精品解析：广东省广州协和学校2025-2026学年上学期九年级数学期中考试卷

广州协和学校2025学年第一学期期中考试 初三年级数学科试题 2025年11月 试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为120分，考试时间为120分钟． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，由此进行逐一判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、符合一元二次方程的定义，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于能够熟知定义． 2. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 平行四边形 D. 正五边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义依次进行判断即可得． 【详解】解：A、等边三角形，不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意； B、直角三角形，不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意； C、平行四边形，是中心对称图形，选项说法正确，符合题意； D、正五边形，不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形的定义． 3. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用顶点式表达式，按照抛物线平移的公式即可求解． 【详解】解：将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后，函数的表达式为：． 故选：D． 【点睛】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 4. 的根为（ ） A. B. ， C. ， D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．先移项，再因式分解求解即可． 【详解】解：， ， ， 或 ， 或 ， 方程的根为，． 故选：C． 5. 对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（ ） A. 开口向上 B. 经过原点 C. 对称轴是y轴 D. 顶点在x轴上 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质判断即可． 【详解】在二次函数中， ∵， ∴图像开口向下，故A错误； 令，则， ∴图像不经过原点，故B错误； 二次函数的对称轴为直线，故C错误； 二次函数的顶点坐标为， ∴顶点在x轴上，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数相关性质是解题的关键． 6. 设方程的两根分别是，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题可利用韦达定理，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可． 【详解】由可知，其二次项系数，一次项系数， 由韦达定理：， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方程，也可以通过韦达定理提升解题效率． 7. 已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵ ∴该函数的对称轴为x=-1 ∴当x＜-1，y随x的增大而增大；当x＞-1，y随x的增大而减小；且距x=-1距离越远，y越小 ∵-1＜1＜2 ∴y1＞y2 ∵|-1-(-2)|=1＜|-1-1|=2 ∴y3＞y1 ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系以及函数的对称性和增减性，掌握二次函数的性质成为解答本题的关键． 8. 电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房收入约亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达亿元，若把增长率记作，则方程可以列为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设平均每天票房的增长率为x，根据三天后累计票房收入达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设平均每天票房的增长率为x， 根据题意得：． 故选：D． 9. 如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接OB，OD，OP，过O作，交于点，过O作，交于点，首先利用勾股定理求得OM长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OM的长． 【详解】解：连接OB，OD，OP，过O作，交于点，过O作，交于点． ∵AB=CD=8， ∴BM=DN=4， 由垂径定理，勾股定理得：OM=ON==3， ∵AB，CD是互相垂直的两条弦， ∴∠DPB=90° ∵，， ∴∠OMP=∠ONP=90° ∴四边形MONP是正方形， ∴OP==， 故选C． 【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线． 10. 如图，在正方形ABCD中，AB＝5，点M在CD的边上，且DM＝2，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接BM．先判定△FAE≌△MAB（SAS），即可得到EF＝BM．再根据BC＝CD＝AB＝5，CM＝3，利用勾股定理即可得到，Rt△BCM中，BM＝，进而得出EF的长． 【详解】解：如图，连接BM． ∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称， ∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE． ∵△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF， ∴AF＝AM，∠FAB＝∠MAD． ∴∠FAB＝∠MAE ∴∠FAB+∠BAE＝∠BAE+∠MAE． ∴∠FAE＝∠MAB． ∴△FAE≌△MAB（SAS）． ∴EF＝BM． ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝AB＝5． ∵DM＝2， ∴CM＝3． ∴在Rt△BCM中，BM＝， ∴EF＝， 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质、三角形的判定和性质,关键在于做好辅助线,熟记性质. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 点关于原点的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反特点进行求解即可，解题关键是掌握关于原点对称点的坐标规律． 【详解】解：∵两个点关于原点对称时，它们坐标符号相反， ∴点关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 12. 抛物线与的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是，则该抛物线的函数解析式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线与的形状相同，开口方向相反，可得a的值，由顶点坐标可得c的值． 【详解】解：∵抛物线与的形状相同，开口方向相反， ∴， ∵顶点坐标是， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式，掌握解析式与系数的关系是解决本题的关键． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，根据根的判别式即可解答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 且， ∴且． 故答案为：且 14. 如图，为的直径，点，在上，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质，平行线的性质，等边对等角，掌握相关性质定理是解题的关键．根据平行线的性质求得的度数，根据 ，等边对等角得到的度数． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 15. 已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是___． 【答案】x＜﹣1或x＞3##x＞3或x＜﹣1 【解析】 【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以得到该抛物线与x轴的另一个交点，从而可以得到当y＞0时，x的取值范围． 【详解】解：由图象可得， 该抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣1，0）， 故抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）， 故当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞3， 故答案为：x＜﹣1或x＞3． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 16. 已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：；；；若方程有四个根，则这四个根的和为4．其中正确结论的序号为________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数之间的关系，根据开口方向，对称轴和与轴的交点，判断①，对称轴结合特殊点，判断②，最值判断③，图象法确定方程的根的情况，判断④． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； 由图象可知：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴，无法得到，故②错误； ∵当时，函数有最大值为：， ∴当时，， ∴，故③正确； ∵方程有四个根， ∴抛物线，与直线和分别有两个交点，且相对应的两个交点关于对称轴对称， ∴这四个根的和为；故④正确； 故答案为：①③④． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤． 17. 选择适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）用直接开平方法解方程即可； （2）用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 解得，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）试作出以为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； （2）以原点为对称中心，画出与关于原点成中心对称的，且坐标为______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， 【解析】 【分析】（1）根据旋转性质，结合旋转的方向作图即可； （2）根据原点对称的点的坐标特点，确定坐标后画图即可． 本题考查了旋转作图，原点对称的作图，熟练掌握作图的基本要领，确定坐标是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，作图如下： ， 则即为所求． 【小问2详解】 解：根据题意，，，关于原点对称点分别为，，．画图如下： ． 则即为所求，且． 19. 如图，中，弦，相交于点，． （1）比较与的长度，并证明你的结论； （2）求证：． 【答案】（1）相等，理由见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质． （1）由圆心角、弧、弦的关系推出，即可得到． （2）由证明，即可推出． 【小问1详解】 解：与的长度相等，理由如下： ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：在和中， ， ， ． 20. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即求解即可； （2）由韦达定理把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【详解】（1）由题意可得： 解得： 即实数m的取值范围是． （2）由可得： ∵； ∴ 解得：或 ∵ ∴ 即的值为-2． 【点睛】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当时，方程有实数根；（2）掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键． 21. 如图，已知抛物线y=－x2+mx+3与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），抛物线与直线y=－x+3交于C、D两点．连接BD、AD． （1）求m的值． （2）抛物线上有一点P，满足S△ABP=4S△ABD，求点P的坐标． 【答案】（1）m=2 ；（2）P（1+，－9）或P（1－，－9） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）利用方程组首先求出点D坐标．由面积关系，推出点P的纵坐标，再利用待定系数法求出点P的坐标即可． 【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+mx+3过（3，0）， ∴0=-9+3m+3， ∴m=2 （2）由，得，， ∴D（，-）， ∵S△ABP=4S△ABD， ∴AB×|yP|=4×AB×， ∴|yP|=9，yP=±9， 当y=9时，-x2+2x+3=9，无实数解， 当y=-9时，-x2+2x+3=-9，解得：x1=1+，x2=1-， ∴P（1+，-9）或P（1-，-9）． 22. 某超市销售一种商品，成本价为元千克，经市场调查，每天销售量千克与销售单价元千克之间的关系如图所示，假设每千克售价不能低于元，且不高于元． （1）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）若每天的总利润为元，求出关于的函数关系式，并求出当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2），销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合； （1）设与之间的函数关系式为，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意可得，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 将点，代入得： ， 解得， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 根据题意，得： ， ， 该函数图象开口向下，且其对称轴为， 又， 在此范围内，随的增大而增大， 当时，取最大值，此时， 即销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元． 23. 根据背景素材，探索解决问题． 生活中的数学﹣﹣﹣﹣自动旋转式洒水喷头如何灌溉草坪 背景素材 数学来源于生活，九4班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对草坪喷水管建立数学模型．草坪装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉园林草坪．如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒． 甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点． 乙小组在甲小组基础上，测量得距洒水喷头水平距离较远若干米的E处，正上方有一树枝叶F，旋转式喷洒水柱外端刚好碰到树叶F的最低处． 丙小组在甲小组基础上，测量得喷水口中心O到水柱的最外落水点D距离为半径，建立半径为的扇形平面图（图3）． 问题解决 任务1 获取数据 丁小组测量得喷头的高米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，经过点． 解决问题 求出水柱所在抛物线函数解析式． 任务2 获取数据 丁小组测树叶F距水平地面最低高度米，点F在抛物线上且离水喷头水平距离较远，E在上，． 解决问题 求的长． 任务3 推理计算 丁小组观察自动旋转式洒水喷头可顺、逆时针往返喷洒，可平面旋转角度不超过，求： ①这个喷头最多可洒水多少平方米？ ②在①条件下，此时的长． 【答案】任务1： 任务2：的长为6米 任务3：①这个喷头最多可洒水平方米；②米 【解析】 【分析】任务1：根据抛物线经过三点，设，利用待定系数法求解即可； 任务2：求出点F的坐标，进而可得点E的坐标，即可得到答案； 任务3：①根据扇形面积公式计算即可；②根据等腰三角形和三角形内角和定理可得，进而根据所对直角边等于斜边的一半和勾股定理求得，即可得到答案． 【详解】任务1：解：由题意得抛物线过点，，， 设抛物线的解析式为， ， 解得， 水柱所在抛物线的函数解析式为； 任务2：解：水柱所在抛物线的函数解析式为， 当时，，解得或6， 点F在抛物线上且离水喷头水平距离较远， ， 在上，． ， ， 的长为6米； 任务3：解：①由题意得米， 这个喷头最多可洒水的面积为：（平方米）， 答：这个喷头最多可洒水平方米； ②过点O作于H， 由题意得米，， ，， ， 米，米， 米． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质，扇形的面积，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质及勾股定理，理解题意，熟练运用知识点是解题的关键． 24. 在中，，． （1）如图1，点E为内部一点，连接，将线段绕点B顺时针方向旋转得到，连接，，线段与的位置关系是 ； （2）如图2，若将问题（1）中的点E改为外部一点，其余条件不变，与交于点G，证明A、B、C、G四点在同一个圆上； （3）如图3，点D为外一点，且，点O为的中点，连接．若，，求的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据证明，得出，延长交于H ，交于G，根据三角形外角的性质可得出，即可得出结论； （2）类似（1），根据证明，得出，然后根据三角形外角的性质可得出，根据圆周角定理证得结论； （3）过B作交于E．连接，取中点H，连接，根据三角形中位线定理得出，，证明是等腰直角三角形，得出，，证明，得出，则可求，在中，根据勾股定理可求出，即可求解． 【小问1详解】 解：．理由： 如图1，由旋转性质得：，， ∵， ∴，又， ∴， ∴， 延长交于H ，交于G， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图2，由旋转性质得：，， ∵， ∴，又， ∴， ∴， 设交于H， ∵， ∴， ∴A、B、C、G四点在以为直径的圆上， 即A、B、C、G四点在同一个圆上； 【小问3详解】 解：如图3，过B作交延长线于E．连接，取中点H，连接， ∵点为的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，又， ∴， ∴，， ∴，， ∵H为中点， ∴，则， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质、勾股定理、三角形的中位线性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线G：的顶点为点P． （1）顶点P的坐标为_______；（用含m的式子表示） （2）直线l：分别与x轴和y轴交于点A和点B，点P在第四象限． ①当面积最大时，求抛物线G的解析式； ②在①的条件下，把抛物线G沿y轴向上平移个单位长度得到抛物线，若抛物线与的边有且只有两个交点，求实数t的取值范围． 【答案】（1）； （2）①；②t的取值范围为或． 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式确定出对称轴，然后代入求解即可确定顶点坐标； （2）①由一次函数解析式确定，过点P作轴于点H，与交于点C，得出, ，结合图象表示出三角形的面积，然后根据最值情况求解即可； ②根据题意得出的解析式为：，分三种情况：当与直线AB只有一个交点时；当抛物线经过点B时；当过点A时；结合函数图象分别求解即可得出结果． 【小问1详解】 解：， ∴， 当时，， ∴顶点P的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 ①∵分别与x轴和y轴交于点A和点B， ∴当时，；当时，； ∴， 过点P作轴于点H，与交于点C，如图所示： ∵由（1）得P的坐标为， ∴, ∴， ∴， ∵面积有最大值， ∴， 当时，最大，， ∴点在第四象限，符合题意， 此时； ②由①得抛物线G为， ∴沿y轴向上平移个单位长度得到抛物线，即， 当与直线AB只有一个交点时， ， 整理得， ， 解得：， 此时与有一个交点，与有一个交点，共三个交点，不符合题意， ∴由图象得：当时，与的边BP、AP各有一个交点，共两个交点，符合题意； 当抛物线经过点B时，将代入， 解得：， 根据图象得：当时，抛物线与无交点，与、各有一个交点，满足题意； 当过点A时，将代入， 解得：，此时与的边只有一个交点， ∴当时，与的边，各有一个交点； 综上可得：t的取值范围为或． 【点睛】题目主要考查一次函数与二次函数综合问题，包括二次函数的基本性质，面积问题，交点问题等，理解题意，综合运用这些知识点结合函数图象求解是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州协和学校2025学年第一学期期中考试 初三年级数学科试题 2025年11月 试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为120分，考试时间为120分钟． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A B. C. D. 2. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 平行四边形 D. 正五边形 3. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为（ ） A. B. C. D. 4. 根为（ ） A. B. ， C. ， D. 5. 对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（ ） A. 开口向上 B. 经过原点 C. 对称轴是y轴 D. 顶点在x轴上 6. 设方程的两根分别是，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 7. 已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 8. 电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房收入约亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达亿元，若把增长率记作，则方程可以列为（    ） A. B. C. D. 9. 如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 10. 如图，在正方形ABCD中，AB＝5，点M在CD的边上，且DM＝2，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 点关于原点的对称点的坐标为______． 12. 抛物线与的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是，则该抛物线的函数解析式是_____． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 14. 如图，为的直径，点，在上，，，则______． 15. 已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是___． 16. 已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：；；；若方程有四个根，则这四个根的和为4．其中正确结论的序号为________． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤． 17. 选择适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）试作出以为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； （2）以原点为对称中心，画出与关于原点成中心对称的，且坐标为______． 19. 如图，中，弦，相交于点，． （1）比较与的长度，并证明你的结论； （2）求证：． 20. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 21. 如图，已知抛物线y=－x2+mx+3与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），抛物线与直线y=－x+3交于C、D两点．连接BD、AD． （1）求m的值． （2）抛物线上有一点P，满足S△ABP=4S△ABD，求点P的坐标． 22. 某超市销售一种商品，成本价为元千克，经市场调查，每天销售量千克与销售单价元千克之间的关系如图所示，假设每千克售价不能低于元，且不高于元． （1）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）若每天的总利润为元，求出关于的函数关系式，并求出当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 23. 根据背景素材，探索解决问题． 生活中的数学﹣﹣﹣﹣自动旋转式洒水喷头如何灌溉草坪 背景素材 数学来源于生活，九4班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对草坪喷水管建立数学模型．草坪装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉园林草坪．如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒． 甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点． 乙小组在甲小组基础上，测量得距洒水喷头水平距离较远若干米的E处，正上方有一树枝叶F，旋转式喷洒水柱外端刚好碰到树叶F的最低处． 丙小组在甲小组基础上，测量得喷水口中心O到水柱的最外落水点D距离为半径，建立半径为的扇形平面图（图3）． 问题解决 任务1 获取数据 丁小组测量得喷头的高米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，经过点． 解决问题 求出水柱所在抛物线函数解析式． 任务2 获取数据 丁小组测树叶F距水平地面最低高度米，点F在抛物线上且离水喷头水平距离较远，E在上，． 解决问题 求的长． 任务3 推理计算 丁小组观察自动旋转式洒水喷头可顺、逆时针往返喷洒，可平面旋转角度不超过，求： ①这个喷头最多可洒水多少平方米？ ②在①条件下，此时的长． 24. 在中，，． （1）如图1，点E为内部一点，连接，将线段绕点B顺时针方向旋转得到，连接，，线段与的位置关系是 ； （2）如图2，若将问题（1）中的点E改为外部一点，其余条件不变，与交于点G，证明A、B、C、G四点在同一个圆上； （3）如图3，点D为外一点，且，点O为的中点，连接．若，，求的长． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线G：的顶点为点P． （1）顶点P的坐标为_______；（用含m的式子表示） （2）直线l：分别与x轴和y轴交于点A和点B，点P第四象限． ①当面积最大时，求抛物线G的解析式； ②在①的条件下，把抛物线G沿y轴向上平移个单位长度得到抛物线，若抛物线与的边有且只有两个交点，求实数t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $