到∠A是公共角这一隐含条件是解题的关键． 15. 如图，在中，，，是高，是角平分线，求与的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后求解即可． 【详解】解：，， ， 是角平分线， ， 是高， ， ． 16. 如图:已知在△ABC中,AB=AC,AE∥BC,试说明AE平分∠DAC. 【答案】 证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵AE∥BC， ∴∠DAE=∠B，∠CAE=∠C， ∴∠DAE=∠EAC， ∴AE平分∠DAC． 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，由平行线的性质可得∠DAE=∠B，∠CAE=∠C，即可得∠DAE=∠EAC，所以AE平分∠DAC． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及平行线的性质，正确应用等腰三角形的性质是解题的关键． 17. 如图，已知矩形，请按要求完成下列作图： （1）在图中用尺规做出关于的轴对称图形（保留作图痕迹）； （2）在图（1）的基础上，仅用无刻度直尺做出线段的垂直平分线． 【答案】（1） 为所求作的三角形； （2） 如图所示： 【解析】 【分析】（1）作点B关于的对称点，连接、即可； （2）连接交于点O，设为、的交点，连接即可． 【小问1详解】 解：如图，以点B为圆心，任意长为半径画弧，与交于M、N两点，以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点Q，连接，交于点P，以点P为圆心，为半径画弧，交延长线于点E，连接、，则为所求作的三角形； 【小问2详解】 解：连接交于点O，设为、的交点，连接，则为所求作的的垂直平分线，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，，， 根据轴对称可知，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，作轴对称图形，尺规作垂线，三角形全等的判定和性质，轴对称的性质，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握到线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上． 四、解答题（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. 根据题意画出图形，并填注理由 证明：三角形的内角和等于180°． 已知：△ABC 求证：∴∠A＋∠B＋∠C＝180° 证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE BA． ∵CE BA（辅助线） ∴∠B＝∠ECD（ ） ∠A＝∠ACE（ ） ∵∠BCA＋∠ACE＋∠ECD＝180°（ ） ∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（ ） 【答案】两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；平角等于180°；等量代换 【解析】 【分析】根据平行线的性质和平角度数等于180°求解即可． 【详解】解：证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE BA． ∵CE BA（辅助线） ∴∠B＝∠ECD（两直线平行，同位角相等） ∠A＝∠ACE（两直线平行，内错角相等） ∵∠BCA＋∠ACE＋∠ECD＝180°（平角等于180°） ∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（等量代换） 故答案为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；平角等于180°；等量代换． 【点睛】此题考查了证明三角形的内角和等于180°，平行线的性质以及平角度数等于180°，解题的关键是熟练掌握平行线的性质以及平角度数等于180°． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）请画出关于轴对称的． （2）请画出关于轴对称的． （3）若内部一点在中的对称点为，在中的对称点为，请直接写出点，的坐标． 【答案】（1） 解：所作如图所示： （2） 解：所作如图所示： （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形——轴对称变换，解题的关键是掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征．关于轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数． （1）分别作出三个顶点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （2）分别作出三个顶点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （3）根据关于坐标轴对称的点的坐标特征求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，且． （1）求证：； （2）若的延长线与相交于F，求证：为直角三角形． 【答案】（1） 证明：， ， 又、、在一条直线上， ∴ ，即． （2） 证明：， ， 中，， ， ，即为直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． （1）根据全等三角形得到，再由，则，即可证明； （2）根据全等三角形得到，而在中，，则，即可证明为直角三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，已知点D，E分别是ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC． （1）求证：ABC是等腰三角形 （2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若，求∠AGC的度数． 【答案】 （1）证明：∵AF是∠DAC的角平分线 ∴∠DAF=∠CAF 又∵ ∴∠DAF=∠ABC，∠CAG=∠ACB ∴∠ABC=∠ACB ∴AB=AC ∴是等腰三角形 （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义，得到∠DAF=∠CAF，又根据，得到∠DAF=∠ABC，∠CAG=∠ACB，进一步得到∠ABC=∠ACB，即可证明是等腰三角形； （2）在中，分别求得和的度数，利用三角形内角和求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵CG是∠ACE的角平分线 ∴∠ACG=∠ECG 又∵，∠ACB=∠B ∴ ∴∠ACG=∠ECG= 又∵∠CAG=∠ACB ∴∠AGC= 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等相关知识点，牢记知识点是解题关键． 22. 如图，已知点O是内的一点，M，N分别是点O关于、的对称点，连接，与、分别相交于点E、F，已知． （1）求的周长； （2）连接、，若，则______（用含a的代数式表示）； （3）当，判定的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是等腰直角三角形，理由如下： ， ， ，分别是点关于、的对称点， ，， ， 是等腰直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称的性质、等腰三角形的判定，掌握轴对称的性质和等边三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据轴对称的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可； （2）根据轴对称的性质得到，，根据角的和差关系解答； （3）根据等腰三角形的判定定理证明． 【小问1详解】 解：，分别是点关于、的对称点， ，， 的周长； 【小问2详解】 解：如图，连接， ，分别是点关于、的对称点， ，， ， 故答案为：； 【小问3详解】 略 六、解答题（本大题共12分） 23. 【课例改编】 数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是的高，，若，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点刚好落在边上的点处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出：_____． 【改编拓展】 张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （2）如图2，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 【模型应用】 根据上面探究构造全等模型的规律，请解答： （3）如图3，在四边形中，平分，求的长． 【答案】（1）9； （2）解：， 证明：如图，在上截取，连接，   ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形，由折叠的性质可得：，，，由可得，再由三角形外角的定义及性质可得，推出，进而得到，最后进行计算即可得到答案； （2）在上截取，连接，证明得到，，证明，再由得到，再根据三角形外角的定义及性质得出，进而得到，即可得证； （3）在上截取，连接，证明，得到，，从而得到，进而，再由即可得证，结合可得，从而推出是等边三角形，得出，最后由即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处， 由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $