2026年中考数学一轮复习 第八章图形的变化：图形的轴对称 知识点训练

2026届中考数学一轮复习 第八章图形的变化:图形的轴对称 知识点训练 【知识点1】轴对称图形的辨别 1、下列图形中是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2、“致中和,天地位焉,万物育焉”,对称之美随处可见.下列选项分别是扬州大学、扬州中国大运河博物馆、扬州五亭桥、扬州志愿服务的标识,其中的轴对称图形是( ) A. B. C. D. 3、下列图形中,为轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 4、如图所示标志是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 5、下列图形既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 6、下列图形中,是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 7、纹样是我国古代艺术中的瑰宝.下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 8、“黔山秀水”写成下列字体,可以看作是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 9、古汉字“雷”的下列四种写法,可以看作轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 10、围棋起源于中国,古代称为“弈”.如图是两位同学的部分对弈图,轮到白方落子,观察棋盘,白方如果落子于点_的位置,则所得的对弈图是轴对称图形.(填写A,B,C,D中的一处即可,A,B,C,D位于棋盘的格点上) 11、 围棋起源于中国,古代称为“弈”.如图是两位同学的部分对弈图,轮到白方落子,观察棋盘,白方如果落子于点_的位置,则所得的对弈图是轴对称图形.(填写A,B,C,D中的一处即可,A,B,C,D位于棋盘的格点上) 【知识点2】轴对称的性质 1、小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案.如图,其中与都是等腰三角形,且它们关于直线对称,点,分别是底边,的中点,.下列推断错误的是( ) A. B. C. D. 2、如图所示,在矩形ABCD中,AB>AD,AC与BD相交于点O,下列说法正确的是( ) A.点O为矩形ABCD的对称中心 B.点O为线段AB的对称中心 C.直线BD为矩形ABCD的对称轴 D.直线AC为线段BD的对称轴 3、如图,四边形ABCD中,AB=AD,点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上,若∠BAD= ,则∠ACB的度数为( ) A.45 B. ﹣45 C. D.90 ﹣ 4、如图,在四边形中,,,与关于直线轴对称,,,点与点对应,交于点,则线段的长为( ) A.3 B. C.5 D. 5、如图,是外的一点,,分别是两边上的点,点关于的对称点恰好落在线段上,点关于的对称点恰好落在的延长线上. 若,,,则线段的长为 A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 6、如图,已知∠AOB=30 ,点P在∠AOB内部,点P1与点P关于OB对称,点P2与点P关于OA对称,则下列结论中不正确的是( ) A.∠P1OP2=60 B.∠P1PP2=150 C.OP1=OP2 D.P,P1,P2三点所构成的三角形是等腰三角形 7、如图,内一点,点,分别是点关于,的对称点,交于点,交于点,若,则的周长是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 8、如图,在Rt ABC中,∠BAC=90 ,∠B=50 ,AD⊥BC,垂足为D, ADB与 ADB'关于直线AD对称,点B的对称点是点B',则∠CAB'的度数为( ) A.10 B.20 C.30 D.40 9、如图, ABC与 A'B'C'关于直线MN对称,BB′交MN于点O,则下列结论不一定正确的是( ) A.AC=A'C' B.BO=B'O C.A′A⊥MN D.AB∥B'C' 10、如图,在 ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,点A与点E关于直线CD对称.若AB=7,AC=9,BC=12,则 DBE的周长为( ) A.9 B.10 C.11 D.12 11、如图,点E、F分别为长方形的边、上的点,将长方形纸片沿翻折,点B、C分别落在点、处,与相交于点G,若,则的度数为 . 12、如图,四边形ABCD是轴对称图形,AC所在的直线是它的对称轴,若∠BCD=70 ,则∠ACB的度数为 . 13、如图,点P是∠AOB内一点,OP=m,∠AOB= ,点P关于直线OA的对称点为点Q,关于直线OB的对称点为点T,连接QT,分别交OA,OB于点M,N,连接PM,PN,下列结论:①∠OTQ=90 ﹣ ;②当 =30 时, PMN的周长为m;③0<QT<2m;④∠MPN=180 ﹣2 ,其中正确的有 (填序号). 14、如图, ABC与 A′B′C′关于直线l对称,且∠A=78 ,∠C′=48 ,则∠B的度数为 度. 15、如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,.线段AB与A′B′关于过点O的直线l对称,点B的对应点B′在线段OC上,A′B′交CD于点E,则 B′CE与四边形OB′ED的面积比为_. 16、如图,在 ABC中,AB=AC,∠A<90 ,点D,E,F分别在边AB,BC,CA上,连接DE,EF,FD,已知点B和点F关于直线DE对称.设=k,若AD=DF,则=_ (结果用含k的代数式表示). 17、图①、图②、图③均是的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点.点A,均在格点上,只用无刻度的直尺,分别在给定的网格中按下列要求作四边形,使其是轴对称图形且点, 均在格点上. (1)在图①中,四边形面积为2; (2)在图②中,四边形面积为3; (3)在图③中,四边形面积为4. 18、如图所示,在正方形网格中,每个小正方形的边长为1个单位长度. (1)过直线m作四边形ABCD的对称图形; (2)求四边形ABCD的面积. 19、[问题背景] 如图1,在平面直角坐标系中,点B,D是直线上第一象限内的两个动点,以线段为对角线作矩形,轴.反比例函数的图象经过点A. [构建联系] (1)求证:函数的图象必经过点C; (2)如图2,把矩形沿折叠,点C的对应点为E.当点E落在y轴上,且点B的坐标为时,求k的值; [深入探究] (3)如图3,把矩形沿折叠,点C的对应点为E.当点E,A重合时,连接交于点P.以点O为圆心,长为半径作.若,当与的边有交点时,求k的取值范围. 【知识点3】轴对称的应用(一)——将军饮马问题 1、如图,正方形ABCD的边长为8,点M在DC上且DM=2,点N是AC上的一动点,则DN+MN的最小值是( ) A.9 B.10 C.11 D.12 2、如图,在 AOB中,∠OBA=90 ,点A(4,4),C(2,0),D(4,2),P为OA上一动点,连接PC,PD,则PC+PD的最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 3、如图,在锐角三角形中,,的面积为10,平分,若M、N分别是、上的动点,则的最小值为( ) A.4 B.5 C.4.5 D.6 4、 “将军饮马”问题是数学趣题,可抽象为:如图(1)所示,在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边点P处饮马后再回到B点宿营,请问怎样走才能使总的路程最短?确定最近行程的饮马点P,可以通过轴对称变换的思想解决如图(2),作点A关于直线l的对称点A1,连接A1B,交直线l于点P1,那么点P1就是所求的点.利用“将军饮马”问题的方法解决下面问题: 如图(3),在 ABC中,∠A=50 ,点O为 ABC内一点,过点O分别作AC,AB的垂线,垂足分别为M,N,点P为AM上一动点,点Q为AN上一动点,连接OP,OQ,PQ,当 OPQ的周长最小时,∠POQ的度数为( ) A.50 B.60 C.70 D.80 5、已知等边 ABC的边长为3,点D为BC边上一点,且BD=1,E,F分别为边CA,AB上的点(不包括端点),则 DEF周长的最小值为( ) A. B. C. D. 6、如图,在 ABC中,AB=AC,∠A=90 ,点D,E是边AB上的两个定点,点M,N分别是边AC,BC上的两个动点.当四边形DEMN的周长最小时,∠DNM+∠EMN的大小是( ) A.45 B.90 C.75 D.135 7、如图,在等边 ABC中,AB=4,BD平分∠ABC,点E是边BC的中点,点F是线段BD上的动点,则CF+EF的最小值为( ) A. B.3 C. D.4 8、如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E在CD边上,且DE=2CE,点P是对角线AC上的一个动点,则PE+PD的最小值是( ) A. B. C.9 D. 9、如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90 ,AB=6,线段PQ在斜边AC上运动,且PQ=2.连接BP,BQ.则 BPQ周长的最小值是( ) A.6+2 B.2+2 C.8 D.4+2 10、如图,已知正方形的周长为20,,,若M为对角线上一动点,则的最小值为 . 11、如图,在 ABC中,BA=BC,BD平分∠ABC,交AC于点D,点M、N分别为BD、BC上的动点,若BC=10, ABC的面积为40,则CM+MN的最小值为 . 12、如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为和,且,若点A到河岸的中点的距离为300米,则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家,最短距离是 米. 13、如图,已知菱形OABC的边OA在x轴上,点B的坐标为(8,4),P是对角线OB上的一个动点,点D(0,1)在y轴上,当PC+PD最短时,点P的坐标为 . 14、如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(1,3),点B坐标为(4,1),点C在x轴上,点D在y轴上,则以A,B,C,D为顶点的四边形的周长的最小值是 . 15、如图,小河CD边有两个村庄A村、B村,现要在河边建一自来水厂E为A村与B村供水,自来水厂建在什么地方到A村、B村的距离和最小?请在图中找出点E的位置.(保留作图痕迹,不写作法) 16、如图1,A村和B村在一条大河CD的同侧,它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米,又知道CD的长为4千米. 现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水.有两种方案备选方案1:水厂建在C点,修自来水管道到A村,再到B村(即AC+AB).(如图2)方案2:作A点关于直线CD的对称点A',连接A'B交CD于M点,水厂建在M点处,分别向两村修管道AM和BM.(即AM+BM)(如图3)从节约建设资金方面考虑,将选择管道总长度较短的方案进行施工,请利用已有条件分别进行计算,判断哪种方案更合适. 17、如图1,抛物线交x轴于O,两点,顶点为.点C为的中点. (1)求抛物线的表达式; (2)过点C作,垂足为H,交抛物线于点E.求线段的长. (3)点D为线段上一动点(O点除外),在右侧作平行四边形. ①如图2,当点F落在抛物线上时,求点F的坐标; ②如图3,连接,,求的最小值. 【知识点4】轴对称的变化与坐标 1、点A(a,1)和点B(2,b)关于y轴对称,则a的值是( ) A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2 2、如图,在平面直角坐标系中,对 ABC进行循环往复的轴对称变换,若原来点B坐标是(﹣5,2),则经过第2023次变换后点B的对应点的坐标为( ) A.(﹣5,﹣2) B.(5,﹣2) C.(﹣5,2) D.(5,2) 3、点P(﹣2,1)与点Q(a,b)关于直线y=﹣1对称,则点Q的坐标为( ) A.(﹣2,﹣3) B.(﹣2,﹣1) C.(﹣2,﹣2) D.(﹣2,﹣4) 4、已知P(a,2)和Q(1,b)关于y轴对称,则(a+b)2 021的值为( ) A.1 B.﹣1 C.32 021 D.﹣32 021 5、在平面直角坐标系中,点P(2,﹣3)关于直线y=x对称的点的坐标是( ) A.(﹣2,3) B.(3,﹣2) C.(﹣3,2) D.(﹣2,﹣3) 6、在平面直角坐标系中,点关于轴对称的点的坐标是( ) A. B. C. D. 7、在平面直角坐标系中,点关于轴对称的点的坐标是( ) A. B. C. D. 8、已知点A(4,﹣3)和点B是坐标平面内的两个点,且它们关于直线x=2对称,则平面内点B的坐标为( ) A.(0,﹣3) B.(4,﹣9) C.(4,0) D.(﹣10,3) 9、如图,已知A,B的坐标分别为(1,2),(3,0),将 OAB沿x轴正方向平移,使B平移到点E,得到 DCE,若OE=4,则点C的坐标为( ) A.(2,2) B.(3,2) C.(1,3) D.(1,4) 10、若点A(a,4)在第二象限,则点A关于直线m(直线m上各点的横坐标都是2)对称的点坐标是( ) A.(﹣a,4) B.(4﹣a,4) C.(﹣a﹣4,﹣4) D.(﹣a﹣2,﹣4) 11、在平面直角坐标系中,点A(﹣2,﹣3)关于y轴对称的点B的坐标是 . 12、在平面直角坐标系中,点P(﹣2,3)关于x轴的对称点坐标是 . 13、在平面直角坐标系xOy中,点A(﹣3,4)和点B(3,4)关于 轴对称. 14、已知点A(a﹣1,2a﹣4)关于y轴的对称点在第二象限,则a的取值范围是 . 15、在平面直角坐标系中,点关于轴对称的点的坐标为 . 16、如图,在直角坐标系内,已知点A(-1,0). (1)图中点B的坐标是 ; (2)点B关于原点对称的点D的坐标是 , 点A关于y轴对称的点C的坐标是 ; (3)在y轴上找一点F,使=.求点F的坐标. 17、如图,三个顶点的坐标分别为,,. (1)作出关于轴对称的,并写出的坐标; (2)求出的面积; (3)在轴上画出点,使的值最小,并写出点的坐标不写作法,保留作图痕迹 18、如图,在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系.已知三角形ABC的顶点A的坐标为A(﹣1,4),顶点B的坐标为(﹣4,3),顶点C的坐标为(﹣3,1). (1)把三角形ABC向右平移5个单位长度,再向下平移4个单位长度得到三角形A′B′C′,请你画出三角形A′B′C′; (2)请直接写出点A′,B′,C′的坐标; (3)求三角形ABC的面积. 19、如图,在平面直角坐标系中,,,. (1)在图中作出关于y轴对称的; (2)写出点,,的坐标(直接写答案):_;_;_; (3)的面积为_; (4)在y轴上画出点P,使最小. 20、在平面直角坐标系中, ABC的位置如图所示. (1)分别写出下列顶点的坐标:A ,B ; (2)顶点A关于y轴对称的点A′的坐标为:A′ ; (3) ABC的面积为 . 【知识点5】轴对称的应用(二)——图形的翻折问题 1、如图,在菱形ABCD中,AD=5,tan B=2,E是AB上一点,将菱形ABCD沿DE折叠,使B,C的对应点分别是B′,C′,当∠BEB′=90 时,点C′到BC的距离是( ) A.5+ B.2 C.6 D. 2、如图,在 ABC中,D,E分别是边AC,BC的中点,∠B=80 ,现将 CDE沿DE翻折,点C的对应点为C′,则∠BEC′的大小是( ) A.40 B.30 C.20 D.10 3、如图,将平行四边形ABCD沿AC折叠,点D恰好落在DC延长线上的点D'处,AD'交BC于点E,若∠BAD'=40 ,则∠BAD的度数为( ) A.142 B.140 C.138 D.135 4、如图,折叠长方形的一边AD,点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,则EC的长为( ) A.3cm B.4cm C.3.5cm D.5cm 5、如图,在平面直角坐标系中,已知纸片OACB,顶点A(10,0),B(0,6),点P为BC边上的动点,将 OBP沿OP折叠得到 OPD,连接CD,AD.则下列结论中: ①当∠BOP=45 时,四边形OBPD为正方形; ②当∠BOP=30 时, OAD的面积为15; ③当P在运动过程中,CD的最小值为; ④当OD⊥AD时,BP=2.其中结论正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6、如图,长方形纸片ABCD中,AD=4,AB=10,按如图的方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则DE长为( ) A.4.8 B.5 C.5.8 D.6 7、如图,的半径为5,四边形是的内接四边形,(,位于圆心O的两侧),,,将,分别沿,翻折得到,,M为上点,过点M作交于点N,则的最小值为( ) A.4 B. C. D. 8、如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90 ,E为AB上一点,分别以ED,EC为折痕将两个角(∠A、∠B)向内折起,点A,B恰好落在CD边上的点F处,若AD=4,BC=9,则EF的值是( ) A.6 B.5 C.6.5 D.5.5 9、如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=,E是BC的中点,将 ABE沿直线AE翻折,点B落在点F处,连接CF,则CF的长为( ) A.8 B. C. D. 10、如图,在三角形纸片中,∠C=90 ,沿过点A的直线折叠这个三角形,使点C落在AB边上的点D处,折痕为AE,若 ABC的周长为12cm,则 BDE的周长为4cm,则AC为 . 11、要用一张长方形纸折成一个纸袋,两条折痕的夹角为70 (即),将折过来的重叠部分抹上胶水,即可做成一个纸袋,则粘胶水部分所构成的角, . 12、折纸是我国一项古老的传统民间艺术,这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读.如图,将 ABC纸片沿DE折叠,使点A落在点A'处,DA交AB于点F,若A′D∥BC,且∠B﹣∠A=20 ,则∠AED的度数为 . 13、如图,把矩形纸片沿对角线折叠,使点C落在点E处,与交于点F,若,,则的值是_. 14、如图,在中,,,.E为边的中点,F为边上的一动点,将沿翻折得,连接,,则面积的最小值为_. 15、如图,在矩形中,,点分别在边上.将沿折叠,点的对应点恰好落在对角线上;将沿折叠,点的对应点恰好也落在对角线上.连接. 求证: (1); (2)四边形为平行四边形. 16、如图,矩形ABCD沿着直线EF对折,点D恰好落与BC边上的点H重合,HC=16,AB=8. (1)判断 EFH的形状,并说明理由; (2)求 EFH的面积. 学科网(北京)股份有限公司 $ 2026届中考数学一轮复习 第八章图形的变化：图形的轴对称 知识点训练（参考答案） 【知识点1】轴对称图形的辨别 1、下列图形中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形. 故选：B． 2、“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称之美随处可见．下列选项分别是扬州大学、扬州中国大运河博物馆、扬州五亭桥、扬州志愿服务的标识，其中的轴对称图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由图可知，A，B，D不是轴对称图形；C是轴对称图形． 3、下列图形中，为轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形. 4、如图所示标志是轴对称图形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 5、下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A，B，D是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C，是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意. 故选：C． 6、下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 7、纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A项，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B项，既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； C项，是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D项，不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 8、“黔山秀水”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A，C，D不是轴对称图形，不符合题意； B是轴对称图形，符合题意. 故选：B． 9、古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A项，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B项，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C项，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D项，是轴对称图形，故此选项符合题意. 故选：D． 10、围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点____________________的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【答案】A 【解析】白方如果落子于点A（答案不唯一）的位置，则所得的对弈图是轴对称图形． 11、 围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点________的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【答案】A或C 【解析】根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以. 【知识点2】轴对称的性质 1、小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A项，， 由对称得， 点，分别是底边，中点，与都是等腰三角形， ，， ， ， ，结论正确，故不符合题意； B项不一定等于，结论错误，故符合题意； C项由对称得， ∵点E，F分别是底边的中点， ，结论正确，故不符合题意； D项过作， ， ， ，由对称得， ， 同理可证， ，结论正确，故不符合题意. 故选：B． 2、如图所示，在矩形ABCD中，AB＞AD，AC与BD相交于点O，下列说法正确的是（　　） A.点O为矩形ABCD的对称中心 B.点O为线段AB的对称中心 C.直线BD为矩形ABCD的对称轴 D.直线AC为线段BD的对称轴 【答案】A 【解析】矩形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点O，故选项A正确，符合题意； 线段AB的中点是为线段AB的对称中心，故选项B错误，不符合题意； 矩形ABCD是轴对称图形，对称轴是过一组对边中点的直线，故选项C错误，不符合题意； 过线段BD的中点的垂线是线段BD的对称轴，故选项D错误，不符合题意； 故选：A． 3、如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，若∠BAD＝α，则∠ACB的度数为（　　） A.45° B.α﹣45° C.α D.90°﹣α 【答案】D 【解析】如图，连接AB′，BB′，BB′交AC于点O，过A作AE⊥CD于E， ∵点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上， ∴AC垂直平分BB′， ∴AB＝AB′， ∴∠BAC＝∠B′AC， ∵AB＝AD， ∴AD＝AB′， 又∵AE⊥CD， ∴∠DAE＝∠B′AE， ∴∠CAE＝∠BAD＝α， 又∵∠AEB′＝∠AOB′＝90°， ∴四边形AOB′E中，∠EB′O＝180°﹣α， ∴∠ACB′＝∠EB′O﹣∠COB′＝180°﹣α﹣90°＝90°﹣α， ∴∠ACB＝∠ACB′＝90°﹣α， 故选：D． 4、如图，在四边形中，，，与关于直线轴对称，，，点与点对应，交于点，则线段的长为（   ） A.3 B. C.5 D. 【答案】B 【解析】设，则， ∵， ∴； 由轴对称得：，，，， ∴， ∴，则， 由勾股定理得：，即， 解得：，即：． 故选：B． 5、如图，是外的一点，，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点恰好落在的延长线上． 若，，，则线段的长为 A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 【答案】B 【解析】 ∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上， ∴PM＝MQ，PN＝NR， ∵PM＝2.5cm，PN＝3cm，MR＝7cm， ∴RN＝3cm，MQ＝2.5cm， 即NQ＝MR−MQ-RN＝7-2.5-3＝1.5（cm）． 故选：B． 6、如图，已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OB对称，点P2与点P关于OA对称，则下列结论中不正确的是（　　） A.∠P1OP2＝60° B.∠P1PP2＝150° C.OP1＝OP2 D.P，P1，P2三点所构成的三角形是等腰三角形 【答案】D 【解析】∵点P1与点P关于OB对称，点P2与点P关于OA对称， ∴∠P1OB＝∠POB，∠P2OA＝∠POA，∠OP1P＝∠OPP1，∠OPP2＝∠OP2P，OP1＝OP，OP＝OP2， ∵∠POB+∠POA＝30°， ∴∠P1OP2＝2∠POB+2∠POA＝60°， ∵∠P1PP2＝∠OPP1+∠OPP2，∠OP1P＝∠OPP1，∠OPP2＝∠OP2P， ∴∠P1PP2＝∠OP1P+∠OP2P， ∵∠P1OP2+∠P1PP2+∠OP1P+∠OP2P＝360°， ∴∠P1PP2＝150°， ∵OP1＝OP，OP＝OP2， ∴OP1＝OP2， 故选项A，B，C正确， ∵无法判断PP1＝PP2，PP1＝P1P2或PP2＝P1P2，故选项D错误. 故选：D． 7、如图，内一点，点，分别是点关于，的对称点，交于点，交于点，若，则的周长是（    ） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】与关于对称， 为线段的垂直平分线， ， 同理，与关于对称， 为线段的垂直平分线， ， ， 则的周长为． 故选：C． 8、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（　　） A.10° B.20° C.30° D.40° 【答案】A 【解析】∵∠BAC＝90°，∠B＝50°， ∴∠C＝40°， ∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'， ∴∠AB'B＝∠B＝50°， ∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°， 故选：A． 9、如图，△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列结论不一定正确的是（　　） A.AC＝A'C' B.BO＝B'O C.A′A⊥MN D.AB∥B'C' 【答案】D 【解析】A．AC＝A′C′，则此项正确，不符合题意； B．BO＝B′O，则此项正确，不符合题意； C．AA′⊥MN，则此项正确，不符合题意； D．AB∥B'C'不一定正确，则此项符合题意； 故选：D． 10、如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE的周长为（　　） A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】B 【解析】∵点A与点E关于直线CD对称， ∴AD＝DE，AC＝CE＝9， ∵AB＝7，AC＝9，BC＝12， ∴△DBE的周长＝BD+DE+BE＝BD+AD+BC﹣AC＝AB+BC﹣AC＝7+12﹣9＝10． 故选：B． 11、如图，点E、F分别为长方形的边、上的点，将长方形纸片沿翻折，点B、C分别落在点、处，与相交于点G，若，则的度数为      ． 【答案】 【解析】 四边形为长方形 ， 将长方形纸片沿翻折 ， ， 故答案为：． 12、如图，四边形ABCD是轴对称图形，AC所在的直线是它的对称轴，若∠BCD＝70°，则∠ACB的度数为 　    　． 【答案】35°． 【解析】由题意可得： ∴， 故答案为：35°． 13、如图，点P是∠AOB内一点，OP＝m，∠AOB＝α，点P关于直线OA的对称点为点Q，关于直线OB的对称点为点T，连接QT，分别交OA，OB于点M，N，连接PM，PN，下列结论：①∠OTQ＝90°﹣α；②当α＝30°时，△PMN的周长为m；③0＜QT＜2m；④∠MPN＝180°﹣2α，其中正确的有　              　（填序号）． 【答案】①②④ 【解析】∵点P关于直线OA的对称点为点Q，关于直线OB的对称点为点T， ∴OQ＝OP，OT＝OP，∠QOM＝∠POM，∠PON＝∠TON，PM＝QM，PN＝TN， ∴OQ＝OT， ∴∠OTQ＝∠OQT， ∵∠AOB＝α， ∴∠QOM+∠TON＝∠POM+∠PON＝∠AOB＝α，即∠QOT＝2α， ∴∠OTQ＝∠OQT＝（180°﹣∠QOT）＝（180°﹣2α）＝90°﹣α，故①正确； ∵PM＝QM，PN＝TN， ∴△PMN的周长＝MN+PN+PM＝TN+MN+QM＝QT， ∵α＝30°， ∴∠QOT＝2α＝60°， ∵OQ＝OT， ∴△QOT是等边三角形， ∵OQ＝OP＝m， ∴QT＝m， ∴△PMN的周长是m，故②正确； 当a等于90度时，Q、P、T三点共线，此时QT＝m，故③错误； 在△QOM和△POM中， ∴△QOM≌△POM（SAS）， ∴∠MPO＝∠OQM， 同理∠NPO＝∠OTN， ∵∠QOT＝2α，∠OQM＝∠OTN， ∴∠MPN＝∠MPO+∠NPO＝∠OQM+∠OTN＝180°﹣∠QOT＝180°﹣2α，故④正确． 故答案为：①②④． 14、如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C′＝48°，则∠B的度数为　   　度． 【答案】54 【解析】∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称， ∵∠A＝78°，∠C′＝48°， ∴∠B＝180°﹣78°﹣48°＝54°． 故答案为：54． 15、如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，．线段AB与A′B′关于过点O的直线l对称，点B的对应点B′在线段OC上，A′B′交CD于点E，则△B′CE与四边形OB′ED的面积比为____________． 【答案】 【解析】如图，连接OE，A'D， ∵AB与A'B'关于过O的直线l对称， ∴A'在BD延长线上， ∵， ∴设AC＝10k，BD＝6k， 在菱形ABCD中，OA＝OC＝5k，OB＝OD＝3k， ∵AB与A'B'关于过O的直线l对称， ∴OA＝OA'＝5k，OB＝OB'＝3k，∠A'＝∠BAC＝∠DCA， ∴A'D＝B'C＝2k， ∵∠A'ED＝∠B'EC， ∴△A'ED≌△CEB'（AAS）， ∴DE＝B'E， ∵OE＝OE，OD＝OB'， ∴△DOE≌△B'OE（SSS）， ∴S△DOE＝S△B′OE， ∵， ∴． 16、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设＝k，若AD＝DF，则＝____             （结果用含k的代数式表示）． 【答案】 【解析】方法一：∵点B和点F关于直线DE对称， ∴DB＝DF， ∵AD＝DF， ∴AD＝DB， ∵AD＝DF， ∴∠A＝∠DFA， ∵点B和点F关于直线DE对称， ∴∠BDE＝∠FDE， ∵∠BDE+∠FDE＝∠BDF＝∠A+∠DFA， ∴∠FDE＝∠DFA， ∴DE∥AC， ∴∠C＝∠DEB，∠DEF＝∠EFC， ∵点B和点F关于直线DE对称， ∴∠DEB＝∠DEF， ∴∠C＝∠EFC， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∵∠ACB＝∠EFC， ∴△ABC∽△ECF， ∴， ∵DE∥AC， ∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C， ∴△BDE∽△BAC， ∴＝＝， ∴EC＝BC， ∵＝k， ∴BC＝k•AB， ∴EC＝k•AB， ∴＝， ∴CF＝k2•AB， ∴＝＝＝＝． 方法二：如图，连接BF， ∵点B和点F关于直线DE对称， ∴DB＝DF， ∵AD＝DF， ∴AD＝DB＝DF， ∴BF⊥AC， 设AB＝AC＝1， 则BC＝k， 设CF＝x， 则AF＝1﹣x， 由勾股定理得，AB2﹣AF2＝BC2﹣CF2， ∴12﹣（1﹣x）2＝k2﹣x2， ∴x＝， ∴AF＝1﹣x＝， ∴＝． 故答案为：． 17、图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A，均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其是轴对称图形且点， 均在格点上． （1）在图①中，四边形面积为2； （2）在图②中，四边形面积为3； （3）在图③中，四边形面积为4． 【答案】解：（1）如图①：四边形即为所求. （不唯一）． （2）如图②：四边形即为所求． （不唯一）． （3）如图③：四边形即为所求． （不唯一）． 18、如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度. （1）过直线m作四边形ABCD的对称图形； （2）求四边形ABCD的面积. 【答案】解　（1）如图所示，四边形A'B'C'D'即为所求. （2）S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=×4×1+×4×3=8. 19、[问题背景] 如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A． [构建联系] （1）求证：函数的图象必经过点C； （2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值； [深入探究] （3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围． 【答案】解：（1）设，则， ∵轴， ∴D点的纵坐标为， ∴将代入中得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴函数的图象必经过点C. （2）∵点在直线上， ∴， ∴， ∴A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2， ∵函数的图象经过点A，C， ∴，， ∴， ∴， ∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E， ∴，， ∴， 如图，过点D作轴，过点B作轴， ∵轴， ∴H，A，D三点共线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 由图知，， ∴， ∴. （3）∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E，当点E，A重合， ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形，， ∴，，， ∵轴， ∴直线为一，三象限的夹角平分线， ∴， 当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H， ∵轴， ∴H，A，D三点共线，   ∵以点O为圆心，长为半径作，， ∴， ∴， ∴，，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当过点A时，根据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连接，，过点D作轴交y轴于点H， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当与的边有交点时，k的取值范围为． 【知识点3】轴对称的应用(一)——将军饮马问题 1、如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM=2，点N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是（　　） A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】B 【解析】∵正方形是轴对称图形，点B与点D关于直线AC对称， ∴连接BN，BD， ∴BN=ND， ∴DN+MN=BN+MN， 连接BM交AC于点P， ∵点 N为AC上的动点， 由三角形两边和大于第三边， 知当点N运动到点P时， BN+MN=BP+PM=BM， BN+MN的最小值为BM的长度， ∵四边形ABCD为正方形， ∴BC=CD=8，CM=8-2=6，∠BCM=90°， ∴BM==10， ∴DN+MN的最小值是10. 2、如图，在△AOB中，∠OBA＝90°，点A（4，4），C（2，0），D（4，2），P为OA上一动点，连接PC，PD，则PC+PD的最小值为（　　） A.2 B.3 C.4 D.6 【答案】C 【解析】过点C作CE⊥OA，垂足为F，交y轴于E，连接DE交OA于P， ∵∠OBA＝90°，A（4，4）， ∴OB＝AB＝4， ∴∠AOB＝∠BAO＝45°， ∴∠EOA＝∠BOA＝45°， ∴∠FOE＝∠FOC， ∵CE⊥OA， ∴∠CFO＝∠EFO＝90°， 在△OCF和△OEF中， ， ∴△OCF≌△OEF（ASA）， ∴CF＝EF，OC＝OE， ∴点C、E关于OA对称， ∴PC＝PE， ∴PC+PD＝PE+PD＝DE， 此时，PC+PD的值最小． 最小值为DE， ∵C（2，0）， ∴E（0，2）， ∵D（4，2）， ∴， 故选：C． 3、如图，在锐角三角形中，，的面积为10，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为（    ） A.4 B.5 C.4.5 D.6 【答案】B 【解析】如图，作N关于的对称点，连结，与交于点O，过C作于E， ∵平分 ∴在上，且 ∴， ∴根据两点之间线段最短可得 的最小值为，即C点到线段某点的连线， ∴根据垂线段最短，的最小值为C点到的垂线段的长度， ∵ 的面积为 10 ∴ ∴ 故选B． 4、 “将军饮马”问题是数学趣题，可抽象为：如图（1）所示，在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边点P处饮马后再回到B点宿营，请问怎样走才能使总的路程最短？确定最近行程的饮马点P，可以通过轴对称变换的思想解决如图（2），作点A关于直线l的对称点A1，连接A1B，交直线l于点P1，那么点P1就是所求的点．利用“将军饮马”问题的方法解决下面问题： 如图（3），在△ABC中，∠A＝50°，点O为△ABC内一点，过点O分别作AC，AB的垂线，垂足分别为M，N，点P为AM上一动点，点Q为AN上一动点，连接OP，OQ，PQ，当△OPQ的周长最小时，∠POQ的度数为（　　） A.50° B.60° C.70° D.80° 【答案】D 【解析】 延长OM到E，使OM＝EM，延长ON到F，使FN＝ON，连接EF交AC于P，交AB于Q， 此时，△OPQ的周长最小， ∵OM⊥AC，ON⊥AB， ∴∠OMA＝∠ONA＝90°，PO＝PE，OQ＝FQ， ∴∠E＝∠EOP，∠F＝∠FOQ， ∵∠A＝50°， ∴∠MON＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°， ∴∠E+∠F＝50°， ∴∠POQ＝∠MON﹣∠MOP﹣∠NOQ＝130°﹣50°＝80°， 故选：D． 5、已知等边△ABC的边长为3，点D为BC边上一点，且BD＝1，E，F分别为边CA，AB上的点（不包括端点），则△DEF周长的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图，点D关于AB的对称点M，关于AC的对称点N，连接MN，交AB于F，交AC于E，则MN是△DEF周长的最小值， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠C＝60°， ∴∠PDB＝∠QDC＝30°， ∴∠MDN＝120°， ∵在Rt△PDB中，BD＝1，∠ABC＝60°， ∴PD＝×1＝， 同理DQ＝2×＝， ∴MD＝2PD＝，DN＝2DQ＝2， 作MK⊥DN于K， ∵∠MDN＝120°， ∴∠MDK＝60°， ∴DK＝DM＝，MK＝DM＝， ∴KN＝DK+DN＝， 在Rt△MKN中，MN＝＝＝． ∴△DEF周长的最小值为． 故选：B． 6、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是（　　） A.45° B.90° C.75° D.135° 【答案】B 【解析】作点D关于BC的对称点D'，作点E关于AC的对称点E'，连接D'E'分别交AC，BC于点M'，N'，连接ME'，ND'，EM'，DN'， 则ME＝ME'，ND＝ND'， ∴四边形DEMN的周长＝DE+ME+MN+ND＝DE+ME'+MN+ND'≥DE+D'E'， ∵DE长固定， ∴点M与M'重合，点N与点N'重合时，四边形DEMN的周长最小，此时∠DNM+∠EMN＝∠DN'M+∠EM'N， 由对称性和三角形外角性质可知：∠DN'M＝∠N'DD'+∠N'D'D＝2∠N'D'D，∠EM'N＝∠M'EE'+∠M'E'E＝2∠M'E'E， ∴∠DN'M+∠EM'N＝2∠N'D'D+2∠M'E'E＝2（180°﹣∠D'DE'）， 设DD'与BC交于点H， ∵AB＝AC，∠A＝90°， ∴∠BDH＝45°， ∴∠D'DE'＝180°﹣45°＝135°， ∴∠DN'M+∠EM'N＝2（180°﹣135°）＝90°， 即当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是90°， 故选：B． 7、如图，在等边△ABC中，AB＝4，BD平分∠ABC，点E是边BC的中点，点F是线段BD上的动点，则CF+EF的最小值为（　　） A. B.3 C. D.4 【答案】A 【解析】连接AF，AE， ∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC， ∴BD所在直线是等边三角形的一条对称轴，BC＝AB＝4， ∴AF＝CF， ∴CF+EF＝AF+EF≥AE， ∴CF+EF的最小值为AE， ∵点E是边BC的中点， ∴AE⊥BC，BEBC4＝2， 由勾股定理，得AE， ∴CF+EF的最小值为， 故选：A． 8、如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E在CD边上，且DE＝2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（　　） A. B. C.9 D. 【答案】A 【解析】连接BP，BE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴DP＝BP， ∴DP+PE＝BP+PE， ∴BP+PE的最小值为BE的长， ∵AB＝3，DE＝2CE， ∴CE＝1，BC＝3， 在Rt△BCE中，由勾股定理得，BD＝＝＝， ∴PE+PD的最小值是， 故选：A． 9、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，线段PQ在斜边AC上运动，且PQ＝2．连接BP，BQ．则△BPQ周长的最小值是（　　） A.6+2 B.2+2 C.8 D.4+2 【答案】B 【解析】如图，作点B关于AC的对称点D，连接AD，CD，过点D作DE∥AC，连接BE交AC于点P，取DE＝PQ＝2，连接DQ，BD. ∵AB＝6， ∴BD＝6， ∵DE∥PQ，DE＝PQ， ∵四边形PQDE为平行四边形， ∴PE＝DQ＝BQ， ∵B，P，E三点共线， ∴此时△BPQ的周长＝BP+BQ+PQ＝BE+2最小． ∵BD⊥AC， ∴BD⊥DE，即∠BDE＝90°， ∴BE＝＝2， ∴△BPQ周长的最小值为2+2. 故选：B． 10、如图，已知正方形的周长为20，，，若M为对角线上一动点，则的最小值为        ． 【答案】5 【解析】 如图，作点E关于的对称点，连接，交于M，此时最小， ∵四边形是正方形， ∴，，，点在上，， ∴， ∴， ∴四边形是 平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：5． 11、如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M、N分别为BD、BC上的动点，若BC＝10，△ABC的面积为40，则CM+MN的最小值为 　    　． 【答案】40． 【解析】连接AM，过点A作AH⊥BC于点H，如图： ∵BA＝BC，BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC且平分AC， ∴BD是线段AC的垂直平分线， ∴CM＝AM， ∴CM+MN＝AM+MN， 根据“垂线段最短”得：AM+MN≥AH， 即当点M在线段AH上时，AM+MN为最小，最小值为线段AH的长， ∵△ABC的面积为40，BC＝10， ∴S△ABCBC•AH＝200， ∴AH＝40， ∴CM+MN的最小值为40． 故答案为：40． 12、如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为和，且，若点A到河岸的中点的距离为300米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是         米． 【答案】600 【解析】 作A关于的对称点，连接与相交于M，连接，如图所示： 根据轴对称可知：，，， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴、、三点共线时，最小，即最小， ∴此时最小， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴M为的中点， ∵A到河岸的中点的距离为300米， ∴到M的距离为300米， 即米， ∴米， ∴（米）． 故答案为：600． 13、如图，已知菱形OABC的边OA在x轴上，点B的坐标为（8，4），P是对角线OB上的一个动点，点D（0，1）在y轴上，当PC+PD最短时，点P的坐标为 　　． 【答案】（，）． 【解析】如图，连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K． 在Rt△OBK中，OB4， ∵四边形OABC是菱形， ∴AC⊥OB，GC＝AG，OG＝BG＝2， 设OA＝AB＝x， 在Rt△ABK中，∵AB2＝AK2+BK2， ∴x2＝（8﹣x）2+42， ∴x＝5， ∴A（5，0）， ∵A、C关于直线OB对称， ∴PC+PD＝PA+PD＝DA， ∴此时PC+PD最短， 设直线OB的解析式为y＝mx， ∴4＝8m， ∴m， ∴直线OB的解析式为yx， 设直线AD的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线AD的解析式为yx+1， 解得， ∴P（，）． 故答案为：（，）． 14、如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，3），点B坐标为（4，1），点C在x轴上，点D在y轴上，则以A，B，C，D为顶点的四边形的周长的最小值是　　　　.  【答案】+ 【解析】如图，作点A关于y轴的对称点A'，点B关于x轴的对称点B'，连接A'B'交x轴于点C，交y轴于点D，连接AD，CD，BC，AB，此时四边形ABCD的周长最小. 由作图可知，AD=DA'，BC=CB'，A'（-1，3），B'（4，-1）， ∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD =AB+B'C+CD+DA' =AB+A'B' =+ =+. 15、如图，小河CD边有两个村庄A村、B村，现要在河边建一自来水厂E为A村与B村供水，自来水厂建在什么地方到A村、B村的距离和最小？请在图中找出点E的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如图所示：点E即为所求． 16、如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米． 现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）．（如图2）方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM．（即AM+BM）（如图3）从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适． 【答案】解：方案1：如图2中，过点A作AE⊥BD于点E， ∵∠ACD]＝∠CDE＝∠AED＝90°， ∴四边形ACDE是矩形， ∴DE＝AC＝1， ∵AC＝1，BD＝4， ∴BE＝BD﹣DE＝4﹣1＝3， 在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2， ∴， ∴AC+AB＝1+5＝6； 方案2：如图3中，过A′作A′H⊥BD交BD延长线于点H， ∵AA′⊥CD，BH⊥CD， ∴AA′∥BH， ∵A′H⊥BH， ∴CD＝A′H＝4， 同理A′C＝DH， ∵AC＝A′C＝1， ∴BH＝BD+DH＝BD+A′C＝BD+AC＝5， ∴， ∵AM′＝AM， ∴， ∵， ∴方案1路线短，更合适． 17、如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为．点C为的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长． （3）点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形． ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； ②如图3，连接，，求的最小值． 【答案】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为， 设抛物线， 把代入表达式，得， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）∵顶点为，点C为的中点， ∴， ∵， ∴轴， ∴E的横坐标为1， 设， 当时，， ∴． ∴． （3）①根据题意，得， ∵四边形是平行四边形， ∴点C，点F的纵坐标相同， 设， ∵点F落在抛物线上， ∴， 解得，(舍去)， ∴． ②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接，，， 则四边形矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， 故当三点共线时，取得最小值， ∵， ∴的最小值，就是的最小值，且最小值就是， 延长交y轴于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故的最小值是． 【知识点4】轴对称的变化与坐标 1、点A（a，1）和点B（2，b）关于y轴对称，则a的值是（　　） A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2 【答案】D 【解析】∵点A（a，1）和点B（2，b）关于y轴对称， ∴a＝﹣2． 故选：D． 2、如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点B坐标是（﹣5，2），则经过第2023次变换后点B的对应点的坐标为（　　） A.（﹣5，﹣2） B.（5，﹣2） C.（﹣5，2） D.（5，2） 【答案】D 【解析】点B第一次关于x轴对称后在第三象限，点B第二次关于y轴对称后在第四象限，点B第三次关于x轴对称后在第一象限，点B第四次关于y轴对称后在第二象限， 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ∵2023÷4＝505余3， ∴经过第2023次变换后所得的B点与第三次变换的位置相同，坐标为（5，2）． 故选：D． 3、点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线y＝﹣1对称，则点Q的坐标为（　　） A.（﹣2，﹣3） B.（﹣2，﹣1） C.（﹣2，﹣2） D.（﹣2，﹣4） 【答案】A 【解析】∵点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线y＝﹣1对称， ∴1， 解得：b＝﹣3， ∴点Q的横坐标为a＝﹣2，纵坐标为b＝﹣3， ∴点Q的坐标为（﹣2，﹣3），故A正确． 故选：A． 4、已知P（a，2）和Q（1，b）关于y轴对称，则（a+b）2 021的值为（　　） A.1 B.﹣1 C.32 021 D.﹣32 021 【答案】A 【解析】∵点P（a，2）与点Q（1，b）关于y轴对称， ∴a＝﹣1，b＝2， ∴a+b＝﹣1+2＝1， ∴（a+b）2021＝12021＝1． 5、在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于直线y＝x对称的点的坐标是（　　） A.（﹣2，3） B.（3，﹣2） C.（﹣3，2） D.（﹣2，﹣3） 【答案】C 【解析】如图，点P（2，﹣3）关于直线y＝x对称的点是Q，连接PQ，交直线y＝x于B，交x轴于A，则直线y＝x垂直平分PQ， 作PM⊥x轴于M，作QN⊥x轴于N， ∵直线y＝x与坐标轴的夹角是45°， ∴∠AOB＝45°， ∴∠OAB＝45°， ∴△MAP是等腰直角三角形， ∴AP＝PM，PM＝AM， ∵P的坐标是（2，﹣3）， ∴PM＝3，OM＝2， ∴PA＝3，AM＝3， ∴OA＝AM﹣OM＝3﹣2＝1， ∵△ABO是等腰直角三角形， ∴AB＝OA＝， ∴QB＝PB＝PA﹣AB＝， ∴AQ＝QB﹣AB＝2， ∵△AQN是等腰直角三角形， ∴AN＝QN＝AQ＝2， ∴ON＝AN+AO＝3， ∴Q的坐标是（﹣3，2）， ∴点P（2，﹣3）关于直线y＝x对称的点的坐标是（﹣3，2）． 故选：C． 6、在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 点关于x轴对称的点的坐标是． 故选：A． 7、在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 点关于轴对称的点的坐标为． 故选：C． 8、已知点A（4，﹣3）和点B是坐标平面内的两个点，且它们关于直线x＝2对称，则平面内点B的坐标为（　　） A.（0，﹣3） B.（4，﹣9） C.（4，0） D.（﹣10，3） 【答案】A 【解析】设点B的横坐标为x， ∵点A（4，﹣3）与点B关于直线x＝﹣3对称， ∴＝2， 解得x＝0， ∵点A，B关于直线x＝2对称， ∴点A，B的纵坐标相等， ∴点B（0，﹣3）． 9、如图，已知A，B的坐标分别为（1，2），（3，0），将△OAB沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到△DCE，若OE＝4，则点C的坐标为（　　） A.（2，2） B.（3，2） C.（1，3） D.（1，4） 【答案】A 【解析】∵B（3，0）， ∴OB＝3， ∵OE＝4， ∴BE＝OE﹣OB＝1， ∴将△OAB沿x轴正方向平移1个单位得到△DCE， ∴点C是将A向右平移1个单位得到的， ∴点C是的坐标是（1+1，2），即（2，2）． 故选：A． 10、若点A（a，4）在第二象限，则点A关于直线m（直线m上各点的横坐标都是2）对称的点坐标是（　　） A.（﹣a，4） B.（4﹣a，4） C.（﹣a﹣4，﹣4） D.（﹣a﹣2，﹣4） 【答案】B 【解析】∵直线m上各点的横坐标都是2， ∴直线为x＝2， ∵点A（a，4）在第二象限， ∴a到2的距离为2﹣a， ∴点A关于直线m对称的点的横坐标是2﹣a+2＝4﹣a， 故A点对称的点的坐标是（4﹣a，4）． 11、在平面直角坐标系中，点A（﹣2，﹣3）关于y轴对称的点B的坐标是　       　． 【答案】（2，﹣3） 【解析】点A（﹣2，﹣3）关于y轴对称的点B的坐标是（2，﹣3）． 故答案为：（2，﹣3）． 12、在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴的对称点坐标是          ． 【答案】（﹣2，﹣3） 【解析】点P（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标为（﹣2，﹣3）． 13、在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，4）和点B（3，4）关于 　  　轴对称． 【答案】y． 【解析】∵点A（﹣3，4）和点B（3，4）的横坐标互为相反数，纵坐标不变， ∴点A（﹣3，4）和点B（3，4）关于y轴对称． 故答案为：y． 14、已知点A（a﹣1，2a﹣4）关于y轴的对称点在第二象限，则a的取值范围是                 ． 【答案】a＞2 【解析】∵点P（a﹣1，2a﹣4）关于y轴的对称点在第二象限， ∴点P（a﹣1，2a﹣4）在第一象限， ∴ 解得：a＞2． 15、在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为            ． 【答案】 【解析】 点关于轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 16、如图，在直角坐标系内，已知点A（-1，0）. （1）图中点B的坐标是　　　　；  （2）点B关于原点对称的点D的坐标是　　　　，  点A关于y轴对称的点C的坐标是　　　　；  （3）在y轴上找一点F，使=.求点F的坐标. 【答案】解　（1）过点B作x轴的垂线，垂足所对应的数为-3，因此点B的横坐标为-3， 过点B作y轴的垂线，垂足所对应的数为4，因此点B的纵坐标为4， ∴点B（-3，4）. （2）由于关于原点对称的两个点，其纵横坐标均互为相反数， ∴点B（-3，4）关于原点的对称点D的坐标是（3，-4）， 由于关于y轴对称的两个点，其横坐标互为相反数，其纵坐标不变， ∴点A（-1，0）关于y轴的对称点C的坐标是（1，0）. （3）设点F的坐标为（0，y）， ∵S△ABC=×2×4=4，S△ACF=S△ABC， ∴AC·|OF|=4， ∴|OF|=4， 解得y=-4或4， ∴点F的坐标为（0，-4）或（0，4）. 17、如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出关于轴对称的，并写出的坐标； (2)求出的面积； (3)在轴上画出点，使的值最小，并写出点的坐标不写作法，保留作图痕迹 【答案】（1）如图所示，即为所求， ∴； （2）； （3）如图所示，点P即为所求， ∴点的坐标为． 18、如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形ABC的顶点A的坐标为A（﹣1，4），顶点B的坐标为（﹣4，3），顶点C的坐标为（﹣3，1）． （1）把三角形ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形A′B′C′，请你画出三角形A′B′C′； （2）请直接写出点A′，B′，C′的坐标； （3）求三角形ABC的面积． 【答案】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求： （2）A′（4，0），B′（1，﹣1），C′（2，﹣3）； （3）△ABC的面积． 19、如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)写出点，，的坐标（直接写答案）：________；________；________； (3)的面积为________； (4)在y轴上画出点P，使最小． 【答案】（1）解：关于y轴对称的如图所示． （2）解：各个点的坐标为：． （3）解：的面积； （4）解：连接，交轴于点，即为所求． 点在轴上时，， ∴最小时，点为与轴的交点． 20、在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示． （1）分别写出下列顶点的坐标：A　     　，B　     　； （2）顶点A关于y轴对称的点A′的坐标为：A′　      　； （3）△ABC的面积为　   　． 【答案】解：（1）由题可得，A（﹣2，6），B（﹣4，3）； 故答案为：（﹣2，6），（﹣4，3）； （2）点A关于y轴对称的点A′的坐标为（2，6）； 故答案为：（2，6）； （3）△ABC的面积为4×34×3＝12， 故答案为：12． 【知识点5】轴对称的应用(二)——图形的翻折问题 1、如图，在菱形ABCD中，AD＝5，tan B＝2，E是AB上一点，将菱形ABCD沿DE折叠，使B，C的对应点分别是B′，C′，当∠BEB′＝90°时，点C′到BC的距离是（　　） A.5+ B.2 C.6 D. 【答案】D 【解析】如图，延长DE，将∠BEB′分为∠1和∠2，过点C′作C′H∥AD，过点D作D H⊥C′H于点H，延长H D交BC的延长线于点F， ∵四边形ABCD为菱形，AD＝5， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝BC＝CD＝AD＝5， ∵C′H∥AD， ∴C′H∥AD∥BC， ∵DH⊥C′H， ∴DF⊥BF， 根据折叠的性质可得，CD＝C′D＝5，∠1＝∠2，∠CDE＝∠C′DE， ∵∠BEB′＝90°， ∴∠1＝∠2＝45°， ∵BE∥CD， ∴∠2＝∠CDE＝45°， ∴∠CDC′＝∠CDE+∠C′DE＝90°， ∴∠C′DH+∠CDF＝90°， ∵∠DCF+∠CDF＝90°， ∴∠DCF＝∠C′DH， 在△DCF和△C′DH中， ∴△DCF≌△C′DH（AAS）， ∴CF＝DH， ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠DCF， ∴tan B＝tan ∠DCF＝2， 在Rt△DCF中，tan ∠DCF＝＝2，即DF＝2CF， 在Rt△DCF中，CF2+DF2＝CD2， ∴CF2+（2CF）2＝52， 解得CF＝， ∴CF＝DH＝，DF＝2CF＝， ∴HF＝DH+DF＝， 即点C′到BC的距离是． 2、如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC的中点，∠B＝80°，现将△CDE沿DE翻折，点C的对应点为C′，则∠BEC′的大小是（　　） A.40° B.30° C.20° D.10° 【答案】C 【解析】∵E是边BC的中点， ∴CE＝BE， 由翻折变换的性质得，CE＝C′E， ∴C′E＝BE， ∴∠EC′B＝∠B＝80°， ∴∠BEC′＝180°﹣∠EC′B﹣∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°． 3、如图，将平行四边形ABCD沿AC折叠，点D恰好落在DC延长线上的点D'处，AD'交BC于点E，若∠BAD'＝40°，则∠BAD的度数为（　　） A.142° B.140° C.138° D.135° 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， 由折叠得AD＝AD'，∠D＝∠D'，∠DAC＝∠D′AC，AB∥DD'， ∴∠D'＝∠BAD'＝40°＝∠D， 在△ADD'中，∠DAD'＝180°﹣∠D﹣∠D'＝100°， ∴∠BAD＝∠BAD'+∠DAD'＝40°+100°＝140°， 故选：B． 4、如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，则EC的长为（　　） A.3cm B.4cm C.3.5cm D.5cm 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是长方形， ∴AB＝CD＝8cm，AD＝BC＝10cm，∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°， ∵折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处， ∴AF＝AD＝10cm，DE＝FE，CE＝CD﹣DE＝8﹣DE， ∴， ∴CF＝BC﹣BF＝4cm， 在Rt△CEF中，由勾股定理得到CF2+CE2＝EF2， 即42+（8﹣DE）2＝DE2， 解得DE＝5， ∴CE＝CD﹣DE＝3cm， 故选：A． 5、如图，在平面直角坐标系中，已知纸片OACB，顶点A（10，0），B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接CD，AD．则下列结论中： ①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形； ②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为15； ③当P在运动过程中，CD的最小值为； ④当OD⊥AD时，BP＝2．其中结论正确的有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】①∵四边形OACB是矩形，∴∠OBC＝90°， ∵将△OBP沿OP折叠得到△OPD， ∴OB＝OD，∠PDO＝∠OBP＝90°，∠BOP＝∠DOP， ∵∠BOP＝45°， ∴∠DOP＝∠BOP＝45°， ∴∠BOD＝90°， ∴∠BOD＝∠OBP＝∠ODP＝90°， ∴四边形OBPD是矩形， ∵OB＝OD， ∴四边形OBPD为正方形，故①正确，符合题意； ②过D作DH⊥OA于点H， ∵点A（10，0），点B（0，6）， ∴OA＝10，OB＝6， ∴OD＝OB＝6， ∵∠BOP＝∠DOP＝30°， ∴∠DOA＝30°， ∴DH＝OD＝3， ∴△OAD的面积为OA•DH＝×3×10＝15，故②正确，符合题意； ③连接OC， 则OD+CD≥OC， 即当OD+CD＝OC时，CD取最小值， ∵AC＝OB＝6，OA＝10， ∴OC＝＝＝2， ∴CD＝OC－OD＝2－6， 即CD的最小值为，故③错误，不符合题意； ④∵OD⊥AD， ∴∠ADO＝90°， ∵∠ODP＝∠OBP＝90°， ∴∠ADP＝180°， ∴P，D，A三点共线， ∵OA∥CB， ∴∠OPB＝∠POA， ∵∠OPB＝∠OPD， ∴∠OPA＝∠POA， ∴AP＝OA＝10， ∵AC＝6， ∴CP＝＝8， ∴BP＝BC﹣CP＝10﹣8＝2，故④正确，符合题意. 6、如图，长方形纸片ABCD中，AD＝4，AB＝10，按如图的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE长为（　　） A.4.8 B.5 C.5.8 D.6 【答案】C 【解析】∵四边形EFCD是由四边形EFCB翻折得到， ∴可以假设DE＝EB＝x， 在Rt△ADE中，∵∠A＝90°，AD＝4，DE＝x，AE＝10﹣x， ∴x2＝42+（10﹣x）2， ∴x＝5.8． ∴DE＝5.8， 故选：C． 7、如图，的半径为5，四边形是的内接四边形，（，位于圆心O的两侧），，，将，分别沿，翻折得到，，M为上点，过点M作交于点N，则的最小值为（　　） A.4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 如图，过点O作于P，交于Q，设弧所在的圆的圆心为，弧所在的圆的圆心为，连接，，，，，，，设交于J．   ∵，， ∴，， ∵，， ∴． 同法可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 过点作交的延长线于T． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 根据对称性可知，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为4． 故选：A． 8、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A、∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边上的点F处，若AD＝4，BC＝9，则EF的值是（　　） A.6 B.5 C.6.5 D.5.5 【答案】A 【解析】如图，由翻折变换的性质得：CF＝CB＝9，DF＝DA＝4，∠EFC＝∠B＝90°，∠AED＝∠FED，∠BEC＝∠FEC， ∴∠DEC180°＝90°，即EF⊥CD， ∴由射影定理得：EF2＝CF•DF＝36， ∴EF＝6． 故选：A． 9、如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则CF的长为（　　） A.8 B. C. D. 【答案】B 【解析】如图，过点E作EG⊥CF于点G， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B＝90°， ∵AB＝2，BC＝，E是BC的中点， ∴BE＝CE＝BC＝， ∴AE＝＝＝5， 根据折叠的性质可得∠AEB＝∠AEF＝，BE＝EF， ∴CE＝EF， ∵EG⊥CF， ∴∠CEG＝∠FEG＝，CG＝FG， ∴∠AEB+∠CEG＝ +＝（∠BEF+∠CEF）＝90°， ∵∠ECG+∠CEG＝90°， ∴∠AEB＝∠ECG， ∵∠B＝∠CGE＝90°， ∴△ABE∽△EGC， ∴，即， ∴GC＝， ∴CF＝2GC＝． 10、如图，在三角形纸片中，∠C＝90°，沿过点A的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点D处，折痕为AE，若△ABC的周长为12cm，则△BDE的周长为4cm，则AC为 　     　． 【答案】4cm． 【解析】设DE＝CE＝x cm，AD＝AC＝y cm，BD＝a cm，BE＝b cm， 则C△BDE＝x+a+b＝4， C△ABC＝AB+BC+CA＝x+a+b+2y＝12， ∴C△ABC﹣C△BDE＝2y＝8， ∴AC＝y＝4cm， 故答案为：4cm． 11、要用一张长方形纸折成一个纸袋，两条折痕的夹角为70°（即），将折过来的重叠部分抹上胶水，即可做成一个纸袋，则粘胶水部分所构成的角，        °． 【答案】40 【解析】 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：40． 12、折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，DA交AB于点F，若A′D∥BC，且∠B﹣∠A＝20°，则∠AED的度数为 　　． 【答案】100°． 【解析】将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，DA交AB于点F，则∠ADE， ∵A′D∥BC， ∴∠ADF＝∠C， ∵∠B﹣∠A＝20°， ∴∠B＝∠A+20°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣（∠A+20°）﹣∠A＝160°﹣2∠A， ∴∠ADE∠C＝80°﹣∠A， ∴∠DEF＝∠A+∠ADE＝∠A+80°﹣∠A＝80°， ∴∠AED＝180°﹣80°＝100°． 故答案为：100°． 13、如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是______． 【答案】 【解析】∵折叠， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在Rt△ABF中，， ， 解得， . 14、如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为________． 【答案】 【解析】∵在中，，， ∴，，则， ∵E为边的中点， ∴， ∵沿翻折得， ∴， ∴点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于点M，交圆E于点，此时到边的距离最短，即面积的最小， 过C作于点N， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴面积的最小值为. 15、如图，在矩形中，，点分别在边上．将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上；将沿折叠，点的对应点恰好也落在对角线上．连接． 求证： （1）； （2）四边形为平行四边形． 【答案】证明：（1）∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠可得，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ∴. （2）由（）知，， ∴，， ∴四边形为平行四边形． 16、如图，矩形ABCD沿着直线EF对折，点D恰好落与BC边上的点H重合，HC＝16，AB＝8． （1）判断△EFH的形状，并说明理由； （2）求△EFH的面积． 【答案】解：（1）△EFH是等腰三角形， 理由：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DEF＝∠HFE， ∵∠DEF＝∠HEF， ∴∠HEF＝∠HFE， ∴HE＝HF， ∴三角形EFH是等腰三角形； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝8， 由折叠的性质知： ∵CD＝HG＝8，CF＝FG，∠C＝∠G＝90°， 设FH＝x，则FG＝CF＝16﹣x， 在 Rt△FHG 中， FH2＝FG2+HG2，即 x2＝（16﹣x）2+82， 解得x＝10， ∴FH＝10， ∴三角形EFH的面积为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $