精品解析：江苏省泰州市部分学校2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷

江苏省泰州市部分学校2025-2026学年上学期 九年级数学期中试卷 （考试时间：120分钟　满分：150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分　选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分、在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的半径为r，点P到圆心O的距离为2，若点P在外，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，表示两栋楼房，则下列说法正确的是（ ） A. 两楼之间的距离是 B. 从点看点的仰角是 C. 从点看点的仰角是 D. 从点看点的俯角是 3. 下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 正多边形是中心对称图形 C. 三角形的内心到三边距离相等 D. 圆的切线垂直于半径 4. 如图，在中，点在上，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 若，则的值为（） A. 4 B. C. 2 D. 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分、请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 已知一个扇形的圆心角为，半径为3，将这个扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆半径为________． 8. 在中，，那么等于__________． 9. 如图，在矩形中，若，则的长为_______． 10. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________． 11. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD=130°，则∠BOD=______°． 12. 如图，某同学拿着一把12cm长的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子恰好遮住电线杆，已知臂长60cm，则电线杆的高度是 _____m． 13. 如图，在矩形中，，．以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为________． 14. 已知在正方形网格中的位置如图所示，点均在格点上；有下列结论：点在的平分线上；直线可以把分成面积相等的两部分；点是的外心，点是的重心；其中正确的有_____．（直接填写序号） 15. 如图，、是的直径，点在上，，点从点出发沿顺时针方向绕圆心O旋转，当__________时，直径在中截得的三角形与相似． 16. 如图，是⊙O的弦，点C在⊙O内，，连接，若⊙O的半径是4，则长的最小值为______． 三、解答题（本大题共有10题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程：； （2）计算：． 18. 在一元二次方程中，若，则称是该方程的中点值． （1）方程的中点值是__________． （2）已知的中点值是3，其中一个根恰好等于，求的值． 19. 如图，在中，两条弦与相交于点M，且，连接并延长交于点求证： （1）； （2）平分 20. 我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，求每千克茶叶应降价多少元? 21. 如图，在平行四边形中，连接DB，点F是边上一点，连接并延长，交的延长线于点E，且． （1）求证：； （2）如果，求的长． 22. 如图，已知及边上一点C． （1）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①作，使得圆心O在射线上，且经过A、C两点，交射线于点B； ②在射线上求作点M， 使点M到点C的距离与点M到射线的距离相等； （2）在（1）的条件下，若，， 直接写出的长= ． 23. 现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． （1）填空： ， ； （2）已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 24. 如图，是的直径，是的弦，点F是延长线上的一点，平分交于点C，过点C作，垂足为点E． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的半径和的长． 25. 折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动． （1）操作判断： 在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，把纸片展平，过作交、、于点、、，连接并延长交于点，连接，如图，当为中点时，是______三角形． （2）迁移探究： 如图，若，且，求正方形的边长． （3）拓展应用： 如图，若，直接写出的值为______． 26. 问题背景：如图①，在中，为直径，为上一点，过点的弦，点是弧上一点（不与B、C重合）． （1）如图②，当点P与点O重合， ①__________； ②若半径为2，设与交于点的值是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由； ③当点E位置发生变化时，试证明：． （2）如图③，若为常数，且， ①__________．（用含有的代数式表示）； ②存在一个大小确定的，对于点E的任意位置，都有的值是一个定值，求此时的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省泰州市部分学校2025-2026学年上学期 九年级数学期中试卷 （考试时间：120分钟　满分：150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分　选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分、在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的半径为r，点P到圆心O的距离为2，若点P在外，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于半径；点在圆外，点到圆心的距离大于半径，点在圆上，点到圆心的距离等于半径进行求解即可 【详解】解：∵点P到圆心O的距离为2，点P在外， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟知点在圆内，点到圆心的距离小于半径；点在圆外，点到圆心的距离大于半径，点在圆上，点到圆心的距离等于半径是解题的关键． 2. 如图，表示两栋楼房，则下列说法正确的是（ ） A. 两楼之间的距离是 B. 从点看点的仰角是 C. 从点看点的仰角是 D. 从点看点的俯角是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形—俯角、仰角的定义，根据俯角、仰角的定义解答即可，熟练掌握俯角、仰角的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、两楼之间的距离是，故原说法不正确，不符合题意； B、从点看点的仰角是，故原说法不正确，不符合题意； C、从点看点的仰角是，故原说法正确，符合题意； D、从点看点的俯角是，故原说法不正确，不符合题意； 故选：C． 3. 下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 正多边形是中心对称图形 C. 三角形的内心到三边距离相等 D. 圆的切线垂直于半径 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何命题的真假判断，选项A需考虑三点共线情况；选项B需考虑正多边形的边数奇偶性；选项C涉及三角形内心的性质；选项D需注意圆的切线垂直于过切点的半径，但命题表述不完整． 【详解】解：A.三点确定一个圆，但三点共线时不能确定圆，故该选项错误，不符合题意； B.正多边形不一定是中心对称图形，如正三角形不是中心对称图形，故该选项错误，不符合题意； C.三角形的内心是角平分线的交点，也是内切圆的圆心，到三边距离相等，故该选项正确，符合题意； D.圆的切线垂直于过切点的半径，但命题未指定“过切点”，表述不严谨，故该选项错误，不符合题意． 故选：C． 4. 如图，在中，点在上，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质、三角形内角和定理．根据三角形内角和定理求出∠ABD=30°，根据相似三角形的性质求出，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5. 如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，正多边形的内角，圆周角定理，连接，求出的度数，根据四边形的内角和为360度求出的度数，圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， 连接， 由题意，得：， ∴， ∴； 故选B． 6. 若，则的值为（） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式运算、代数式求值等知识，由已知条件得出x满足方程，然后利用该方程简化表达式并求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴原式 ． 故选：D． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分、请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 已知一个扇形的圆心角为，半径为3，将这个扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆半径为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由已知得扇形的弧长，除以即为圆锥的底面半径． 【详解】解：∵扇形的弧长， ∴圆锥的底面半径为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长，熟练掌握其公式是解决此题的关键． 8. 在中，，那么等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，根据正切函数的定义，在直角三角形中，一个角的正切值等于该角的对边与邻边的比值，据此直接计算即可． 【详解】解：如下图，在，， 由正切函数的定义得：． 故答案为：． 9. 如图，在矩形中，若，则的长为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可． 【详解】解：在矩形中， ，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 10. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式．利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且， 即的取值范围为：且． 故答案为：且． 11. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD=130°，则∠BOD=______°． 【答案】100 【解析】 【分析】结合已知条件可以推出∠A＝50°，根据圆周角定理即可推出∠BOD＝100°． 【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD＝130°， ∴∠A＝180°-∠BCD =50°， ∴∠BOD＝2∠A =100°． 故答案为：100°． 【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，关键在于求出∠A的度数． 12. 如图，某同学拿着一把12cm长的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子恰好遮住电线杆，已知臂长60cm，则电线杆的高度是 _____m． 【答案】 【解析】 【分析】先求出△ABC∽△AEF，再根据三角形对应高的比等于对应边的比，这样就可以求出电线杆EF的高． 【详解】解：如图，作AN⊥EF于N，交BC于M， ∵BC∥EF， ∴AM⊥BC于M， ∴△ABC∽△AEF， ∴， ∵AM＝0.6，AN＝30，BC＝0.12， ∴EF＝＝＝6（m）． 答：电线杆的高度是6m． 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，解答时利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比解题． 13. 如图，在矩形中，，．以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质和判定，扇形的面积，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积． 设弓形，连接，，由题意知，即为等边三角形，，即可得出阴影部分面积为，代入数值即可求出结果． 【详解】解：∵以点为圆心，长为半径作弧交于点，，， ∴， ∴以为直径作半圆时，圆心为点， 设弓形，连接，，即，如图： ∴为等边三角形， ∴， 故阴影部分面积为， 代入数值可得， 故答案为． 14. 已知在正方形网格中的位置如图所示，点均在格点上；有下列结论：点在的平分线上；直线可以把分成面积相等的两部分；点是的外心，点是的重心；其中正确的有_____．（直接填写序号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的重心、角平分线的性质、 圆周角定理以及三角形的外接圆与外心等知识，取的中点连接，根据勾股定理解得的长，再证明由全等三角形对应角相等解得据此解题即可；根据中线的性质，即可解题；根据题意可得 从而得到点不在的垂直平分线上，即可；由三角形的重心定义结合中线的性质解题即可，熟练掌握相关知识是解题关键． 【详解】取的中点连接则点三点共线，点三点共线， 由图可知， ∵分别是的中点， 又由图可知： ∴平分 ∴点在的角平分线上，故正确； ∵是的中点， 点三点共线， ∴是的中线， 即直线把分成面积相等的两个部分，故正确； ∴点不在的垂直平分线上， ∴点不是 三边垂直平分线的交点， ∴点不是 的外心，故错误； ∵分别是的中点， ∴分别是 的中线， ∴点是的重心，故正确， 故答案为：． 15. 如图，、是的直径，点在上，，点从点出发沿顺时针方向绕圆心O旋转，当__________时，直径在中截得的三角形与相似． 【答案】54或72##72或54 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、圆周角定理、垂径定理、旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义和性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．分时、时和时三种情形，分别画出图形，求出旋转角的度数即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 分三种情况讨论， 当时，如下图，设与交于点， 可有， ∵， ∴，即直径在中截得的三角形与相似， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如下图，设与交于点， 可有， ∵， ∴，即直径在中截得的三角形与相似， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如下图，设与交于点， 可有， ∵， ∴，即直径在中截得的三角形与相似， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，不符合题意，舍去． 综上所述，当或72时，直径在中截得的三角形与相似． 故答案为：54或72． 16. 如图，是⊙O的弦，点C在⊙O内，，连接，若⊙O的半径是4，则长的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】延长交圆O于点D，连接，过O点作交于点E，则是等边三角形，再确定点C在以E为圆心，为半径的圆上，则的最小值为，再求解即可． 【详解】解：如图，延长交圆O于点D，连接，过O点作交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点C在以E为圆心，为半径的圆上， 在中，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆中的最小距离问题，熟练掌握垂径定理，等边三角形的性质，直角三角形的勾股定理，根据定角定弦确定点C的轨迹是解题的关键． 三、解答题（本大题共有10题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握解一元二次方程的方法，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键： （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用特殊角的三角函数值，绝对值的意义，进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， 解得； （2）原式 ． 18. 在一元二次方程中，若，则称是该方程的中点值． （1）方程的中点值是__________． （2）已知的中点值是3，其中一个根恰好等于，求的值． 【答案】（1）4 （2）5或0 【解析】 【分析】（1）利用方程的中点值求解； （2）先根据方程的中点值的定义得到，然后把代入方程求出即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴ ， 方程的中点值是4； 【小问2详解】 解：根据题意得，解得， ∴方程化为， 把代入得， 解得或0，即的值为5或0． 【点睛】本题考查了新定义，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． 19. 如图，在中，两条弦与相交于点M，且，连接并延长交于点求证： （1）； （2）平分 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ； （2） 证明：过点O作于点F，于点N， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 平分 【解析】 【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等证得，进而证得结论； （2）过点O作于点F，于点N，证得，进而证得，从而证得结论． 本题考查了垂径定理、圆心角、弦、弧之间的关系定理以及圆周角定理，解题的关键是掌握相关的定理并熟练运用． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，求每千克茶叶应降价多少元? 【答案】每千克茶叶应降价30元或80元 【解析】 【分析】设每千克茶叶应降价x元，由题意，得： (400-240-x) (200+) =41600,解方程可得. 【详解】解：设每千克茶叶应降价x元，则平均每周可售出(200+) 千克， 由题意，得： (400-240-x) (200+) =41600, 整理，得： x2-110x+2400=0， 解得： x1=30, x2=80. 答：每千克茶叶应降价30元或80元. 【点睛】考核知识点：一元二次方程的应用.理解题意，列出方程是关键. 21. 如图，在平行四边形中，连接DB，点F是边上一点，连接并延长，交的延长线于点E，且． （1）求证：； （2）如果，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得出，结合可得出，再由即可证出； （2）由，利用相似三角形的性质可求出BF的长度，由可得出，再利用相似三角形的性质及即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∵， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用两角对应相等，两个三角形相似证出；（2）牢记相似三角形对应边的比相等． 22. 如图，已知及边上一点C． （1）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①作，使得圆心O在射线上，且经过A、C两点，交射线于点B； ②在射线上求作点M， 使点M到点C的距离与点M到射线的距离相等； （2）在（1）的条件下，若，， 直接写出的长= ． 【答案】（1）①如图所示，和点B即为所求作； ②如图所示，点M即为所求作． （2） 【解析】 【分析】（1）①作的垂直平分线交于点．以点O为圆心为半径作，交于点B，即可； ②作的角平分线交于点，点即为所求； （2）先由勾股定理求得，从而得到，再由，得到，求得，然后证明，得到，则，即可由勾股定理求解． 【小问1详解】 解：①∵点O在线段垂直平分线上， ∴， ∴经过A、C两点； ②连接，过点M作于H， 由作图可知：是的直径， ∴， ∴ ∵，是的平分线， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接， 由作图可知：是的直径， ∴ 由勾股定理，得， ∴， ∵由作图可知： ，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ 由勾股定理，得． 【点睛】本题考查基本作图：作线段垂直平分线，作角平分线，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定与性质．正确作出图形是解题的关键． 23. 现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． （1）填空： ， ； （2）已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 【答案】（1）64；53； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）过点C作，根据平行线的判定和性质求角度即可； （2）过点D作，过点E作，利用矩形的判定得出四边形为矩形，四边形为矩形，再结合图形，利用三角函数求解即可． 【小问1详解】 解：过点C作， ∵垂直于， ∴， ∴， ∵与水平线平行， ∴， ∴， ∴， 故答案为：64；53； 【小问2详解】 解：过点D作，过点E作，如图所示： ∴四边形为矩形， 同理得：四边形为矩形， ∴， ∵为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 如图，是的直径，是的弦，点F是延长线上的一点，平分交于点C，过点C作，垂足为点E． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的半径和的长． 【答案】（1） 解：是的切线． 证明：连接， ∵， ∴， ∵． ∴， ∵平分， ∴，则， ∴， ∴， ∴半径， ∴是的切线； （2）的半径为，的长为3． 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，平行线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解决问题的关键． （1）连接，证得，由平行线的判定得到，再证得，即可证得结论； （2）连接，由圆周角定理得到，再证得，根据相似三角形的性质即可证得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 在中，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；即的半径为． 作于H， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． ∴的半径为，的长为3． 25. 折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动． （1）操作判断： 在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，把纸片展平，过作交、、于点、、，连接并延长交于点，连接，如图，当为中点时，是______三角形． （2）迁移探究： 如图，若，且，求正方形的边长． （3）拓展应用： 如图，若，直接写出的值为______． 【答案】（1）等边； （2）正方形的边长为； （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠可证 ，从而可证，再证，即可求解． （2）可证（），可得，再证，可求，即可求解； （3）设，则有，设，则，由，即可求解． 【小问1详解】 解：四边形为正方形， ，， 根据折叠的性质可得，，， ， ， ， ， ， 为的中点，， 为的中点，， ， ， 为等边三角形； 故答案为：等边； 【小问2详解】 解：四边形为正方形， ，， 根据折叠的性质可得，，， ，， ， ， ， ， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 在中，， ， ， ，即正方形的边长为； 【小问3详解】 解：设， 若， ， ，， 设，则， ， ， ， 整理得：， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形中的折叠综合问题，折叠的性质，正方形的性质，等边三角形的判定，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质，勾股定理，面积转化法等，掌握相关的判定方法及性质，折叠问题的解法是解题的关键． 26. 问题背景：如图①，在中，为直径，为上一点，过点的弦，点是弧上一点（不与B、C重合）． （1）如图②，当点P与点O重合， ①__________； ②若半径为2，设与交于点的值是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由； ③当点E位置发生变化时，试证明：． （2）如图③，若为常数，且， ①__________．（用含有的代数式表示）； ②存在一个大小确定的，对于点E的任意位置，都有的值是一个定值，求此时的大小． 【答案】（1）①；②为定值，定值为8； ③证明：连接，设半径为r， 由②知， ∴， ∴， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴； （2）①；②45 【解析】 【分析】（1）①由圆周角定理即可求解；②证明，根据边成比例即可求解；③连接，设半径为r．证明，根据边成比例，用表示出，从而可表示出；证明，根据边成比例用表示，从而表示出，从而可证明； （2）①连结，证明，由，及相似三角形对应边的比例关系即得，再证明，同理可得；②由，得，由是定值．可知的值与无关，则，此时为定值1，此时点与点重合，可得． 本题考查圆的综合应用，涉及相似三角形的判定与性质、圆周角定理等． 【小问1详解】 ①∵， ∴， ∴， 故答案为：45； ②∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即为定值8； ③略 【小问2详解】 ①如图，连结 是直径， ∴． ， ， ， ∵ ． 又∵是的直径， ∴， ， ， ， ∵， ， ∴， ； （2）由（1）得， ，即． ∴． 若是定值，则的值与无关． ∴，此时为定值1，且点与点重合，如图： ∵， 是等腰直角三角形， ∴． ∴， ∴存在半径为1的，对于点的任意位置，都有的值是定值1，此时的度数为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $