第一章 直角三角形的边角关系单元卷 2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级下册

第1章 直角三角形的边角关系单元卷 【北师大版】 考试时间：60分钟；满分：100分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．若，则的度数在那个范围（   ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，，它的一个顶点C在反比例函数的图象上，若点，则反比例函数表达式为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C三点都在格点上，（   ） A．2 B． C． D． 4．在中，，，且的周长为36，则此三角形的面积为（    ） A．12 B．24 C．48 D．96 5．如图，矩形的对角线相交于点，且，则的长为（　　） A． B．2 C． D． 6．在中，，如果，，那么的长为（　　） A． B． C．8 D．10 7．如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形中，E 是边的中点，将沿直线翻折，点A落在点F 处， 连接，那么的正切值是（   ） A．2 B． C． D． 9．如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图， 正方形的边长是3，， 连接交于点O， 并分别与边交于点 F， E， 连接， 下列结论：；； ；当时， 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．在中，，，，则的长为 ． 12．如图，在菱形中，交于点E，连接，若，则的值是 ． 13．如图，在矩形中，将沿翻折，得到，延长交的延长线于点，若，则 ． 14．如图，某数学兴趣小组决定测量建筑物的高度．他们首先在点B处测得建筑物最高点A的仰角为，然后沿方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为．请你计算建筑物的高度约为 米．(结果精确到1米，参考数据) 15．如图，在四边形中，，，平分，与相交于点，若，，则线段的长为 ． 16．如图所示正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，线段与交于点E，则 ． 三、解答题（共7小题，满分52分） 17（6分）．计算： (1) (2) 18（6分）．如图，信号塔坐落在山丘的一侧，某维护人员为了测量信号塔的高度，他在山脚下的点处测得塔尖的仰角为，再沿着坡度为的斜坡向上走了米到达点处，此时测得塔尖的仰角为．(图中各点均在同一平面内) (1)求点到地面的距离； (2)求信号塔的高度(结果保留根号)； (3)若维护人员从点处沿水平方向前行一段距离到点处，测得塔尖的仰角为，求的长度． 19（8分）．如图1，在中，，，，点在边上由点向点运动(不与点、重合)，过点作，交射线于点． (1)当时，线段 ； (2)若是等腰三角形，求线段的长； (3)若，求线段的长． 20（8分）．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为h（单位：）； ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取，取，结果取整数）． 21（8分）．如图，在中，．点D在的延长线上，且，连接． (1)求； (2)求． 22（8分）．如图，在中，于点，延长到点，使．过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的值． 23（8分）．我们学习了锐角三角函数的相关知识，知道锐角三角函数定量地描述了在直角三角形中边角之间的联系．在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长的比与角的大小之间可以相互转化．类似的：可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）． 如图2，在中，，顶角A的正对记作，这时， 容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的；根据上述角的正对的定义，解答下列问题： (1)直接写出的值为 ； (2)若为钝角，则的正对值的取值范围是 ； (3)已知其中为锐角，求的值； (4)在中，，，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $《2025年11月9日初中数学作业》参考答案 题号 1 2 6 7 9 10 答案 B 0 A D C c 1.B 【分析】本题考查了正弦函数的性质，由0°<a<90°，sina随着u的增大而增大，即可求 解。 【详解】解：在0<a<90'na随若。的增大而增大，s如30 2,sin45°= ≈0.71， 0.5<sin∠1=0.52<0.71， .30°<∠1<45°， 故选：B. 2.D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，求反比例函数解析式，解直角三角形的相关计算， 过点C作CD⊥x轴于D,根据题意求得菱形的边长为6，根据菱形的性质和三角函数分别 表示出C,然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式， 【详解】解：过点C作CD⊥x轴于D, :点 (-6,0) .菱形的边长为6， .在菱形ABOC中，∠A=60°， ∴.∠D0C=60°， 在RtACD0中，0D=6×c0s60°=3.CD=6xsin60°=35 则C-3,3 k 顶点C在反比例函数y=二的图象上， 答案第1页，共2页 :k=-3x35=-95 9v3 ·反比例函数为'= 故选：D 3.C 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、正弦，熟练掌握正弦的求解方法是解题关键. 连接AC,先根据勾股定理可得三边的平方，再根据勾股定理的逆定理可得 DACB=90°，DCBA -DCAB=45°，然后根据正弦的定义即可得结论。 【详解】解：连接AC, :AC2=32H2=10,BC2=32H2=10,AB2=42+22=20 AC2+BC2=AB2,AC =BC 1DACB=90°，DCBA=DCAB=45°， 1sinD1Bc=sin45°=V2 故选：C. 4.C 【分析】过A作AD⊥BC于D,设AD=3a,则AB=5a=AC, 由勾股定理可得BD=4a,再由△ABC的周长为36，可得a=2,然后根据三角形的面积公 式求出即可. 本题考查了解直角三角形、三角形的面积、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，关键 是得出关于a的方程和构造直角三角形. 【详解】解：过A作AD⊥BC于D, 答案第2页，共2页 A B D sinb=3 .可设AD=3a,则AB=5a=AC, 由勾股定理得：BD=VAB2-AD=4a AB=AC,AD⊥BC .BC 2BD =8a, :△ABC的周长为36， .5a+5a+8a=36, 解得：a=2, :8x=阳=1640=为=6 ·△ABC的面积是 3c×0-2 16×6=48, 故选：C. 5.A 【分析】本题主要考查矩形的性质，解直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质、等边三 角形的判定与性质是解题的关键， 根据矩形的对角线相等且互相平分可得01=)4C=2,根据AE⊥BD,∠AOB=60°，则把 2 数值代入sin∠AOB=4E A0,进行计算，即可作答. 【详解】解：，四边形ABCD是矩形，AC=4, 01-=54c=2, .∠AOB=60°，AE⊥BD sin∠AOB=AE 0 答案第3页，共2页 sin60°= 5AE 2 2 解得1EV5 故选：A. 6.D 【分析】本题考查余弦定义，根据余弦定义求解即可. 【详解】解：：在Rt△4BC中，∠C=90°，MC=6 CosA=3 5 AC 3 63 ·AB5,即AB5' 解得AB=10, 故选：D. 7.B 【分析】本题考查三线合，解直角三角形，根据三线合可得D=CD4C=3, OD BD AD⊥BC,导角得到∠BAD=∠BCE'根据sin∠BCE=sin∠BAD得到OC-AB, 即可得 出结果 AB=AC=5,BC=6,D 【详解】解： 为BC的中点， BD-CD-Z8C-3.ADLBC. .∠BAD+∠B=90°， ,CE⊥AB, .∠BCE+∠B=90°， .∠BAD=∠BCE, ∴.sin∠BCE=sin∠BAD 在R△c0中，m<E-8C.在R△06,5mD.g AB OD BD 3 OC-AB5 故选B. 答案第4页，共2页 8.A 【分析】由折叠可得AE=ER,∠AEB=∠FEB=)∠AEF,再根据三角形的外角性质及折 AB 叠的性质得到∠AEB=∠EDF,进而可得n∠D=tan/AEB=E,求解即可. 本题考查了三角形的外角性质，折叠的性质及正方形的性质，解直角三角形. 【详解】解：由折叠可得E=ER、,AB=∠FE8=AEF 正方形ABCD中，E是边AD的中点， .AE DE=AD-1AB. 2 2 :.DE=EF, .∠EDF=∠EFD, ∠AEF是△DEF的外角， ∴.∠AEF=∠EDF+∠EFD, ∠D=}∠AE, ∴.∠AEB=∠EDF, tan∠EDF=tanZAEB=AB AE 2 故选：A. 9.C 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义和勾股定理是解题的关键.过 点A作AD L BC于点D,先利用三角函数的定义和勾股定理求出BD和AD的长度，进而 得到CD的长度，最后在RtAADC中求出∠C的度数. 【详解】如图所示，过点A作AD LBC于点D, D AB=5 cos B=25' 5 在R△1DB中，csB=D25 AB 5' 答案第5页，共2页 BD=ABxcos=5×25=2, 5 :AD=AB2 -BD2=V5-2=1 :BC=3, .CD=BC-BD=3-2=1, 在RDC中，anC=D CD=1, .∠C=45°， 故选：C. 10.C P=CQ△DAP≌△ABQ,∠P=∠Q 【分析】由正方形的性质及 易证 ,则 从而可以判定①： 证明△DAOn△APO,得OA2=ODOP;根据AE>AB=AD得OD≠OE,从而可判定②： 证明△CQF≌△BPE,得CF=BE,则有DF=CE;再证明△ADF≌△DCE,得 S二S,则可判定③：由人PB2人pD,求得BE=4,从而求得E=金，再由 OEOE 13 △QOEAPOA,求得OA=PAi6,从而可判定④. 【详解】解：，四边形ABCD是正方形， .AD=AB=BC,∠DAB=∠ABC=90°， BP-cO BP+AB=CO+BC .AP=BO 在△DAP与△ABQ中， AD=AB ∠DAP=∠ABQ AP=BO 、△DAP≌△ABQ 答案第6页，共2页 :P-0 .∠Q+∠QAB=90° :<P+∠QAB=90 ∴.∠AOP=90° AQ⊥DP 故①正确： .∠DOA=∠AOP=90°，∠AD0+∠P=∠AD0+∠DAO=90°， ∴.∠DAO=∠P, ∴.△DAO∽△APO, AO DO .P0A0 :04=0D.0p AE>AB, .AE AD, .OD≠OE, :01*OE0P 故②错误： 在△COF与△BPE中， 「∠FCQ=∠EBP ∠Q=∠P CO=BP ACQF≌ABPE ∴.CF=BE, .DF=CE, 在△ADF与△DCE中， 答案第7页，共2页 AD=CD ∠ADC=∠DCE DF=CE ∴.△ADF≌△DCE. .SAADF=SADCE :Sauwm-5aw=Saa-5awr 即Son=SROCF 故③正确： BP=1,AB=3, .AP=4, ·△PBE∽△PAD, PB PA 4 EBDA3' BE=3 4 QE=13 4， ∠QOE=∠POA,∠P=∠Q △QOEP△POA 0E_9E_13 ∴0APA16 即an∠OAE=13 16 故④正确， 故正确有3个， 故选C. 【点晴】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质， 三角函数的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键. 11.19或29 答案第8页，共2页 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，利用分类思想解答是解题的关键. 过点C作CD⊥AB,垂足为点D,然后分两种情况：当点D在AB边上时，当点D在AB 边的延长线上时，即可求解。 【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB,垂足为点D, 当点D在AB边上时， D 在RIAACD中，cosA=2 5’AC=25’ .AD=4C×C0sA=25× -24, :CD=VAC2-AD-V252-24=7 在R△BCD中，BC=V74 .BD=VBc2-CD=V74-72=5, ∴.AB=BD+AD=29: 当点D在AB边的延长线上时， ----D 在Ri△ACD中，cosA=24 5’AC=25’ A0=AC×c5A=25×24=24, 25 :CD=VAC2-AD2=V2S2-242=7 在Rt△BCD中， BC=74 答案第9页，共2页 BD=VBC2-CD=V√74-72=5， ∴.AB=AD-BD=19: 综上所述，AB的长为19或29. 故答案为：19或29. 6 12.6 【分析】本题考查了勾股定理、解直角三角形等知识，推导出BD=V6B 是解题的关键 由DE LAB交AB于点E,得∠BED=90,因为DE=V5BE,所以 DDE+E:6BE,则e<DE-85-,于是得到有福的答类 【详解】解：DE⊥AB交AB于点E, ∴.∠BED=90°， :DE=√5BE .BD=DE2+BE2=(5BE)+BE2=6BE COS∠DBE=BE BE 6 BD6BE 6, 故答案为： VG 6 a96 【分析】本题考查矩形和折叠性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与 性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，证得△ACE是等边三角形是解答 的关键。 先根据矩形的性质和全等三角形的性质，结合线段垂直平分线的性质得到AE=AC，再证 明△CBE≌△ADE(AAS) 得到CE=AE=AC,进而证明△4CE是等边三角形得到∠E=60°， 答案第10页，共2页