精品解析：四川省成都市双流区立格实验学校2025-2026学年高二上学期半期质量监测数学试题

立格实验校2025-2026学年（上） 高2024级半期质量监测试题数学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷共4页；答题卡共6页．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． .3．考试结束后将答题卡收回． 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜截式方程及斜率公式即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，， 则， 所以. 故选：. 2. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 3. 圆和圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 外离 【答案】B 【解析】 【分析】写出两圆圆心和半径，求圆心距并与两圆半径比较即可得到结果. 【详解】圆心，半径.圆心，半径， ∵， ∴两圆的位置关系是外切. 故选：B. 4. 已知直线和直线平行，则（ ） A. 0或 B. 0 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行的判定，列式求解即可. 【详解】当时：与平行， 当时：，解得， 所以或. 故选：. 5. 过点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆的标准方程，代入三点坐标组成方程组求解即可. 【详解】设圆的方程为，代入可得： ，即， 解得，所以所求圆的标准方程为. 故选：C 6. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，，根据向量投影公式求出向量在向量上的投影向量即可. 【详解】， ， ， 向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 7. 如图，在直三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量法求解即可. 【详解】 因为， 所以， 因为三棱柱为直三棱柱， 所以以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 所以， ， 设直线与所成的角为， 所以， 因为， 所以. 故选：. 8. 设，若直线平分圆的周长，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线过圆心得，将目标式配方后使用基本不等式求解可得. 【详解】圆的圆心坐标为， 因为直线平分圆的周长， 所以直线过点， 所以，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 在正方体中，下列各式运算结果为向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据向量的加法和减法运算逐一化简即可. 【详解】，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D错误； 故选：AB 10. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 直线被圆截得的最小弦长为 D. 若圆与圆恰有三条公切线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】将直线方程变形，求出直线经过的定点，可判断A；利用点到直线的距离公式进行计算，可判断B；根据过定点的直线与圆相交时最小弦长计算方法计算可判断C；利用圆心距与两圆半径之间的关系计算可判断D. 【详解】对于A，直线的方程为， 变形可得：， 令，解得，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆，其圆心为，半径为， 当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 由于，所以圆上只有2个点到直线的距离为1，故B错误； 对于C，因为直线过定点，且点在圆内， 则经过，两点的直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最小， 此时圆心到直线的距离为， 所以最小弦长为，故C正确； 对于D，圆的方程，即， 其圆心为，半径为，需满足， 若圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切， 则有，解得，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在棱长为的正方体 中，为棱的中点，点满足 ，则下列说法中正确的是 （ ） A. 平面 B. 若平面，则动点的轨迹长度为 C. 若，则四面体的体积为定值 D. 平面截正方体的截面面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，运用反证法思路，假设结论成立，经过推理得到平面，与事实矛盾，排除A；对于B，利用动线构造平面平面与平面平行，即可判断点的轨迹为线段，求出其长度可判断B；对于C，由推理得到、、三点共线，而平面，故得四面体的体积为定值，可判断C；对于D，取的中点，连接、，分析出截面为梯形，求其面积，可判断D. 【详解】对于A，如图1，假设平面，因平面则①； 因为四边形为正方形，可得， 又平面，平面，则, 又，、平面，故平面， 因平面，故②， 又，、平面，故由①②可得平面， 显然该结论不成立，故错误； 对于B，如图2，分别取、中点、，连接、、， 因为，，、分别为、的中点， 所以，， 故四边形为平行四边形，故，， 又因为，，所以， 即四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，故平面③， 因为、分别为、的中点，所以， 因为，，故四边形为平行四边形， 则，故， 因为平面，平面，所以平面④， 因为，、平面， 由③④可得平面平面， 而平面，则点在平面内，而点又在平面内， 故点的轨迹为线段， 其长度为，B正确； 对于C，，，， 因为，，即， 所以， 即，即，故、、三点共线， 所以点在上，而，且平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离为定值，因为的面积为定值， 所以四面体的体积为定值，正确； 对于D，取的中点，连接、，如下图所示： 因为、分别为、的中点，故， 又因为，故， 且， 由勾股定理可得， ， 所以， 因为，故， 故， 因为，故， 所以， 因此，平面截正方体的截面面积为， D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点的对称性可得结果. 【详解】点关于轴对称的点的坐标为. 故答案为：. 13. 直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据已知直线平行，并求出它们的距离，再设所求直线为，根据对称性及平行线的距离公式求参数，即可得. 【详解】由、，显然两条直线平行，且它们的距离， 可设所求直线为，则或（舍）， 所以，所求直线为. 故答案为： 14. 已知为直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为___________ 【答案】## 【解析】 【分析】首先设点，求过点的直线方程，并判断直线过定点，再利用几何关系求最大值. 【详解】设，过点引圆的两条切线，切点分别为， 则切点在以为直径的圆上，圆心，半径， 则以为直径的圆的方程是，整理得， 又点在圆上， 两圆方程相减得到，即直线AB的方程是，则直线恒过定点， 所以点到直线的距离， 所以点到直线的距离的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）直线经过两条直线和的交点，且垂直于直线，求直线的方程，并化成一般式； （2）已知直线经过，若直线与连接，两点的线段总有公共点，求直线的斜率与倾斜角的取值范围． 【答案】（1）；（2），. 【解析】 【分析】（1）根据直线的垂直关系，设，再由所求直线过已知直线的交点求参数值，即可得方程； （2）应用斜率公式临界点处对应直线的斜率，数形结合确定动直线的斜率范围，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角范围. 【详解】（1）由与直线垂直，可设， 联立直线方程有，则两直线的交点为， 由点在上，则， 所以； （2）由题设，，，如下图所示， 要使直线与连接，两点的线段总有公共点，则， 由且，则. 16. 如图，在正方体中． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 证明：因为，所以可以以为原点建立空间直角坐标系，如图： 不妨设，则，，，，. 所以，，. 因为，， 所以，， 即，，又平面，， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面垂直. （2）利用空间向量求线面角的三角函数值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以. 由（1）可知，为平面的法向量. 设直线与平面所成的角为， 则， 所以. 17. 如图，圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦． （1）当时，求的长； （2）是否存在弦被点平分？若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）先求出直线的方程，再计算圆心到直线的距离，利用弦长公式计算； （2）根据垂径定理判断，再根据垂直关系求出斜率，最后利用点斜式求直线方程. 【小问1详解】 当时，， 因，则直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为， 因半径为，则的长为； 【小问2详解】 存在，理由如下： 由垂径定理可知，当直线与直线垂直时，弦被点平分， 因，则， 则直线的方程为，即. 18. 在如图所示的实验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和长度保持相等，记 （1）求证：平面； （2）求的长，并求其最小值； （3）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 由题意，因为四边形，均为正方形，所以，， 又平面平面，平面平面，平面 所以平面.因面，所以，即直线两两垂直， 故可以为原点建立如图所示的空间直角坐标系： 因为正方形，的边长为1，所以，. 因为，所以，. 所以，. 因为，所以. 又为平面的法向量，平面，所以平面. （2），最小值为. （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行. （2）利用空间两点间的距离公式结合二次函数的最值的求法求的最小值. （3）利用空间向量求两平面所成角的三角函数值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得：， 因，故当时，取得最小值. 【小问3详解】 由（2），当的长最小时，. 此时，，，，. ，，. 设平面的法向量为， 则，可取， 设平面的法向量为， 则，可取. 设平面与平面所成的角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知与轴分别相交于两点，过点的直线交于两点（不同于两点）． （1）当时，求直线的方程； （2）当的面积取得最大值时，将沿轴折成直二面角．如图，在上半圆上是否存在一点，使平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若直线与直线相交于点，判断点是否在定直线上？若在，请求出定直线方程；若不在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）设，利用圆心到直线的距离公式和圆心、弦长列式求解即可； （2）利用面积公式求解可得，当时，取得最大值，建立空间直角坐标系，设，其中，用二面角的向量法求出点坐标即可； （3）联立直线与圆的方程，利用韦达定理及斜率公式，求出两直线的方程，联立直线方程可得在定直线上. 【小问1详解】 由题意得直线的斜率不为0，设，即， 圆心到直线的距离为， 又，即 所以，所以，解得， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 由题意得直线的斜率不为0，设，即， 由（1）知，， ， 令，则， 所以， 又，在上单调递增， 所以当时，取得最小值为，取得最大值为， 此时，解得， 建立空间直角坐标系，如图， 则，，， 所以，， 设平面的法向量为， ，可得， 设，其中， 所以，， 设面的法向量为， ，可得， 设平面与平面的夹角为， ， 解得，所以. 【小问3详解】 ，设，， 由题意得直线的斜率不为0，设， 所以， 可得， 所以，， ，直线的方程为，① ，直线的方程为，② 联立方程①②可得 ， 可得， 所以点在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 立格实验校2025-2026学年（上） 高2024级半期质量监测试题数学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷共4页；答题卡共6页．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． .3．考试结束后将答题卡收回． 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 圆和圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 外离 4. 已知直线和直线平行，则（ ） A. 0或 B. 0 C. D. 1 5. 过点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在直三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 8. 设，若直线平分圆的周长，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 在正方体中，下列各式运算结果为向量的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 直线被圆截得的最小弦长为 D. 若圆与圆恰有三条公切线，则 11. 如图，在棱长为的正方体 中，为棱的中点，点满足 ，则下列说法中正确的是 （ ） A. 平面 B. 若平面，则动点的轨迹长度为 C. 若，则四面体的体积为定值 D. 平面截正方体的截面面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为___________． 13. 直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示） 14. 已知为直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）直线经过两条直线和的交点，且垂直于直线，求直线的方程，并化成一般式； （2）已知直线经过，若直线与连接，两点的线段总有公共点，求直线的斜率与倾斜角的取值范围． 16. 如图，在正方体中． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的余弦值． 17. 如图，圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦． （1）当时，求的长； （2）是否存在弦被点平分？若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由． 18. 在如图所示的实验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和长度保持相等，记 （1）求证：平面； （2）求的长，并求其最小值； （3）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知与轴分别相交于两点，过点的直线交于两点（不同于两点）． （1）当时，求直线的方程； （2）当的面积取得最大值时，将沿轴折成直二面角．如图，在上半圆上是否存在一点，使平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若直线与直线相交于点，判断点是否在定直线上？若在，请求出定直线方程；若不在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $